Chuyên đề Toán ứng dụng thực tế

Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó 4 hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạch bằng x cm , rồi gấp tấm nhôm lại như hình   vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp.. Hỏi độ dà



CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TỐN ỨNG DỤNG THỰC TẾ

Đoàn Quốc Việt

Các bài toán ứng dụng liên quan đến hàm số Phạm Nhật Thi

Hoàng Quang Linh

Các bài toán ứng dụng liên quan đến mũ và logarith Bùi Đình Thiệu

6.

7.

g liên quan đến nguyên hàm tích phân Trần Thương Huyền Các bài toán ứng dụng liên quan đến hình học không gian Lương Quỳnh Thư Các bài toán ứng dụng khác

Giáo viên chủ nhiệm:Nguyễn Thị Khởi.

MỤC LỤC

MỤC LỤC - 1 -

A Đề bài _ - 2 - Phần I: Các bài toán ứng dụng liên quan đến hàm số. - 2 - Dạng 1: Một số bài toán ứng dụng đạo hàm _ - 2 - Dạng 2: Một số bài toán hình học ứng dụng min-max của hàm số. _ - 3 - Dạng 3: Một số bài toán khác ứng dụng max-min của hàm số _ - 16 - Phần II: Các bài toán ứng dụng liên quan đến mũ và logarith _ - 24 - Dạng 1: Một số bài toàn về lãi suất ngân hàng. _ - 24 - Dạng 2: Một số bài toàn về các công thức tăng trưởng và suy giảm. _ - 28 - Phần III: Các bài toán ứng dụng liên quan đến nguyên hàm, tích phân _ - 32 - Phần IV: Các bài toán ứng dụng liên quan đến hình học không gian _ - 36 - Phần V: Một số bài toán ứng dụng khác - 45 -

B Đáp án _ - 49 -

A Đề bài

Phần I: Các bài toán ứng dụng

liên quan đến hàm số

Câu 1: Một vật rơi tự do với phương trính chuyển động 1 2

Câu 4: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S t 33t29t27, trong đó t tính

bằng giây  s và S tính bằng mét  m Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc bị triệt

Câu 7: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể

từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là   2 3

45

f t  t t (kết quả khảo sát được trong tháng 8 vừa qua) Nếu xem f t là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại ngày thứ ' 

t thì tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ:

Câu 8: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được quãng đường s t  km là 

hàm phụ thuộc theo biến t (tính theo giây  s ) theo quy tắc sau:   2 3 3 1  

et 2 e t

s t    t  km Hỏi vận tốc của tên lửa sau 1s đầu tiên là bao nhiêu?

Câu 9: Một xe ô tô bắt đầu nổ máy và đi, quãng đường xe đó đi được kể từ khi nổ máy được tính bằng công thức 2  

5

s t m , trong đó t là khoảng thời gian chuyển động và được tính

bằng giây  s Hỏi đến lúc xe đi được quãng đường 80 m thì vận tốc của xe khi đó là bao

Câu 11: Một hình chữ nhật có chu vi 16 m Diện tích hình chữ nhật đó lớn nhất khi có chiều

dài x m và chiều rộng   y m Giá trị của x, y là:  

A x4 ;m y4m B x7 ;m y1m C x5 ;m y3m D x6 ;m y2m

Câu 12: Trong tất cả các hình chữ nhật cho chu vi bằng 16 cm thì hình chữ nhật có diện tích

lớn nhất bằng: (1.7)

Câu 13: Để làm một lon cà phê Birdy, người ta phải làm một lon hình trụ có thể tích thực là

200 ml bằng nhôm Giá nhôm là 70 nghìn đồng trên một mét vuông Hỏi lon cà phê có chiều

cao bao nhiêu để số tiền làm lon là ít nhất?

Câu 14: Trong tất cả các hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần là 96, thì hình hộp chữ nhật

Câu 16: Một vị khách đến yêu cầu một người thợ làm cho mình 1000 chiếc hộp (dạng hình trụ,

có nắp) với thể tích mỗi lon là 144 cm 3 Để chi phí nhôm cần dùng cho sản xuất là thấp nhất thì người thợ cần làm sản phẩm với bán kính đáy gần giá trị nào nhất sau đây?

Câu 18: Một trang chữ của cuốn sách giáo khoa cần diện tích 384 cm2 Lề

trên và dưới là 3cm Kề trái và phải là 2 cm Kích thước tối ưu của trang

có giá trị là a cm Giá trị của a gần với giá trị nào nhất dưới đây?  

