CHƯƠNG V: QUÁ TRÌNH DỪNG

Chương5: Quá trình dừng CHƯƠNG V: QUÁ TRÌNH DỪNG GIỚI THIỆU Chuỗi Markov, trình Poisson nghiên cứu tiến triển theo thời gian hệ ngẫu nhiên mà tương lai phụ thuộc độc lập với khứ (tính Markov) Ngoài trình Markov, thực tế ta gặp hệ ngẫu nhiên mà khứ có ảnh hưởng lớn đến tiến triển trình tương lai Đặc biệt với trình mà hàm tự tương quan theo thời gian (quá trình dừng theo nghĩa rộng) có nhiều ứng dụng viễn thông Các tín hiệu, nhiễu hệ thống viễn thông trình dừng Khái niệm trình dừng nhà toán học người Nga Khintchine đưa lần vào năm 1934 Ngày trình dừng trở thành lĩnh vực quan trọng có nhiều ứng dụng lý thuyết xác suất Các khái niệm trình dừng nói chumg xét chương Trong chương chủ yếu xét trình dừng theo nghĩa rộng, trình ngẫu nhiên có kỳ vọng không phụ thuộc thời gian hàm tự tương quan theo thời gian Các tín hiệu viễn thông nhiễu trình dừng Các trình ký hiệu chữ in hoa X (t ) thể tương ứng (hàm mẫu) ký hiệu chữ thường x(t ) Áp dụng định lý Wiener-Khintchine trình dừng biểu diễn tín hiệu ta tính công suất trung bình tín hiệu thông qua phổ trình dừng, biến đổi Fourier hàm tự tương quan trình Từ hàm mẫu ta tính giá trị trung bình theo thời gian Vì thực tế ta tính trung bình theo giời gian (time average) trình ngẫu nhiên trung bình theo tập hợp (ensemble average) tính toán thông qua lý thuyết Do trung bình theo thời gian trùng với trung bình theo tập hợp việc nghiên cứu chúng thuận lợi Quá trình có trung bình theo thời gian trùng với trung bình theo tập hợp gọi trình ergodic Chúng ta tiêu chuẩn để nhận biết trình dừng trình ergodic Để học tốt chương học viên nên xem lại lý thuyết xác suất phép biến đổi Fourier 5.1 QUÁ TRÌNH DỪNG 5.1.1 Hàm hiệp phương sai hàm tự tương quan trình dừng Giả sử { X (t ); t ∈ I } trình dừng với giá trị trung bình m hàm tự tương quan K X (τ) , nghĩa là: 1) m(t ) = E X (t ) = m = const , 2) Hàm tự tương quan phụ thuộc vào khoảng thời gian hai thời điểm RXX ( s − t ) = E ⎡⎣ X ( s ) X (t ) ⎤⎦ ; ∀s, t ∈ I 138 (5.1) Chương5: Quá trình dừng Khi chứng minh cov( X ( s ), X (t )) = E ⎡( X ( s ) − m )( X (t ) − m ) ⎤ = E ⎡⎣ X ( s ) X (t ) ⎤⎦ − m ⎣ ⎦ (5.2) phụ thuộc vào s − t , nghĩa tồn hàm ký hiệu C X (τ) , cho C XX ( s − t ) = cov( X ( s ), X (t )); ∀s, t ∈ I (5.3) C XX (τ) gọi hàm tự hiệp phương sai trình dừng { X (t ); t ∈ I } Từ đẳng thức (5.2) ta định nghĩa trình dừng theo nghĩa rộng trình thỏa mãn hai điều kiện sau: 1’) m(t ) = EX (t ) = m = const , 2’) Hàm tự hiệp phương sai C XX ( s, t ) = cov( X ( s ), X (t )) phụ thuộc vào s − t ; ∀s, t ∈ I Rõ ràng hai định nghĩa trùng m(t ) = E X (t ) = 0, ∀t Nhận xét 5.1: Hàm tự hiệp phương sai C XX ( s, t ) trình ngẫu nhiên X (t ) hàm tự tương quan trình quy tâm i X (t ) = X (t ) − E X (t ) Ví dụ 5.1: (a) Nếu X (t ) = Aeiωt RXX ( s − t ) = E ⎡ Aeiω s Aeiωt ⎤ = E A eiω ( s −t ) ; ∀s, t ∈ I ⎣⎢ ⎦⎥ (b) Giả sử biến ngẫu