ĐỀ THI lập đội TUYỂN HSG QUỐC GIA môn TOÁN 2015 2016

ĐỀ THI lập đội TUYỂN HSG QUỐC GIA môn TOÁN 2015 2016 ĐỀ THI lập đội TUYỂN HSG QUỐC GIA môn TOÁN 2015 2016 ĐỀ THI lập đội TUYỂN HSG QUỐC GIA môn TOÁN 2015 2016 ĐỀ THI lập đội TUYỂN HSG QUỐC GIA môn TOÁN 2015 2016 ĐỀ THI lập đội TUYỂN HSG QUỐC GIA môn TOÁN 2015 2016ĐỀ THI lập đội TUYỂN HSG QUỐC GIA môn TOÁN 2015 2016 ĐỀ THI lập đội TUYỂN HSG QUỐC GIA môn TOÁN 2015 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN: TOÁN (Thời gian: 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 22/10/2014 ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM (gồm trang) A ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM Câu Đáp án Giải phương trình: x  15 x  45 x  27  1 Đặt x  3t , thay vào phương trình ta 288 3t  360 3t  90 3t  27   16t  20t  5t    16t  20t  5t  cos Đặt t  cos  Ta có 16cos 5  20cos 3  5cos  cos Do cos5  16cos   20cos   5cos k 2     x  3cos    , k {0,1,2,3,4}   5.6 Do phương trình 1 có tối đa nghiệm nên phương trình 1 có Nên ta cos5  cos   k 2    nghiệm là: x  3cos    , k {0,1, 2,3,4}   5.6 Tìm hàm f(x) liên tục  thỏa mãn: f  x   f  x   x, x   x x Ta có f  3x   f  x   x, x    f  x   f    , x   1 3 Đặt g  x   x   x Xét dãy số  xn  với   xn 1  g  xn  Điểm 1 1 x1   x2  g  x1     x  g x  x2 x  2 Ta có  suy xn  n11 nên lim xn  3 n   xn 1   xn  g  xn 1   Do hàm f  x  liên tục  nên lim f  xn   f    n Lần lượt thay x x1 ; x2 ; ; xn vào 1 ta   x1  x1 x1  3 f  x1   f    3 f  x1   f  x2         x2  x2 3 f x  f x  x1 f x  f   3   2   2  3         x    xn 1  xn 1 f  xn 1   f  xn   n11  3 f  xn 1   f        x1   f  x1   f  x2   32   f x  f x  x1  3   2  3   x1   f  xn 1   f  xn   3n n 1 2n2      1 1 Suy f  x1     f  xn   x1           3 3      1   3 n 1 1 1   3 f  xn   1 2n2 1 x1    3 n 1 1 1   3 f  xn   n x1 Lấy giới hạn vế f  x  hàm số liên tục nên ta được: f  x1   x1 x  f  x  8 x Thử lại : f  x   hàm liên tục  3x x x 9x thỏa mãn điều kiện toán f  3x    ; f  x   x   x  8 8 Cho tam giác ABC, M điểm tam giác Gọi khoảng cách từ M đến cạnh BC, AC, AB d a ; db ; dc , khoảng cách từ M 1 đến đỉnh A, B, C x; y; z Chứng minh rằng: x yz 2 d a  db  d c Gọi độ dài cạnh a; b; c Kẻ BH  MA, CK  MA , gọi D giao AM BC , suy BH  CK  BC Có 2SMAB  c.d c  BH x; 2S MAC  b.db  CK x Do BH  CK  BC  x  BH  CK   x.BC  xa  bdb  cd c 1 Gọi M’ đối xứng với M qua phân giác góc A, M’A=MA=x khoảng cách từ M’ đến AB khoảng cách từ M đến AC db Áp dụng 1 cho điểm M’ ta xa  bdc  cdb  x  d c  db b a c a a c a b b b c c b c a c b a Suy x  y  z  d a     db     dc     2d a  2db  2dc c b c a a c x yz  2 d a  db  dc Tương tự ta có y  d c  d a ; z  db  d a Dấu xảy tam giác ABC M tâm tam giác 1    x  y  z   15  1  Giải hệ phương trình  x  y  z  xyz     22   10 y  z   3  3x Điều kiện: x  0; y  0; z  2x  y Từ   suy z  ;2 xy   xy  Khi x  y  z  x  y  2x  y 11    2x  y   x  y   xy  2x  x   xy  x  11 xy   x   11 x   x    x   4 2x 2x x  xy   2x x 2 xy   x    x2  Đẳng thức xảy   y 2x x  xy   2x Mặt khác x 7  x  9  7 3x    5 x 1 11  3x   15 Do x  y  z  x      x      , đẳng thức 2x x   x 2 xảy x  Từ 1 ;   suy dấu xảy nên suy x  3; y  ; z  2 Thử lại thấy thỏa mãn  3 nên x  3; y  ; z  nghiệm hệ Đẳng thức xảy 1 1 B HƯỚNG DẪN CHẤM 1/ Điểm làm theo thang điểm 20, tổng điểm thành phần không làm tròn số 2/ Nếu thí sinh làm cách khác cho điểm tối đa phần Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN: TOÁN (Thời gian: 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 23/10/2014 ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM (gồm trang) A ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM Câu Đáp án Cho tập hợp    x1; x2 ; x3  | xi  , i  1,2,3 Với x   x1; x2 ; x3  ; y   y1; y2 ; y3  thuộc  ta xác định d1  x, y    y  x  i i d  x, y   Max yi  xi i 1 Điểm i 1,2,3 d3  x, y    yi  xi i 1 Chứng minh tồn số thực dương  ,  ,  cho d1  x, y    d  x, y    d3  x, y    d1  x, y   y  x 2  Max  y  x 2 i i i 1,2,3  1  2 Ta có  y2  x2   Max  yi  xi   i 1,2,3   y3  x3 2  Max  yi  xi 2 i 1,2,3   y  x  i i 1 i i 1,2,3 i 1,2,3 Mặt khác  i 1 i  Max  yi  xi  i 1,2,3  i 1 yi  xi  d  x, y   d  x, y   yi  xi  y1  x1  y2  x2  y3  x3   1      i 1 i  Max yi  xi  d1  x, y   3d  x, y 1 Dễ thấy Max yi  xi   y  x    yi  xi  i 1    3d1  x, y   d3  x, y   3d1  x, y  3  Từ 1 ,   ,  3 ta có d1  x, y   3d  x, y   3d3  x, y   3d3  x, y  Vậy   3,   3,   suy điều phải chứng minh  x1  2015  xn Cho dãy số thực  xn  xác định  Tìm xn1   , n  *  xn2   1 1 lim xn n Dễ thấy xn  3, n  * xn 1   xn   1 x 1 n Xét hàm số f  x    f ' x    f ' x    1 x 1  x 1 Xét phương trình ,x  f  x  x    x x2    3 x2   ,x 3;     x   2, n  nên dãy  xn  bị chặn x 1 n  1     x x  15  xo  3;  2 xn1  xo  f  xn   f  xo  x   3;  2 ,x 3;     3;  1      f '  c  xn  xo  xn  xo      x1  xo  n   2 2    15 Vậy lim xn  xo  n Cho tứ diện ABCD , M điểm nằm phía tứ diện Gọi M 1; M ; M ; M hình chiếu vuông góc M mặt phẳng ( BCD );(CDA);( DAB);( ABC )      Chứng minh rằng: MM  MM  MM  MM  MG Qua M dựng mp song song với mặt ( BCD );(CDA);( DAB);( ABC ) Các mặt phẳng cắt (BCD) theo giao giao tuyến N1 N , N N , N N1 song song BC, CD, DB nên tam giác N1 N N Tương tự tam giác PP P3 ,Q1 Q2Q3 , K1 K K tam giác 1  1 n Các tứ diện MN1 N N , MP1P2 P3 , MQ1 Q2Q3 , M K1K K tứ diện Do M 1; M ; M ; M tâm tam giác N1 N N , PP P3 ,Q1 Q2Q3 , K1 K K       MM  MN1  MN  MN       MM  MP  MP  MP 2  Nên ta có:       MM  MQ  MQ  MQ 3        MM  MK1  MK  MK 3       MM  MM  MM  MM         MN1  MQ3  MK  MN  MK  MP1   3         MN3  MP2  MQ2  MP3  MQ1  MK1   3   MG      Vậy MM  MM  MM  MM  MG Tìm số tự nhiên a1; a2 ; a3 ;; an thỏa mãn a1  a2  a3    an  2015 cho biểu thức P  a1.a2 a3  an lớn Ta chứng tỏ số a1; a2 ; a3 ;; an cần tìm số                 Thật vậy: giả sử tồn số 1, chẳng hạn a1  , số lại phải có số a j  , ta giả sử a2  , ngược lại dễ thấy điều vô lý Khi ta thay a1 số a2 a2   2   a2  1  a3    an  2015   a2  2  a2  1 a3  an  1a2 a3  an Vi phạm P  a1.a2 a3  an lớn Ta chứng tỏ số a1; a2 ; a3 ;; an số lớn Thật giả sử a1  Khi ta thay a1    a1   1 a1  a2    an    a1    a2    an  2015   a1   a1  a  a  a  a a a  a    n n Mâu thuẫn với P  a1.a2 a3  an lớn Suy n số tự nhiên cần tìm a1; a2 ; a3 ;; an nhận giá trị 2, 3, Tuy nhiên 4=2.2 4=2+2 nên thay số hai số Trong n số có nhiều hai số giả sử có số 2     3   2.2.2   3.3   Tức thay ba số thành hai số để có tích lớn Lại có 2015=3.671+2 Từ suy có 672 số a1; a2 ; a3 ;; a672 có 671 số số tích 3671.2 đạt giá trị lớn B HƯỚNG DẪN CHẤM 1/ Điểm làm theo thang điểm 20, tổng điểm thành phần không làm tròn số 2/ Nếu thí sinh làm cách khác cho điểm tối đa phần Hết ... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN: TOÁN (Thời gian: 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 22/10/2014 ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN: TOÁN (Thời gian: 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 23/10/2014 ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG... MG Qua M dựng mp song song với mặt ( BCD );(CDA);( DAB);( ABC ) Các mặt phẳng cắt (BCD) theo giao giao tuyến N1 N , N N , N N1 song song BC, CD, DB nên tam giác N1 N N Tương tự tam giác PP P3