Ly thuyet toan 5 SV

Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Bài1 Bài1: KHÁI NIỆM NIỆM CƠ CƠ BẢN BẢN VỀ XÁC SUẤT KHÔNG GIAN MẪU BIẾN CỐ 1.1 Không gian mẫu 1.1.1 Định nghĩa Các hành động mà kết dự đoán gọi chung Phép thử ngẫu nhiên Tập hợp tất kết có phép thử gọi không gian mẫu Kí hiệu : S Ω Mỗi kết không gian mẫu gọi phần tử, hay điểm mẫu Nếu không gian mẫu có hữu hạn phần tử, ta liệt kê phần tử (giống tập hợp) Nếu không gian mẫu có nhiều vô hạn phần tử ta mô tả mệnh đề quy tắc Trong số trường hợp, ta sử dụng sơ đồ (ví dụ 2) 1.1.2 Ví dụ Ví dụ 1: Xét phép thử “tung đồng xu” Tìm không gian mẫu? Không gian mẫu: Ω = { N , S } (S: biểu thị mặt sấp xuất hiện, N: biểu thị mặt ngửa xuất hiện) Ví dụ 2: Xét phép thử “tung đồng xu , mặt sấp xuất tung tiếp lần thứ 2, mặt ngửa xuất tung xúc xắc” Tìm không gian mẫu? Không gian mẫu : Ω = {SS , SN , N1, N 2, N 3, N 4, N 5, N 6} Ví dụ 3: Xét phép thử “tung xúc xắc” Tìm không gian mẫu? Ví dụ 4: Lấy ngẫu nhiên điểm (x,y) nằm biên thuộc miền hình tròn tâm O bán kính Tìm không gian mẫu? Ví dụ 5: Một hộp có viên bi: xanh, đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi số viên Tìm không gian mẫu? Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải 1.2 Biến cố 1.2.1 Định nghĩa Mỗi tập không gian mẫu gọi biến cố Kí hiệu: A, B, C… Một tập không gian mẫu không chứa phần tử gọi biến cố Kí hiệu: ∅ Tập hợp toàn không gian mẫu gọi biến cố chắn Mỗi phần tử không gian mẫu biến cố, gọi biến cố sơ cấp 1.2.2 Mối liên hệ biến cố A, B biến cố không gian mẫu S Phần bù biến cố A S biến cố chứa tất phần tử nằm S không nằm A A A Kí hiệu: A A gọi biến cố đối biến cố A Giao biến cố A B biến cố chứa tất phần tử chung A B Kí hiệu: A ∩ B (hoặc AB) AB A, B gọi biến cố xung khắc (rời nhau) A ∩ B = ∅ Hợp biến cố A B biến cố chứa tất phần tử thuộc A thuộc B Kí hiệu: A ∪ B A∪B Chú ý: A A biến cố xung khắc Một số tính chất: A ∪ A = A, A ∪ S = S, A∪∅ = A A ∩ A = A, A ∩ S = A, A∩∅ = ∅ A ∪ A = S, A ∩ A = ∅, A= A Giao hoán: A ∪ B = B ∪ A, AB = BA Kết hợp: A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C , A ( BC ) = ( AB ) C Phân phối: A ( B ∪ C ) = ( AB ) ∪ ( AC ) , A ∪ ( BC ) = ( A ∪ B )( A ∪ C ) Định lí De Morgan: A ∪ B = A ∩ B, A∩ B = A∪ B 1.2.3 Ví dụ Ví dụ 6: Xét phép thử “tung xúc xắc”, A biến cố “số chấm xuất chẵn”, B biến cố “ số chấm xuất nhỏ ” Tìm biến cố A ∪ B, A ∩ B, A ∪ B ? Lời giải: Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Ví dụ 7: Xét học sinh lớp 12A thi tốt nghiệp môn Toán Văn, gọi A biến cố “học sinh đỗ môn Toán ”, B biến cố “ học sinh đỗ môn Văn” Biểu diễn biến cố sau: a) “Học sinh đỗ môn Toán trượt môn Văn” b) “Học sinh đỗ môn Toán, Văn” c) “Học sinh không đỗ môn môn Toán, Văn” d) “Học sinh đỗ môn” Lời giải: ĐẾM CÁC ĐIỂM MẪU 2.1 Quy tắc nhân Nếu công việc chia k giai đoạn, giai đoạn có n1 cách thực hiện, giai đoạn có n2 cách thực hiện, … giai đoạn k có nk cách thực hiện, số cách thực xong công việc n1 n2 nk cách giai đoạn 1: n1 cách giai đoạn 2: n2 cách công việc : k giai đoạn … giai đoạn k: nk cách Ví dụ: Để từ nhà đến trường, An phải qua hợp tác xã Từ nhà đến hợp tác xã có đường, từ hợp tác xã đến trường có đường Hỏi có đường để An từ nhà đến trường? Lời giải: 3.4 = 12 cách 2.2 Quy tắc cộng Nếu công việc chia k trường hợp, trường hợp có n1 cách thực hiện, trường hợp có n2 cách thực hiện, … trường hợp k có nk cách thực hiện, số cách thực xong công việc n1 + n2 + + nk cách trường hợp 1: n1 cách trường hợp 2: n2 cách công việc : k trường hợp … trường hợp k: nk cách Ví dụ: Một nhà máy cần mua thiết bị sản xuất, họ mua công ty A, B, C Công ty A có loại thiết bị, công ty B có loại thiết bị, công ty C có loại thiết bị Hỏi họ có cách lựa chọn thiết bị? Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Lời giải: + + = 11 cách 2.3 Hoán vị Định nghĩa: Một hoán vị xếp toàn phận tập phần tử Định lý: Số hoán vị n phần tử phân biệt Pn = 1.2.3 n = n ! Số hoán vị k phần tử phân biệt n phần tử (chỉnh hợp chập k n phần tử) là: Ank = n! ( n − k )! Số hoán vị n phần tử phân biệt xếp theo vòng tròn (n - 1)! Số hoán vị n phần tử phân biệt mà n1 phần tử thuộc kiểu thứ nhất, n2 phần tử thuộc kiểu thứ hai, …., nk phần tử thuộc kiểu thứ k n! n1 ! n2 ! nk ! Chú ý: Khi ta xếp n phần tử thành r tập (r ngăn), mà thứ tự phần tử bên ngăn không quan trọng, tập đôi giao tập ∅ , hợp tất tập tập ban đầu, ta gọi phân hoạch Khi số cách phân hoạch tập hợp n phần tử thành r ngăn, n1 phần tử thuộc ngăn thứ 1, n2 phần tử thuộc ngăn thứ 2, …, nr phần tử thuộc ngăn thứ r là: Cnn1 ,n2 , , nr = n! , n1 !n2 ! nr ! (n + n2 + + nr = n ) Vì ta chọn k phần tử n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự (ta gọi tổ hợp chập k n phần tử Cnk ) chất ta thực phân hoạch với ngăn: ngăn chứa k phần tử, ngăn chứa n – k phần tử Khi đó: Cnk = n! k !( n − k ) ! Ví dụ 8: Hai vé số rút từ 20 vé số Hỏi có cách lựa chọn? ( C202 ) Ví dụ 9: Hai vé số rút từ 20 vé số dành cho giải nhì Hỏi có cách lựa chọn? ( A202 ) Ví dụ 10: Có cách xếp khác để tạo thành xâu đèn thông Noel có bóng  9!  đèn đỏ, bóng đèn vàng, bóng đèn xanh với ổ cắm?    3! 4! 2!  Ví dụ 11: Có cách xếp nhà toán học vào phòng họp: phòng người, phòng  7!  đôi?    3! ! 2!  Ví dụ 12: Một lục giác lồi có đường chéo? (C − 6) Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ 3.1 Định nghĩa Định nghĩa: Xác suất biến cố A tổng xác suất tất điểm mẫu A Kí hiệu P(A) Khi đó: ≤ P ( A ) ≤ 1, P ( ∅ ) = 0, P (Ω) = Ví dụ 13: Tung đồng xu đồng chất lần Xác suất để mặt ngửa xuất bao nhiêu? Lời giải: Không gian mẫu : Ω = {SS,SN,NS,NN} Vì đồng xu đồng chất nên kết cục có đồng khả xuất hiện, xác suất điểm mẫu 1/4 Gọi A biến cố “ít mặt ngửa xuất hiện”, 1 + + = 4 4 Chú ý: Khi không gian mẫu phép thử chứa N điểm mẫu, mà tất đồng khả năng, ta gán P ( A) = cho điểm mẫu xác suất Khi xác suất biến cố A gồm n điểm N điểm mẫu là: N 1 n + + + = N N N N Định lý: Nếu phép thử dẫn đến N kết phân biệt đồng khả có n kết thuận lợi cho biến cố A, xác suất biến cố A P ( A) = n N Nói cách khác P(A) = Số khả thuận lợi cho A Tổng số khả xảy Ví dụ 14: Rút quân từ 52 quân Tìm xác suất để có Át J Lời giải: Ví dụ 15: Lấy quân từ theo phương thức không hoàn lại Tính xác suất để quân quân Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Lời giải: Ví dụ 16: Trong ngăn bàn có 10 sách: Toán, Văn, Tiếng Anh Lấy ngẫu nhiên Tìm xác suất để sách lấy có Văn chọn? Lời giải: Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Bài 2: CÁC ĐỊNH ĐỊNH LÝ VỀ PHÉP TOÁN XÁC SUẤT QUY TẮC CỘNG 1.1 Định lý 1: Nếu A, B hai biến cố