Tổng hợp các thủ thuật làm nhanh trắc nghiệm môn Toán

GIỚI THIỆU MỘT SỐ THỦ THUẬT CƠ BẢN LÀM NHANH TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN Biên soạn: Nguyễn Phú Khánh - Nguyễn Chiến Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan cực trị hàm số y = ax + bx + c  b ∆   b ∆  b4 b b với ∆ = b − ac A (0; c ), B − − ; − , C  − ; −  ⇒ AB = AC = − , BC = −    a a   2a a  16a 2a 2a Gọi BAC = α , ta có: 8a (1 + cosα ) + b (1 − cosα ) = ⇒ cos α = b + 8a b2 b S = − b − 8a a 2a ∆ − b 4a cực trị: ab < Phương trình đường tròn qua A, B, C : x + y − (c + n ) x + c n = 0, với n = cực trị: ab ≥ a > : cực tiểu a < : cực đại a > : cực đại, cực tiểu a < : cực đại, cực tiểu Hàm số y = ax + bx + c có cực trị A ∈ Oy, B, C tạo thành: DỮ KIỆN Tam giác vuông cân CÔNG THỨC 8a + b = Tam giác 24 a + b = VÍ DỤ m ? để hàm số y = x + (m + 2015) x + có cực trị tạo thành tam giác vuông cân S∆ABC = S 8a + b tan α =0 32a (S ) + b = m ? để hàm số y = x + (m − 7) x có cực trị tạo thành tam giác có góc 120 r∆ABC = r0 BC = m0 S0 = − r0 = b5 32a b2  b   a 1 + −   a  am02 + 2b = Với a = 3, b = m − Từ 8a + 3b = ⇒ b = −2 ⇒ m = m ? để hàm số y = mx + x + m − có cực trị tạo thành tam giác có diện tích max (S0 ) x + 3(m − 2017) x có cực trị tạo thành tam giác vuông Với a = / 8, b = 3(m − 2017) Từ 24 a + b = ⇒ b = −27 ⇒ m = 2016 m ? để hàm số y = BAC = α Với a = 1, b = m + 2015 Từ 8a + b = ⇒ b = −8 ⇒ m = −2017 Với a = m, b = Từ 32a (S ) + b = ⇒ m + = ⇒ m = −1 m ? để hàm số y = x − 2(1 − m ) x + m + có cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn Với a = 1, b = −2(1 − m ) Từ S = (1 − m )5 ≤ ⇒ m = m ? để hàm số y = x − mx + đường tròn nội tiếp có cực trị tạo thành tam giác có bán kính Với a = 1/ 2, b = −m Từ r0 ⇒ m = m ? để hàm số y = m x − mx + − m có cực trị mà có BC = Với a = m , b = −m Từ am02 + 2b = ⇒ m = m ≠ AB = AC = n0 16a n02 − b + 8b = m ? để hàm số y = mx − x + m có cực trị mà có AC = 0,25 Với a = m, b = −1 Từ 16a n02 − b + 8b = ⇒ m = m > B, C ∈ Ox b − ac = m ? để hàm số y = x − mx + có cực trị tạo thành tam giác có B, C ∈ Ox Với a = 1, b = −m, c = Từ b − ac = ⇒ m = m > Tam giác cân A Phương trình qua điểm cực trị: Tam giác có góc nhọn 8a + b > Tam giác có tr tâm O b − 6ac = Tam giác có trực tâm O b + 8a − ac =  −b  ∆  x + c BC : y = − AB, AC : y = ±  4a  2a  m ? để hàm số y = −x − (m − 6) x + m + có cực trị tạo thành tam giác có góc nhọn Với a = −1, b = −(m − 6) Từ 8a + b > ⇒ b > ⇒ −2 < m < m ? để hàm số y = x + mx − m có cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm Với a = 1, b = m, c = −m Từ b − 6ac = ⇒ m = −6 m < m ? để hàm số y = x + mx + m + có cực trị tạo thành tam giác có trực tâm O Với a = 1, b = m, c = m + Từ b + 8a − ac = ⇒ m = −2 m < Thủ Thuật Giải Nhanh Trắc Nghiệm Toán R∆ABC = R0 R0 = m ? để hàm số y = mx + x + 2m −1 có cực trị tạo thành tam giác nội tiếp b − 8a 8ab Tam giác O tạo hình thoi b − 2ac = Tam giác, tâm O nội tiếp b − 8a − abc = Tam giác, tâm O ngọai tiếp b − 8a − 8abc = Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Chiến đường tròn có bán kính R = / b − 8a Với a = m, b = Từ R0 = ⇒ m = −1 m < 8ab m ? để hàm số y = x + mx + có cực trị gốc tọa độ O lập thành hình thoi Với a = 2, b = m, c = Từ b − 2ac = ⇒ m = −4 m < m ? để hàm số y = mx + x − có cực trị lập tam giác có O tâm đường tròn nội tiếp Với a = m, b = 2, c = −2 Từ b − 