GIẢI BÀI TOÁN MIN MAX BẰNG PHƯƠNG PHÁP ÉP BIÊN

Header Page 1Bài of 16 toán Min Max xử lý phương pháp ép biên CHUYÊN ĐỀ BĐT THI THPT QG MỖI TUẦN CHỦ ĐỀ TUẦN : ÉP BIÊN BÀI MẪU – Đề 11 Thầy Quang Baby : Cho a, b, c số thực thỏa mãn a, c  1; b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b  c  b  2c  c  a  b b  2a   a  c   2b    ac  Lời giải Ta có 1  a   b     2a  b  ab   2a  b  ab   c  a  b c  a  b 1    b  2a ab  b  2a ab  Tương tự ta có a b  c b  2c  a b  c  bc  Lại có 2  a  c   2b    a  c   b    a  c     a  c  b  4ac    ab  ac  bc     P c  a  b ab   a b  c bc    ab  bc  ca    ac  3  ac  bc   ab  ac  ab  bc  ca    1    1  2 ac   ab    bc    ab  bc  ca   1     ab  bc  ca      2 2 ab  bc  ca   ab  bc  ac   Xét hàm số f  t   t  2 t7 27 Mà t  ab  bc  ca   P   45 t7 45 13  57 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 13 , dấu "  " xảy a  1, b  2, c  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Footer Page of 16 Page Header Page 2Bài of 16 toán Min Max xử lý phương pháp ép biên Bài : CHUYÊN ĐHSP HN Cho số thực a, b, c thay đổi thuộc đoạn [1;2] thỏa mãn a  b  c  Chứng minh đẳng thức: a2 b2 c2    bc  ac  ab  Bài giải: Từ giả thiết ta có: (b  1)(c  2)  bc   2b  c   2(bc  2)  3(b  c)  3(4  a)  (b  2)(c  1)  bc   b  2c a2 a2 Do đó: ; đẳng thức xảy  a = 0; b = c =  bc   a Tương tự: Suy ra: b2 b2 c2 c2   ac   b ab   c a2 b2 c2  a2 b2 c2         (*) bc  ac  ab    a  b  c  ( Không tồn a, b, c để đẳng thức xảy ) t2 ; t  [1; 2] 4t t (8  t ) Ta có: f / (t )   0; t  [1; 2] nên hàm số f  t  đồng biến 1; 2 (4  t ) Xét hàm số: f (t )  1 Suy f (t )  f    t  [1; 2] 2 Thay t a, b, c vào vế trái (*) ta được: P a2 b2 c2 21 1        bc  ac  ab   3  Vậy P  Bài – Sưu tập Chuyên Bắc Ninh :Với số thực:  a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   a   b   c Ta chứng minh :  a   b    a  b (*) Thật vậy: (*)   a   b  (1  a)(1  b)    a  b   a  b  (1  a)(1  b)   a  b  ab  (luôn đúng) Vì vai trò a,b,c nên không tính tổng quát giả sử a  b  c Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Footer Page of 16 Page Header Page 3Bài of 16 toán Min Max xử lý phương pháp ép biên Suy :  c  Theo (*) ta có: P    a  b   c    c   c Xét hàm: f (c )    c   c ;1  c  Ta có f / (c)   4c  1 c ; f / (c )   c  3 Ta có: f (1)  f (2)    3; f     10 Vậy : P    2 Vậy GTNN P là:   Bài 3: Nhiều trường chọn để thi thử Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn: a  [0;1], b  [0; 2], c  [0;3] Tìm gía trị lớn P  2(2ab  ac  bc) 8b b    2a  b  3c b  c  b( a  c )  12a  3b  27c  Ta có a  [0;1], b  [0; 2], c  [0;3] (1  a )(b  c)  b  c  ab  ac    2a  b  3c  2ab  bc  ac (2  b)(a  c)   2a  2c  ab  bc 2(2ab  ac  bc) 2(2ab  ac  bc)    2a  b  3c  2ab  ac  bc Mặt khác b  c  a(b  c) ( a  [0;1] ) 8b 8b 8b   b  c  b(a  c )  a (b  c)  b(a  c)  2ab  bc  ac  Với số thực