Câu 21: Một thầy giáo dự định xây bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ một tấm

tôn có kích thước 1m20m (biết giá 1m2 là 90000 VNĐ) bằng 2 cách:

- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành 1 hình trụ như hình 1

- Cách 2: Chia chiều dài tấm tôn thành 4 phần bằng nhau rồi gò tấm tôn thành 1 hình hộp chữ nhật như hình 2

Biết sau khi xây xong bể theo dự định, mực nước chỉ đổ đến 0,8 m và giá nước là

VNÑ m Chi phí trong tay thầy là 2 triệu đồng Hỏi thầy giáo sẽ chọn cách nào để không vượt quá kinh phí? (Giả sử chỉ tính đến các chi phí theo dữ liệu trong bài toán)

A Cả 2 cách như nhau B Không chọn cách nào

Câu 22: Một thợ xây muốn sử dụng 1 tấm sắt có chiều dài 4 m , chiều rộng 1m để uốn thành 2

khung đúc bê tông, 1 khung hình trụ có đáy là hình vuông và 1 khung hình trụ có đáy là hình tròn Hỏi phải chia tấm sắt thành 2 phần (theo chiều dài) như thế nào để tổng thể tích 2 khung là nhỏ nhất? Chiều dài của phần ứng với khung có đáy là hình vuông, khung có đáy

Câu 23: Một công ty chuyên sản xuất container muốn thiết kế các thùng gỗ đựng hàng bên

trong dạng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy là hình vuông, có thể tích là 62, 5 m2 Hỏi các cạch hình hộp và cạch đáy là bao nhiêu để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

A Cạch bên 2, 5 m ; cạnh đáy 5 m B Cạnh bên 4 m ; cạnh đáy 5 10

Câu 24: Một hộp không nắp được làm từ một mảng bìa cứng theo

mẫu Hộp có đáy là một hính vuông cạnh x cm , chiều cao là  

 

h cm và có thể tích 500 cm3 Hãy tính độ dài cạnh của hình

vuông sao cho chiếc hộp được làm ra tốn ít nguyên liệu nhất

Câu 25: Việt có một tấm bìa hình tròn (như hình vẽ), Việt muốn biến hình tròn đó thành một

cái phễu hình nón Khi đó Việt phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và

OB lại với nhau Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phễu lớn

Câu 26: Cho một tấm nhôm hình vuông 12 cm Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó 4

hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạch bằng x cm , rồi gấp tấm nhôm lại như hình  

vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất

cơng để xây hồ là nghìn đồng m Hãy xác định kích thước của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân cơng thấp nhất Chi phí đĩ là bao nhiêu?

A 74 triệu đồng B 75 triệu đồng C 76 triệu đồng D 77 triệu đồng

Câu 28: Một sợi dây cĩ chiều dài là 6 m , được chia thành 2 phần Phần thứ nhất được uốn

thành hình tam giác đều, phần thứ hai được uốn thành hình vuơng Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất?

Câu 29: Người ta cắt một tờ giấy hình vuơng cạch 5 2 để gấp thành một hình chĩp tứ giác

đều sao cho bốn đỉnh của hính vuơng dán lại thành đỉnh của hình chĩp Tính cạch đáy của khối chĩp để thể tích của khối là lớn nhất

Câu 30: Người ta cần cắt một vật thể  H cĩ dạng hình nĩn với bán kính đáy là 2 m và chiều

cao là 3 m thành 2 phần: Phần thứ nhất  H là một khối nĩn cĩ bán kính đáy là 1 r m ; phần  

thứ hai H là một khối nĩn cụt cĩ bán kính đáy lớn là 2 m , bán kính đáy nhỏ là 2 r m Xác  

định r để cho 2 phần  H và 1 H cĩ thể tích bằng nhau 2

A r3 4m B r3 6m C r3 9m D r 316m

Câu 31: Nhà cơ Khởi cĩ một khi đất trồng rau và hoa hình

tam giác cĩ độ dài các cạnh bằng nhau và bằng 12 m Để tạo

ấn tượng cho khu đất, cơ Khởi quyết định sẽ chia nĩ thành

cĩ vùng nhỏ (như hình vẽ), trong đĩ dự định dùng phần

đất MNP để trồng hoa, các phần cịn lại sẽ để trồng rau

Hỏi x cĩ giá trị gần với giá trị nào nhất sau đây để phần

trồng hoa cĩ diện tích nhỏ nhất?

Câu 32: Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ, các nhà thiết kế luơn đặt mục tiêu sao cho chi phí

nguyên vật liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích tồn phần của hình trụ là nhỏ nhất Muốn thể tích khối trụ đĩ bằng 2 và diện tích tồn phần của lon nhỏ nhất thì bán kính đáy gần với giá trị nào nhất dưới đây?