nhiên Ak không tương quan có kỳ vọng phương sai σ k2 Xét X (t ) = ∑ Ak eiω t k m(t ) = E X (t ) = RXX ( s − t ) = k ∑σ k2eiω ( s −t ) ; ∀s, t ∈ I k k Hàm tự tương quan có tính chất sau Định lý 5.1: 1) RXX (−τ ) = RXX (τ ) , 2) RXX (τ ) ≤ RXX (0) , 2 3) RXX (0) = E X (t ) = E X (0) , ∀t Nếu X (t ) trình tín hiệu ngẫu nhiên RXX (0) = E X (t ) gọi công suất trung bình tín hiệu Quá trình dừng có số tính chất khác (Xem Cooper, G.R C.D McGillem (1971): Probabilistic Methods of Signal and Analysis, Holt Rinchart and Winston, New York) 139 Chương5: Quá trình dừng 4) Nếu E [ X (t ) ] = m ≠ X (t ) thành phần tuần hoàn lim RXX (τ ) = m |τ | →∞ 5) Nếu X (t ) có thành phần tuần hoàn RXX (τ ) có thành phần tuần hoàn với chu kỳ Ví dụ 5.2: Giả sử X (t ) trình dừng với hàm trung bình m(t ) = , hàm tự tương quan RXX (τ ) = + 4e −0.2τ Đặt Z = X (3) , T = X (8) Tính kỳ vọng, phương sai hiệp phương sai Z T Giải: E Z = E T = E Z = E T = RXX (0) = 13 ⇒ var Z = var T = 13 − 32 = E( ZT ) = RXX (8 − 3) = + 4e −1 ⇒ cov( Z , T ) = 4e−1 Ví dụ 5.3: Quá trình dừng với hàm tự tương quan RXX (τ ) = 25 + + 6τ Theo tính chất 4) ta có m = 25 ⇒ m = ±5 2 var [ X (t ) ] = E ⎡ X (t ) ⎤ − E [ X (t )] ⎣ ⎦ Ta có E X (t ) = RXX (0) = 25 + = 29 , var [ X (t )] = 29 − 25 = Ví dụ 5.4: Giả sử A , B hai biến ngẫu nhiên thoả mãn E A = E B = , cov( A, B ) = , var A = var B = σ Khi X (t ) = A cos(ω0t ) + B sin(ω0t ) , ω0 số, trình dừng có hàm tự tương quan RXX (τ ) = σ cos ω0τ Giải: E X (t ) = cos(ω0t ) E A + sin(ω0t ) E B = RXX ( s, t ) = E [ X ( s ) X (t )] = E ⎡⎣( A cos(ω0 s) + B sin(ω0 s) )( A cos(ω0t ) + B sin(ω0t ) ) ⎤⎦ = E ⎡ A2 cos(ω0 s ) cos(ω0t ) + B sin(ω0 s ) sin(ω0t ) + AB ( cos(ω0 s ) cos(ω0t ) + sin(ω0 s ) sin(ω0t ) ) ⎤ ⎣ ⎦ = σ cos (ω0 (t − s ) ) ⇒ RXX (τ ) = σ cos(ω0τ ) Ví dụ 5.5: Quá trình ngẫu nhiên hình sin: X (t ) = A cos (ω0t + Θ ) , A, Θ hai biến ngẫu nhiên độc lập với E A = , var A = σ Θ biến ngẫu nhiên có phân bố đoạn [ 0; 2π] Giải: Θ biến ngẫu nhiên có phân bố đoạn [0; 2π] với hàm mật độ 140 Chương5: Quá trình dừng ⎧ ⎪ f Θ (u ) = ⎨ 2π ⎪⎩ E ⎡⎣ cos (ω0t + Θ ) ⎤⎦ = ∞ ∫ nÕu ≤ u ≤ 2π nÕu ng−îc l¹i cos(ω0t + u ) fΘ (u )du = −∞ 2π 1 2π ∫ cos(ω0t + u ) 2π du = 2π sin(ω0t + u) u =0 = 0 E X (t ) = E ⎡⎣ A cos (ω0t + Θ ) ⎤⎦ = E [ A] E ⎡⎣ cos (ω0t + Θ ) ⎤⎦ = E [ X ( s) X (t ) ] = E ⎡⎣( A cos (ω0 s + Θ ) ) ( A cos (ω0t + Θ ) ) ⎤⎦ = E ⎡ A2 ( cos(ω0 s + Θ) )( cos(ω0t + Θ) ) ⎤ = E ⎡ A2 ⎤ E ⎡⎣( cos(ω0 s + Θ) )( cos(ω0t + Θ) ) ⎤⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ E ⎡ A2 ⎤ = var A = σ ; ⎣ ⎦ E ⎡⎣( cos(ω0 s + Θ) )( cos(ω0t + Θ) ) ⎤⎦ ⎡1 ⎤ = E ⎢ {cos (ω0 ( s + t ) + 2Θ )} + {cos ω0 ( s − t )}⎥ = cos ω0 ( s − t ) ⎣2 ⎦ Do trình ngẫu nhiên hình sin trình dừng với hàm tự tương quan RXX (τ ) = σ cos ω0τ Ví dụ 5.6: (Quá trình Wiener) Quá trình W (t ) , t ≥ gọi trình Wiener với tham số σ thoả mãn tính chất sau: 1) W (0) = 2) Với ≤ s < t W (t ) − W ( s ) biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn N( 0; σ (t − s ) ) 3) W (t ) , t ≥ trình với gia số độc lập, tức với ≤ t1 < t < t n biến ngẫu nhiên: W (t2 ) − W (t1 ) , W (t3 ) − W (t2 ) , , W (tn ) − W (tn−1 ) độc lập Như W (t ) , t ≥ trình có: m(t ) = E W (t ) = ∀ t ≥ ∀ t , s ≥ , giả sử s ≤ t : RWW ( s, t ) = E [ W ( s) W (t ) ] = E ⎡⎣ W ( s) ( W ( s) + W (t ) − W ( s) ) ⎤⎦ = E [ W ( s ) ] + E ⎣⎡ (W ( s ) − W (0) )(W (t ) − W ( s ) ) ⎦⎤ = σ2 s + E [ W ( s ) − W (0) ] E [ W (t ) − W ( s )] = σ s (do gia số độc lập EW ( s ) = ) Do RWW ( s, t ) = σ min( s, t ) Vậy trình Wiener trình gia số độc lập dừng trình dừng 141 Chương5: Quá trình dừng Ví dụ 5.7: Xét trình ngẫu nhiên phức X (t ) tổng N tín hiệu phức: N X (t ) = ∑ Aneiω0t + iΘn n =1 ω0 (hằng số) tần số tín hiệu An biến ngẫu nhiên biểu diễn biên độ 2π Θn biến ngẫu nhiên pha tín hiệu thứ n Giả sử biến ngẫu nhiên An , Θn độc lập Θn có phân bố khoảng (0;2π ) Tìm hàm tự tương quan trình N ⎡N ⎤ Giải: RXX (t + τ , t ) = E ⎡⎣ X (t + τ ) X (t ) ⎤⎦ = E ⎢ ∑ An eiω0 (t +τ )+iΘn ∑ Am eiω0t +iΘm ⎥ ⎢⎣ n =1 ⎥⎦ m =1 N N N ⎡N ⎤ = E ⎢ ∑ An eiω0 (t +τ )+iΘn ∑ Am e−iω0t −iΘm ⎥ = eiω0τ ∑ ∑ E ⎣⎡ An Am ei (Θn −Θm ) ⎦⎤ = RXX (τ ) m =1 n =1 m =1 ⎣ n=1 ⎦ Lại có, E ⎡⎣ ei (Θn −Θm ) ⎤⎦ = E [ cos(Θ n − Θ m ) ] + i E [sin(Θ n − Θ m ) ] =∫ 2π 2π ∫0 (2π ) N n≠m ⎩ n=m [cos(θn − θm ) + i sin(θ n − θ m )] dθ n dθ m = ⎧⎨1 RXX (τ ) = eiω0τ ∑ E An Vậy n =1 5.1.2 Hàm tương quan chéo tính chất Hàm tương quan chéo hai trình ngẫu nhiên X (t ) Y (t ) định nghĩa ký hiệu RXY (t + τ , t ) = E ⎡⎣ X (t + τ )Y (t ) ⎤⎦ Nếu hai trình dừng X (t ) Y (t ) có hàm tương quan chéo RXY (t + τ , t ) phụ thuộc τ gọi hai trình dừng đồng thời hàm tương quan chéo RXY (τ ) = E ⎡⎣ X (t + τ )Y (t ) ⎤⎦ Hai trình X (t ) Y (t ) gọi trực giao RXY (t + τ , t ) = E ⎡⎣ X (t + τ )Y (t ) ⎤⎦ = ; với t , với τ ≠ Hai trình X (t ) Y (t ) gọi không tương quan C XY (t + τ , t ) = E ⎡⎣ X (t + τ )Y (t ) ⎤⎦ − m(t + τ )m(t ) = ; với t với τ ≠ Hàm tương quan chéo hai trình dừng đồng thời có tính chất 142 Chương5: Quá trình dừng 1) RXY (−τ ) = RYX (τ ) 2) RXY (τ ) ≤ RXX (0) RYY (0) 3) RXY (τ ) ≤ RXX (0) + RYY (0) Ví dụ 5.8: Xét hai trình ngẫu nhiên X (t ) Y (t ) X (t ) = A cos(ω0t ) + B sin(ω0t ) ; Y (t ) = B cos(ω0t ) − A sin(ω0t ) A , B hai biến ngẫu nhiên ω0 số Theo ví dụ 5.3, E A = E B = , cov( A, B) = , var A = var B = σ X (t ) Y (t ) hai trình dừng Hàm tương quan chéo RXX (t + τ , t ) = E ⎡⎣ X (t + τ )Y (t ) ⎤⎦ = E ⎡ AB cos(ω0t ) cos(ω0t + ω0τ ) + B sin(ω0t + ω0τ ) cos(ω0t ) ⎤ ⎣ ⎦ − E ⎡ A2 cos(ω0t + ω0τ ) sin(ω0t ) + AB sin(ω0t + ω0τ ) sin(ω0t ) ⎤ ⎣ ⎦ = E [ AB ] cos(2ω0t + ω0τ ) + E ⎡ B ⎤ sin(ω0t + ω0τ ) cos(ω0t ) − E ⎡ A2 ⎤ cos(ω0t + ω0τ ) sin(ω0t ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ RXY (t + τ , t ) = σ sin(ω0τ ) phụ thuộc τ , X (t ) Y (t ) hai trình dừng đồng thời 5.1.3 Đặc trưng