x, y, z, ta có:  ( x  y )2  ( y  z )  ( y  x)   2( x  y  z )  xy  yz  xz  3( x  y  z )  ( x  y  z )2  12a  3b  27c  (2a )  b  (3c)   (2a  b  3c)2  2a  b  3c  2ab  bc  ac  b  b 2ab  bc  ac  12a  3b  27c  Suy 2(2ab  bc  ac) 8b b P    2ab  bc  ac 2ab  bc  ac  2ab  bc  ac  2(2ab  bc  ac) P   2ab  bc  ac 2ab  bc  ac  Đặt t  2ab  bc  ac  t  [0;13] Xét hàm số: f (t )  2t  , t  [0;3] t 1 t  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Footer Page of 16 Page Header Page 4Bài of 16 toán Min Max xử lý phương pháp ép biên f / (t )   , f / (t )   t  2 (t  1) (t  8) 16 47 16 ; f (13)   f (t )  t  [0;13] 21 16 16 16 Do đó: P  Khi a  1; b  2; c  P  Vậy GTLN P 7 f (0)  1; f (6)  Bài (Sưu tập) : Cho số thực x, y, z thỏa mãn x, y, z  1 x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x2 y2   x  y  4( xy  1) z  z  Phân tích ý tưởng: Lời giải: Từ giả thiết ta có: ( x  1)( y  1)   xy  ( x  y )  x  y   z Do x  y  4( xy  1)  ( x  y)2  xy   ( x  y)2  2( x  y)   ( x  y  1)2   z  z  Khi đó, suy P  x2 y2  x2 y2  x2  y2      x  y  4( xy  1) z  z  z  z  z  z  z  z  Mặt khác: x  y  ( x  y )2  xy  ( x  y )2  2( x  y)   ( x  y  1)   z  z  17 z  z  17 z  z  17 Đặt (*) Khi (*) t  z2  4z  z2  4z   (t  1) z  (8  4t ) z  5t  16  Vì P  Phương trình có nghiệm /   (4  2t )2  (t  1)(5t  16)   5t  t    t  5 3 3  5 Suy P  Dấu xảy  x; y; z    1; ;   x; y; z    ; 1;  2 2  2 Vậy giá trị lớn biểu thức P Bài 5: Sưu tập Cho a  [1; 2] Chứng minh (2a  3a  4a )(6a  8a  12a )  24a1 1  BĐT  (2a  3a  4a )  a  a  a 2    24  Do a  [1; 2]   2a  4;3  3a  9;  4a  16   2a  16;  3a  16;  4a  16 (0.25đ) Với x  [2;16] ta có: Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Footer Page of 16 Page Header Page 5Bài of 16 toán Min Max xử lý phương pháp ép biên ( x  2)( x  16)   x  18 x  32   x  18  1  Từ suy ra: 32  a  a  a 2 32  18  x x  a a a   54  (2   )  1  54  (2a  3a  4a )   a  a  a  32  2 1  Khi đó:  (2a  3a  4a )  a  a  a 2 a a a a a a  (2   )[54  (2   )]   32  Bài : (Mẫn Ngọc Quang) Cho số thực a,b,c thỏa mãn:  (2a, b)   c Tìm MIN P 2a (b  c)  bc  ab a (b  c ) 4b( a  c)   72 2( a  b  2c )  28a  7b  2c  Ta có : 2(2a  b  c)2  5(2a  b)2   28a  7b2  2c  12ab  8ac  4bc 2a (b  c)  b(a  c)  a  b  2c  (2a, b)   c 3ab  2ac  bc 4a(b  c) 4b(a  c)   72 3ab  2ac  bc  12ab  8ac  2bc   ab  ac  3ab  2ac  bc 4b(a  c)    1 1 72   3ab  2ac  bc   3ab  2ac  bc   2 2   3t t   , t  3ab  2ac  bc  72 t  P Xét hàm số ta có kết dấu xảy : t = 11/2 , a = ½ , b = , c = Câu 7:Đề thi thử (Nhóm học sinh thầy Quang Baby) Cho số thực x, y, z thuộc  0;1 z   x, y, z Tìm GTNN biểu thức: P  x  z2 y  14 yz  z  y  z   x  1 y  1 z  1 x y z2 Lời giải Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Footer Page of 16 Page Header Page 6Bài of 16 toán Min Max xử lý phương pháp ép biên z Do z   x, y, z nên ta có x  z   x    