Câu 33: Một vận động viên tập luyện một mơn thể thao bao gồm cả chạy phối hợp với bơi từ

gĩc này sang gĩc đồi diện của một hồ nước hình chữ nhật cĩ chiều dài 200 m , chiều rộng

50 m Sau khi chạy được quãng đường x thì người đó chuyển sang bơi đến đích Giá trị của x

để thời gian người ấy về đích nhanh nhất là bao nhiêu? Biết vận tốc bơi là 1, 5 m s, vận tốc chạy là 4, 5 m s

A 50 m B 100 m C 150 m D 200 m

Câu 34: Khi sản xuất vỏ lon sữa Ông Thọ hình trụ, các nhà sản xuất luôn đặt chỉ tiêu sao cho

chi phí sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất, tức là nguyên liệu (sắt tây) được dùng là ít nhất Hỏi tổng diện tích toàn phần của lon sữa là bao nhiêu, khi nhà sản xuất muốn thể tích của hộp là

tp

V

64

tp

V

Câu 35: Một người nông dân có 15 triệu đồng để làm một hàng rào hình chữ E dọc theo một

con sông (như hình vẽ) để làm một khu đát có 2 phần chữ nhật để trồng rau Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 nghìn đồng một mét, còn đối với 3 mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 nghìn đồng một mét Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được

Câu 36: (Câu chuyện “Cây khế”) Giả sử rằng người anh trong câu chuyện “Cây khế” được phép

may tối đa 2 cái túi (để xách lên 2 vai) từ một mảnh vải chọn tùy ý nhưng chỉ có diện tích là

2

9 m Hỏi người anh phải chọn vải và cách may như thế nào để xem được nhiều vàng nhất (tức là thu được thể tích lớn nhất) Biết rằng mỗi cái túi được coi như một hình hộp chữ nhật Khi đó tổng thể tích của 2 túi thu được là:

A 3 3

3 3

Câu 37: Một hộp đựng chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở

nắp như hình vẽ dưới đây Một phần tư thể tích phía trên của hộp

được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía sưới là chứa đầy

chocolate nguyên chất Với kích thước như hình vẽ, gọi xx0 là

giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, khi đó thể tích

chocolate nguyên chất có giá trị là V0 Tìm V0

rộng, chiều dài và chiều cao của hố ga Hãy xác định x y h để khi xây tiết kiệm nguyên vật , ,liệu nhất

 

 3

S cm Do yêu cầu kỹ thuật nên dòng đầu và dòng cuối phải

cách mép (lề trên và lề dưới) trang sách là a cm Lề bên trái và lề  

bên phải cũng cách mép là b cm Các kích thước của trang sách là  

bao nhiêu để cho diện tích phần in các chữ có giá trị lớn nhất?

Câu 41: Khi sản xuất hộp mì tôm, các nhà sản xuất luôn để một khoảng trống ở dưới đáy hộp

để nước chảy xuống dưới và ngấm vào vắt mì giúp cho mì chín Hình vẽ dưới đây mô tả cấu trúc của một hộp mì tôm (hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa) Vắt mì tôm có hình một khối trụ, hộp mì tôm có dạng hình nón cụt được cắt ra bởi hình nón có chiều cao 9 cm và bán

kính đáy 6 cm Nhà sản xuất đang tìm cách để sao cho vắt mì tôm có thể tích lớn nhất với

mục đích thu hút khác hàng Tìm thể tích lớn nhất đó

2 

Câu 42: Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2017, trường THPT Nam Tiền Hải có tổ chức cho

học sinh các lớp tham quan dã ngoại ngoài trời, trong số đó có lớp 12A1 Để có thể có chỗ

nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, lớp 12A1 đã dựng trên mặt đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là 12 m và chiều rộng là 6 m

bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau x m (như hình vẽ) Tìm x  

để khoảng không gian phía trong lều là lớn nhất?

Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc, dự định sẽ bò

2 vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B Quãng

đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của

mình gần với kết quả nào dưới đây

Câu 46: Nhà Thi có một chiếc bàn tròn có bán kính bằng 2 m Thi muốn mắc một bóng điện ở

phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhận được nhiều ánh sáng nhất Biết rằng

cường độ sáng C của bóng điện được biểu thị bởi công thức C c.sin2

khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách Thi cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là: (2.114)

A 1m B 1, 2 m C 1, 5 m D 2 m

Câu 47: Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là 180 m thẳng

hàng rào Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào và rào thành mảnh đất hình chữ nhật Hỏi mảnh đất hình chữ nhật được rào có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Câu 48: Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường THPT

Nam Tiền Hải phát động, bạn Thư đã nhờ bố làm một hình chóp

tứ giác đều bằng cách lấy một mảnh tôn hình vuông ABCD có

cạnh bằng a, cắt mảnh tôn theo các tam giác cân

AEB BFC CGD DHA ; sau đó dò các tam giác

AEH BEF CFG DGH sao cho 4 đỉnh A B C D trùng nhau , , ,

(như hình vẽ) Thể tích lớn nhất của khối tứ diện đều tạo được là:

a

Câu 49: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 cm Người ta

muốn cắt một hình thang từ tầm nhôm đó (như hình vẽ) Tìm

tổng x y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 51: Người ta muốn sơn một cái hộp không nắp, đáy hộp là hình vuông và hộp có thể tích

là 4? Tìm kích thước của hộp để dùng lượng nước sơn tiết kiệm nhất (Giả sử độ dày của lớp sơn tại mọi nơi trên hộp là như nhau)

A Cạnh ở đáy là 2, chiều cao của hộp là 1

B Cạnh ở đáy là 2 , chiều cao của hộp là 2

C Cạnh ở đáy là 2 2 , chiều cao của hộp là 0,5

D Cạnh ở đáy là 1, chiều cao của hộp là 2

Câu 52: Một công ty mĩ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc

Trai với thiết kế là một khối cầu như viên ngọc trai khổng lồ, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng (như hình vẽ) Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính R3 3cm Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bia hộp là lớn nhất (với mục đích thu hút khác hàng)

A 54 cm 3 B 18 cm 3 C 108 cm 3 D 45 cm 3

Câu 53: Một ngôi nhà có nền dạng tam giác đều ABC cạnh dài 10 m được đặt song song và

cách đất h m Nhà có 3 trụ tại   A B C vuông góc với , , ABC Trên trụ tại A người ta lấy 2 

điểm M N sao cho , AMx AN, y và góc giữa MBC và  NBC bằng  90 để làm mái và phần chứa đồ bên dưới Xác định chiều cao thấp nhất của ngôi nhà

Câu 54: Một nhà văn viết ra một tác phẩm viễn tưởng về người tí hon: Tại một ngôi làng có 3

người tí hon sống ở một vùng đất phẳng Ba người phải chọn ra vị trí để đào giếng nước sao cho tổng quãng đường đi là ngắn nhất Biết ba người nằm ở ba vị trí tạo thành tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông là 3 km và 4 km và vị trí đào giếng nằm trên mặt phẳng đó Hỏi

tổng quãng đường ngắn nhất là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

A 7 km B 6, 50 km C 6,77 km D 6, 34 km

Câu 55: Trong lĩnh vực thủy lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng “thủy động

học” (ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S; l là độ dài đường biên giới hạn của

tiết diện này, đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương được gọi là có dạng

“thủy động học” nếu với S xác định, l là nhỏ nhất) Cần xác định các kích thước của mương

dẫn nước như thế nào để có dạng “thủy động học”? (Giả sử mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật)

Câu 56: Cần phải làm cái cửa sổ mà phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới

là hình chữ nhật Cửa sổ có chu vi là a m Hãy xác định các kích thước  

của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất

Câu 57: Người ta muốn làm một cánh diều hình quạt sao cho với chu vi

cho trước là a, cánh diều có diện tích lớn nhất Cánh diều có dạng hình

quạt, hãy xác định các kích thước của diều hình khi đó

Câu 58: Có một tấm gỗ hình vuông cạnh 200 cm Cắt một miếng gỗ có hình tam giác vuông, có

tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số là 120 cm từ tấm gỗ trên sao cho

tấm gỗ hình tam giác vuông có diện tích lớn nhất Hỏi cạch huyền của miếng gỗ này là bao nhiêu?

A 40 cm B 40 3 cm C 80 cm D 40 2 cm

Câu 59: Người ta phải cưa một thân cây hình trụ có đường kính 1m , chiều dài 8 m để được

một cây xà có dạng khối chữ nhật (như hình vẽ) Hỏi thể tích cực đại của khối gỗ sau khi cưa xong là bao nhiêu?

A 2 m3 B 4 m3 C 2 2 m 3 D 8 m3

Câu 60: Với một đĩa tròn bằng thép tráng có bán kính R 6m phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình nón Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại?

A 66 B 294 C 12,56 D 2,8

Câu 61: Nhân ngày phụ nữ Việt Nam 20-10, ông Công quyết định mua tặng vợ một món quà

và đặt nó vào trong một chiếc hộp có thể tích là 32 dm3, có đáy là hình vuông và không có nắp Để món quà trở nên thật đặc biệt và xứng đáng với giá trị của nó, ông quyết định mạ vàng cho chiếc hộp, biết rằng độ dày lớp mạ tại mọi điểm trên hộp là như nhau Gọi chiều

cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là h, x Để lượng vàng trên hộp là nhỏ nhất thì giá trị của h, x là bao nhiêu?

