CHƯƠNG VI: QUÁ TRÌNH POISSON

Chương 6: Quá trình Poisson CHƯƠNG VI: QUÁ TRÌNH POISSON GIỚI THIỆU Quá trình Poisson dạng đặc biệt trình Markov với thời gian liên tục Quá trình Poisson X (t ) mô tả trình đếm số lần xuất biến cố A thời điểm t Quá trình Poisson ứng dụng nhiều viễn thông, liên quan đến toán truyền tín hiệu, hệ phục vụ, toán chuyển mạch Nếu số gọi đến tổng đài trình Poisson, gọi chiếm dụng thiết bị khoảng thời gian đó, giả sử khoảng thời gian biến ngẫu nhiên độc lập phân bố, tổng số gọi trình Poisson phức hợp Quá trình Poisson X (t ) mô tả trình đếm số lần xuất biến cố A thời điểm t Giả sử biến cố A phân thành loại A1, A2 thời điểm việc xuất biến cố A1 A2 độc lập nhau, ta có trình Poisson có phân loại Quá trình Poisson phức hợp trình Poisson phân loại giúp ta tính sản lượng trung bình khai thác dịch vụ viễn thông Trong chương khảo sát vấn đề sau: • Quá trình đếm, trình điểm • Quá trình Poisson • Các phân bố liên quan đến trình điểm Poisson: thời điểm đến thứ n (hay thời gian chờ) khoảng thời gian hai lần đến liên tiếp thứ n • Quá trình Poissson có phân loại • Quá trình Poisson phức hợp Quá trình Poisson sở quan trọng để khảo sát trình hàng nghiên cứu chương Để học tốt chương học viên phải nắm kiến thức có lý thuyết xác suất 6.1 KHÁI NIỆM QUÁ TRÌNH POISSON 6.1.1 Quá trình đếm Quá trình đếm thường gặp thực tế Giả sử A biến cố Ký hiệu X (t ) , t > số lần biến cố A xuất khoảng thời gian từ đến t Khi {X (t ), t > 0} gọi trình đếm Chẳng hạn ta có ví dụ sau trình đếm: ƒ A biến cố khách vào điểm phục vụ Khi X (t ) số khách vào điểm phục vụ tính đến thời điểm t 157 Chương 6: Quá trình Poisson ƒ A biến cố có gọi đến tổng đài Khi X (t ) số gọi đến tổng đài tính đến thời điểm t Quá trình đếm {X (t ); t ≥ 0} có tính chất đặc trưng sau: X (0) = ; (6.1) X (t ) nhận giá trị số tự nhiên; (6.2) X ( s ) ≤ X (t ), ≤ s ≤ t (6.3) 6.1.2 Quá trình Poisson Định nghĩa 6.1: Ta nói trình {X (t ); t ≥ 0} trình Poisson với cường độ λ (hoặc tham số λ ) nếu: i) X (0) = ; ii) X (t ) nhận giá trị số tự nhiên; iii) {X (t ); t ≥ 0} trình có gia số độc lập, tức là, với = t < t1 < t < < t n gia số X (t1 ) − X (t ) , X (t ) − X (t1 ) , , X (t n ) − X (t n −1 ) biến ngẫu nhiên độc lập iv) Mỗi gia số X ( s + t ) − X ( s ) có phân bố Poisson với tham số λ t với s ≥ 0, t > Định lý 6.1: Nếu trình đếm {X (t ); t ≥ 0} thỏa mãn điều kiện sau: Có gia số độc lập, tức ∀m = 2, 3, với = t < t1 < < t m gia số X (t1 ) − X (t ) , X (t ) − X (t1 ) , , X (t n ) − X (t n−1 ) biến ngẫu nhiên độc lập, Có gia số dừng, tức với s > ∀0 ≤ t1 < t gia số X (t2 ) − X (t1 ) X (t2 + s ) − X (t1 + s ) có phân bố xác suất Như luật phân bố phụ thuộc vào khoảng thời gian không phụ thuộc thời điểm Xác suất xuất biến cố A gần đều; tức tồn λ > (tốc độ xuất biến cố A ) cho với h > bé P { X (h) = 1} = λ h + o(h) (6.4) P { X (h) ≥ 2} = o( h) , (6.5) Với h > bé thì {X (t ); t ≥ 0} trình Poisson tham số λ Ngược lại, trình Poisson trình đếm thỏa mãn điều kiện 158 Chương 6: Quá trình Poisson Chứng minh: Điều kiện i), ii) định nghĩa trình Poisson suy từ tính chất trình đếm Từ 1) ta suy điều kiện iii) Theo 2) để chứng minh điều kiện