2 Ta lại có z  y   y  z   y  y z  y z  yz  z  y  14 yz y  y z  y  y  14 yz  z  2  y  14 yz  z  Do ta có P  Ta có  x  z  2  y  z y z  x  2    y  z  2  y  14 yz  z  y  z  z  y  2     1  y y  z  z y  2   x  1 y  1 z  1 x yz2  z  z   x  y  z 2  x  y      2  Và  x  1 y  1 z  1    x  y  z    xy  yz  zx   xyz    x  y  z    xy  yz  zx  Lại có 1  x 1  y 1  z     x  y  z    xy  yz  zx   xyz   xy  yz  zx  x  y  z   xyz  x  y  z   P  Xét hàm số f  t   Ta có f '  t     x  y  z  16  x  y  z  x yz2 16t  với t  a  b  c t  0;3 t2 t  16 32  ; f '  t    t   f  t   f    10 t t  2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 10 , dấu "  " xảy x  y  1, z  Câu 8: Đề thi thử (Nhóm học sinh thầy Quang Baby) Cho số thực x, y , z  thõa mãn xyz   x  y  z Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Footer Page of 16 Tìm GTLN biểu thức Page Header Page 7Bài of 16 toán Min Max xử lý phương pháp ép biên P 2x2  x   y2  y   2z  z   x  y  z  2 xyz  Lời giải Cách 1: ép biên Ta có: x( x  1)   x  x   x  x   x  x   x  x   x  Tương tự ta có: Do : P  y  y   y  1; z  z   z  2x 1  y 1  2z 1 2( x  y  z )       2 ( x  y  z) xyz  ( x  y  z) x  y  z x  y  z (x  y  z) Xét hàm số f  t    với t  x  y  z  t t2 Hàm số f  t  nghịch biến nên P  f  t   f  3  Vậy giá trị lớn biểu thức P 1, dấu "  " xảy x  y  z  Câu 9: Đề thi thử 16 (Nhóm học sinh thầy Quang Baby) Cho  a, b, c  , a (4  a  b)  c(a  b) Tìm GTNN : P  1  a  b 1  b  c 1  c  a   16a  16bc  64a Ép biên :  a, b, c  *)a(4  a  b)  c(a  b)  4a  a  ac  bc  ab  (a  b)(a  c) *)16a  16bc  64a  16(ab  ac) *)(1  a  b)(1  c  a)(1  b  c)  (1  6a  b  c)(1  b  c)   6a  2b  2c  6a(b  c)  (b  c)  P   6a  2b  2c  6a(b  c)  (b  c)  16(ab  ac)   (2a  4a )  (b  c)  2b  2c  10a(b  c)   [2a]   4a  (b  c)    2b  2c   10a(b  c) Vi :  a, b, c   [2a ]  a (b  c),  4a  (b  c)2   4a (b  c),  2b  2c   2a (b  c)  P   a(b  c)  4a(b  c)  2a(b  c)  10a(b  c)    5 Bài 10 : Đề thi thử THPT Đào Duy Từ Năm 2012 Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Footer Page of 16 Page Header Page 8Bài of 16 toán Min Max xử lý phương pháp ép biên a, b, c   0,1 Chứng minh : P  a b c    abc   bc  ac  ab Giải: không làm tính tổng quát toán, ta giả sử:  a  b  c  Ta có: A  a b c b c bc    abc     bc  bc    bc  ac  ab  bc  bc  bc  bc  bc Ta có: 1  b 1  c     bc  b  c   Vậy nên: A  bc   bc 1  bc 1  bc Đặt t   ab 1  t   đó: 1 f  t   t   f '  t       :1  t   t t  f  t  đồng biến 1; 2  f  t max  f     a  b  c 1 Bài 11 : ( trích đề thi thử Đô Lương 1) Cho x, y, z   0; 2 ; xy  yz  zx  Tìm P  x  y  z  10  xy  yz  zx   96 x3  y  z Bài Làm:   Ta có: P   x  y  z   x  y  z  96 3 x  y3  z x  y  z   x  x    y  y    z  z      x  y  z    x  y  z  x  y   x  y  , z  z Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Footer Page of 16 Page Header Page 9Bài of 16 toán Min Max