Một số công thức tính xác suất và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ THỊ KIM OANH MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - 2016 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS Cao Văn Nuôi Phản biện 1: TS Lê Văn Dũng Phản biện 2: PGS.TS Trần Đạo Dõng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết xác suất môn nghiên cứu tượng ngẫu nhiên đời vào cuối kỉ XVII Pháp Năm 1982, nhà toán học Laplace dự báo rằng: “Môn khoa học việc xem xét trò chơi may rủi hứa hẹn trở thành đối tượng quan trọng tri thức loài người” Ngày lý thuyết xác suất trở thành ngành toán học quan trọng, ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, môi trường …Vì lý thuyết xác suất nói riêng môn xác suất – thống kê nói chung vào giảng dạy hầu hết trường cao đẳng, đại học Trong lý thuyết xác suất hầu hết lĩnh vực việc xác định khả xảy kiện định quan trọng cần thiết Do nhiều phương pháp tính xác suất đời, công thức tính xác suất công cụ hiệu Các toán xác suất thường hay, thú vị trừu tượng nên giải toán xác suất người đọc cảm thấy khó, dễ nhầm lẫn, dễ bị sai thường lúng túng việc lựa chọn phương pháp hay công thức phù hợp người đọc không phân tích vấn đề cách chặt chẽ, xác Qua thực tiễn giảng dạy môn Xác suất – thống kê trường Cao đẳng công nghệ - kinh tế thủy lợi miền Trung, sinh viên làm quen với số quy tắc tính xác suất trường trung học phổ thông song đa số sinh viên thường thiếu kĩ năng, cảm thấy khó khăn vận dụng công thức tính xác suất vào việc giải toán xác suất cụ thể Ngoài việc tìm hiểu công thức tính xác suất nhu cầu cần thiết cho việc giảng dạy tác giả Chính lý mà tác giả nghiên cứu chọn đề tài:”Một số công thức tính xác suất ứng dụng” làm đề tài luận văn Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu hệ thống hóa công thức tính xác suất nhằm tạo điều kiện cho sinh viên học tập môn Xác suất – thống kê dễ dàng, thuận lợi Đồng thời giúp người đọc hiểu sâu sắc công thức xác suất vận dụng tốt vào việc giải toán xác suất từ đơn giản đến phức tạp Đề tài tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên nghiên cứu kiến thức liên quan đến đề tài Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu tổng quan kiến thức liên quan đến công thức tính xác suất Phạm vi nghiên cứu: Công thức cộng xác suất, xác suất có điều kiện, công thức nhân xác suất, công thức xác suất toàn phần, công thức Bayes, công thức Bernoulli, dạng toán áp dụng Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu, tìm hiểu tài liệu, giáo trình, sách tham khảo có liên quan đến luận văn Tìm hiểu kinh nghiệm giảng dạy giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tổng quan kiến thức bản, trọng tâm liên quan đến công thức tính xác suất áp dụng thông qua ví dụ, tập cụ thể Chứng minh chi tiết định lý xây dựng hệ thống toán lời giải với mức độ khó dễ khác nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Đồng thời tạo tài liệu phù hợp cho việc học tập, nghiên cứu sinh viên tiếp cận với môn học Xác suất – thống kê Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: Chƣơng 1: Các khái niệm mở đầu Trong chương trình bày khái niệm phép thử ngẫu nhiên biến cố, mối quan