các dạng toán hay và khó có lời giải

GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 B CÁC CÂU H I CHINH PH C I M – – 10 Giáo viên: Nguy n Thanh Tùng BÀI H oc 01 Câu (Nguy n Thanh Tùng) Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình bình hành ABCD có A( 2; 0) ng th ng  6  có ph ng trình x  y  qua C ch có m t m chung C v i hình bình hành G i H   ;  , K l n l t  5 24 hình chi u vuông góc c a B, D lên  Di n tích hình thang BHKD b ng Tìm t a đ đ nh l i c a hình bình hành ABCD bi t đ ng th ng BD qua m M ( 2; 6) K có hoành đ d ng ie uO nT hi D Câu (Nguy n Thanh Tùng) Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC vuông t i A ( AB  AC ) Trên c nh  60 15  AB l y m I cho AI  AC ng tròn đ ng kính IB c t BC t i M  ;  c t đ ng kéo dài CI t i  17 17  N (4; 1) Tìm t a đ đ nh c a tam giác ABC bi t A thu c đ ng th ng 2015 x  2016 y  ro up s/ Ta iL Câu (Nguy n Thanh Tùng) Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho t giác ABCD n i ti p đ ng tròn (T ) Bi t AC 5   3 vuông góc v i BD t i E (1; 1) G i M  ; 3  trung m c a AB N  0;  m thu c c nh DC cho 2   4 CN  3DN Vi t ph ng trình đ ng tròn (T ) bi t C có hoành đ d ng bo ok c om /g Câu (Nguy n Thanh Tùng) Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC vuông t i A n i ti p đ ng tròn   (T ) C (1; 0) Bi t ti p n c a đ ng tròn (T ) t i B c t AC t i E G i F   ;  m thu c đo n BE    5 J   ;  tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác AEF Tìm t a đ đ nh l i c a tam giác ABC bi t D (2;1)  4 thu c đ ng tròn (T ) ce ng trình sau có b n nghi m th c phân bi t: 3( x 1) log  x  x  3  fa Câu Tìm m đ ph w Câu Cho a  , tìm t t c b ba s th c ( x, y, z ) cho y  th a mãn ph x m log  x  m   ng trình : w w  z  y2 0 Câu (Nguy n Thanh Tùng) Tìm s nghi m th c c a h ph ng trình sau:   x  y    x  y   3x2  y    x  y  x y  2016 Câu Khi ch i trò ch i súc s c có hai cách ch i nh sau: Cách 1: Gieo đ ng th i l n súc s c, n u xu t hi n m t m t ch m th ng Cách 2: Gieo 24 l n súc s c, n u l n gieo c súc s c đ u xu t hi n ch m th ng V y n u b n ng i ch i b n s ch n cách ? log a2 ( xy )  log a  x y  xyz   Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Câu (Nguy n Thanh Tùng) Trong m t cu c thi v “b a n dinh d ng”cho gia đình Ban t ch c yêu c u đ đ m b o l ng dinh d ng m i gia đình c n nh t 900 đ n v Protein 400 đ n v Lipit th c n hàng ngày Bi t kg th t bò ch a 800 đ n v Protein 200 đ n v Lipit, kg th t l n ch a 600 đ n v Protein 400 đ n v Lipit M i gia đình ch đ c mua t i đa 1,6 kg th t bò 1,1 kg th t l n Giá kg th t bò 100.000 VND kg th t l n giá 70.000 VND K t thúc cu c thi có m t gia đình giành gi i nh t kh u ph n th c n cho m t ngày đ m b o ch t dinh d ng chi phí b nh t có th H i gia đình mua s kg th t bò, th t l n ? 8 x  18 y  36 xy  xy  x  y  Câu 10 Gi i h ph ng trình  ( x, y  ) 2 3y       x y x 4 x  x2  x  ng trình sau t p s th c: 01 H oc hi D nT Ta Câu 14 (Nguy n Thanh Tùng) Gi i h ph uO Câu 13 (Nguy n Thanh Tùng) Gi i h ph  x2  1  x  x  1 x  x  xy 1  y  y   y  ng trình   x, y    x  x 1  2 (8 x  4) 2(1  x )  y  y  y  x  x  x  x  ng trình:   x, y    2 2 x y  2( x  2)  ( xy  y  x  3) y  10  y  x    x   y x    x  ng trình  ( x, y  ) 2 3 xy  x  y    ie Câu 12 (Nguy n Thanh Tùng) Gi i h ph x2  x  iL Câu 11 Gi i b t ph         bo ok c om /g ro up s/ 3 2(1  y )  y x  2 xy  y  Câu 15 (Nguy n Thanh Tùng) Gi i h ph ng trình  ( x, y   )  x ( x  6)  x(12  y )   x2   x y2   y   Câu 16 (Nguy n Thanh Tùng) Gi i h ph ng trình  ( x, y  ) 7  x    y   