Diện tích hình phẳng (Giải tích 12)

ứng dụng hình học vật lý tích phân Phần 1: diện tích hình phẳng Diện tích hình phẳng Bài toán 1: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] HÃy tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành hai đường thẳng x=a, x=b ? y Tính diện tích phần bị gạch ? y=f(x) a O x=a b x x=b Diện tích hình phẳng y A TH1: Nếu f(x) đoạn [a; b] b b S = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx a a TH2: Nếu f(x) đoạn [a; b] S = S* b O M y S* = ∫  − f ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx   a a O M b ⇒ S = ∫ f ( x ) dx a S a B N b x b N x y= - f(x) b a y=f(x) A S* S y=f(x) B Diện tích hình phẳng TH3: Nếu đồ thị hàm số y=f(x) cắt trục hoành điểm có hoành ®é c∈(a; b) th× S = S1 + S2 c S1 = ∫ f ( x ) dx a b S2 = ∫ f ( x ) dx y A a O M S1 y=f(x) c C S2 b N B c c b b a c a ⇒ S = S1 + S2 = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx x TH4: Nếu đồ thị hàm số y=f(x) cắt trục hoành nhiều điểm có hoành độ thuộc (a; b) y y=f(x) a x=a O c d c d b a c d S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx b x x=bb = ∫ f ( x ) dx a Tóm lại: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành hai đường thẳng x=a, x=b xác định c«ng thøc sau: b S = ∫ f ( x ) dx a Diện tích hình phẳng Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=-x2+3x+4, trục hoành hai đư ờng thẳng x=0, x=2 Gi¶i: S = ∫ − x + x + dx y = ∫ (− x + x + 4)dx  x3  34 x2 =  − + + x ÷ = (®vdt)  0 O -1 2 x Diện tích hình phẳng Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x2-4x+3, trục hoành hai đường thẳng x=0, x=2 Gi¶i: S = ∫ x − x + dx 4.5 y 3.5 2.5 1.5 = ∫ x − x + dx + ∫ x − x + dx 2 0.5 O 1 2 -0.5 = ∫ ( x − x + 3)dx + ∫ (− x + x − 3)dx 2 -1  x3   x3   2 2 =  − x + x ÷ −  − x + x ÷ = −  − ÷ = 2(®vdt)  0  1  3 x Diện tích hình phẳng Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=cos x, trục hoành hai đường thẳng x=0, x=2 y 1 0.5 O -0.5 π/2 π 3π/2 2π x -1 -1 S= π 2π 3π ∫ cos x dx = ∫ cos x dx + ∫ = ∫ cos xdx − π 3π ∫ π cos xdx + 2π ∫ 3π π cos x dx + π 2π ∫ 3π cos x dx 3π π cos xdx = sin x | − sin x | + sin x |2 = 4(đvdt) Diện tích hình phẳng Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường thẳng x=a, x=b đồ thị hai hàm số y=f(x) y=g(x) liên tục đoạn [a; b] ? TH1 Nếu đồ thị hai hàm số y=f(x) y=g(x) không cắt khoảng (a; b) f(x)>g(x) x(a;b) f(x)g(x) x(a;b) 1) Nếu f(x) g(x) dương [a; b] b y=f(x) S b a y a S = S f − Sg = ∫ f ( x )dx − ∫ g( x )dx b b a a = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx   y=g(x) O a b x 2) NÕu cã Ýt nhÊt mét hai hµm sè f(x) vµ g(x) không dư ơng [a; b] ta tịnh tiến trục hoành xuống cho hệ toạ độ f(x) g(x) dương [a; b] b S = ∫ ( f ( x ) + k ) − ( g ( x ) + k ) dx y y=f(x)+k S O a b x k y=g(x)+k a b = ∫ f ( x ) − g( x ) dx a Vậy hai đồ thị hµm sè y = f ( x ) vµ y = g( x ) không cắt (a; b) diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ), y = g( x ), b đường thẳng x = a, x = b tính công thức S = ∫ f ( x ) − g( x ) dx a Diện tích hình phẳng TH2 Nếu đồ thị hai hàm số y=f(x) y=g(x) cắt điểm có hoành độ c (a; b) thì: y O a y=f(x) S1 c S2 b x y=g(x) c b b a c a S = S1 + S2 = ∫ f ( x ) − g( x ) dx + ∫ f ( x ) − g( x ) dx = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx Tóm lại: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường thẳng x=a, x=b đồ thị hai hàm số y=f(x) y=g(x) liên tục đoạn [a; b] tính công thức: b S = ∫ f ( x ) − g( x ) dx a Diện tích hình phẳng b Cách tính diện tích theo c«ng thøc S = ∫ f ( x ) g( x ) dx a Bước 1: Tìm nghiệm phương trình f(x)=g(x) thuộc đoạn [a; b] Giả sư cã tÊt c¶ n nghiƯm c1;c2 ;….;cn thc [a;b] vµ a ≤ c1 < c2