hệ biến cố, phép toán biến cố, hệ đầy đủ biến cố, số tính chất phép toán biến cố, không gian xác suất Chƣơng 2: Một số công thức tính xác suất Trong chương trình bày định nghĩa, tính chất, định lý, ví dụ công thức cộng xác suất, xác suất có điều kiện, công thức nhân xác suất, công thức xác suất toàn phần công thức Bayes, công thức Bernoulli Chƣơng 3: Một số dạng toán áp dụng Trong chương trình bày số dạng toán liên quan đến công thức tính xác suất, ứng dụng để giải toán liên quan đến công thức cộng xác suất, xác suất có điều kiện, công thức nhân xác suất, công thức xác suất toàn phần công thức Bayes, công thức Bernoulli CHƢƠNG CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1 PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN VÀ BIẾN CỐ 1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu Phép thử khái niệm lý thuyết xác suất mà dựa vào người ta xây dựng định nghĩa xác suất Cũng giống khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng,… phép thử khái niệm định nghĩa Ta hiểu phép thử thí nghiệm, quan sát hay phép đo … để ta nghiên cứu đối tượng hay tượng Các phép thử xảy nhóm điều kiện xác định cho trước gắn liền với thực Nhóm phải rõ ràng, ổn định trình nghiên cứu lặp lại nhiều lần Do vậy, việc thực nhóm điều kiện xác định để nghiên cứu tượng có xảy hay không gọi thực phép thử Hay nói cách khác làm cho nhóm điều kiện thỏa mãn ta làm phép thử Không gian mẫu tập hợp tất kết xảy phép thử, ký hiệu  Mỗi phần tử  gọi biến cố sơ cấp, ký hiệu  Do đó, không gian mẫu gọi không gian biến cố sơ cấp 1.1.2 Biến cố ngẫu nhiên a Biến cố (hay gọi kiện) Kết phép thử gọi biến cố hay kiện Dùng chữ A, B, C, … để ký hiệu cho biến cố b Phân loại biến cố Biến cố chắn biến cố luôn xảy thực phép thử, biến cố tương ứng với không gian mẫu nên ký hiệu  Biến cố biến cố không xảy thực phép thử, ký hiệu  Biến cố ngẫu nhiên biến cố xảy không xảy thực phép thử 1.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ Cho A B hai biến cố phép thử 1.2.1 Biến cố kéo theo Biến cố A gọi kéo theo biến cố B , ký hiệu A  B , biến cố A xảy biến cố B xảy 1.2.2 Biến cố Hai biến cố A B gọi A kéo theo B B kéo theo A , ký hiệu A  B 1.2.3 Biến cố xung khắc Hai biến cố gọi xung khắc chúng không đồng thời xảy thực phép thử 1.2.4 Biến cố đối lập Biến cố đối lập với biến cố A , ký hiệu A hay A c , biến cố xảy biến cố A không xảy 1.2.5 Biến cố đồng khả Các biến cố gọi đồng khả thực phép thử chúng có khả xảy 1.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN BIẾN CỐ Cho A B hai biến cố phép thử với không gian mẫu tương ứng  1.3.1 Phép hợp Tổng (hay hợp) hai biến cố A B , ký hiệu A  B A  B , biến cố xảy hai biến cố A B xảy Tổng quát: Tổng n biến cố A1 , A2 , , An biến cố xảy n biến cố xảy Ký hiệu tổng n biến cố A1  A2   An n k 1 Ak , A1  A2   An n A k 1 k 1.3.2 Phép giao Tích (hay giao) hai biến cố A B , ký hiệu AB hay A  B , biến cố xảy hai biến cố A B xảy Tổng quát: Tích n biến cố A1 , A2 , , An biến cố n  A , biến cố xảy tất i 1 i n biến cố xảy Tích n biến cố ký hiệu A1  A2   An n A1 A2 An Ak k 1 Đến ta thấy hai biến cố A B xung khắc A  B   Tương tự cho n biến cố A1 , A2 , , An xung khắc đôi Aj (i, j  