y  Câu 17 (Nguy n Thanh Tùng) Cho a, b, c s th c th a mãn  a  b   c 2b  c  4(2a  b  c)  18 13 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P  ab  bc  ca  2a  5b  b  4bc ce   Câu 18 (Nguy n Thanh Tùng) Cho a, b, c s th c d ng th a mãn 5a  12abc  16b  27c  60 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c T  a  2b  3c Câu 19 (Nguy n Thanh Tùng) Cho x, y, z s th c không âm, th a mãn y  z  w w w fa Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: T  x x  13 y  z   18 x  y  yz Câu 20 (Nguy n Thanh Tùng) Cho x, y, z s th c không âm th a mãn x  y  x  y  z  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P  H x y 12 xz  y  xy   4( x  y ) ( x  y  z ) NG D N GI I Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài (Nguy n Thanh Tùng) Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình bình hành ABCD có A( 2; 0) ng th ng  6  có ph ng trình x  y  qua C ch có m t m chung C v i hình bình hành G i H   ;  , K l n l t  5 24 hình chi u vuông góc c a B, D lên  Di n tích hình thang BHKD b ng Tìm t a đ đ nh l i c a hình bình hành ABCD bi t đ ng th ng BD qua m M ( 2; 6) K có hoành đ d ng Gi i: M(-2;6) B(?) :3x+y=0 01 A(-2;0) H oc I H(-2/5;6/5) C(?) D(?) hi D I' nT A' uO K G i I tâm c a hình bình hành ABCD A ', I ' l n l ie t hình chi u vuông góc c a A, I lên  Khi II ' đ om /g ro up s/ Ta iL ng trung bình c hình thang BHKD tam giác AA ' C Do ta có: BH  DK  II '  AA '  d ( A, )  10 24 ( BH  DK ).HK 10 2.S BHDK Lúc S BHDK   HK    BH  DK 10 2 128  128  2    t     3t    5  5   18   5t  4t  12   t  ho c t  2 (lo i)  K  ;   5  ng trình KD : x  y  12  BH : x  y   fa Cách 1: Khi ph ce bo ok c G i K  t; 3t    v i t  , : HK  w w  3b  3d  b  d ; G i D(3d  12; d ) B (3b  4; b)  I  2     C  3b  3d  10; b  d   w  B (3b  4; b) Ta có Do C    3.(3b  3d  10)  b  d   d  b     D (3b  3; b  3)  MB  (3b  2; b  6)  MD  (3b  5; b  9)  B (1;1) Do M  BD nên : (3b  2)(b  9)  (b  6)( 3b  5)  48b  48  b     C (1; 3)  D (0; 4) V y B ( 1;1), C (1; 3), D(0; 4) Cách 2: Trình bày gi ng Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài (Nguy n Thanh Tùng) Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC vuông t i A ( AB  AC ) Trên c nh  60 15  AB l y m I cho AI  AC ng tròn đ ng kính IB c t BC t i M  ;  c t đ ng kéo dài CI t i  17 17  N (4; 1) Tìm t a đ đ nh c a tam giác ABC bi t A thu c đ ng th ng 2015 x  2016 y  Gi i: C H oc 01 1 I B nT A hi D M uO Ta iL N ie bo ok c om /g ro up s/   CMI   1800  ACMI n i ti p đ ng tròn Ta có CAI   I  450  I  M M  M   900   M AMN  900 hay AM  MN 1 4   32  Ta có MN   ;    (1; 4) , suy ph ng trình AM : x  y   17 17  17 x  y  Khi t a đ m A nghi m c a h :   x  y   A(0; 0) 2015 x  2016 y    C   450  M  450  MI phân giác c a góc  Ta có M AMN ce   900  BAC   ACBN n i ti p đ M t khác, BNC B N  ng tròn  N 1 w fa  , suy I tâm c a đ ng tròn n i ti p tam giác AMN Suy NI phân giác c a MNA Ph ng trình AN : x  y  ; AM : x  y  MN : x  y  15  w w x  y  15 x  4y 3x  y  15  ng trình phân giác c a góc    AMN th a mãn: 17 17 5 x  y  15  Do A, N khác phía v i MI nên ph ng trình MI : x  y  15   BC : x  y  15  Ph x  y  15 x  4y x  y   ng trình phân giác NC c a góc    ANM th a mãn: 17 17 x  y   Do A, M khác phía so v i NC nên NC có ph ng trình: x  y   Ph x  y   x  Suy t a đ m C nghi m c a h :    C (0; 3) 3 x  y  15  y  Khi AB qua A(0; 0) vuông góc v i AC nên có ph ng trình: y  Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 y  x  Suy t a đ m B nghi m c a h    B (5; 0) 3 x  y  15  y  V y