iv) ta cần chứng minh X (t ) có phân bố Poisson (λ t ) P Đặt p n (t ) = P{X (t ) = n }, n = 0,1, 2, p0 (t + h) = P{X (t + h) = 0} = P{X (t ) = 0, X (t + h) − X (t ) = 0} = p0 (t ) p0 ( h) = p0 (t ) (1 − λ h + o(h) ) , p0 (t + h) − p0 (t ) o( h) dy = −λ p0 (t ) + ⇒ p0 '(t ) = −λ p0 (t ) ⇒ p0 (t ) = Ce− λt h h dx p (0) = ⇒ p0 (t ) = e − λt ; t ≥ Tương tự p n (t + h) = P{X (t + h) = n } = P{X (h) = , X (t + h) − X (h) = n } + P{X (h) = 1, X (t + h) − X (h) = n − } + ∑ P{X (h) = k , X (t + h) − X (h) = n − k } k ≥2 = p0 (h) pn (t ) + p1 (h) pn−1 (t ) + ∑ pn− k (t )o(h) = (1 − λ h) pn (t ) + λ hpn−1 (t ) + o(h) k ≥2 ⇒ pn '(t ) = −λ pn (t ) + λ pn−1 (t ) Đặt biến đổi Laplace pn (t ) Pn ( s ) = ⇒ L { pn (t ) } L { pn '(t ) } = sPn (s) = −λ Pn (s) + λ Pn−1(s) ⇒ Pn (s) = λ λ+ s Pn−1 (s) n n λ ⎛ λ ⎞ ⇒ Pn ( s ) = ⎜ ⇒ pn (t ) = ⎟ P0 ( s ) = (λ + s ) n+1 ⎝λ+s⎠ Vậy X (t ) có phân bố Poisson L −1 ⎧ λn ⎫ λ n n − λt t e = ⎨ n +1 ⎬ ⎩ (λ + s ) ⎭ n ! P (λ t ) Ngược lại {X (t ); t ≥ 0} trình Poisson tham số λ X (t ) có phân bố Poisson P (λt ) nên E [ X (t )] = var [ X (t )] = λt Khai triển Taylor ta có P { X (h) = 0} = e− λ h = − λ h + o(h) h → , P { X (h) = 1} = λ he− λ h = λ h (1 − λ h + o(h) ) = λ h + o(h) h → Do P { X ( h) ≥ 2} = − P { X (h) = 0} − P { X ( h) = 1} = o( h) h → Nhận xét 6.1: Giả sử trình {X (t ) ; t ≥ } đếm số lần xuất biến cố A trình Poisson tham số λ > λ = E [ X (1)] (6.6) Như λ số lần trung bình xảy biến cố A khoảng đơn vị thời gian Nếu trình {X (t ) ; t ≥ } đếm số khách đến điểm phục vụ λ tốc độ đến trung bình 159 Chương 6: Quá trình Poisson 6.1.3 Các phân bố liên quan đến trình Poisson Định nghĩa 6.2: Giả sử {X (t ); t ≥ 0} trình Poisson đếm số lần xuất biến cố A 1) Ta ký hiệu Tn thời điểm đến (arrival time) (hay thời gian chờ, waiting time) thứ n , thời điểm mà biến cố A xuất lần thứ n Quy ước T0 = 2) Ký hiệu tn khoảng thời gian t3 lần đến liên tiếp thứ n (interarrival time), khoảng thời gian tính từ thời điểm biến cố A xảy lần thứ n − đến thời điểm xảy biến cố A lần thứ n Vậy t2 t1 T1 O tn = Tn − Tn−1 T2 T3 t Định lý 6.2: Các thời gian đến trung gian t1 , t2 , , tn biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố mũ tham số λ với hàm mật độ ftn (t ) = λ e−λt ; t ≥ (6.7) Tn có phân bố Erlang tham số n, λ với hàm mật độ fTn (t ) = λ nt n−1 −λt e ; t ≥ (6.8) (n − 1)! Đặc biệt T1 có phân bố mũ Với < s < t ≤ k ≤ n k n! ⎛s⎞ ⎛ s⎞ P{X ( s ) = k X (t ) = n} = ⎜ ⎟ ⎜1 − ⎟ k!(n − k )! ⎝ t ⎠ ⎝ t ⎠ n−k (6.9) Chú ý X1, X , , X n biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố mũ tham số λ X = X1 + X + " + X n có phân bố Erlang tham số n, λ Do có kỳ vọng phương sai: E [ X1 + X + " + X n ] = n λ ; var [ X1 + X + " + X n ] = n λ2 (6.10) Ví dụ 6.1: Giả sử số khách đến cửa hàng trình Poisson với tốc độ λ = khách/ Cửa hàng mở cửa lúc 8h Tính xác suất để đến 8h30 có thảy khách; đồng thời đến 10h30 có thảy khách đến cửa hàng Tính thời điểm trung bình khách thứ 10 tới Tính xác suất để khoảng thời gian khách thứ 10 khách thứ 11 lớn 1/2 Giải: Xem t = 8h Vậy xác suất cần tìm 160 Chương 6: Quá trình Poisson P{X (1 2) = 1; X (5 2) = 5} = P{X (1 2) = 1; X (5 2) − X (1 2) = 4} = P{X (1 2) = 1}.P{X (2) = 4} = 2.e −2 ET (10) = 10 λ = −8 e ≈ 0,0155 4! 