1, n) Ai i j 1.3.3 Hiệu hai biến cố Hiệu hai biến cố A B, ký hiệu A \ B , biến cố xảy A xảy B không xảy Với A   , biến cố đối lập biến cố A A   \ A 1.4 HỆ ĐẦY ĐỦ CÁC BIẾN CỐ Dãy n biến cố A1 , A2 , , An hệ đầy đủ biến cố n chúng xung khắc đôi, i 1 Ai   P( Ai )  0, i Đặc biệt với biến cố A cho  P( A)  , hệ {A, A} hệ đầy đủ 1.5 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TOÁN VỀ BIẾN CỐ 1.6 ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT Định nghĩa 1.1 Cho phép thử có N () ( N ()  ) kết đồng khả năng, có N ( A) kết thuận lợi cho biến N ( A) cố A Khi tỉ số gọi xác suất biến cố A, ký hiệu N () P(A) 1.7 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT Định nghĩa 1.2  - đại số Cho tập    Lớp tập  gọi  - đại số nếu: -/  -/ A A -/  An  , n *  n 1 An  , An  Khi phần tử lớp gọi biến cố (, ) gọi không gian đo Nếu A ta nói A đo Định nghĩa 1.3 Cho không gian đo (, ) Một hàm P: gọi xác suất (hay độ đo xác suất ) thỏa mãn điều kiện: 10 CHƢƠNG MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 2.1 CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT 2.1.1 Công thức cộng xác suất cho trƣờng hợp biến cố xung khắc Định lý 2.1 Giả sử (, , P) không gian xác suất Nếu A B  hai biến cố xung khắc P( A  B)  P( A)  P(B) Định lý 2.2 Nếu n biến cố A1 , A2 , , An xung khắc đôi P  A1  A2  An   P  A1   P  A2   P  An  Hệ 2.1 [10] Nếu biến cố A1 , A2 , , An tạo nên hệ đầy đủ biến cố tổng xác suất chúng n Tức  P( A )  i 1 i 2.1.2 Công thức cộng xác suất cho trƣờng hợp biến cố tùy ý Định lý 2.3 Giả sử (, , P) không gian xác suất Nếu A B  P  A  B   P  A  P  B  – P  A  B  Định lý 2.4 Giả sử (, , P) không gian xác suất Nếu A, B C  ba biến cố P  A  B  C   P  A  P  B   P(C ) – [ P  AB   P( BC )  P( AC )]  P( ABC ) Định lí 2.5 Giả sử (, , P) không gian xác suất Cho n biến cố A1 , A2 , , An  Khi 11 n n i 1 i 1 P(  Ai )   P( Ai )   P( Ai Aj )  i j  P( A A A )   i  j k i j k i  j  k l P( Ai A j Ak Al )   ( 1)n 1 P( A1 A2 An ) 2.2 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN Định nghĩa 2.1 Giả sử (, , P) không gian xác suất, P(B) > 0, A, B  Xác suất có điều kiện biến cố A với điều kiện biến cố B xảy ra, ký hiệu P( A / B) định nghĩa P( A  B ) P( A / B )  (2.4) P( B ) Ngoài xác suất có điều kiện P  A / B kí hiệu PB ( A), P B ( A) Tương tự: Với P  A  , xác suất có điều kiện biến cố B với điều kiện biến cố A xảy ra, ký hiệu P  B / A xác định công thức P( B / A)  P( A  B ) P( A) Định lý 2.6 Giả sử (, , P) không gian xác suất Cho biến cố A1 , A2 , , , P( B)  P( A1  A2   An1 / B)  Khi P( A1  A2   An / B)  P( A1 / B) P( A2 / A1  B)  P( An / A1  A2   An 1  B) (2.5) Định lý 2.7 Xác suất có điều kiện thỏa mãn ba tiên đề xác suất:  P( A / B)  P( / B)  Nếu biến cố A1 , A2 , , An , đôi xung khắc Khi  P( i 1  Ai / B)   P( Ai / B) i 1 12 Định lý 2.8 Cho hai biến cố A B phép thử P( A)  0, P( B)  Khi ta có công thức nhân xác suất hai biến cố A B sau P( A  B)  P( A) P( B / A)  P( B) P( A / B) Định lý 2.9 Cho biến cố A1 , A2 , An (n  2) phép thử cho P( A1, A2 , An1 )  Khi ta có P( A1 A2 An )  P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 )  P( An / A1 A2 An 1 ) (2.6) 2.3 SỰ ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN CỐ Định nghĩa 2.2 Giả sử (, , P) không gian xác suất Hai biến cố A B  A  , B   gọi độc lập với P( A  B)  P( A)P(B) Định lý 2.10 Giả sử (, , P) không gian xác suất Nếu dãy biến cố A1 , A2 , , An  độc lập với P( A1 A2  An )  P( A1 ) P( A2 )P( An ) Hệ 2.2 Nếu A B độc lập với cặp biến cố A B , A B , A B độc lập với Định lý 2.11 Nếu biến cố A B1 độc lập, A B2 độc lập, B1  B2   A ( B1  B2 ) độc lập Định nghĩa 2.3 Dãy biến cố A1 , A2 ,, An gọi độc lập đôi với P( Ai Aj )  P( Ai ) P( Aj ) , i  j, (i, j  1, n) Định nghĩa 2.4 Dãy biến cố A1 , A2 ,, An , gọi độc lập toàn phần hay độc lập toàn thể P( Ai1 Aik )  P( Ai1 ) P( Aik ), với  k  n,  i1   ik  n Định lý 2.12 [10] Cho n biến cố A1 , A2 ,, An không xung khắc độc lập toàn phần Khi 13 n  n  P   Ai     P( Ai ) i 1  i 1  Đặc biệt: Nếu P( A1 )  P( A2 )   P( An )  p công thức có dạng sau n  n  P   Ai     P( Ai )   (1  p)n i 1  i 1  2.4 CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES 2.4.1 Công thức xác suất toàn phần Định lý 2.13 Cho hệ đầy đủ biến cố B1 , B2 ,, Bn A biến cố Khi xác suất biến cố A tính theo công thức sau n P( A)   P( Bk ) P( A / Bk ) (2.7) k 1 Công thức gọi công thức xác suất toàn phần hay công thức xác suất đầy đủ 2.4.2 Công thức Bayes Định lý 2.14 (Công thức Bayes) Cho hệ đầy đủ biến cố B1 , B2 ,, Bn A biến cố ( P( A)  0) Khi P( Bi ) P( A / Bi ) P( Bi / A)  n P ( B ) P ( A / B )  k k (2.8) k 1 2.5 CÔNG THỨC BERNOULLI 2.5.1 Lƣợc đồ Bernoulli công thức Bernoulli Dãy phép thử gọi độc lập với xác suất để xảy biến cố phép thử không phụ thuộc vào việc biến cố có xảy phép thử khác hay không Lược đồ Bernoulli dãy n phép thử giống hệt thỏa mãn 14 điều kiện sau: - Dãy độc lập - Trong phép thử xảy hai biến cố A A P( A)  p không đổi n phép thử cho (do - P( A)  q   p ) Liên quan đến lược đồ Bernoulli người ta quan tâm đến toán: “Tính xác suất để lược đồ Bernoulli biến cố A xuất k lần, ký hiệu xác suất Pn  k  ” Bài toán nhà bác học người Thụy Sĩ Bernoulli giải từ kỉ XVII nên gọi toán Bernoulli Xác suất xác định sau Pn (k )  Cnk p k qnk (với q   p ) (2.9) Đặc biệt + Nếu k  n P( H )  Pn (k )  p n + Nếu k  P( H )  Pn (k )  np(1  p)n1 Xét lược đồ Bernoulli với n phép thử Xác suất để biến cố A xuất với số lần nằm k1 k2 (0  k1  k2 ) xác định công thức Pn (k1 , k2 )  k2  Pn (k )  k k1 k2 C k k1 k n p k (1  p)n k (2.10) 2.5.2 Số lần có khả lớn Xét lược đồ Bernuolli với số lần thử n xác suất xuất biến cố A P  A  p Gọi k0 số lần xuất lớn Pn (k0 )  Pn ( k ) , k  0, n Đặt q   p Để tìm k0 ta cần xét dãy Pn (0), Pn (1), , Pn (k ), xem số lớn k ứng với số số k0 cần tìm Tuy nhiên việc tìm tất số nhiều thời gian ta tìm k0 dựa vào công thức sau 15 Pn (k  1) Cnk 1 p k 1qn k 1 n  k p    Pn (k ) Cnk p k qn k k 1 q Suy Pn (k  1)  Pn (k )  np  kp  kq  q  np  q  k ( p  q)  np  q  k Do  Nếu np q k0  np  q   Nếu np q có hai giá trị k0 k0  np  q có giá trị k0 k0  np  q  16 CHƢƠNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN ÁP DỤNG 3.1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT Bài toán 3.1.1 Một lớp có 100 sinh viên có 40 sinh viên giỏi Tin học, 30 sinh viên giỏi Toán, 20 sinh viên giỏi Tin học lẫn Toán