tùy ý : A P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB ) B Hệ 1: Nếu A, B hai biến cố xung khắc thì: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) Hệ 2: Nếu A1 , A2 , , An biến cố đôi xung khắc với thì: P ( A1 ∪ A2 ∪ ∪ An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + + P ( An ) Hệ 3: Nếu A1 , A2 , , An phân hoạch không gian mẫu S thì: P ( A1 ∪ A1 ∪ ∪ An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + + P ( An ) = P(S) = S Chú ý: Khái niệm phân hoạch không gian mẫu Hệ biến cố {B1 , B2 , , Bk } gọi phân hoạch (hệ đầy đủ) không gian mẫu S thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: … B1 B2 Bk +) Hệ biến cố {B1 , B2 , , Bk } đôi xung khắc, tức Bi ∩ B j = ∅, ∀i, j = 1, k , i ≠ j +) Hệ biến cố {B1 , B2 , , Bk } hợp lại thành không gian mẫu, tức B1 ∪ B2 ∪ ∪ Bk = S 1.2 Định lý 2: Nếu A, A hai biến cố đối lập P ( A) + P ( A) = Chú ý: Trong số trường hợp tính trực tiếp xác suất biến cố A khó khăn, ta tính gián tiếp thông qua biến cố A dựa vào công thức Ví dụ 1: Xác suất để Paula thi đỗ môn toán 2/3, thi đỗ môn tiếng anh 4/9, xác suất để cô thi đỗ môn 1/4 Tính xác suất để Paula thi đỗ môn? Không thi đỗ môn môn trên? Lời giải: Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Ví dụ 2: Trong nhà tù liên bang có 2/3 số tù nhân 25 tuổi Biết 3/5 số tù nhân nam, 5/8 số tù nhân nữ 25 tuổi Chọn ngẫu nhiên tù nhân, tìm xác suất để tù nhân nữ 25 tuổi? Lời giải: XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN Ta xét ví dụ nhỏ sau đây: Có 10 người tham gia tuyển kỹ sư công trình: vòng có người đạt, người trượt Những người qua vòng thi tiếp vòng 2, vòng có người đạt, người trượt Khi ta chọn người 10 người xác suất đạt qua vòng 2/10 Nhưng ta biết trước điều kiện, qua vòng xác suất đạt qua vòng 2/4 Rõ ràng biến cố A “anh ta qua vòng 1” xảy ra, xác suất biến cố B “anh ta qua vòng” bị thay đổi Khi ta nói xác suất biến cố B với điều kiện biến cố A xảy 2/4 2.1.Định nghĩa Cho A, B hai biến cố phép thử, P(A) > Xác suất biến cố B với điều kiện biến cố A xảy xác định sau: P ( B | A) = P ( AB ) P( A) Ta gọi ngắn gọn P ( B | A ) xác suất B với điều kiện A Ví dụ 3: Trở lại ví dụ trên, rõ ràng P ( B | A) = P ( AB ) / 10 = 2/4 = P( A) / 10 Rõ ràng xác suất để người qua vòng tăng nhiều (0,5 > 0,2) biết điều kiện qua vòng Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Ví dụ 4: Xác suất để chuyến bay khởi hành P(A) = 0,83 Xác suất để chuyến bay đến P(B) = 0,82 Xác suất để khởi hành đến P(AB) = 0,78 Tính xác suất để chuyến bay: a) Đến biết khởi hành b) Khởi hành biết đến c) Đến biết khởi hành không 2.2 Các biến cố độc lập Trong ví dụ trên, ta thấy P( A | B) ≠ P ( A ) điều có nghĩa hai biến cố A, B phụ thuộc vào Nhưng có trường hợp P( A | B) = P ( A ) , nghĩa xuất biến cố B không ảnh hưởng đến khả xuất biến cố A Khi ta nói hai biến cố A, B độc lập với Định nghĩa: Hai biến cố A, B gọi độc lập với P( A | B) = P ( A ) P( B | A) = P ( B ) QUY TẮC NHÂN 3.1 Định lý Định lý 1: Nếu phép thử, biến cố A, B xảy P ( AB ) = P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A | B ) Định lý 2: Hai biến cố A, B độc lập với P ( AB ) = P ( A) P ( B ) Định lý 3: Nếu phép thử, biến cố A1 , A2 , , Ak xảy P ( A1 A2 Ak ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( Ak | A1 A2 Ak −1 ) Nếu biến cố A1 , A2 , , Ak độc lập với P ( A1 A2 Ak ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( Ak ) Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải 3.2 Ví dụ Ví dụ 5: Hộp có bi xanh, bi trắng Hộp có bi xanh, bi trắng Từ hộp ta lấy viên bi Tính xác suất viên bi lấy màu? Lời giải: Ví dụ 6: Xác suất để người phải đến nha sĩ điều trị tia X 0,6 Xác suất để người điều trị tia X phải hàn 0,3 Xác suất để người điều trị xong tia X hàn phải nhổ 0,1 Tính xác suất để người đến nha sĩ phải điều trị tia X, hàn phải nhổ răng? Lời giải: QUY TẮC BAYES 4.1 Định lý Xác suất đầy đủ Hệ biến cố {B1 , B2 , , Bk } phân hoạch không gian mẫu S, P ( Bi ) ≠ 0, i = 1, k Khi với biến cố A S ta có: P ( A) = P ( AB1 ) + P ( AB2 ) + + P ( ABk ) = P ( B1 ) P ( A | B1 ) + P ( B2 ) P ( A | B2 ) + + P ( Bk ) P ( A | Bk ) 10 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Ví dụ 2: Cho hai tổng thể A B Một mẫu từ A có cỡ 12, cho ta giá trị trung bình mẫu 3.11 độ lệch tiêu chuẩn mẫu s1 = 0.771 Một mẫu từ B có cỡ 10, cho ta giá trị trung bình 2.04 độ lệch tiêu chuẩn s2 = 0.448 Tìm khoảng tin cậy 90% cho hiệu µ A − µ B , giả sử hai tổng thể có phân phối xấp xỉ chuẩn có phương sai chưa biết Lời giải 1.3 Khoảng tin cậy cho µ1 − µ2 chưa biết σ 12 , σ 22 cỡ mẫu lớn ( n1 , n2 ≥ 30 ) Trong trường hợp này, cỡ mẫu lớn nên ta coi σ ≈ s1 ,σ ≈ s2 , toán trở trường hợp σ ,σ biết ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ 2.1 Ước lượng cho tỷ lệ Định lý: Khoảng tin cậy cho p cỡ mẫu lớn Nếu pˆ tỷ lệ thành công mẫu ngẫu nhiên cỡ mẫu n, qˆ = − pˆ , khoảng tin cậy (1- α)100% cho tham số p pˆ − zα /2 ˆˆ pq < p < pˆ + zα /2 n 44 ˆˆ pq n Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải zα /2 giá trị z sinh diện tích α / bên phải Chú ý: Khi n nhỏ không nên dùng công thức Công thức cho kết tốt npˆ nqˆ lớn Ví dụ 3: Điều tra ngẫu nhiên 500 gia đình có tivi thành phố Hamilton, Canada, thấy có 340 gia đình thuê bao chương trình HBO Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ gia đình thuê bao chương trình HBO số gia đình có tivi thành phố Lời giải Định lý: Nếu dùng pˆ để làm ước lượng điểm cho p, với độ tin cậy (1 – α)100% ta khẳng định sai số ước lượng không vượt ε = zα /2 ˆˆ pq n Định lý: Nếu pˆ dùng làm ước lượng điểm cho p, với độ tin cậy (1- α )100% để sai số không vượt ε kích thước mẫu tối thiểu cần dùng là: n= ˆˆ zα2 / pq ε2 45 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Ví dụ 4: Sử dụng ví dụ 1, với độ tin cậy 95% i) Tìm sai số dùng pˆ làm ước lượng điểm cho p ? ii) Muốn sai số không vượt 0.02, cỡ mẫu tối thiểu phải dùng bao nhiêu? Lời giải: Chú ý: Ở ta ý pˆ + qˆ = , nên sử dụng bất đẳng thức Cô si ta có:  pˆ + qˆ  ˆ ˆ ⇒ pq ˆˆ≤ pˆ + qˆ ≥ pq  =   Từ ta có công thức sử dụng để tính kích thước mẫu thỏa mãn điều kiện sai số, mà không cần dựa vào tỷ lệ mẫu cho trước Định lý: Nếu pˆ dùng làm ước lượng điểm cho p ta khẳng định rằng, với độ tin (1- α )100% Muốn sai số ước lượng không ε cho trước cỡ mẫu cần dùng là: zα2 / 4ε Ví dụ 5: Trong ví dụ 1, cần cỡ mẫu để với độ tin cậy 95% ước lượng p nằm khoảng 0,02? n= 2.2 Ước lượng cho sai khác tỷ lệ Định lý: Nếu pˆ1 , pˆ tỷ lệ thành công mẫu ngẫu nhiên cỡ n1, n2 lấy từ tổng thể Ω1 Ω2, tương ứng qˆ1 = − pˆ1 , qˆ2 = − pˆ , khoảng tin cậy (1- α )100% cho sai khác hai tỷ lệ p1 - p2 ( pˆ − pˆ ) − zα / pˆ1 qˆ1 pˆ qˆ2 + < p1 − p2 < ( pˆ1 − pˆ ) + zα / n1 n2 zα /2 giá trị z sinh diện tích α / bên phải 46 pˆ1 qˆ1 pˆ qˆ2 + n1 n2 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Ví dụ 6: Một thay đổi định trình sản xuất linh kiện xem xét Các mẫu thu sử dụng quy trình cũ nhằm xem trình có hiệu không Trong 1500 sản phẩm sản xuất theo quy trình cũ người ta thấy có 75 phế phẩm, sử dụng quy trình 2000 sản phẩm người ta đếm 80 phế phẩm Tìm khoảng tin cậy 90% cho hiệu tỷ lệ phế phẩm quy trình cũ mới, từ cho biết việc cải tiến có đem lại chất lượng tốt cho dây chuyền sản xuất không? Lời giải: 47 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Bài 8: 8: KIỂM KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TRUNG BÌNH CÁC KHÁI NIỆM CHUNG Định nghĩa: Một giả thuyết thống kê xác nhận hay đoán liên quan tới hay nhiều tổng thể Một thủ tục mà dựa vào thông tin mẫu để đưa chứng chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết gọi kiểm định giả thuyết Định nghĩa: Khi ta bác bỏ giả thuyết đồng nghĩa với việc ta chấp nhận khẳng định khác, ta gọi đối thuyết Kí hiệu giả thuyết H0, đối thuyết H1 Ví dụ 1: H0 giả thuyết p = 0, H1 khẳng định: p ≠ 0,5 p < 0,5 p > 0, Cơ sở toán kiểm định giả thuyết dựa khái niệm xác suất định sai lầm Việc chấp nhận giả thuyết đơn liệu không đủ thông tin để bác bỏ nó, đồng thời việc bác bỏ giả thuyết xác suất nhận thông tin từ mẫu cho giả thuyết nhỏ 1.2 Kiểm định giả thuyết thống kê Để minh họa cho khái niệm chung kiểm định giả thuyết thống kê tập hợp đó, ta xét ví dụ trên, với H : p = 0,5 H1 : p ≠ 0, Lấy mẫu ngẫu nhiên, ta xác định giá trị thống kê Pˆ mẫu Giả sử Pˆ nhận giá trị gần 0,5 sở để chấp nhận H0, Pˆ nhận giá trị xa 0,5 ta nên bác bỏ H0 Khi Pˆ gọi tiêu kiểm định Tập giá trị Pˆ chia làm miền: miền mà giá trị Pˆ nằm làm cho ta chấp nhận giả thuyết miền gọi miền chấp nhận, miền lại gọi miền bác bỏ (hay miền tiêu chuẩn) 1.3 Các bước toán kiểm định giả thuyết Mô tả giả thuyết H0, chọn đối thuyết H1 phù hợp Chọn thống kê tiêu chuẩn hợp lý (chỉ tiêu kiểm định) Từ tính toán giá trị thống kê thông qua số liệu mẫu Chọn mức ý nghĩa, tìm miền bác bỏ Kiểm tra xem tiêu kiểm định nằm miền chấp nhận hay bác bỏ Từ định chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết 48 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải 1.4 Kiểm định phía kiểm định hai phía +) Kiểm định giả thuyết mà đối thuyết có dạng sau: H : θ = θ0 ; H1 : θ > θ0 H : θ = θ0 ; H1 : θ < θ0 gọi kiểm định phía - Nếu H1 : θ > θ0 miền bác bỏ giả thuyết nằm đuôi phải phân phối xác suất tiêu kiểm định - Nếu H1 : θ < θ0 miền bác bỏ giả thuyết nằm đuôi bên trái phân phối xác suất tiêu kiểm định +) Kiểm định giả thuyết với đối thuyết sau: H : θ = θ0 H1 : θ ≠ θ0 gọi kiểm định hai phía Do θ ≠ θ tức θ > θ θ < θ nên miền bác bỏ giả thuyết gồm hai phần nằm hai phía phân phối xác suất tiêu kiểm định có xác suất +) Các bước xác định giả thuyết H0 giả thuyết H1: - Trước hết xác định yêu cầu cần kiểm định - Nếu yêu cầu đề cập tới hướng đơn lớn hơn, nhỏ hơn, tốt hơn, hơn,…… H1 phát biểu qua dấu bất đẳng thức ( > < ) Ví dụ, kiểm định loại thuốc mới, ta muốn đưa chứng cớ 30% bệnh nhân chữa khỏi, ta viết