A(0;0), B (5;0), C (0;3) Chú ý: Trong hình v toán này, ta có th khai thác thêm tính ch t ED  AN đ sáng t o đ m i, v i E giao m c a AB MN D giao m th hai c a đ ng tròn đ ng kính IB v i AN H oc 01 C E A hi D M B D ie uO nT I s/ Ta iL N Gi i B w fa ce bo ok c om /g ro up Bài (Nguy n Thanh Tùng) Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho t giác ABCD n i ti p đ ng tròn (T ) Bi t AC 5   3 vuông góc v i BD t i E (1; 1) G i M  ; 3  trung m c a AB N  0;  m thu c c nh DC cho 2   4 CN  3DN Vi t ph ng trình đ ng tròn (T ) bi t C có hoành đ d ng M w w (T) A E I D N C Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Do ABCD n i ti p đ  C  (cùng ch n cung AD ) (1) ng tròn nên B 1 E E  (2) Ta có EM trung n c a tam giác vuông AEB nên EMB cân t i M hay B 1 E  T (1) (2), suy C E   900  C E   900 , suy ME  DC M t khác, E 5 hi D nT Ta iL ie uO    4t   ;  t  EC   4t  2;3t  1 Suy ED         4t   Khi ED  EC  ED.EC      (4t  2)  (2  t ).(3t  1)    C (3;3)  5t  3t    t  ho c t   (lo i), suy   D (1; 0) H oc 01  x  1  4t  3 Khi DC qua N  0;  vuông góc v i EM nên có ph ng trình: 3x  y      4  y  3t    Suy C ( 1  4t;3t ) (v i t  )  CN    4t ;  3t  4   1  4t  xD  4t      xD    4t  Ta có CN  ND   ;1  t   D 3       3t   yD    yD   t   4 s/  A( a; 2a  3)  CE ng trình CE : x  y   DE : x  y   , suy   B ( 2b  1; b)  DE a  2b   a   A(0; 3) Do M trung m c a AB nên    2a   b  6 b  3  B(5; 3) om /g ro up Khi ph ng tròn (T ) , đó: c G i I tâm c a đ fa ce bo ok   x   IA2  IB  x  ( y  3)2  ( x  5)2  ( y  3) 5 1 IA  IB  ID      I  ;  2 2 2 2  x  ( y  3)  ( x  1)  y  IA  ID y    V yđ 2 ng tròn (T ) c n l p có ph 5  1 25  ng trình:  x     y    2  2  w w w Bán kính c a (T ) là: R  IA  Bài (Nguy n Thanh Tùng) Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC vuông t i A n i ti p đ ng tròn (T )   C (1; 0) Bi t ti p n c a đ ng tròn (T ) t i B c t AC t i E G i F   ;  m thu c đo n BE    5 J   ;  tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác AEF Tìm t a đ đ nh l i c a tam giác ABC bi t D (2;1)  4 thu c đ ng tròn (T ) Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Gi i: B D 01 C ng tròn (T ) , lúc ta s ch ng minh M c ng thu c đ ie G i M giao m c a CF đ uO nT A hi D J E I M H oc F ng tròn ngo i ti p tam 1 s/ Ta iL giác AEF hay ta s ch ng minh AEFM n i ti p đ ng tròn tâm J Th t v y: B  (cùng ph v i  M  (cùng ch n cung AC ) Ta có E ACB ) B up M E   FMA M   FMA   1800 , suy AEFM n i ti p đ Suy E 1 1 ro  x   3t  M (1  3t; 4t ) ng th ng CF là:   y  4t /g ng trình đ om Ph ng tròn tâm J (*) 2 bo ok c 7  5  Khi t (*), suy ra: JM  JF  JM  JF   3t     4t     50t  41t   4  4  w w ph ng trình trung tr c d1 c a DC : x  y   ng trình trung tr c d c a MC là: x  y   w Ta có ph fa ce   32    M  25 ; 25  t   25    32    M ;      25 25  t   M   ;2  F      Khi t a đ tâm I c a đ ng tròn (T ) ngo i ti p tam giác ABC (hay ngo i ti p tam giác MBC ) x  y   x  nghi m c a h :    I 1;1 3 x  y   y 1 Do ABC vuông t i A , suy I trung m c a BC , B (1; 2) ng tròn ngo i ti p tam giác ABC ngo i ti p tam giác AEF l n l x  y  x  y   x  y  x  y   2 Suy t a đ m A nghi m c a h : t có ph ng trình: Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  x x2  y2  2x  y 1   x    32   25  A (0;1) ho c A  ho c     ;   M (lo i) 32 y  x  y  x  y    25 25   y    2  25 V y A(0;1), B (1; 2) Bài Tìm m đ ph ng trình sau có b n nghi m th c phân bi t: 3( x 1) log  x  x  3  x m log  x  m   Gi i ng đ ng: 3x  3x log  x  x  3  32 x  m log  x  m    x 1 log  x  x  3  32 x  m  