Sinh viên giỏi hai môn khen thưởng vào cuối học kỳ Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp Tính xác suất để sinh viên khen thưởng vào cuối học kỳ Bài toán 3.1.2 Trên giá sách có n sách (n  4) có sách tác giả Tìm xác suất để hai ba đứng cạnh Bài toán 3.1.3 Một công ty sử dụng hai hình thức quảng cáo quảng cáo đài phát quảng cáo tivi Giả sử có 35% khách hàng biết thông tin quảng cáo qua tivi 30% khách hàng biết thông tin quảng cáo qua đài phát 20% khách hàng biết thông tin quảng cáo qua hai hình thức quảng cáo Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên khách hàng người biết thông tin quảng cáo công ty Bài toán 3.1.4 Bốn máy bay ném bom vào mục tiêu Mỗi máy bay ném bom, xác suất ném trúng mục tiêu máy bay tương ứng 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 Việc máy bay ném trúng mục tiêu hoàn toàn độc lập Tìm xác suất để mục tiêu bị trúng bom Bài toán 3.1.5 Phải tung xúc sắc tối thiểu lần để với xác suất không nhỏ 0,5 hi vọng có lần mặt chấm 17 Bài toán 3.1.6 Một rạp hát có n chỗ ngồi bán hết vé Các khán giả vào ngồi ngẫu nhiên Tìm xác suất để khán giả ngồi vị trí ghi vé Bài toán 3.1.7 [1] (Bài toán Banach) Một nhà toán học có bao diêm, bao diêm có n que diêm Ông để bên túi áo bao diêm Khi cần ông rút ngẫu nhiên bao diêm lấy que diêm để đánh lửa Tìm xác suất để ông phát bao diêm hết bao diêm k que diêm, (k  0, n) 3.2 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT Bài toán 3.2.1 Một thủ kho có chùm chìa khóa gồm 10 có mở cửa kho Người thử ngẫu nhiên chìa khóa một, thử không thử lại Tính xác suất để người mở cửa kho lần thử thứ Bài toán 3.2.2 Một người quên số cuối 10 số số điện thoại quay cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để người quay số mà lặp lại lần Bài toán 3.2.3 Hai em học sinh An Bình chơi trò chơi sau: Mỗi người rút viên bi từ hộp đựng bi trắng bi đen Bi rút không trả lại vào hộp Người rút bi trắng trước thắng Tính xác suất thắng người rút trước Bài toán 3.2.4 Xác suất để chuyến bay khởi hành 0,95, xác suất để đến 0,92, xác suất để khởi hành đến 0,9 Tìm xác suất để chuyến bay a Đến biết khởi hành b Khởi hành biết đến 18 c Đến biết khởi hành không Bài toán 3.2.5 Để thành lập đội tuyển quốc gia môn học, người ta tổ chức thi tuyển gồm vòng Vòng thứ lấy 80% thí sinh; vòng thứ hai lấy 70% thí sinh qua vòng thứ vòng thứ ba lấy 45% thí sinh qua vòng thứ hai Để vào đội tuyển, thí sinh phải vượt qua vòng thi Tính xác suất để thí sinh a Được vào đội tuyển b Bị loại vòng thứ ba 3.3 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỰ ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN CỐ Bài toán 3.3.1 Một cầu thủ ném bóng vào rổ trúng rổ dừng Tính xác suất để cầu thủ dừng ném lần ném thứ 5, biết xác suất trúng rổ lần ném 0,7 Bài toán 3.3.2 Để xem thi đậu thí sinh phải vượt qua ba vòng thi độc lập Xác suất để thí sinh vượt qua vòng thi tương ứng 0,9; 0,8; 0,8 Tính xác suất để thí sinh thi đậu Bài toán 3.3.3 Hai xạ thủ A B bắn vào bia Xác suất bắn trượt xạ thủ A 0,2 xạ thủ B 0,3 Tính xác suất a Chỉ có người bắn trúng bia b Cả hai bắn trượt c Có người bắn trúng bia Bài toán 3.3.4 Ba người chơi bóng rổ, ném độc lập người