2

32

r



8 6 2

32

r



8 4 2

32

r



6 6 2

32

r



Câu 64: Một bạn học sinh cắt lấy tờ giấy hình tròn có bán kính 24,8 cm , rồi cắt một phần giấy

có dạng hình quạt từ hình tròn đó Sau đó bạn ấy lấy phần giấy đó làm thành nón chú hề

(như hình vẽ) Gọi x là chiều dài dây cung tròn của phần giấy được xếp thành cái nón chú hề,

h và r lần lượt là chiều cao và bán kính của cái nón Tính chu vi hình tròn đáy của cái nón để

thể tích của cái nón là lớn nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

A 107, 42 cm B 127, 23 cm C 197, 33 cm D 165, 21cm

Câu 65: Công ty mỹ phẩm Oriflame vừa cho ra mắt sản phẩm mới là lọ nước hoa cao cấp với

thiết kế vỏ hộp dạng hình nón Đựng bên trong là lọ nước hoa dạng hình trụ (như hình vẽ)

có bán kính đáy và chiều cao lần lượt là r và HH1 (đều cùng đơn vị centimet  cm ) Tính

Câu 66: Để làm một cái hộp đựng bánh sinh nhật, bạn Thiệu đã cắt mảnh bìa carton phẳng và

cứng với kích thước như hình vẽ Sau đó bạn ấy gấp theo đường nét đứt thành cái hộp hình

hộp chữ nhật Hộp có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao h và có thể tích là 6545 cm3 Tổng

a h xấp xỉ bằng bao nhiêu để diện tích mảnh bìa cứng đã cắt là nhỏ nhất

Câu 67: Một đèn trang trí có dạng hình nón, có thể tích là V1; ở trong là

bóng đèn dạng hình cầu, có thể tích là V2, bán kính là r1, nội tiếp hình

nón (như hình vẽ) Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao

Câu 68: Quả bóng rổ được sử dụng tại giải bóng rổ nhà nghề Mỹ NBA

đạt theo tiêu chuẩn quốc tế có dạng hình cầu với bán kính

12,09

R cm (như hình vẽ) Người ra muốn tạo ra các túi dạng hình

hộp đựng có nắp bằng bìa (cứng và nhẵn) để đựng được 12 quả bóng

rổ nói trên Nếu chưa cần tính các mép dán thì diện tích bìa ít nhất để

tạo một túi như thế là bao nhiêu?

hộp chữ nhậ có chiều dài, chiều rộng, chiều cao lần lượt là a, b, c Hỏi người thợ phải thiết kế các kích thước a, b, c bằng bao nhiêu để tiết kiệm kính nhất? (Giả sử độ dày của kính không

Câu 70: Bác Công muốn rào quanh một khu đất hình chữ nhật trong vườn nhà mình để nuôi

gà, bác đã dùng loại lưới rào mạ kẽm có chiều dài là 72 m để rào hết khu đất đó Ở đó, bác

Công tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào Vậy bác phải rào khu đất

có kích thước như thế nào để khi rào xong khu đất ấy theo hình chữ nhật có diện tích lớn nhất?

A Chiều dài 36 m , chiều rộng 18 m

B Chiều dài 32 m , chiều rộng 20 m

C Chiều dài 42 m , chiều rộng 15 m

D Chiều dài 30 m , chiều rộng 31m

Câu 71: Một trường đại học thiết kế sân tập thể thao dạng hình

chữ nhật ABCD có diện tích 900 cm2 và được mở rộng thêm 2

phần đất có dạng nửa hình tròn tâm O1 trung điểm AB và

tâm O2 trung điểm AD (như hình vẽ) Tính diện tích nhỏ nhất

(có thể đạt được) của phần đất được mở rộng và khi đó sân có

bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào Hỏi để diện tích khu đất lớn nhất bằng 1800 m2

thì bắc ấy phải tốn bao nhiêu tiền để mua lưới, biết 1m lưới loại 1 5m giá 38000 đồng?

nhật ABCD có tâm O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD (như hình vẽ) Tính diện tích nhỏ

nhất (có thể đạt được) của 4 phần đất được mở rộng

Câu 74: Cho tấm kim loại có các kích thước như hình vẽ Người thợ lấy tấm kim loại đó gấp

và hàn theo đường đã chia thành cái tủ đựng quần áo dạng hình hộp đứng có đáy là hình

chữ nhật Gọi a, b, c lần lượt là chiều cao, chiều dài và chiều rộng của cái tủ Các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm cái tủ là ít nhất, khi đó các kích thước a, b,

c bằng bao nhiêu? Biết thể tích yêu cầu của cái tủ bằng 4,913 m3 và b  1,7; 3,6

Câu 76: Một chất điểm chuyển động theo quy luật 1 4 3 2 2 100

  (xe/giây), trong đó v km h là vận tốc trung bình của các xe khi  

vào đường hầm Tính lưu lượng xe lớn nhất Kết quả thu được gần nhất với giá trị nào sau đây?