2.log  x  m   (*)  x 3 Xét hàm đ c tr ng f (t )  3t.log t v i t  3t  v i t   f (t ) đ ng bi n v i t  t.ln uO nT Khi (*)  f ( x  x  3)  f  x  m    x  x   x  m  hi D Ta có: f '(t )  3t.ln 3.log3 t  01 ng trình t H oc Ph  x  2m  (1)  x  2x 1  x  m    x  x  2m   (2) +) Ph ng trình (1) có hai nghi m phân bi t ch 2m    m   +) Ph ng trình (2) có hai nghi m phân bi t ch  '   2m   m   +) G i x0 nghi m chung c a (1) (2) ta có: /g ro up s/ Ta iL ie bo ok c om 2 m  1  x0  2m  2m   x0  2m   x0   m  1     2  x x x x       x 2(  1)     x0  x0  2m     0 0   ng trình (*) có b n nghi m th c phân bi t ph ng trình (1) (2) đ u có hai nghi m phân bi t    m     m   (1) (2) nghi m chung  m     2  m  1 m  1   w w w fa ce V y đ ph Bài Cho a  , tìm t t c b ba s th c ( x, y, z ) cho y  th a mãn ph log a2 ( xy )  log a  x y  xyz   ng trình :  z  y2 0 Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Gi i  xy   xy   xy   3   i u ki n  x y  xyz    xy ( x y  z )    x y  z     2 4 z  y  4 z  y 4 z  y Do y   y   z  y   z  1 , x y  z  x y   x y  xy  xy 4  x y  xyz  xy ( x y  z )  ( xy ) 2  4z  y2  log 2a ( xy )  log a  xy    log 2a ( xy )  log a  xy   2 01 Suy log a2 ( xy )  log a  x y  xyz     log a ( xy )  2  H oc iL ie uO nT hi D a  a   y2     x   x  z    ho c  D u đ ng th c x y ch    y   y    xy      1 z  log ( xy )  2 z   a  4   x c  x4  y6   3 2x4  y6   x  y3   2  y3    x  y   2 2x  y    x  y3  2 bo ok Bi n đ i : om /g ro up s/ Ta Bài (Nguy n Thanh Tùng) Tìm s nghi m th c c a h ph ng trình sau:   x  y    x  y   x  y (1)    x  y  x y  2016 (2) Gi i i u ki n: x y   2x  y   x  y  x  y  3x  y  x  y ce D u “=” x y x2  y , (1)  x  y3 ng trình (2) có d ng: t  t  t  2016  (3) w fa t x  t  y  t , ph w w Xét hàm s t  t  t  2016 t  f (t )  t  t  t  2016   t  t  t  2016 t  +) Khi t  , ta có: f '(t )  4t  3t   (*) t  +) Khi t  , ta có: f '(t )  4t  3t  ; f ''(t )  12t  6t V i f ''(t )   12t  6t    t    2 Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ng trình f (t )  có nghi m trái d u uO nT Vì ng v i m i giá tr t , cho ta nh t m t b ( x; y ) Do h ph ng trình cho có nghi m hi D T b ng bi n thiên, suy ph H oc 01 Suy f '(t )  , t  (2*) T (*) (2*) ta có b ng bi n thiên:   c m t ch m” phép th “ giao đ ng th i l n súc s c” bo ok Khi A1 bi n c “ không đ c om /g ro up s/ Ta iL ie Bài Khi ch i trò ch i súc s c có hai cách ch i nh sau: Cách 1: Gieo đ ng th i l n súc s c, n u xu t hi n m t m t ch m th ng Cách 2: Gieo 24 l n súc s c, n u l n gieo c súc s c đ u xu t hi n ch m th ng V y n u b n ng i ch i b n s ch n cách ? Nh n xét Nhìn vào toán khó có th xác đ nh cách s th ng d h n Do v y ta c n ngh đ n vi c so sánh xác su t đ th ng theo cách cách Gi i i v i cách 1: G i A1 bi n c “ đ c nh t m t m t ch m” phép th “ giao đ ng th i l n súc s c” ce n( A1 ) 5.5.5.5   Suy xác su t : P A1    n(1 ) 6.6.6.6     w w w fa 5 V y xác su t đ th ng theo cách là: P ( A1 )   P A1      0, 517 6 i v i cách 2: G i A2 bi n c “ít nh t m t l n xu t hi n m t ch m” phép th “ gieo 24 l n đ ng súc s c” Khi A2 bi n c “không l n xu t hi n m t ch m” phép th “ gieo 24 l n đ ng súc s c”   Suy xác su t : P A2  24 n( A2 ) 35.35 35  35     n(2 ) 36.36 36.36  36    24  35  V y xác su t đ th ng theo cách là: P ( A2 )   P A2      0, 491  36  Nh v y P ( A1 )  P( A2 ) V y ta nên ch i theo cách Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài (Nguy n Thanh Tùng) Trong m t cu c thi v “b a n dinh d ng”cho gia đình Ban t ch c yêu c u đ đ m b o l ng dinh d ng m i gia đình c n