phổ trình dừng Có thể sử dụng hai phương pháp phân tích theo miền thời gian theo miền miền tần số để phân tích hệ thống tuyến tính tín hiệu tất nhiên Các tính chất phổ tín hiệu tất nhiên x(t ) nhận từ biến đổi Fourier l X(f ) = ∞ F {x(t )} = ∫ e−i 2π t f x(t )dt −∞ • Hàm l X ( f ) gọi cách đơn giản phổ x(t ) , có đơn vị volt/hertz X ( f ) khôi phục tín hiệu thông qua phép biến đổi Fourier Nếu biết phổ l ngược ∞ x(t ) = F −1 { lX ( f )} = ∫ ei 2π t f lX ( f )df −∞ Một cách tự nhiên ta tìm cách sử dụng hai phương pháp cho trường hợp tín hiệu ngẫu nhiên Biểu diễn phổ tín hiệu tất nhiên nhận từ biến đổi Fourier tín hiệu Mặc dù phép biến đổi Fourier có vai trò quan trọng việc đặc trưng phổ tín 143 Chương5: Quá trình dừng hiệu ngẫu nhiên Tuy nhiên tính trực tiếp biến đổi Fourier tín hiệu ngẫu nhiên, phép biến đổi không tồn hầu hết hàm mẫu trình Vì phân tích phổ trình ngẫu nhiên đòi hỏi tỉ mỉ phân tích tín hiệu tất nhiên Mặt khác ta biểu diễn công suất trình ngẫu nhiên dạng hàm theo tần số (thay theo hiệu điện thế), biểu diễn tồn Trong mục ta xét đến hàm gọi mật độ phổ công suất A Mật độ phổ công suất Cho trình { X (t ); t ∈ R} biểu diễn tín hiệu ⎧⎪ X (t ) Với T > xét: X T (t ) = ⎨ ⎪⎩ nÕu t Tb 2, (5.11) Tb chu kỳ bít dãy biến ngẫu nhiên độc lập biểu diễn liệu nhị phân Các biến ngẫu nhiên An có phân bố rời rạc nhận hai giá trị ± đồng khả 1 Vậy P { An = 1} = P { An = −1} = 1/ ; E [ An ] = ; var [ An ] = E ⎡ An2 ⎤ = 12 + (−1) = ; ⎣ ⎦ 2 cov [ An , Am ] = E [ An Am ] − E [ An ] E [ Am ] = n ≠ m Đặt T = (2 N + 1)Tb trình X T (t ) trình (5.7) X T (t ) = N ∑ n =− N An y (t − nTb ) 147 Chương5: Quá trình dừng N N F { X T (t )} = ∑ An F { y(t − nTb )} = ∑ AnY ( f )e−iω nT n =− N n=− N Trong Y ( f ) = F { y (t )} = Tb sinc (Tb f ) (ví dụ 2.37 chương II) l XT ( f ) = b N = Y( f ) ∑ n=− N An e−iω nTb N ⎡ ⎤ 2 −iω ( n− m)Tb ⎥ ⇒ El XT ( f ) = E⎢Y( f ) A A e ∑ n m ⎢⎣ ⎥⎦ n, m =− N = Y( f ) N ∑ n, m =− N E ⎡⎣ An Am ⎤⎦ e−iω ( n− m)Tb = Y ( f ) N ∑ = Y ( f ) (2 N + 1) n =− N Vậy mật độ phổ công suất PSD 2 Y ( f ) (2 N + 1) Y ( f ) lim E l X T ( f ) = lim = = Tb sinc2 (Tb f ) T →∞ T T →∞ (2 N + 1)Tb Tb ⎡⎛ ∞ ⎞⎛ ∞ ⎞⎤ Tuy nhiên E [ X (t ) X (t + τ )] = E ⎢⎜ ∑ An y (t − nTb ) ⎟⎜ ∑ Am y (t + τ − mTb ) ⎟ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎠⎝ m=−∞ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ n=−∞ = ∞ ∞ ∑ ∑ n =−∞ m =−∞ E [ An Am ] y (t − nTb ) y (t + τ − mTb ) = ⎧⎪ nÕu t − nTb < Tb / vµ y (t − nTb ) y (t + τ − mTb ) = ⎨ ⎪⎩ nÕu ng−îc l¹i ∞ ∑ n =−∞ y (t − nTb ) y (t + τ − mTb ) t + τ − nTb < Tb / Điều chứng tỏ E [ X (t ) X (t + τ )] phụ thuộc vào thời điểm t nên trình X (t ) không dừng Ví dụ 5.11: (Sóng ngẫu nhiên nhị phân) Xét trình ngẫu nhiên { X (t ); t ∈ R} gồm bit bit thoả mãn điều kiện sau: 1) Bit biểu diễn xung chữ nhật với biên độ + A − A volt với độ rộng xung T giây 2) Các hàm mẫu (sample functions) không