vào rổ Xác suất ném trúng rổ người 0,5; 0,6; 0,4 Tính xác suất để: 19 a Có người ném trúng rổ b Cả ba người ném trúng rổ c Có người ném trúng rổ Bài toán 3.3.5 Ba bác sĩ khám bệnh độc lập Xác suất chuẩn đoán sai bác sĩ tương ứng 0,01; 0,05 0,09 Ba người khám cho bệnh nhân Tìm xác suất để: a Không chuẩn đoán sai b Không chuẩn đoán c Có người chuẩn đoán 3.4 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES Bài toán 3.4.1 Hai người sản xuất loại sản phẩm với số lượng Xác suất để người thứ người thứ hai sản xuất phế phẩm tương ứng 0,03 0,04 Rút ngẫu nhiên sản phẩm, tính xác suất để sản phẩm phế phẩm Bài toán 3.4.2 Một cửa hàng máy tính chuyên kinh doanh loại nhãn hiệu IBM, Dell Toshiba Trong cấu hàng bán, máy IBM chiếm 50%; Dell 30% lại máy Toshiba Tất máy bán có thời hạn bảo hành 12 tháng Kinh nghiệm kinh doanh chủ cửa hàng cho thấy 2% máy IBM phải sửa chữa hạn bảo hành; tỷ lệ sản phẩm cần sửa chữa hai hiệu lại 4% 5% a Nếu có khách hàng mua máy tính, tìm khả để máy tính khách hàng phải đem lại sửa chữa hạn bảo hành b Có khách hàng mua máy tính tháng phải đem lại sửa chữa có trục trặc, tính xác suất mà máy khách thuộc hiệu Toshiba 20 Bài toán 3.4.3 Một nhà máy gồm phân xưởng Phân xưởng I đảm nhận sản xuất 50% sản phẩm nhà máy với tỉ lệ phế phẩm 5% Phân xưởng II đảm nhận sản xuất 30% sản phẩm nhà máy với tỉ lệ phế phẩm 3% Phân xưởng III đảm nhận sản xuất 20% sản phẩm nhà máy với tỉ lệ phế phẩm 1% Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ kho hàng nhà máy Tính xác suất để sản phẩm lấy phế phẩm Từ suy tỉ lệ phế phẩm nhà máy Bài toán 3.4.4 Có hai chuồng gà Chuồng I có gà trống gà mái Chuồng II có gà trống gà mái Bắt ngẫu nhiên gà từ chuồng I bỏ sang chuồng II Sau từ chuồng II bắt ngẫu nhiên gà Tính xác suất để gà gà mái Bài toán 3.4.5 Theo thống kê vùng có 65% đàn ông bị béo phì 55% phụ nữ bị béo phì Số đàn ông phụ nữ vùng coi Tỉ lệ người dân vùng bị béo phì bao nhiêu? Bài toán 3.4.6 Ba kiện hàng có 20 sản phẩm với số sản phẩm tốt tương ứng 15, 10, 17 Lấy ngẫu nhiên kiện hàng từ lấy sản phẩm a Tính xác suất để sản phẩm lấy sản phẩm tốt b Giả sử sản phẩm lấy sản phẩm tốt, tính xác suất để sản phẩm thuộc kiện hàng thứ ba Bài toán 3.4.7 Tại phòng khám chuyên khoa tỉ lệ người đến khám có bệnh 0,8 Người ta áp dụng phương pháp chuẩn đoán thấy khẳng định có bệnh 10 trường hợp; khẳng định bệnh 10 trường hợp Hãy tìm xác suất: a Chuẩn đoán có bệnh 21 b Chuẩn đoán Bài toán 3.4.8 Trong hộp đựng bi xanh bi đỏ, lần thứ lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi quan sát bi đỏ bỏ viên bi vào hộp với viên bi đỏ khác nữa, viên bi xanh bỏ viên bi vào hộp viên bi xanh khác Lần thứ hai lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi a Tính xác suất bi lấy lần hai viên bi xanh b Giả sử bi lấy lần hai bi xanh, tính xác suất để bi xanh bi hộp lúc ban đầu (không phải bi bỏ vào) Bài toán 3.4.9 Một hộp có bi xanh bi vàng Lần lấy ngẫu nhiên bi từ hộp, lần lấy ngẫu nhiên bi a Tìm xác suất để bi lấy lần bi xanh b Biết bi lần bi vàng, tìm xác suất để bi lấy lần bi xanh Bài toán 3.4.10 Trên tàu điện có n hành khách Đến ga người xuống ga với xác suất p Có hành khách lên với xác