nh t 900 đ n v Protein 400 đ n v Lipit th c n hàng ngày Bi t kg th t bò ch a 800 đ n v Protein 200 đ n v Lipit, kg th t l n ch a 600 đ n v Protein 400 đ n v Lipit M i gia đình ch đ c mua t i đa 1,6 kg th t bò 1,1 kg th t l n Giá kg th t bò 100.000 VND kg th t l n giá 70.000 VND K t thúc cu c thi có m t gia đình giành gi i nh t kh u ph n th c n cho m t ngày đ m b o ch t dinh d ng chi phí b nh t có th H i gia đình mua s kg th t bò, th t l n ? Gi i G i x, y l n l t s kg th t bò th t l n mà m t gia đình tham d cu c thi mua Khi đó: +) S đ n v Protein dùng là: 800 x  600 y (đ n v ) +) S đ n v Lipit dùng là: 200 x  400 y (đ n v ) H oc 01 800 x  600 y  900 8 x  y  200 x  400 y  400 x  y    (*) Theo gi thi t   0  x  1, 0  x  1, 0  y  1,1 0  y  1,1 hi D Chi phí b đ mua nguyên li u là: T ( x; y )  100000 x  70000 y (VN ) Ta iL ie uO nT Lúc ta c n tìm x, y th a mãn (*) đ T ( x; y ) đ t giá tr nh nh t Trong m t ph ng Oxy ta s bi u di n ph n m t ph ng ch a m M ( x; y ) th a mãn u ki n (*) y=1,1 up A 1,1 s/ 1,5 B ro x=1,6 /g M 0,7 O 0,3 C 0,6 1,5 1,6 x+2y=2 8x+6y=9 w fa ce bo ok 0,2 c om D w w Ta xét đ nh c a mi n khép kín th a mãn u ki n (*) : A(0,3;1,1) , B (1, 6;1,1) , C (1, 6; 0, 2) D (0, 6; 0, 7) Ta có T ( A)  107000 VN , T ( B )  237000 VN , T (C )  174000 VN T ( D )  109000 VN Suy T đ t giá tr nh nh t b ng 107000 VN x  0,3 y  1,1 V y gia đình giành gi i nh t mua 0,3 kg th t bò 1,1 kg th t l n Bài 10 Gi i h ph 8 x  18 y  36 xy  xy  x  y  (1) ng trình  2 4 x  y  x   x   3 y (2) ( x, y  ) Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Gi i  x  i u ki n :   y  +) Ta có: (1)  2(4 x  12 xy  y )  xy  x  y   12 xy    x  y   xy  x  y   2  xy   (3) 01 a  x  y  2a  b t  , (3) có d ng: 2a  5ab  2b2   (2a  b)(a  2b)    a  2b b  xy H oc  x  15 x x  15 x  +) V i 2a  b , suy 2(2 x  y )  xy   y  xy       6y  0    4     x  15 x  Suy ph Do x    y    4     2x y   3y  hi D   2x  3y  0 iL  2x  3y  2x  3y c: x  x   x   3 x (*) Ta Thay y  x vào (2) ta đ nT 2x uO  ie +) V i a  2b , suy x  y  xy  ng trình vô nghi m  4x 1    x  x  (2*) T (*) (2*) , suy ra: x  x   x   x  x    (2 x  1)  ro up s/ Áp d ng AM – GM ta có: x   3 x  1.(4 x  1)  3 1.1.2 x  1  y  th a mãn u ki n x2  x  ng trình sau t p s th c: 1 x  x  Gi i fa Bài 11.Gi i b t ph bo ok c 1 1 ng trình có nghi m ( x; y )   ;   3 ce V y h ph om /g  2x 1   x   x2  x 1 x  x   x2  w w w  1  17  x  x20 i u ki n:   1  x  2 0  x  x   Khi b t ph  Xét hàm s ng trình t f (t )  ng đ ng: x2  x   x2  x   ( x  x  2)   ( x  x ) 2  x  (*) t v i t   0;4 1  t 1  t t Ta có f '(t )    4t  t    1  t    v i t   0;4  Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Suy f (t ) đ ng bi n v i t   0; 4 Khi (*) có d ng: f ( x  x  2)  f ( x  x )  x   Ta xét hai tr ng h p sau:  x  x   x  x  f ( x  x  2)  f ( x  x ) V i 1  x     x   2  f ( x  x  2)  f ( x  x )  (2*)   b t ph  x   V i 1 x   x  x   x  x  f ( x  x  2)  f ( x  x ) 1  17  2  x   uO nT  1  17  ng trình có nghi m S  1;     hi D 2  f ( x  x  2)  f ( x  x )  (2*)   (2*)  x    V y b t ph 01  ng trình (2*) vô nghi m H oc  (2*) ie iL Ta  x, y    up s/ Bài 12 (Nguy n Thanh Tùng) Gi i h ph xy 1  y  y   y  (1) ng trình  x  x 1  2 (8 x  4) 2(1  x )  y  y (2) Gi i   /g om  x   x x y  y2  1 y  y   x   x 3x (*) bo ok  y   y    x   x 3x  , suy y  ce Do y 1 1  y c Bi n đ i (1)  ro  y  (;0)  1;   i u ki n:  1  x    x   x x (2*) w w fa   2  1 Khi (*)        y    y y   f (t )   w Xét hàm s   t  t   t 3t v i t  Ta có f '(t )    1 3t   t 1   3t    t   t 