xử lý phương pháp ép biên Khi đo: P  5 x  y  z   8 x  y  z   96 2 x  y  z Đặt: t  x  y  z  t    P  5t  8t  48  Pmin  28  x  2, y  z  t Bài 12 : ( trích đề thi thử Đặng Thục Hứa 2016) a, b, c  1,3 , a  b  c  Tìm Max P a  b  5c  6abc   abc ab  bc  ca Bài Làm Ta đánh giá:  a  1 a   a  1 a     b   b  1 b   b  1   a  b  5a  5b  P  a  b  c   6abc  ab  bc  ca  abc Ta lại có:  a  1 b  1 c  1   abc    ab  bc  ca    abc  3    a   b   c    6abc  73 P  abc  10   Pmax   a  b  1, c  abc  Vậy Pmax   a  b  1, c  Bài 13) ( Trích đề thi thử Anh Sơn 2)giống câu (lời giải khác) Cho số thực a,b,c thỏa mãn: a   0,1 , b   0, 2 , c   0,3 Tìm Max P  2(2ab  bc  ac) 8b b    2a  b  3c b  c  b( a  c )  12a  3b  27c  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Footer Page of 16 Page Header Page 10 16 Min Max xử lý phương pháp ép biên Bàioftoán Giải: Ta có: 1  a  b  c    2a  b  3c  2ab  ca  bc    b  a  c   PTa có: b  c  a  b  c   2 2  12a  3b  27c   2a  b  3c   2ab  bc  ca  8b b P    2ab  bc  ca 2ab  bc  ca  2ab  bc  ca  Đặt t  2ab  bc  ca  t   P 2t 16 16    Pmax   a  1, b  2, c  1 t t  7 Vậy Pmax  16  a  1, b  2, c  Bài 14 ) Đề THPT Ngô Sĩ Liên x, y , z   0,1 Chứng minh : P  (1  1 1 )( x  y  z )     xyz x y z Giải: Ta có:  x  1 y  1   xy   x  y    1   xy x y 1 1 1    2     xy yz zx x y z   1 1 1  1  x  y  z      x  y  z  2     x  y  z  xy yz zx  xyz  x y z Ta có: P   Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Footer Page 10 of 16 Page 10 Header Page 11 16 Min Max xử lý phương pháp ép biên Bàioftoán 1 1 1 1 1       x  y  z        x  y  z   x  y  z   P  x  y  z   dpcm  x y z x y z x y z Dấu xảy  x  y  z  P Bài 15 (Sưu tập ) x, y, z  1, 4 , x  y  z  Tìm : P  z x2  y   8( x  y ) xyz Giải: z x2  y  z x2  y2 z P        2 2 2 xyz xyz xyz  x  y  z xyz 8 x  y  8 x  y   x  1 y  1   xy  x  y    z 2  x  y   z  10 z  26 Ta có:  P z 1     z  10 z  26  z z   z  2  z    z  45 z  117  Ta chưng minh: P   0 z   z   z  10 z  26  MaxP   x  y  1, z  Bài 16) ( Trích đề thi thử lần thư Thầy Đặng Thành Nam ) a, b, c   0,1 Tìm GTLN biểu thức: P  a b c    2(1  a)(1  b)(1  c) bc  ac  ab  Bài giải: ( Trích lời giải từ: Phong Đình Nhữ ) Giả sử c  b  a Ta có: 1  a 1  b    ab   a  b Ta chứng minh: Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Footer Page 11 of 16 Page 11 Header Page 12 16 Min Max xử lý phương pháp ép biên Bàioftoán 2a  a  bc   a  b   2bc   a  b  2b  b   2ca   a  b   ca  a  b  2c  c  ab   a  b   2ab   a  b  P  a  b  c  1  a 1  b 1  c 1  a  b   a  b  c  1  c     2 a  b 1 1 a  b a  b 1 1 a  b Dấu xảy  a  b  c  a  b  1, c  ( hoán vị)  1 Bài 17 ( Trích đề số 11 thầy Đặng Thành Nam ) a, b, c   0,  Tìm  2 P a b c    (1  a)(1  b)(1  c) b  c 1 a  c 1 a  b 1 Bài giải: ( Trích từ: Phong Đình Nhữ )  5   1  a  b  a  b    a  b  a  b  8      2 27     Áp dụng AM - GM ta