suất  p0 không lên thêm với xác suất p0 Tìm xác suất để sau lần dừng tàu có n hành khách Bài toán 3.4.11 (Bài toán người đánh bạc phá sản) Một niên mong muốn mua xe với giá n đôla Trong túi có k đôla (  k  n ) Anh ta định kiếm n – k đôla lại cách đánh bạc, chơi trò chơi sấp ngửa Ở ván chơi, đồng xu tung lên Nếu đồng xu xuất mặt sấp đôla, đồng xu xuất mặt ngửa đôla Anh ta định chơi tới kiếm đủ n đôla k đôla (bị phá sản) Tìm xác suất để bị phá sản 22 3.5 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÔNG THỨC BERNOULLI Bài toán 3.5.1 Xác suất thành công ca phẫu thuật tim 0,7 Tiến hành phẫu thuật tim cách độc lập cho 10 em bé Tính xác suất để 10 ca phẫu thuật đó: a Có ca thành công b Có từ đến ca thành công Bài toán 3.5.2 Theo dõi kết điều tra bệnh lao vùng thấy tỉ lệ người bị lao 0,002 Tính xác suất để khám 15 người thấy: a Không có người bị lao b Có người bị lao c Ít người bị lao Bài toán 3.5.3 Hai người Minh Thanh thi đấu cờ Xác suất thắng Minh ván cờ 0,6 (không có hòa) Trận đấu bao gồm ván đấu Người thắng với số ván thắng lớn người thắng Tìm xác suất để Thanh thắng Bài toán 3.5.4 Xác suất để chai bị bị vỡ trình vận chuyển từ nhà máy sản xuất đến nơi tiêu thụ 0,001 Tìm xác suất để vận chuyển 12000 chai bia có chai bị vỡ Bài toán 3.5.5 Thực 30 lần gieo liên tiếp đồng xu có xác suất xuất mặt sấp 0,52 Tính số mặt sấp có khả xác suất tương ứng Bài toán 3.5.6 Từ lô trái có tỉ lệ trái hỏng 5% , người ta chọn ngẫu nhiên để kiểm tra a Hỏi phải kiểm tra trái để xác suất có trái hỏng không bé 90% ? 23 b Giả sử việc kiểm tra dừng lại phát trái bị hỏng Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại lần kiểm tra thứ 10 Bài toán 3.5.7 Tỉ lệ phế phẩm lô hàng 1% Hỏi cần chọn mẫu (chọn có hoàn lại) sản phẩm cho xác suất để mẫu có phế phẩm lớn 0,95 24 KẾT LUẬN Dưới hướng dẫn TS Cao Văn Nuôi hoàn thành luận văn tiến độ đạt mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu đề Cụ thể luận văn đạt kết sau : Luận văn trình bày cách rõ ràng, có hệ thống tổng quan kiến thức liên quan đến công thức xác suất Luận văn lựa chọn phân loại hệ thống tập phong phú từ đến nâng cao Ở chương nghiên cứu trình bày cách đa dạng dạng toán xác suất, ứng dụng cho kiến thức trình bày chương trước Kết luận văn nhằm giúp sinh viên học tập tốt môn Xác suất – thống kê tài liệu tham khảo cho thầy cô giảng dạy môn Xác suất – thống kê Tuy nhiên, hạn chế mặt thời gian, kinh nghiệm luận văn bước đầu cho việc nghiên cứu khoa học nên kết đạt luận văn khiêm tốn số khía cạnh chưa nghiên cứu sâu Đó mục tiêu đề thực thời gian đến ... liên quan đến công thức tính xác suất Phạm vi nghiên cứu: Công thức cộng xác suất, xác suất có điều kiện, công thức nhân xác suất, công thức xác suất toàn phần, công thức Bayes, công thức Bernoulli,... A tính theo công thức sau n P( A)   P( Bk ) P( A / Bk ) (2.7) k 1 Công thức gọi công thức xác suất toàn phần hay công thức xác suất đầy đủ 2.4.2 Công thức Bayes Định lý 2.14 (Công thức Bayes)... số công thức tính xác suất Trong chương trình bày định nghĩa, tính chất, định lý, ví dụ công thức cộng xác suất, xác suất có điều kiện, công thức nhân xác suất, công thức xác suất toàn phần công