3t ln    t   t  ln   t2 1    t2 1  t  t  t  t2 1  t   Mà   f '(t )  , suy f (t ) đ ng bi n v i t   1  ln  0 ln   t 1 t 1  Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 1 1 Khi (2*)  f    f ( x)   x  y  (3*) y x y 1 Thay (3*) vào (2) ta đ c: 32 (2 x  1)  x   x  x x  32 x (1  x )(2 x  1)2  x   x     x  Do ta đ t x  cos t v i t   0;  , ph Do  y    4   ng trình có d ng: H oc hi D iL ie uO        Ta     2 Khi h có nghi m là: ( x; y )  (1;1),  cos ; cos 2     nT  8sin 2t.cos 2t  cos t    2sin 4t  cos t    k 2 t 0;    4 t  8t  t  k 2    t  0; 2   cos8t  cos t       k   8t  t  k 2 t  k 2  01 32 cos t.(1  cos t )(2 cos t  1)  cos t   up s/  y  x  x  x  x  (1) ng trình:   x, y    2 2( 2) ( 3) 10 (2)        x y x xy y x y  Gi i ro Bài 13 (Nguy n Thanh Tùng) Gi i h ph om /g i u ki n: x   0;  c Cách 1: V i u ki n (2)  x ( y  1)  x( y  1)  3( y  1)  y ( x  1)  5( x  1) bo ok  ( y  1)(2 x  x  3)  ( x  1)( y  5)  ce fa w Xét hàm s x  3x  v i x   0;  ta có f ( x)  x 1 y  x  3x   y 1 x 1 (*) min f ( x)  x0;2   m axxf(0;2x)   w w y2  (*) 1     y  (2*) Do f ( x ) liên t c đo n  0;2 , suy  f ( x)   y 1 Cách 1.1 (Nguy n Thanh Tùng) V i  x  , ta có :  x  x   ( x  1)2   x  x  x  x  x  x (2*) Khi t (1)  y   x  x  ( x  x )   y   y   x  Cách 1.2 (Lê Anh Tu n) (1)  x  y   x  x (1  x  x )   x  y   x  x ( x  1)2  2x  x2 (3*)  (4*) Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 (4*) V i x   0;  (2*)  x  y     y  2; x  x0;2   Cách 1.3 (Nguy n Th Duy)  x   0;1 (2*)  y   x  x  x  x   x  x  x  x   (5*)  x( x  x  x  2)   x   0;1 Do x  x  x   x ( x  2)  2( x  1)  v i x   0;1 nên (5*)    x 0  y   x  Cách (Châu Thanh H i)   01 (1)  y   x  x   ( x  1)  x  v i x   0;2   y    nT  y  x    x   y ng trình  3 xy  x  y   Gi i   x 1   x  (1) ( x, y  ) (2) i u ki n:  x  (*) Ta  iL ie Bài 14 (Nguy n Thanh Tùng) Gi i h ph hi D c nghi m c a h ( x; y )  (0; 2) uO Th l i ta đ H oc y 2 (6*) (2)  M  2(2 x  x )( y  1)  x ( y  y  4)  ( y  1)( y  2)  (6*)   M    x  0; y  x 0;2 1 2x 1  v i x  1;  v i x  1;  Ta có f '( x )  3x  (3 x  2)2 ro f ( x)  2x 1 3x  /g Xét hàm s up s/ V i u ki n (*) ta có (2)  y (3 x  2)  x   y  om  f ( x ) ngh ch bi n 1; 2  f ( x)  f (1)  hay y   1  y  (2*)   c:  y  1 y  y    x   y  1 x  (3) bo ok c  Cách (Nguy n Th Duy) Bi n đ i (1) ta đ y 1 y 1 x 1 (3*)  0 y 1 y  y    x  y  1 T (2*) (3*) suy ra: y  1 , x  th a mãn h fa ce Do y  không nghi m c a (3) nên (3)  w V y nghi m c a h ( x; y )  (1; 1)    x  y  y   (3) w w  Cách (Nguy n Thanh Tùng) Ta có (1)  (1  y ) x   ( y  1) (1  y ) x   1  x   Theo (*) (2*) ta có:   1  y  ( y  1)  x  y  y    Khi (3)  (1  y ) x   ( y  1)   x  (th a mãn h )  x  y2  y      y  1  V y h có nghi m ( x; y )  (1; 1)  Cách (V c Tùng) Ta có (2)  x (3 y  2)  y   x  y2 1 (3) v i y  3y  Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 V i u ki n  x    y2 1   1  y  y2  2 y 1 y2 1 1   2 Thay (3) vào (1), ta có: y  3y2  3y   y2 1 y 1  1    1 y  y2  y    1 y2 y2  ( 1) y   0 3y2  y2   y  y   (1  y )  01  1 y (4 y  3)( y  1)   y   y  1( y  y  2)  (1  y ) 0 y2  y2    ie uO V y h có nghi m ( x; y )  (1; 1) c x  (th a mãn) nT y    y  1 (th a mãn) Thay y  1 vào (3) ta đ Do hi D 1 y (4 y  3)( y  1)   v i m i 1  y  3y2  y2  y  1( y  y  2)  (1  y ) nên H oc 1  Vì 1  y  nên  y  ta có y  y    y     , y   2  iL Ví d ta có th ch y  b ng cách phân tích: y  s/ Ta Chú ý: 2x 1 2      v i x  x  3(3x  2) 3   ( x, y   ) c om /g ro up 2(1  y )  y x  2 xy  y  (1) Bài 15 (Nguy n Thanh Tùng) Gi i h ph ng trình   x ( x  6)  x(12  y )  (2) Gi i i u ki n : xy  (*) Ta s ch h có nghi m y  b ng hai cách sau : bo ok  Cách 1: (Dùng ph ng pháp đánh giá) (2)  x  6( x  x  1)   xy  x3  6( x  1)2   xy  ( xy  y xy  – theo (*)) ce  x  , k t h p v i (*) suy y  (3) w fa Khi : (1)   y (  x  2 xy  y )  w w  y    y2  y    y2    x  2 y   x   (  x ).