Câu 78: Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) để vượt khoảng cách 300 km (tới nơi

sinh sản) Vận tốc dòng nước là 6 km h Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là

 

v km h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được tính bởi công thức E v cv t3 ,

trong đó c là hằng số cho trước, E tính bằng jun  J Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để

năng lượng của cá tiêu hao ít nhất bằng:

Câu 79: Một siêu thị bán nhập 2500 cái tivi mỗi năm Chi phí gửi kho là 10 USD/cái trong 1

năm Để đặt hàng từ nhà sản xuất, chi phí cố định là 20 USD, cộng thêm 9 USD mỗi cái Siêu

thị nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất

Câu 80: Một nhà đầu tư bất động sản ước tính rằng nếu 60 biệt thự được xây dựng trong một

diện tích thì lợi nhuận trung bình sẽ là 47500 USD/biệt thự Cứ mỗi biệt thự được xây thêm vào trên cùng diện tích đo thì lợi nhuận trung bình sẽ giảm 500 USD/biệt thự Nhà đầu tư nên

xây dựng bao nhiêu biệt thự để tổng lợi nhuận lớn nhất?

A 77 biệt thự B 60 biệt thự C 67 biệt thự D 80 biệt thự

Câu 81: Hàng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều Độ sâu h của mực

nước trong kênh tính theo thời gian t trong một ngày được xác định bởi công thức

Câu 82: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị

diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau 1 vụ có khối lượng

  480 20  

P n   n gam Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau 1 vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

Câu 83: Một vận động viên đẩy tạ theo quỹ đạo là một đường parabol có phương trình

2 2 4

y x  x Vị trí của quả tạ đang di chuyển xem như là một điểm trong không gian

Oxy Khi đó, vị trí cao nhất của quả tạ là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?

A z 1 3i B z 5 i C z 1 5i D z 3 i

Câu 84: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách đến bờ biển AB5km.Trên bờ biển

có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7 km Người cánh hải đăng có thể chèo đò từ A đến M trên bờ biển với vận tốc 4 km h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6 km h Vị trí của điểm M cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất?

A 0 km B 7 km C 2 5 km D 14 5 5



Câu 85: Một giáo viên đang đau đầu về việc lương thấp và phân vân xem có nên tạm dừng

niềm đam mê với con chữ để chuyển hẳn sang kinh doanh đồ uống trà sữa hay không Ước tính nếu giá 1 ly trà sữa là 20 nghìn đồng thì trung bình hàng tháng có khoảng 1000 lượt khách tới uống nước tại quán, trung bình mỗi khách lại trả thêm 10 nghìn đồng tiền bánh tráng trộn để ăn kèm Nay người giáo viên muốn tăng thêm mỗi lý trà sữa 5 nghìn đồng thì

sẽ giảm đi khoảng 100 khách trong tổng số trung bình Hỏi giá 1 lý trà sẽ nên thay đổi như thế nào để tổng thu nhập là nhiều nhất (giả sử tổng thu chưa trừ vốn)

A Tăng 10 nghìn đồng B Tăng 5 nghìn đồng

C Giữ nguyên không tăng giá D Tăng thêm 2,5 nghìn đồng

Câu 86: Một chủ hộ kinh doanh có 50 phòng trọ cho thuê Biết rằng nêu giá cho thuê mỗi

tháng của 1 phòng trọ là 2 triệu đồng thì không có phòng trống Nếu cứ tăng giá mỗi phòng

trọ thêm 50 nghìn đồng/tháng thì sẽ có thêm 2 phòng bị bỏ trống Hỏi chủ hộ kinh doanh sẽ

cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất?

A 2,2 triệu đồng B 2,25 triệu đồng C 2,3 triệu đồng D 2,5 triệu đồng

Câu 87: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm Chi phí gởi trong kho là 10$ một cái

mỗi năm Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho

là nhỏ nhất?

A Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái ti vi B Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 120 cái ti vi

C Đặt hàng 22 lần, mỗi lần 110 cái ti vi D Đặt hàng 30 lần, mỗi lần 80 cái ti vi

Câu 88: Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một

điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo Hòn

đảo cách bờ biển 6 km Giá để xây đường ống trên bờ là

50000USD mỗi km, và 130000USD mỗi km để xây dưới

nước B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ

biển Khoảng cách từ A đến B’ là 9 km Vị trí C trên đoạn

AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất Khi

đó C cách A một đoạn bằng:

Câu 89: Trong bài thực hành của môn huấn luyện quân sự có tình huống chiến sĩ phải bơi qua

một con sông để tấn công một mục tiêu ở phía bờ bên kia sông Biết rằng lòng sông rộng

100 m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một nửa vận tốc chạy trên bộ Bạn hãy cho biết chiến

sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất, nếu như dòng sông là thẳng, mục tiêu ở cách chiến sĩ 1km theo đường chim bay

Câu 90: Đường cao tốc mới xây nối 2 thành phố A và B, hai thành phố này muốn xây một trạm

thu phí và trạm xăng ở trên đường cao tốc (như hình vẽ) Để tiết kiệm chi phí đi lại, hai thành phố quyết định tính toán xem xây trạm thu phí ở vị trí nào để tổng khoảng cách từ 2

trung tâm thành phố đến trạm là ngắn nhất, biết khoảng cách từ trung tâm thành phố A và B

đến đường cao tốc lần lượt là 60 km và 40 km ; khoảng cách giữa 2 trung tâm thành phố là

120 km (được tính theo khoảng cách hình chiếu vuông góc của 2 trung tâm thành phô lên

đường cao tốc) Tìm vị trí của trạm thu phí và trạm xăng? (Giả sử chiều rộng của trạm thu phí không đáng kể)

A 72 km kể từ P B 42 km kể từ Q C 48 km kể từ P D tại P

Câu 91: Một máy tính được lập trình để vẽ một chuỗi các hình chữ nhật ở góc phần tư thứ

nhất của trục tọa độ Oxy , nội tiếp dưới đường cong y ex

 Hỏi diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có thể được vẽ bằng cách lập trình trên là bao nhiêu?

Câu 92: Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên

truyền hình mỗi ngày Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau x quảng cáo được phát

thì số % người xem mua sản phẩm là   1000.015 , 0

Câu 93: Một con đường được xây dựng giữa 2 thành phố A và B Hai thành phố này bị ngăn

cách một con sông có chiều rộng r Người ta cần xây 1 cây cầu bắt qua sông Biết rằng A cách con sông một khoảng bằng a, B cách con sông một khoảng bằng b ( a b ) Hãy xác định vị trí

Câu 95: Trên sân bay một máy bay cất cánh trên đường băng d (từ trái sang phải) và bắt đầu

rời mặt đất tại điểm O Gọi  P là mặt phẳng vuông góc với mặt đất và cắt mặt đất theo giao

tuyến là đường băng d của máy bay Dọc theo đường băng d cách vị trí máy bay cất cánh O

một khoảng 300 m về phía bên phải có 1 người quan sát A Biết máy bay chuyền động trong

mặt phẳng  P và độ cao y của máy bay xác định bởi phương trình yx2 (với x là độ dời của máy bay dọc theo đường thẳng d và tính từ O, x tính bằng mét  m ) Khoảng cách ngắn

nhất từ người A (đứng cố định) đến máy bay là:

A 300 m B 100 5 m C 200 m D 100 3 m

Câu 96: Một người có một dải ruy băng dài 130 cm , người đó cần bọc

dải ruy băng đó quanh một hộp quà hình trụ Khi bọc quà, người này

dùng 10 cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ)

Hỏi dải dây duy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là

bao nhiêu?

Câu 97: Một công ty X nhận 1 đơn hàng cần giao 2 sản phẩm X X1, 2 Để sản xuất sản phẩm X1

cần 20 đơn vị nguyên liệu và mất 5 giờ gia công Để sản xuất sản phẩm X2 cần 40 đơn vị nguyên liệu và mất 2 giờ gia công Giá bán của sản phẩm X X1, 2 lầ lượt là 100$ và 60$ Biết

trong kho công ty X có 400 đơn vị nguyên liệu và có 40 giờ để sản xuất trước khi giao hàng

Hỏi công ty đó cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm X1 và bao nhiêu sản phẩm X2 để thu được lợi nhuận cao nhất?

A 7 sản phẩm X1 và 2 sản phẩm X2 B 6 sản phẩm X1 và 5 sản phẩm X2

C 5 sản phẩm X1 và 7 sản phẩm X2 D 6 sản phẩm X1 và 6 sản phẩm X2

Câu 98: Trong một cuộc thi toán học, Ban tổ chức công bố giải thưởng như sau:

GIẢI NHẤT Được nhận: n n 10 $3(Với n tùy chọn, n,n1)

Nếu bạn được giải Nhất, bạn sẽ chọn n bằng bao nhiêu để số tiền bạn có được là lớn nhất?