8a − abc = ⇒ m = −1 m < m ? để hàm số y = −mx + x − 2m −1 có cực trị lập tam giác có O tâm đường tròn ngoại tiếp Với a = −m, b = 1, c = −2m − Từ b − 8a − 8abc = ⇒ m = 0, 25 m > Hàm số y = ax + 2bx + c có cực trị A ∈ Oy, B, C tạo thành: DỮ KIỆN Tam giác vuông cân A Tam giác BAC = α S∆ABC = S CÔNG THỨC a + b3 = VÍ DỤ m ? để hàm số y = x + 2(m + 2016) x + 2016m − 2017 có cực trị tạo thành tam Với a = 1, b = m + 2016 Từ a + b = ⇒ b = −1 ⇒ m = −2017 giác vuông cân m ? để hàm số y = x + 2(m − 2020) x + 2017m + 2016 có cực trị tạo thành 3a + b = Với a = 9, b = m − 2020 Từ 3a + b = ⇒ b = −3 ⇒ m = 2017 tam giác a + b tan m ? để hàm số y = 3x + 2(m − 2018) x + 2017 có cực trị tạo thành tam giác có α =0 góc 120 Với a = 3, b = m − 2018 Từ a + b tan 60 = ⇒ b = −1 ⇒ m = 2017 a (S0 ) + b = m ? để hàm số y = mx + x + 2017m − 2016 có cực trị tạo thành tam giác có diện tích R∆ABC = R0 r∆ABC = r0 R0 = r0 = 2a Với a = m, b = Từ a (S0 ) + b = ⇒ m = −1  a  b −   b  m ? để hàm số y = mx − x + 2017m − 2016 có cực trị tạo thành tam giác có  a  bán kính ngoại tiếp Với a = m, b = −1 Từ R0 = b −  ⇒ m = a  b b2 m ? để hàm số y = x + 2(m + 5) x + 2016m + 2017 có cực trị tạo thành tam  b   a 1 + −   a  giác có bán kính nội tiếp Với a = 1, b = m + 5, r0 = ⇒ b ∈ {−2;1} ⇒ m = −7 ∨ m = −4 Tiệm cận: Tổng khoảng cách từ điểm M đồ thị hàm số y = Tương giao: Giả sử d : y = kx + m cắt đồ thị hàm số y = ax + b ad − bc đến tiệm cận đạt d = cx + d c2 ax + b điểm phân biệt M , N cx + d ax + b cho ta phương trình có dạng: Ax + Bx + C = thỏa điều kiện cx + d ≠ , có ∆ = B − AC cx + d ∆OMN cân O ∆OMN vuông O k +1 MN = ∆, MN ngắn 2 ( x + x )(1 + k ) + km = ( x x )(1 + k ) + ( x1 + x ) km + m = 2 A Với kx + m = tồn ∆, k = const Khối đa diện: loại {n, p } có D đỉnh, C cạnh, M mặt n.M = p.D = 2.C Euler : D + M = + C Khối đa diện Tứ diện Số đỉnh Số mặt Số cạnh Khối lập phương 12 Khối bát diện 12 Khối thập nhị diện ( 12 ) 20 30 12 Khối nhị thập diện ( 20 ) 12 30 20 Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan thể tích khối chóp Kí hiệu {3,3} {4,3} {3, 4} {5,3} {3,5} Thể tích V = ( /12)a V = a3 V = ( / 3)a V = (15 + 5)a / V = (15 + 5)a /12 TÍNH CHẤT HÌNH VẼ Cho hình chóp SABC với mặt phẳng (SAB ), (SBC ), (SAC ) vuông Cho hình chóp SABC với mặt phẳng (SAB ),(SBC ),(SAC ) vuông góc với đôi A một, diện tích tam giác SAB, SBC , SAC góc với đôi một, diện tích tam giác SAB, SBC , SAC S1 ,S2 ,S3 Khi đó: VS ABC = VÍ DỤ 15cm , 20cm ,18cm Thể tích khối chóp là: S C 2S1.S2 S3 B Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với ( ABC ) , hai mặt S SB sin 2α tan β 12 B Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên b S A C 3b sin β cos β 3 = ⇒ Chọn đáp án A 4 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30 Thể tích khối chóp S.ABC : a3 a3 a3 a3 A B D C 24 48 24 36 A M S A G M Khi đó: VS ABC = a tan β a 3 = ⇒ Chọn đáp án D 12 36 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a Thể tích khối chóp S.ABCD là: S D a 4b − 2a A M O C B VSABC = B Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = b a3 24 VS ABC = B Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β A VSABC = S G a tan β 12 2S1.S S3 C M B Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β Khi đó: VS ABC = a 20 a tan α a 3 = ⇒ Chọn đáp án C 24 24 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30 Thể tích khối chóp