( 2 y )    2 y    y8   y    y  (4) T (3) (4) suy ra: y   Cách 2: (Dùng k thu t nhân liên h p đánh giá bi u th c không âm)    (1)  xy  y 2 xy  y    y     xy  y       y     y xy  y xy  y      y  (  y  1  3     ( y  8)2  y   xy  y  y  y  1  0  , xy  ) Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2   Khi h có d ng:   x  x  12 x    x  x3  x  12 x   x ( x  6)  12 x  2x   ( x  2)3  x  x   x  Bài 16 (Nguy n Thanh Tùng) Gi i h ph c 1: Ta s khai thác ph     x2   x  ng trình  7  x     Gi i  y   y  (1) y4   y  ng trình (1) đ chi y   x b ng hai cách sau : Cách 1: (1)  x2   x  y 5  y ( x, y  )  x2   x  y2   y (2) hi D B   V y nghi m c a h là: ( x; y)   ;0  1  1  01  H oc  t t2  1  t  t2  t2   t2   , t   (3)  Ta Khi (*)  f ( x)  f (  y )  x   y hay y   x t t iL suy f (t ) đ ng bi n liên t c   uO f (t )  t   t  f '(t )  ie Xét hàm s nT  x   x  ( y )   (  y ) (*) up ro  bo ok c om /g  s/  y2   y  x2   x   2  y   y2 y y     x   x  y   y (a) Cách 2: (1)      y   y  x   x (b) x x    y2   y    x2   x2 x 5  x C ng v v i v ( a) (b) ta đ c: 2( x  y )   y   x (3) B c:  x      x   x  x  10 x  14  x   (2*) ce c 2: Thay (3) vào (2) ta đ w fa 4 2 2 2  x   x  x   x  ( x  2)  (2 x)  ( x  x  2)( x  x  2) Cách 1: Ta có:  2 7 x  10 x  14  ( x  x  2)  6( x  x  2) w w Nên (2*)  ( x  x  2)  6( x  x  2)  ( x  x  2)( x  x  2)  +) a  x  x  t  b  x  x   a, b   ph ng trình có d ng: a  6b  5ab   ( a  2b)( a  3b)   a  2b ho c a  3b +) V i a  3b  a  9b : x  x   9( x  x  2)  x  20 x  16  (vô nghi m) +) V i a  2b  a  4b : x  x   4( x  x  2)  3x  10 x    x  5 Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01   5     5    c nghi m c a h là: ( x; y )   ; ;  ,    3      Thay vào (3) ta đ Cách 2: (S d ng k thu t nhân liên h p)    3x  10 x    x     3x  10 x    x     3x  10 x    x     x  10 x    x    x     x   x   x   x    x     x  64 x  36   x     x    (10 x)     x    (3 x  10 x  6)(3 x  10 x  6)  (3*)  3x  10 x   x   x   2 2 4 4 2 01 2 2 H oc   3x  10 x    x   x   (3x  10 x  6)     hi D nT Ta s/   5     5    c nghi m c a h là: ( x; y )   ; ;  ,    3      /g ro Thay vào (3) ta đ iL 5 up +) Ta có (4*)  x  c: x  20 x  16  (vô nghi m) ie +) C ng (5*) v i (2*) ta đ uO  x  10 x   (4*) ho c x  10 x   x   (5*) om Câu 17 (Nguy n Thanh Tùng) Cho a, b, c s th c th a mãn  a  b   c 2b  c  4(2a  b  c)  18 13 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P  ab  bc  ca  2a  5b  b  4bc bo ok c   Gi i  Ta có 2b  c  4(2a  b  c)  18  2(b  2b  1)  (c  4c  4)  8( a  b  c)   18 fa ce 2  24  2(b  1)  (c  2)  8( a  b  c )  8( a  b  c ) w w w Suy a  b  c   Do  a  b  c , nên ta có ab  bc  ca  ab  bc  ca  a (a  b)(b  c)  abc  b(a  c )2 Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng xyz  ( x  y  z )3 , ta đ 27 c: ac ac  b   ac ac 2   b(a  c)  4.b   ( a  b  c )3  2 27 27 2 Khi ab  bc  ca  (*)  Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng xy  x  y 3 xyz  x  y  z , ta đ c: Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2a  5b    b  4bc  2a  5b  3.2 b.1  2.3 2b.c.2  2a  5b  3(b  1)  2(2b  c  2)  2( a  b  c )   2.3   13 Suy 2a  5b    b  4bc  13   M t khác  b  , đó: ta có: 5b  b  b  b   2a  5b  V y  2a  5b    b  4bc  13   