Câu 99: Sau những ngày mưa lớn, Thành phố Hồ Chí Minh thường xuyên bị ngập nước Mực

nước ngập trung bình tại một vị trí bất kì (nếu có) được tính theo hàm số

4 3 2

y  x  x  x  x , với x là khoảng cách tình từ cổng trường Đại học Y Dược

Tp Hồ Chí Minh đến điểm đó (tính theo đơn vị kilomet km ) Nhà bạn Thư ở nơi có mực 

nước ngập cao nhất thành phố, mỗi ngày bạn Thư đến trường bằng cách đi bộ với vận tốc

m phuùt Hỏi bạn Thư phải bắt đầu đi học muộn nhất từ mấy giờ để đến trường trước 7 giờ?

C 7 giờ kém 20 phút D 7 giờ kém 14 phút

Câu 100: Giả sử rằng ở rãnh Mariana ở Tây Bắc Thái Bình Dương (nơi sâu nhất của đại dương),

nồng độ muối trong nước biến C mol l là hàm phụ thuộc vào độ sâu   s km có phương  

2

e

0,11

s    km C s0 1,182mol l D Không tồn tại s0

Câu 101: Theo kết quả của một trung tâm nghiên cứu về mức độ sa mạc hóa của hoang mạc

Sahara cho biết mức độ sa mạc hóa của hoang mạc là một hàm phụ thuộc theo nhiệt độ môi

Câu 102: Người ta thí nghiệm đo sự phân bố của 1 loại tảo có hại cho cá trong 1 hồ rộng và

nhận thấy sự phân bố của loại tảo này là một hàm f h theo độ sâu tính từ mặt nước, tức là  

Câu 103: Hai con chuồn chuồn bay trên 2 quỹ đạo khác nhau tại cùng một thời điểm Một con

bay trên quỹ đạo đường thẳng từ điểm A0; 0 đến điểm B0;100 với vận tốc 5 m s Con còn lại bay trên quỹ đạo đường thẳng từ C60; 80 về A với vận tốc 10 m s Hỏi trong quá trình bay thì khoảng cách ngắn nhất mà 2 con cách nhau là bao nhiêu?

A 20 m B 50 m C 20 10 m D 20 5 m

Câu 104: Đường dây điện 110 KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong

đất liền ra Côn Đảo (điểm C) Biết khoảng cách ngắn nhất từ C

đến B là 60 km , khoảng cách từ A đến B là 100 km ; mỗi km dây

điện dưới nước chi phí là 5000USD , chi phí cho mỗi km dây điện

trên bờ là 3000USD Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây

điện từ A đến G rồi từ G đến C có chi phí ít nhất (5.3)

Câu 105: Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại Hiện nay,

doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe Honda Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 triệu đồng và bán với giá 31 triệu đồng Với giá bán này thì số lượng xe

mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thự hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất?

A 30,5 triệu đồng B 30 triệu đồng C 29,5 triệu đồng D 29 triệu đồng

Câu 106: Giả sử rằng mối quan hệ giữa nhu cầu thị trường và sản lượng gạo của một doanh

nghiệp X được cho theo hàm 656 1

2

D

Q   P, trong đó Q D là lượng gạo thị trường cần và O là

giá bán cho một tấn gạo Lại biết chi phí cho việc sản xuất được cho theo hàm

  3 2

C Q Q  Q  Q , trong đó C là chi phí doanh nghiệp X bỏ ra, Q (được tính

theo tấn) là lượng gạo sản xuất được trong một đơn vị thời gian Để đạt lợi nhuận cao nhất

thì doanh nghiệp X cần sản xuất lượng gạo gần với giá trị nào nhất?

Câu 107: Cho 2 vị trí A, B cách nhau 615 m , cùng nằm về một phía bờ sông (như hình vẽ) Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118 m và 487 m Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước rồi mang về B Đoạn đường ngắn nhất mà người đó phải đi là:

A 569, 5 m B 671, 4 m C 779,8 m D 741, 2 m

Câu 108: Chi phí về nhiên liệu của một con tàu được chia làm 2 phần Trong đó, phần thứ nhất

không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 nghìn đồng/giờ; phần thứ hai tỷ lệ thuận với lập

phương của vận tốc, khi v10km h thì phần thứ hai bằng 30 nghìn đồng/giờ Hãy xác định

vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1km đường là nhỏ nhất?