S.ABC : 3 3 3 D C A B 4 24 S G 3b sin β cos β D C M B Khi đó: VS ABC = a 20 a3 a3 a3 C D 12 24 12 a3 a = b ⇒ VSABC = ⇒ Chọn đáp án B 12 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Thể tích khối chóp S.ABC : a3 a3 a3 a3 B D A C 24 12 48 24 C A G Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc α a tan α Khi đó: VS ABC = 24 C ASB = 30o Thể tích khối chóp SABC là: 3a a3 a3 a3 A B D C 8 SB sin 2α tan β 3a VS ABC = = ⇒ Chọn đáp án A 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên a Thể tích khối chóp S.ABC là: C A a 3b − a 12 a 20 (SBC ) vuông góc với nhau, SB = a , BSC = 45o , với nhau, BSC = α, ASB = β Khi đó: VS ABC = B = a 20 ⇒ Chọn đáp án A Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , hai mặt phẳng (SAB ) VABCD = phẳng (SAB ) (SBC ) vuông góc Khi đó: VS ABC = A a 20 B a3 a3 B ⇒ Chọn đáp án C A C a3 D a3 Thủ Thuật Giải Nhanh Trắc Nghiệm Toán Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy α a tan α Khi đó: VS ABCD = Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Chiến S A D B S có cạnh đáy a, SAB = α , π π  với α ∈  ;    Khi đó: VS ABCD = a D tan α −1 C S A D (2 + tan α) B phẳng qua A song song với BC vuông góc với (SBC ) , góc F N A với BC vuông góc với (SBC ) , góc ( P ) với E x G a cot α 24 C M B mặt phẳng đáy 30 Thể tích khối chóp S.ABC là: a3 3a a3 a3 D C B A 8 24 a cot 300 a 3 = ⇒ Chọn đáp án A 24 24 Khối tám mặt có đỉnh tâm mặt hình lập phương cạnh a tích là: a3 a3 a3 a3 A C B D 12 ⇒ Chọn đáp án C VSABC = A' B' O' D' O1 C' O2 O4 A O3 B O D C S Cho khối tám mặt cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập phương G2 D A G1 2a Khi đó: V = 27 ⇒ Chọn đáp án B 27 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi ( P ) mặt phẳng qua A song song S ( P ) với mặt phẳng đáy α Khối tám mặt có đỉnh tâm mặt hình lập phương cạnh a a3 Khi đó: V = VS ABCD = C Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi ( P ) mặt Khi đó: VS ABCD = M O a tan α −1 a ⇒ Chọn đáp án B = 6 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên 1, góc tạo mặt bên mặt đáy 450 Thể tích khối chóp S.ABCD là: 4 D A B C 27 27 VSABCD = B a tan α M O a, SAB = 60 Thể tích khối chóp S.ABCD là: a3 a3 a3 a3 D B A C 12 A Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên a, góc tạo mặt bên mặt đáy α với  π α ∈ 0;    Khi đó: VS ABCD = VSABCD = C Cho hình chóp tứ giác S.ABCD a tan α a = ⇒ Chọn đáp án D 6 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy M O Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy 450 Thể tích khối chóp S.ABCD là: a3 a3 a3 a3 A D B C 12 6 N M C B S' Cho khối tám mặt cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập phương tích V Tỷ a3 số gần giá trị giá trị sau? V A 9,5 B 7,8 C 15, D 22,6 V= 2a a 27 ⇒ = ≈ 9,5 ⇒ Chọn đáp án A 27 V GIỚI THIỆU 500 CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN, OXYZ VÀ 300 CÔNG THỨC GIẢI .. .Thủ Thuật Giải Nhanh Trắc Nghiệm Toán R∆ABC = R0 R0 = m ? để hàm số y = mx + x + 2m −1 có cực trị tạo thành tam... ) vuông góc Khi đó: VS ABC = A a 20 B a3 a3 B ⇒ Chọn đáp án C A C a3 D a3 Thủ Thuật Giải Nhanh Trắc Nghiệm Toán Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy... có bán kính nội tiếp Với a = 1, b = m + 5, r0 = ⇒ b ∈ {−2;1} ⇒ m = −7 ∨ m = −4 Tiệm cận: Tổng khoảng cách từ điểm M đồ thị hàm số y = Tương giao: Giả sử d : y = kx + m cắt đồ thị hàm số y = ax