H1 : p > 0,3 giả thuyết viết H0 : p = 0,3 - Nếu yêu cầu đề cập tới hướng kép nhất, lớn hơn, nhiều nhất, không nhiều hơn, dấu kép ( ≤ ≥ ) biểu diễn cho H , sử dụng dấu bằng, H1 cho theo dấu ngược lại - Cuối cùng, không hướng nói tới yêu cầu, H1 phát biểu qua dấu không ( ≠) 49 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Ví dụ Một hãng sản xuất loại ngũ cốc khẳng định lượng chất béo trung bình ngũ cốc không vượt 1,5 miligam Phát biểu giả thuyết đối thuyết dùng kiểm định yêu cầu xác định vị trí miền bác bỏ giả thuyết Lời giải: Ví dụ 3: Một đại lý nhà đất khẳng định 60% số nhà riêng xây dựng ngày có phòng ngủ Để kiểm tra khẳng định này, lượng lớn nhà xây dựng kiểm tra, tỉ lệ nhà có phòng ngủ ghi lại sử dụng tiêu kiểm định ta Phát biểu giả thuyết đối thuyết kiểm định, xác định vị trí miền bác bỏ giả thuyết Lời giải: 50 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải KIỂM ĐỊNH VỀ MỘT TRUNG BÌNH 2.1 Kiểm định trung bình, σ biết H : µ = µ0 , H1 : µ ≠ µ0 Chỉ tiêu kiểm định Z = Tính z = X − µ0 σ/ n x − µ0 σ/ n Chọn mức ý nghĩa α Từ đối thuyết H1, ta chọn miền bác bỏ hai phía   X − µ0 P − zα / < < zα /  = − α σ/ n   Tra bảng A.3 ta giá trị tới hạn − zα / , zα / Từ đó, miền bác bỏ giả thuyết D = (−∞, − zα /2 ] ∪ [ zα /2 , +∞) Kiểm tra: z ∈ D hay z ∉ D ? Kết luận toán: Với mức ý nghĩa đó, ta chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết Chú ý: Ta sử dụng định lý giới hạn trung tâm nên tổng thể có phân phối chuẩn cỡ mẫu không quan trọng, tổng thể phân phối chuẩn cỡ mẫu phải đủ lớn Ví dụ 4: Một nhà sản xuất dụng cụ thể thao đưa loại dây câu mới, họ khẳng định khối lượng trung bình dây chịu kg, với độ lệch chuẩn 0,5 kg Để kiểm định giả thuyết µ = kg với đối thuyết µ ≠ kg, 50 dây ngẫu nhiên kiểm tra khối lượng trung bình dây chịu 7,8 kg Hãy kiểm định khẳng định nhà sản xuất với mức ý nghĩa 0,01 Lời giải: 51 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải 2.2 Kiểm định trung bình, σ chưa biết, cỡ mẫu nhỏ (n < 30) H : µ = µ0 , H1 : µ ≠ µ0 Chỉ tiêu kiểm định T = X − µ0 S/ n Tính t = x − µ0 s/ n Chọn mức ý nghĩa α T có phân phối Student với n-1 bậc tự nên từ   X − µ0 P − tα / 2,n −1 < < tα / 2,n −1  = − α S/ n   ta xác định miền bác bỏ D = (-∞, -tα/2,n-1] ∪ [ tα/2,n-1, +∞) Kiểm tra: t ∈ D hay t ∉ D ? Kết luận toán: Với mức ý nghĩa đó, ta chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết Ví dụ 5: Một báo cáo khẳng định máy hút bụi tiêu thụ khoảng 46 kWh / năm Từ mẫu gồm 12 gia đình nghiên cứu, cho thấy máy hút bụi tiêu thụ trung bình 42 kWh năm với độ lệch chuẩn 11,9 kWh Liệu nói, với mức ý nghĩa 0,05, trung bình máy hút bụi tiêu thụ không 46 kWh năm hay không? Giả sử tổng thể xét có phân phối chuẩn Lời giải 52 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải 2.3 Kiểm định trung bình, σ chưa biết, cỡ mẫu lớn (n ≥ 30) Trường hợp này, cỡ mẫu lớn (n ≥ 30) nên ta coi s ≈ σ đưa trường hợp σ biết Chú ý: Miền bác bỏ toán kiểm định phía hai phía - Nếu H1 : θ = θ0 miền bác bỏ z ≤ − zα /2 z ≥ zα /2 ( t ≤ −tα /2 t ≥ tα /2 ) - Nếu H1 : θ > θ0 miền bác bỏ z ≥ zα ( t ≥ tα ) - Nếu H1 : θ < θ0 miền bác bỏ z ≤ − zα ( t ≤ −tα ) 53 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải Bài 9: KIỂM KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ TRUNG