có:   1 c  a   a    b       2    Ta có: 5   5   c  a  b b  a  c a   2    1 a 1 b 1 c P       b  c 1 8 5   5   c   a    b  b   a   c  a   2    1 a 1 b 1 c Đặt: f  a         b  c 1 8      Ta có: f  a    f   , f     Ta có ) f     bc  7  b  c    b  c    c  g  b  32 32  32 8 Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Footer Page 12 of 16 Page 12 Header Page 13 16 Min Max xử lý phương pháp ép biên Bàioftoán 3 8 Do  c    1   0, c  0;  32   2 1  f 0  g b  g    2 bc 1 ) f       8    b  c  Vậy Pmin  abc Bài 18 ) a, b, c  1,3 , a  b  c  Tìm max P  abc(a3  b3  c3 )2 Bài giải: Ta có: a  b3  c   a  b  c    a  b  b  c  c  a   216  18  ab  bc  ca   3abc Ta có:  a  3 b  3 c  3    ab  bc  ca    a  b  c   27  abc  27  abc   P  3  ab  bc  ca   27  216  18  ab  bc  ca   3  ab  bc  ca   27   P   ab  bc  ca   135   ab  bc  ca   2  P  7776 Vậy Pmax  7776  a  1, b  2, c  hoán vị Bài 19 ( Sưu tập ) : Cho a, b, c  1, 2 , a  b  c  Tìm GTLN của: P  a  c  21b  14 3 12(a  b )  28b  25 Giải: a  21a  20   a  1 a   a  5   c  21c  20 Ta có:  3a  7a   3c  7c  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Footer Page 13 of 16 Page 13 Header Page 14 16 Min Max xử lý phương pháp ép biên Bàioftoán P  21 a  b  c   40  14 28  a  b  c   Đặt: t  a  b  c  a  1 b  1 c  1  13 29  ab  bc  ca   t   a   b   c    Với  c  b  a   Bài 20 : Cho a  b  2c  ab  bc  ca  Tìm Giá trị lớn biểu thức: a  2b  4c    ab  bc  ca  b  ab  bc  3ac P  2a  4b  8c  18  Bài giải:  ) Từ giã thiết ta có:  b  a  b  c    b2  ca  b  a  c  b  ab  bc  3ac  b  ab  bc  3ac   ab  bc  ca    ab  bc  ca 2  ) Mặt khác ta lại có:  a  1   b   2   c  2   2a  4b  8c  18  a  b  2c   ab  bc  ca Suy ra: 2a  4b  8c  18  ab  bc  ca  ) Từ ta có: P  ab  bc  ca   ab  bc  ca  2 2 4  ab  bc  ca  2  2 a  b  c  Dấu bẳng xảy khi:  Bài 22 : Đề thi thử (Thầy Quang Baby) Cho số thực x, y, z  0;1 z   x, y, z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Footer Page 14 of 16 Page 14 Header Page 15 16 Min Max xử lý phương pháp ép biên Bàioftoán  y  z P xz  yz  1  y  y  z  xy  xz  yz  Lời giải Với toán có điều kiện biên x, y, z  0;1 tìm cách khai thác , dự đoán điểm rơi là: x  y  1, z  có chứa xy  xz  yz mẫu , hạng tử gợi ý cho xy  xz  yz dồn biến xy  xz  yz Hơn với Ta có: x,  0;1 Suy xx ,  y  z xz  x  y  z x x  z  x2  y  z  xx  z  Dấu A = B > Do đự đoán A.B A  B điểm rơi x = y = , z = nên khả x = x + z y = y + z hoàn toàn xảy Áp dụng BĐT phụ Cô-Si ngược ta có : Ta có: x2  y  z  2  x  y  z 2x  z x x  z Do P  2 2  yz  1 x2  y  z  2x  z  2y  z 2  yz  1  yz    2y  z y  y  z  xy  yz  xz  1  2   xy  xz  yz x yz xy  xz  yz A2 B ( A  B)   , x y x y Với điều kiện: x, y, z  0;1 , ta có: 1  x 1  x 1  x    xy  yz  xz   xyz  x  y  z  x  y  z Suy P  x  y  z  xy  xz  yz Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: x   y  z   x  y  