đồng giả thiết thời điểm xuất phát xung thứ t d xảy đồng khả khoảng từ đến T Điều có nghĩa t d giá trị mẫu biến ngẫu nhiên Td có phân bố đoạn [0; T ] 3) Trong khoảng thời gian xung (n − 1)T < t − t d < nT , hai bit đồng khả xuất hiện, nghĩa X (t ) nhận giá trị + A − A suốt khoảng xung với xác suất X (t ) X ( s ) độc lập t , s khoảng xung thời gian khác Ta có: ∀t ; E X (t ) = A × + (− A) × = Hàm tự tương quan: RXX (tk , ti ) = E [ X (tk ), X (ti )] 148 Chương5: Quá trình dừng * Nếu t k − ti > T X (tk ), X (ti ) độc lập ⇒ rx (tk , ti ) = E [ X (tk ), X (ti )] = * Nếu t k − ti < T giả sử X (tk ), X (ti ) có trễ t d X (tk ), X (ti ) xung t k − ti < T − t d 1 t td Vậy ⎪⎧ A E ⎡⎣ X (tk ), X (ti ) td ⎤⎦ = ⎨ ⎪⎩0 nÕu td < T − tk − ti nÕu ng−îc l¹i Áp dụng công thức xác suất đầy đủ E [ X (tk ), X (ti ) ] = T − tk −ti ∫ A2 fTd (td ) dtd = T − tk −ti ∫ 0 ⎛ t −t ⎞ A2 dtd = A2 ⎜1 − k i ⎟ T T ⎠ ⎝ ⎧ 2⎛ τ⎞ ⎪ A ⎜1 − ⎟ nÕu τ < T Đặt τ = t k − t ⇒ Hàm tự tương quan RXX (τ) = ⎨ ⎝ T ⎠ ⎪ nÕu τ ≥ T ⎩ Mật độ phổ công suất PXX ( f ) = F {RXX (τ)} = ∫ A2 ⎛⎜1 − Tτ ⎞⎟ e-i 2πfτ dτ = A2T sinc2 ( fT ) T -T ⎝ ⎠ Ví dụ 5.12: Nhiễu trắng (White Noise) mô tả trình dừng (theo nghĩa N rộng) mà mật độ phổ công suất số W ( f ) = P RWW (τ ) PW ( f ) N0 ( N 2)δ(τ) f τ 149 Chương5: Quá trình dừng Hệ số để nửa công suất ứng với tần số dương nửa ứng với tần số âm N có đơn vị watt/ hertz Hàm tự tương quan RWW (τ ) = F -1 ⎧⎨⎩ N2 ⎫⎬⎭ = N2 δ (τ ) 0 Quá trình nhiễu trắng trình vật lý có thực có công suất ∞ Trong quang học, mật độ phổ lượng ánh sáng trắng không đổi (υ ) = P số với tần số υ (Năng lượng ánh sáng trắng phân bố theo tần số υ ) Vì nhiễu với mật độ phổ số gọi nhiễu trắng 5.2 QUÁ TRÌNH DỪNG ERGODIC Trung bình theo thời gian định nghĩa sau T →∞ 2T A [⋅] = lim T ∫−T [⋅] dt Trung bình theo thời gian lấy qua thời điểm, trung bình theo thời gian trình ngẫu nhiên lấy theo hàm mẫu phụ thuộc thời gian Đối với trình dừng X (t ) ta quan tâm trung bình theo thời gian hàm mẫu tự tương quan theo thời gian hàm mẫu x(t ) T →∞ 2T x = A [ x(t ) ] = lim T ∫−T x(t )dt R X (τ ) = A[ x(t ) x(t + τ )] = lim T →∞ 2T T ∫ x(t ) x(t + τ )dt −T Trong nhiều toán trình ngẫu nhiên đòi hỏi phải tính giá trị trung bình trình theo tập hợp Tuy nhiên thực tế ta nhận hàm mẫu trình ta tính trung bình theo thời gian Ta lấy trung bình theo thời gian thay cho trung bình theo tập hợp hay không? Giả thiết Ergodic cho trung bình theo thời gian cấp trùng với trung bình theo tập hợp cấp tương ứng Giả thiết đáng tiếc số nhà kỹ thuật đầu kỷ 20 tin tưởng Khoảng năm 1931 hai nhà toán học G D Birkhoff (Mỹ) A Ia Khintchine (Nga) chứng minh trung bình theo thời gian luôn tồn điều kiện để trùng với trung bình tập hợp Các định lý sau điều kiện trình dừng trình ergodic Định lý 5.4: Quá trình dừng thời gian rời rạc { X ( n); n ≥ 0} với hàm tự tương quan RXX (n) ergodic n ∑ RXX (m) = n→∞ n m=0 lim 150 (5.12) Chương5: Quá trình dừng Định lý 5.5: Quá trình dừng { X (t ); t ∈ R} với hàm tự tương quan RXX (τ ) ergodic T →∞ T lim TT ∫ ∫ RXX (t − s)dtds = (5.13) 00 Định lý 5.6: Quá trình dừng { X (t ); t ∈ R} với hàm tự tương quan RXX (τ ) ergodic T ⎛ t ⎞ lim ∫ ⎜ − ⎟ RXX (t )dt = T →∞ T ⎝ T⎠ (5.14) Hệ 5.1: Nếu lim RXX (τ ) = trình { X (t ); t ∈ R} ergodic τ →∞ Ví dụ 5.13: Xét trình ngẫu nhiên X (t ) = A cos(ω0t + Θ) Trong A , ω0 hai số Θ biến ngẫu nhiên có phân bố đoạn [ 0; 2π ] với hàm mật độ ⎧ ⎪ f Θ (u ) = ⎨ 2π ⎪⎩ ∞ E [ X (t ) ] = E [ A cos(ω0t + Θ) ] = A ∫ nÕu ≤ u ≤ 2π nÕu ng−îc l¹i cos(ω0t + u ) f Θ (u )du = A −∞ 2π ∫ cos(ω0t + u ) 2π du = 0 RXX (t , t + τ ) = E [ X (t ) X (t + τ ) ] = E [ A cos(ω0t + Θ) A cos(ω0 (t + τ ) + Θ) ] = = A2 E ⎡cos (ω0 (2t + τ ) + 2Θ ) + cosτ ⎤⎦ ⎣ A2 A2 E ⎡⎣ cos (ω0 (2t + τ ) + 2Θ ) ⎤⎦ + E [ cos τ ] = cos τ 2 ( ) Như { X (t )} trình dừng với hàm tự tương quan RXX (τ ) = T ⎛ τ ⎞ A2 A2 ⎛ cos τ d τ − = ⎜ ⎟ ⎜ sin τ T ∫0 ⎝ T ⎠ 2T ⎝ = T − ( τ sin τ T T + cosτ T A2 cosτ ) ⎞⎟⎠ A2 ⎛ − cos T ⎞ ⎜ sin T − sin T + ⎟ → T → ∞ 2T ⎝ T ⎠ Theo định lý 5.6 { X (t )} trình dừng thoả mãn điều kiện (5.14) trình ergodic Ta kiểm chứng điều cách tính trực tiếp sau: Vì trình tuần 2π hoàn theo thời gian với chu kỳ T0 = nên trung bình theo thời gian ω0 151 Chương5: Quá trình dừng T0 T0 ∫ ⎛ sin(ω0t + θ ) A cos(ω0t + θ )dt = ⎜ A ω0 T0 ⎜ ⎝ T0 T0 ∫ T0 ⎞ ⎟ = = E [ X (t )] ⎟ ⎠ A2 = RXX (0) = E ⎡ X (t ) ⎤ ⎣ ⎦ A2 cos (ω0t + θ )dt = Nhận xét 5.2: Tính ergodic dạng hạn chế tính dừng thật khó khăn để kiểm tra xem tình vật lý cụ thể giả thiết ergodic thỏa mãn Dù thường giả thiết trình ergodic để đơn giản hóa Trong giới thực, buộc lòng phải làm việc với hàm mẫu trình ta nhận hàm mẫu trình Khi ấy, dù muốn hay không ta nhận giá trị trung bình, hàm tự tương quan theo thời gian Từ giả thiết ergodic ta xem giá trị nhận thống kê trình Nhiều người cảm thấy khó chấp nhận lời bàn luận này, nhiên cần phải nhớ rằng, lý thuyết để mô hình hóa điều xảy giới thực 5.3 BỘ LỌC TUYẾN TÍNH Giả sử X (t ) trình dừng h(t ) hàm khả tích tuyệt đối Ta xác định trình L{ X (t )} ∞ L{ X (t )} = Y (t ) = ∫ h(t − s ) X ( s)ds = h(t ) ∗ X (t ) (5.15) −∞ gọi lọc tuyến tính với đáp ứng xung h(t ) (impulse response) Hàm H ( f ) = F {h(t )} gọi hàm truyền đạt (transfer function) lọc Trường hợp trình với thời gian rời rạc { X (n); n ≥ 0} đáp ứng xung dãy { h(n) }, n = 0, ± 1, ± 2, đầu có dạng ∞ L{ X (n)} = Y (n) = ∑ h ( n − m) X ( m ) ; m =−∞ Hàm truyền đạt H ( f ) = ∞ ∑ h(m)e −i 2π mf m =−∞ Định lý 5.7: Đầu Y (t ) lọc tuyến tính (5.15) trình dừng với hàm tự tương quan RYY (τ ) = h(−τ ) ∗ h(τ ) ∗ RXX (τ ) (5.16) PY ( f ) = H ( f ) PX ( f ) (5.17) mật độ phổ 152 Chương5: Quá trình dừng Ví dụ 5.14: Lọc thông thấp (RC low - pass filter) Xét mạch điện hình vẽ, điện trở R , tụ điện có điện dung C ; điện áp đầu vào X (t ) , điện áp đầu Y (t ) i (t ) R X (t ) Y (t ) C Trường hợp x(t ) tất định (deterministic): y (t ) = h(t ) ∗ x(t ) Mặt khác, theo định luật Kirchoff ta có RC dy + y (t ) = x(t ) dt Do ⎧⎪(1 RC ) e−t h(t ) = ⎨ ⎪⎩ RC nÕu t ≥ nÕu t < Áp dụng phép biến đổi Fourier ta tính H ( f ) = Yl ( f ) l X(f ) = 1 + i (2πRC ) f Do X (t ) trình dừng, theo công thức (5.17) ta mật độ phổ đầu lọc thông thấp P ( f ) = + 4π Y R 2C f P (f) X Nếu đầu vào W (t ) nhiễu trắng với hàm mật độ phổ công suất PW ( f ) = N20 đầu PY ( f ) = H ( f ) PX ( f ) = + 4πN2 R0 22C f Sử dụng biến đổi Fourrier ngược ta có RYY (τ ) = F −1 ⎧ ⎫ N0 −τ N0 = e ⎨ 2 2⎬ ⎩1 + 4π R C f ⎭ RC Công suất trung bình PY = E ⎡⎣ Y (t ) ⎤⎦ = RYY (0) = RC N0 RC 5.4 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN GAUSS Định nghĩa 5.5 Quá trình ngẫu nhiên { X (t )} gọi quát trình Gauss với N t1 , t , , t N ( X (t1 ) , X (t2 ) , , X (t N ) ) 153 Chương5: Quá trình dừng véc tơ ngẫu nhiên có phân bố Gauss N chiều Như hàm mật độ ( X (t1 ) , X (t2 ) , , X (t N ) ) có dạng f X ( x1, x2 , , xN ) = − ( x−m )C e 2π det C −1 ( x−m )t (5.18) x = ( x1 , x2 , , xN ) ; m = ( m1 , m2 , , mN ) , mi = E [ X (ti )] ; C = ⎡⎣Cij ⎤⎦ N ×N , Cij = cov ⎡⎣ X (ti ), X (t j ) ⎤⎦ ma trận vuông hiệp phương sai Quá trình Gauss trình dừng mi = E [ x(ti ) ] = m = số Cij + m = RXX (ti − t j ) (5.19) Trường hợp biến ngẫu nhiên X (ti ), X (t j ); ∀i ≠ j không tương quan, nghĩa E ⎣⎡ X (ti ) X (t j ) ⎦⎤ = E [ X (ti )] E ⎡⎣ X (t j ) ⎤⎦ ma trận hiệp phương sai có dạng ⎡σ ⎢ ⎢0 σ C=⎢ # ⎢ # ⎢0 ⎣ 0⎤ ⎥ " 0⎥ % # ⎥⎥ " σ ⎥⎦ " (5.20) σ = RXX (0) = cov [ X (ti ), X (ti )] Quá trình Gauss có tính chất sau: 1) Hàm mật độ f X phụ thuộc vào ma trận M vectơ m , véc tơ ngẫu nhiên Gauss phụ thuộc vào moment cấp cấp 2) ( X (t1 ) , X (t2 ) , , X (t N ) ) véc tơ ngẫu nhiên có phân bố Gauss N chiều, biến ngẫu nhiên thành phần X (ti ) có phân bố Gauss 3) Các biến ngẫu nhiên thành phần X (t1 ) , X (t2 ) , , X (t N ) độc lập không tương quan Điều xảy ma trận hiệp phương sai C ma trận đường chéo dạng (5.20) 4) Hàm mật độ đồng thời trình Gauss (công thức 5.18) phụ thuộc giá trị trung bình hiệp phương sai Vì trình Gauss dừng theo nghĩa rộng dừng theo nghĩa chặt (Xem Chanmugan & Breipoht, 1988, trang 141) ( X (t1 ) , X (t2 ) , , X (t N ) ) véc tơ (Y (t1 ) , Y (t2 ) , , Y (t N ) ) véc tơ ngẫu nhiên Gauss, với 5) Nếu 154 ngẫu nhiên Gauss Chương5: Quá trình dừng [Y (t1 ) , Y (t2 ) , , Y (t N )] = A [ X (t1 ) , X (t2 ) , , X (t N )] t A ma trận vuông cấp N Từ tính chất 5) người ta chứng minh kết rộng sau Định lý 5.8: Đầu trình Gauss qua lọc tuyến tính trình Gauss Nghĩa X (t ) trình Gauss ∞ Y (t ) = h(t ) ∗ X (t ) = ∫ h(t − λ) X (λ)d λ −∞ trình Gauss Ví dụ sau minh họa tính chất 4) Ví dụ 5.15: Giả sử X (t ) trình Gauss dừng với hàm trung bình m(t ) = hàm tự tương quan RXX (τ ) = 25e−3|τ | Ta tìm hàm mật độ đồng thời ba biến ngẫu nhiên X (tk ) , k = 1, 2,3 thời điểm tk = t0 + k −1 , với t0 số k −i , i k = 1, 2,3 Vì tk − ti = Vậy RXX (tk − ti ) = 25e−3|tk −ti |/ C XX (tk − ti ) = 25e−3|tk −ti |/ − 16 Do ma trận hiệp phương sai ba biến ngẫu nhiên X (t1 ) , X (t2 ) , X (t3 ) ⎡ (25 − 16) (25e−3 / − 16) (25e−6 / − 16) ⎤ ⎢ ⎥ C = ⎢ (25e−3 / − 16) (25 − 16) (25e−3 / − 16) ⎥ ⎢(25e−6 / − 16) (25e−3 / − 16) (25 − 16) ⎥⎦ ⎣ BÀI TẬP 5.1 Cho { X (t )}t∈I trình dừng với hàm trung bình E X (t ) = m, ∀t Chứng minh {Y (t )}t∈I , Y (t ) = X (t ) − m trình dừng có hàm trung bình E Y (t ) = 0, ∀t hàm tự tương quan RYY = RXX 5.2 Cho { X (t )}t∈I trình cấp có tính chất E X ( s ) E X ( s) X ( s + t ) không phụ thuộc vào s Chứng minh { X (t )}t∈I trình dừng 5.3 Cho { X (t )}t∈I trình dừng với hàm tự tương quan RXX (τ ) Chứng minh {Y (t )}t∈I , Y (t ) = X (t + 1) − X (t ) trình dừng Tìm hàm trung bình hàm tự tương quan 155 Chương5: Quá trình dừng 5.4 Cho Θ biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố đoạn [0, 2π] , A0 , ω0 hai số Chứng minh X (t ) = A0 sin(ω0t + Θ) trình dừng Tìm hàm tự tương quan Quá trình X (t ) có phải trình ergodic? 5.5 Cho Θ biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố đoạn [0, 2π], R biến ngẫu −r ⎧ r 2σ2 , nÕu < r < ∞ ⎪⎪ nhiên liên tục có hàm mật độ f R (r ) = ⎨ e σ ⎪ ⎪⎩ , nÕu r ≤ Giả sử Θ R độc lập, λ > Chứng minh X (t ) = R cos(λt + Θ) trình dừng với trung bình hàm tự tương quan RXX (t ) = σ cos λ t 5.6 Cho A biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn N (0; σ ) Đặt X (t ) = A cos(10πt ) Tìm hàm mật độ xác suất X (t ) Quá trình { X (t )}t∈I có phải trình dừng không? 5.7 Cho Z1 Z hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố xác suất Đặt X (t ) = Z1 cos λt + Z sin λt , λ số Chứng minh trình dừng Tìm hàm tự tương quan P{Z1 = −1} = P{Z1 = 1} = { X (t )}t∈I 5.8 Cho trình dừng { X (n) }∞n=−∞ có trung bình E X (n) = hàm tự tương quan n 1⎛ 3⎞ RXX (n) = ⎜ − ⎟ Tìm mật độ phổ 7⎝ 4⎠ 5.9 Cho W (t ) trình Wiener với tham số σ Đặt X (t ) = e−αtW (e2αt ) , α > số Chứng minh x(t ) trình Gauss dừng với hàm tự tương quan RXX (t ) = σ 2e −α t , − ∞ < t < ∞ Tìm mật độ phổ ⎧ ⎪ ( B − f ), nÕu f ≤ B 5.10 Cho trình dừng ergodic X (t ) có mật độ phổ PX ( f ) = ⎨σ ⎪⎩ , nÕu ng−îc l¹i Tìm hàm tự tương quan 156 ... EW ( s ) = ) Do RWW ( s, t ) = σ min( s, t ) Vậy trình Wiener trình gia số độc lập dừng trình dừng 141 Chương5 : Quá trình dừng Ví dụ 5.7: Xét trình ngẫu nhiên phức X (t ) tổng N tín hiệu phức:... kiện trình dừng trình ergodic Định lý 5.4: Quá trình dừng thời gian rời rạc { X ( n); n ≥ 0} với hàm tự tương quan RXX (n) ergodic n ∑ RXX (m) = n→∞ n m=0 lim 150 (5.12) Chương5 : Quá trình dừng. .. RC 5.4 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN GAUSS Định nghĩa 5.5 Quá trình ngẫu nhiên { X (t )} gọi quát trình Gauss với N t1 , t , , t N ( X (t1 ) , X (t2 ) , , X (t N ) ) 153 Chương5 : Quá trình dừng véc