b  4bc  (2*) 13 3 13 V i a  0; b  1; c  th a mãn u ki n đ P  V y giá tr l n nh t c a P b ng H oc 01  T (*) (2*), suy P   nT Ta Ta vi t l i (*) thành: x  x yz  (4 y  3z  60)  (2*) ie uO  x, y , z   2 5 x  xyz  y  z  60 (*) iL x  a  t  y  2b ,  z  3c  hi D Câu 18 (Nguy n Thanh Tùng) Cho a, b, c s th c d ng th a mãn 5a  12abc  16b  27c  60 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c T  a  2b  3c Gi i up s/  Lúc quan ni m (2*) ph ng trình b c hai v i n x , đó:  '  y z  5(4 y  z  60)  ( y  15)( z  20)  (15  y )(20  z ) om /g ro 2 4 y  60 15  y   M t khác v i u ki n (*) ta có:  2 3 z  60 20  z   yz  (15  y )(20  z )  yz  (15  y )(20  z ) Do x   x  5 2  Khi áp d ng b t đ ng th c AM – GM (Cauchy) v i hai s d ng 15  y ; 20  z ta đ c: (15  y )  (20  z )   yz 2  yz  (15  y )(20  z ) 35  ( y  z ) 2   x 5 10 60   ( y  z )  10( y  z )  25 60  ( y  z  5) 60 35  ( y  z ) Suy T  x  y  z   yz    6 10 10 10 10  V i a  b  c  th a mãn u ki n toán T  V y giá tr l n nh t c a T w w w fa ce bo ok c Suy x  Câu 19 (Nguy n Thanh Tùng) Cho x, y, z s th c không âm, th a mãn y  z  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: T  x x  13 y  z   18 x  y  yz Gi i Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 x5  yz +) V i x  , bi n đ i áp d ng AM – GM ta có: x5 x3  (2) T (1) (2), suy : y  z 2x  y  z V i x  +) Khi T  x5 x3  v i x  y  z 2x  y  z  x3 x3 x  13 y  z 2x  y  z    18 x  y      1  y  18 x  y   2x  y  z 4  2x  y  z  x3 2x  y  z  y  18 x  y    3( x  y)  18 x  y    2x  y  z   x  y    52  52 01  33 x3 x3 (1)  x( y  z ) x  y  z H oc +) Khi x  1; y  0; z  T  52 V y giá tr nh nh t c a T 52  Chú ý: Vì u ki n toán cho x, y, z s th c không âm, nên n u b n bi n đ i đánh giá luôn: x3 x3 s b tr m (lí bi n đ i không xác n u x  )  x( y  z ) x  y  z nT hi D x5  yz c bi n đ i trung gian trên, b n có th tham kh o cách trình ie uO Vì v y đ “tránh” x  không cho b bày ph n l i gi i iL Câu 20 (Nguy n Thanh Tùng) Cho x, y, z s th c không âm th a mãn x  y  x  y  z  Ta x y 12 xz  y  xy   4( x  y ) ( x  y  z ) Gi i x y    Ta s ch ng minh theo cách sau: 4( x  y ) ( x  y  z ) x yz z z z    0 Cách 1: V i z  ta có: ; V i z  ta có: 4( x  y ) z ( x  y ) ( x  y  z ) 4( x  y ) ( x  y  z ) z  v i z  Suy 4( x  y ) ( x  y  z )2 x y z x y     Khi 2 4( x  y ) ( x  y  z ) ( x  y  z) ( x  y  z) x yz fa ce bo ok c om /g ro up s/ Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P  ng w w w Cách 2: Áp d ng AM – GM cho hai s d x y , ta đ 4( x  y ) ( x  y  z )2 c: x y x y (1)  2  2 4( x  y ) ( x  y  z ) 4( x  y ) ( x  y  z ) x yz  Áp d ng AM – GM ta có: 12 xz  4.3 xz  4( x  z  1) (2) ( x  y  z )2 ( x  y  z )2  M t khác, ta có xy   xy  x  y  z  ( x  y )  z   xy   (3) 2 2 Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01  T (1), (2), (3) suy ra: P   ( x  y  z )  5t  ( x  z  1)  y    1    t   f (t ) x y z 4 4  16 t ( x  y  z)2 t  0t  V i t  x  y  z  Ta có  x  y  z  3 5t Lúc ta tìm GTNN c a f (t )    t  v i  t  b ng cách: 16 t Cách 1: (Áp d ng b t đ ng th c AM – GM s d ng h ng đ ng th c) 2  t t  t  2         t t 16 Cách 2: (Dùng công c hàm s ) H oc 5t 5t  8t  (t  2)(5t  2t  4)  1   ; f '(t )   t  t 8t 8t s/ N CÁC B N Ã C TÀI LI U ! w w w fa ce bo ok c om /g C M ( x, y, z )  (1;0;1) ro V y giá tr nh nh t c a P là:  D u “=” x y t  , suy x  z  y  up T b ng bi n thiên, suy P  f (t )   Ta iL ie uO nT hi D Ta có f '(t )  01 Ta có f (t )  GV: Nguy n Thanh Tùng Tham gia khóa h c môn HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01