z   x  y  z   xy  xz  yz  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Footer Page 15 of 16 Page 15 Header Page 16 16 Min Max xử lý phương pháp ép biên Bàioftoán Mà x, y, z  0;1 ,  x  y  z  x2  y  z   xy  xz  yz  Suy P  2( xy  xz  yz )  xy  xz  yz AM  GM  x  y  Dấu “=” xảy   z  Vậy giá trị nhỏ P MinP  đạt  x; y; z   1;1;0 GÓC NHÌN TỪ ĐỀ THI ĐẠI HỌC : Câu – 2014D: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện  x  2;  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  2y y  2x   x  y  y  3x   x  y  1 Bài giải: Do  x  nên  x  1 x    0, nghĩa x   x Tương tự y   y Suy P  x  2y y  2x x y     x  y  3x  y   x  y  1 x  y   x  y  1 Đặt t  x  y, suy  t  Xét f  t   Ta có f '  t   Mà f     t  1   t  1 t  , với  t  t   t  1 Suy f '  t    t  11 53 7 ; f  3  ; f    nên f  t   f  3  Do P  12 60 8 Khi x  1, y  P  x  7 Vậy Pmin    8 y  Câu 10 – 2015 : Cho số thực a, b, c thuộc đoạn 1;3 thỏa mãn điều kiện a  b  c  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Footer Page 16 of 16 Page 16 Header Page 17 16 Min Max xử lý phương pháp ép biên Bàioftoán Tìm giá trị lớn biểu thức P  a 2b  b c  c a  12abc  72  abc ab  bc  ca Bài giải: Đặt t  ab  bc  ca Ta có: 36   a  b  c   1 2 a  b    b  c    c  a    3t  3t Suy t  12   2 Mặt khác  a  1 b  1 c  1  nên abc  ab  bc  ca   t  5;   a   b   c   nên 3t   ab  bc  ca   abc  27  t  22 Suy t  11 Khi P  a 2b  b c  c a  12abc  72  abc ab  bc  ca  ab  bc  ca    72 abc t  72 t  t  5t  144     ab  bc  ca t 2t Xét hàm số f  t   t  5t  144 t  144 với t  11;12 Ta có f '  t   2t 2t Do f '  t   0, t  11;12 , nên f '  t  nghịch biến 11;12 Suy f  t   f 11  160 160 160 Do P   Pmax   a  1, b  2, c  hoán vị 11 11 11 chúng CÂU HỎI ĐẺ HỌC SINH SUY NGHĨ VÀ VẬN DỤNG Câu : Bài 20 : Cho x, y, z  1;3 Tìm Giá trị nhỏ biểu thức:  10  4608 P   x  y  3z   y  z      x  y  xy  z Câu : a, b, c  1; 2 Bài 21 (Đề thi thử 19 – Thầy Mẫn Ngọc Quang): Cho  a  b  c  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Footer Page 17 of 16 Page 17 Header Page 18 16 Min Max xử Bàioftoán x lý ng phương pháp ép biên Tìm Giá trị nhó biểu thứ ức:  c  1 P  2abc  10c   a  b  c  1  a  b  1  Thầy Quang Baby – Tr.Quang Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Footer Page 18 of 16 13 4c  13  Page 18 ... 2Bài of 16 toán Min Max xử lý phương pháp ép biên Bài : CHUYÊN ĐHSP HN Cho số thực a, b, c thay đổi thuộc đoạn [1;2] thỏa mãn a  b  c  Chứng minh đẳng thức: a2 b2 c2    bc  ac  ab  Bài. .. GTLN biểu thức Page Header Page 7Bài of 16 toán Min Max xử lý phương pháp ép biên P 2x2  x   y2  y   2z  z   x  y  z  2 xyz  Lời giải Cách 1: ép biên Ta có: x( x  1)   x  x... of 16 Page 14 Header Page 15 16 Min Max xử lý phương pháp ép biên Bàioftoán  y  z P xz  yz  1  y  y  z  xy  xz  yz  Lời giải Với toán có điều kiện biên x, y, z  0;1 tìm cách khai