BÌNH CỦA HAI MẪU KIỂM KIỂM ĐỊNH TỶ LỆ KIỂM ĐỊNH VỀ HIỆU HAI GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 1.1 Kiểm định hiệu hai trung bình, σ 12 , σ 22 biết H : µ1 − µ = d H1 : µ1 − µ ≠ d Chỉ tiêu kiểm định chọn Z= X1 − X − d0 σ 12 n1 Suy : z = + σ 22 n2 x1 − x2 − d σ 12 n1 + σ 22 n2 Mức ý nghĩa α Với giả thuyết H0 đúng, Z có phân phối xấp xỉ chuẩn Ta suy miền bác bỏ D = (−∞,− zα / ] ∪ [ zα / ,+∞) Kiểm tra: z ∈ D hay z ∉ D ? Kết luận toán: Với mức ý nghĩa đó, ta chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết Ví dụ 1: Một mẫu ngẫu nhiên n1 = 25 lấy từ tổng thể có phân phối chuẩn với độ lệch σ = , có giá trị trung bình x1 = 80 Một mẫu ngẫu nhiên thứ hai n2 = lấy từ tổng thể có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn σ = , giá trị trung bình x2 = 75 Kiểm định giả thuyết sai khác chất lượng hai tổng thể với mức ý nghĩa 0,05 Lời giải: 54 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải 1.2 Kiểm định hiệu hai giá trị trung bình σ , σ chưa biết, giả thuyết H : µ1 − µ = d H1 : µ1 − µ ≠ d Chỉ tiêu kiểm định T = với S p = Tính t = ( X − X ) − d0 S p / n1 + / n2 S12 (n1 − 1) + S 22 (n2 − 1) n1 + n2 − ( x1 − x ) − d s p 1/ n1 + 1/ n2 Chọn mức ý nghĩa α Miền bác bỏ giả thuyết D = (−∞, −tα /2, n1 +n2 −2 ] ∪ [tα /2, n1 +n2 −2 , +∞) Kiểm tra: t ∈ D hay t ∉ D ? Kết luận toán: Với mức ý nghĩa đó, ta chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết Ví dụ 2: Một thí nghiệm thực nhằm so sánh mức độ mài mòn hai loại kim loại khác 12 miếng kim loại I kiểm tra cách đưa vào máy đo độ mài mòn 10 miếng kim loại II kiểm tra tương tự Trong trường hợp, độ sâu mài mòn ghi lại Mẫu ứng với kim loại I có trung bình mài mòn 85 đơn vị, với độ lệch mẫu 4; mẫu ứng với kim loại II có trung bình 81 độ lệch mẫu Có thể kết luận, với mức ý nghĩa 0.05, mức độ mài mòn kim loại I kim loại II đơn vị không? Giả sử mật độ xấp xỉ chuẩn với phương sai Lời giải: 55 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải 1.2 Kiểm định hiệu hai giá trị trung bình σ , σ chưa biết, cỡ mẫu lớn (n ,n ≥ 30 ) Trong trường hợp này, cỡ mẫu lớn nên ta coi σ = s1 ,σ = s2 , toán trở trường hợp σ ,σ biết KIỂM ĐỊNH MỘT TỶ LỆ Bài toán kiểm định tỷ lệ quan tâm nhiều trường hợp Một ứng cử viên quan tâm đến tỷ lệ ứng cử viên ủng hộ ông ta, nhà sản xuất quan tâm đến tỷ lệ phế phẩm sản phẩm làm Trong hầu hết trường hợp đó, thường cỡ mẫu ta lấy tương đối lớn, ta xét toán Kiểm định tỷ lệ, với cỡ mẫu lớn Các bước làm toán kiểm định tỷ lệ hoàn toàn giống với toán kiểm định giá trị trung bình: H : p = p0 , H1 : p ≠ p0 Chỉ tiêu kiểm định Z = Pˆ − p0 p0 q0 n Tính z = = X − np0 np0 q0 x − np0 np0 q0 Chọn mức ý nghĩa α Tra bảng A.3 ta giá trị tới hạn − zα / , zα / Từ đó, miền bác bỏ giả thuyết D = (−∞, − zα /2 ] ∪ [ zα /2 , +∞) Kiểm tra: z ∈ D hay z ∉ D ? Kết luận toán: Với mức ý nghĩa đó, ta chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết Ví dụ 3: Một loại thuốc an thần thường dùng tin có tác động tới 60% người sử dụng Kết thử nghiệm loại thuốc với 100 người cho thấy có 70 người nhận tác động thuốc Có thể tin hay không loại thuốc tốt loại thường dùng? Sử dụng mức ý nghĩa 0,05 Lời giải: 56 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải KIỂM ĐỊNH HAI TỶ LỆ BẰNG NHAU H : p1 = p2 H1 : p1 ≠ p2 Chỉ tiêu kiểm định: Z = Trong pˆ = Suy z = Pˆ1 − Pˆ2 1 1 ˆˆ +  pq  n1 n2  x1 + x2 , qˆ = − pˆ n1 + n2 pˆ1 − pˆ 1 1 ˆˆ +  pq  n1 n2  Mức ý nghĩa α Tra bảng A.3 ta giá trị tới hạn − zα / , zα / Từ đó, miền bác bỏ giả thuyết D = (−∞, − zα /2 ] ∪ [ zα /2 , +∞) Kiểm tra: z ∈ D hay z ∉ D ? Kết luận toán: Với mức ý nghĩa đó, ta chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết Ví dụ 4: Một bỏ phiếu đưa ta để xác định vị trí xây dựng nhà máy hóa chất thị trấn hay vị trí thị trấn Có 120 người 200 cử tri thị trấn đồng ý xây dựng thị trấn 240 500 cử tri vi đồng ý với đề xuất Liệu cho tỷ lệ cử tri thị trấn ngoại vi đồng ý với đề xuất không? Sử dụng mức ý nghĩa 0,025? Lời giải: 57 Xác Suất Thống Kê 2015 – 2016 Lê Thị Minh Hải CẤU TRÚC ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ MÔN TOÁN V ($1-$5) Hình thức thi: Tự luận - Thời gian: 50 phút – Thứ 7.CN tuần Câu (3,5 điểm) Xác suất biến cố phép toán xác suất + Tính xác suất biến cố + Tính xác suất theo quy tắc cộng, quy tắc nhân, quy tắc Bayes, xác suất có điều kiện, định lý xác suất đầy đủ Câu (3,5 điểm) Biến ngẫu nhiên số phân phối xác suất thường gặp + Tìm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc chiều thường gặp: phân phối nhị thức, phân phối siêu bội + Các ứng dụng phân phối chuẩn Câu (3 điểm) Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên + Tính trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn nêu ý nghĩa CẤU TRÚC ĐỀ THI KẾT THÚC MÔN TOÁN V ($1-$10) Hình thức thi: Tự luận - Thời gian: 60 phút Câu (2,5 điểm) Tính xác suất biến số phân phối xác suất thường gặp + Tính xác suất biến cố theo định nghĩa; phép toán xác suất biết phân phối xác suất chuẩn + Tìm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên thường gặp rời rạc liên tục Câu (2,5 điểm) Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên + Tính trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên biết phân phối xác suất + Bài toán tính giá trị trung bình đại lượng ngẫu nhiên chưa biết phân phối xác suất (phải tự xây dựng phân phối xác suất) Câu (2,5 điểm) Bài toán ước lượng + Ước lượng trung bình hiệu hai trung bình + Ước lượng tỷ lệ hiệu hai tỷ lệ trường hợp cỡ mẫu lớn Câu (2,5 điểm) Bài toán kiểm định giả thiết + Kiểm định trung bình, hiệu hai trung bình (1 phía phía) + Kiểm định tỷ lệ, hiệu hai tỷ lệ trường hợp cỡ mẫu lớn (1 phía phía) Chú ý : (a) Trường hợp mẫu có phương sai chưa biết xét trường hợp phương sai chưa biết (b) Phần đầu đề thi ghi thêm sau : Chú ý : (1) Các kết làm tròn đến chữ số thập phân (2) Chỉ mang bảng tra A3, A4 (3) Tính giá trị x , s, S xx , cần viết công thức sử dụng máy tính viết kết 58 ... 20 15 – 2016 Lê Thị Minh Hải Ví dụ 2: Trong nhà tù liên bang có 2/3 số tù nhân 25 tuổi Biết 3 /5 số tù nhân nam, 5/ 8 số tù nhân nữ 25 tuổi Chọn ngẫu nhiên tù nhân, tìm xác suất để tù nhân nữ 25. .. 0.79 75, giá trị nằm hai giá trị 0.7967 0.79 95 Bảng A.3, chọn z = 0.83, 0.79 75 gần với 0.7967 Còn với xác suất 0.7981, giá trị nằm 0.7967 0.79 95 nên lấy z = 0.8 35 27 Xác Suất Thống Kê 20 15 – 2016... cho ta bảng số liệu sau: Điểm 10 Số lượng 15 Khi điểm thi toán V trung bình lớp 3.0 + 2.1 + 1.2 + 4.3 + 8.4 + 15. 5 + 9.6 + 8.7 + 4.8 + 5. 9 + 1.10 60 15 = + + + + + + + + + + 10 60 60 60 60 60