10 = 2h30' ⎛ −4× ⎞ −2 ⎜ P {t1 > 2} = − P {t1 < 2} = − − e ⎟ = e ≈ 0,135 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ví dụ 6.2: Cho hai trình Poisson độc lập {X (t ) ; t ≥ } {X (t ) ; t ≥ } với tham số tương ứng λ1 , λ2 Tìm xác suất để X (t ) = trước X (t ) = { Giải: Ta cần tìm xác suất P T1 < T1 } , Tn1 thời điểm đến thứ n trình X (t ) Tm thời điểm đến thứ m trình X (t ) { P T t Z (t ) < a , tức {T > t } = {Z (t ) < a} ∞ (λ t ) n − λ t e Fn (a) n =0 n ! ⇒ P {T > t} = P {Z (t ) < a} = ∑ ∞ ∞ ⎛∞ (λ t ) n − λ t ⎞ ∞ Do ET = ∫ P {T > t}dt = ∑ ⎜ ∫ e dt ⎟ Fn (a) = ∑ Fn (a) ⎜ ⎟ λ n=0 n =0 ⎝ n ! ⎠ Đặc biệt Yk có phân bố mũ tham số µ T= ∞ ∑ λ n =0 ∞ ( µ a)k − µ a ∞ ∑ k! e = λ ∑ k =n k =0 ( µ a)k − µ a ∞ (µ a)k − µ a = + = (1 + µ a) e (1 k ) e ∑ k! ∑ λ k =0 λ k! n=0 k Nhận xét 6.2: Trong ví dụ ta sử dụng công thức tính kỳ vọng biến ngẫu nhiên nhận ∞ giá trị không âm Nếu X biến ngẫu nhiên, X ≥ E X = ∫ P { X > x}dx Đặc biệt X ∞ ∞ k =1 k =1 biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị k = 0,1, 2, EX = ∑ kP { X = k} = ∑ P { X ≥ k} 164 Chương 6: Quá trình Poisson BÀI TẬP 6.1 Các điện gửi tới bưu điện trình Poisson với tốc độ trung bình a) Tính xác suất để từ 8h00 đến 12h00 điện b) Tính phân bố thời điểm nhận điện sau 12h00 6.2 Số gọi đến tổng đài trình Poisson X (t ) với tốc độ trung bình gọi đơn vị thời gian Hãy tính: a) P{X (1) = 2} P{X (1) = 2, X (3) = 6} { } { } b) P X (1) = X (3) = P X (3) = X (1) = 6.3 Cho X (t ), t ≥ trình Poisson với cường độ λ = Hãy tính: a) EX (2) , EX (1) , E[X (1) ⋅ X (2)] b) P{X (1) ≤ 2}, P{X (1), X (2) = 3} 6.10 Cho {X (t ), t ≥ 0} {X (t ), t ≥ 0} trình Poisson độc lập với cường độ λ1 λ tương ứng Chứng minh {X (t ) = X (t ) + X (t ), t ≥ 0} trình Poisson với cường độ λ = λ1 + λ 6.11 Cho {X (t ), t ≥ 0} {X (t ), t ≥ 0} hai trình Poisson độc lập với cường độ λ1 λ tương ứng a) Tính xác suất để X (t ) = trước X (t ) = b) Tính xác suất để X (t ) = trước X (t ) = c) Tính xác suất để X (t ) = n trước X (t ) = m 6.12 Khách tới cửa hàng theo trình Poisson với cường độ người Biết đầu có 12 khách tới, tính xác suất (có điều kiện) để có khách tới 6.13 Khách tới cửa hàng theo trình Poisson với cường độ 10 người Khách mua hàng với xác suất p = 0,3 không mua hàng với xác suất q = 0,7 Tính xác suất để có người vào cửa hàng số người mua hàng, người không mua 6.14 Cho trình Poisson {X (t ) , t ≥ 0} với tham số λ Gọi tn thời gian đến trung gian thứ n Hãy tính E t4 E ⎡⎣ X (4) − X (2) X (1) = 3⎤⎦ 165 ... ≥ 0} trình Poisson tham số λ Ngược lại, trình Poisson trình đếm thỏa mãn điều kiện 158 Chương 6: Quá trình Poisson Chứng minh: Điều kiện i), ii) định nghĩa trình Poisson suy từ tính chất trình. .. phục vụ λ tốc độ đến trung bình 159 Chương 6: Quá trình Poisson 6.1.3 Các phân bố liên quan đến trình Poisson Định nghĩa 6.2: Giả sử {X (t ); t ≥ 0} trình Poisson đếm số lần xuất biến cố A 1)... Yk ; t≥0 (6.14) k =1 trình Poisson phức hợp Ví dụ 6.4: Nếu Yk ≡ Z (t ) = X (t ) Do đó, trình Poisson thông thường trình Poisson phức hợp Giả sử khách rời cửa hàng trình Poisson tiền mua hàng