BAI TOAN CUC TRI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Khoa Toán tin ******* ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VỀ NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM Tên đề tài: GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC CƠ SỞ Người hướng dẫn: Ths PHẠM HOÀNG HÀ Cán giảng dạy Khoa Toán – Tin, ĐHSP Hà Nội Người thực hiện: TÔ THỊ LAN HƯƠNG Số báo danh: Ngày sinh:25/06/1978 Trường: THCS ĐẠI ĐỒNG Phú Thọ, tháng năm 2012 MỤC LỤC Phần I: MỞ ĐẦU Lý chọn tài Mục đích cứu nghiên Nhiệm vụ cứu nghiên Phạm vi đối tượng nghiên cứu Phương pháp cứu đề 3 4 nghiên Phần II: NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lý luận thực tiễn có liên quan đến đề tài nghiên cứu I Những định hướng giáo viên II Những định hướng học sinh Chương II: Các biện pháp sư phạm cần thực góp phần nâng cao chất lượng dạy học nội dung quan tâm I Phần I: Khái Quát chung II Phần II: Một số toán cực trị Trong đại số III PhầnIII: Cực trị hình học 30 Chương III: Thực nghiệm sư phạm 36 Mục đích thực nghiệm 36 Nội dung nghiệm thực 37 Kế hoạch dạy học tiết 1, 38 Kế hoạch dạy học tiết 41 Kết thực nghiệm Xác nhận BGH nơi công tác 44 Phần III KẾT LUẬN 45 * Tài liệu khảo tham 46 Phần I:MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Sau nhiều năm dạy Toán học bậc Trung học sở, nhận thấy khái niệm cực trị không xây dựng thành hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà hình thành bước cho học sinh qua số tập sách giáo khoa Nhưng toán cực trị lại vấn đề thường gặp kỳ thi, đợt kiểm tra hàng năm Do việc hình thành khái niệm cực trị cách hệ thống cho học sinh việc giải tốn học sinh cịn gặp nhiều trở ngại Xuất phát từ kinh nghiệm có thân qua thực tế giảng dạy, từ kiến thức mà lĩnh hội chương trình Đại học tốn tìm hiểu thêm tài liệu tham khảo, đặc biệt hướng dẫn tận tình Thầy - Cơ giáo Tôi mạnh dạn chọn đề tài : “Giải số tốn cực trị chương trình Trung học sở” làm đề tài điều kiện tốt nghiệp Qua đề tài, tơi mong thân tìm hiểu sâu vấn đề này, tự phân loại số dạng toán cực trị, nêu lên số phương pháp giải cho dạng tập Từ giúp học sinh dễ dàng việc nắm kiến thức dạng toán Tơi hy vọng giúp học sinh phát triển tư sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, khái qt hố qua tập góp phần nhỏ nâng cao hiệu học học sinh Nội dung đề tài gồm phần: Phần I : Khái quát chung Phần II : Các toán cực trị đại số Phần III : Các toán cực trị hình học Mục đích nghiên cứu: 1/ Đối với giáo viên: - Xây dựng sở lý thuyết để giải toán cực trị - Tuyển chọn, phân loại dạng tập nêu lên phương pháp giải loại toán cực trị - Dự đoán sai sót học sinh, nêu điểm cần ý giải toán cực trị 2/ Đối với học sinh: - Hiểu chất khái niệm cực trị nắm bước giải toán cực trị - Nhận dạng loại toán cực trị, vận dụng sáng tạo phương pháp giải toán cực trị vào cụ thể, từ dễ đến khó - Bước đầu ứng dụng toán cực trị vào đời sống Nhiệm vụ nghiên cứu: - Đưa kiến thức giá trị cực trị, sai lầm thường mắc phải - Đề xuất số phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tịi lời giải - Lựa chọn phương pháp giải hợp lý Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả phân tích, xem xét toán dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác, cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho tập để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải tốn, tạo lịng say mê, sáng tạo, ngày tự tin, khơng cịn tâm lý ngại ngùng toán cực trị Phạm vi đối tượng nghiên cứu: - Phạm vi: Nghiên cứu số dạng tốn cực trị chương trình THCS - Đối tượng: Học sinh THCS Phương pháp nghiên cứu: + Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết học tập học sinh + Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho lớp bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8, với nhóm chun mơn thực + Điều tra, đánh giá kết học tập học sinh sau thực nghiệm giảng dạy chuyên đề Phần II: NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lý luận thực tiễn có liên quan đến đề tài nghiên cứu Đối với học sinh : Thực trạng nhận chun mơn phân cơng dạy tốn tiết cảm thấy buồn trước cách học học sinh Để Thống kê lực tiếp thu học sinh tơi dùng nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút tượng bật học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc mang tính chất học vẹt chấp hành nguyên bản, trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng học sinh tơi đưa số ví dụ học sinh lúng túng chứng minh Trước thực trạng điều tra học sinh qua nhiều biện pháp Sau kiểm tra thấy học sinh hiểu làm mơ hồ, sô học sinh làm nằm vào số học sinh khá- giỏi Số lại chủ yếu học sinh TB, Yếu, khơng biết giải thích toán Đối với giáo viên : Thực trạng đổ lỗi cho tất học sinh người giáo viên người chủ động, chủ đạo kiến thức, tuân theo SGK mà dạy tốn địi hỏi học sinh phải tư tốt phải thâu tóm kiến thức học để tận dụng vào làm tập Đơi giáo viên áp đặt gị bó em phải thê này, phải mà không đưa thực tế để em nhìn nhận vấn đề Về phía học sinh cảm thấy khó tiếp thu dạng tốn mà em gặp lí mà người thầy phải tìm Phương pháp phù hợp để học sinh có hứng học, bước đầu học sinh làm quen với dạng toán “ Toán Cực chỉ” nên cảm thấy mơ hồ phân vân sai lại phải làm vậy.Nếu khơng biến đổi có tìm kết khơng Từ băn khoăn học sinh giáo viên khẳng định không biến đổi khơng trả lời u cầu tốn Sau xin đưa số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán cực trị mơn tốn THCS Chương II: Các biện pháp sư phạm cần thực để góp phần nâng cao chất lượng dạy học nội dung quan tâm Phần I: Khái qt chung Các tốn cực trị có nguồn gốc từ xa xưa lịch sử tốn học Nó bắt nguồn từ hoạt động thực tiễn người, ngày toán cực trị nghiên cứu nhiều có ứng dụng rộng rãi đời sống kỹ thuật Chúng góp phần hình thành nên ngành tốn học quy hoạch tuyến tính, lý thuyết điều khiển tối ưu Trong viết này, tơi đề cập đến tốn cực trị giải không dùng phương pháp đạo hàm dành cho giáo viên học sinh THCS Xét hàm số n biến: F (x,y,z ) liên tục miền đóng D ∈ Rn Nếu F(x,y,z ) ≤ A với (x,y,z) ∈ D = const Đồng thời ∃ (x0,y0,z0 ) cho F(x0,y0,z0 ) = A, A gọi giá trị lớn F (x0,y0,z0 ) D Ký hiệu max F (x0,y0,z0 ) = A Tương tự, F (x0,y0,z0 ) ≥ a (a = const) ∀ (x,y,z ) ∈ D Và ∃ (x0,y0,z0 ) ∈ D cho F (x0,y0,z0 ) = a Thì a giá trị nhỏ F (x,y,z ) D Ký hiệu: F (x,y,z ) = a Trong chương trình Trung học sở, thông thường n = 1;3 Như để giải tốn cực trị, thơng thường ta tiến hành theo bước: Bước 1: Chỉ rõ F (x,y,z ) ≥ a (hoặc ≤ A) (Với A; a số) ∀ (x,y,z ) ∈ D Bước 2: Chỉ (x0,y0,z0 ) ∈ D cho F (x0,y0,z0 ) = a (hoặc = A) Phần II: Một số toán cực trị Đại số I/ Cực trị hàm đa thức biến: 1.1- Phương pháp: Đưa dạng: f (x) = k ± g (x) (k = const) Nếu f (x) = k + g (x) f (x) = k ⇔ g (x) = Nếu f (x) = k - g (x) max f (x) = k ⇔ g (x) = Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = (x+2)2 + (x-1)2 Giải: Ta có: (x+2)2 ≥ dấu “ = ” ⇔ x = - (x-1)2 ≥ dấu “ = ” ⇔ x = Nên A > Nhưng kết luận A = khơng đồng thời xảy dấu đẳng thức Do ta phải giải sau: A = (x+2)2 + (x-1)2 = x2 + 4x + + x2 - 2x + = 2x2 + 2x + = ( x2 +x + 1 + )+ 4 Do A = x = 2 =2 (x2 + 2x ) = (x + ) + 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: B = - ( x-1) (x + ) (x + 3) (x + 6) Giải: Ta có: B = - ( x2 + 5x - 6) (x2 + 5x + 6) Đặt: x2 + 5x = t Ta có: B = - (t- 6) (t+6) = - (t2-36) B = 36 - t2 ≤ 36 x=0 ⇔ Vậy B = 36 x + 5x = x = -5 Do đó: max B = 36 Khi ⇔ x= x = -5 1.2- Một số nhận xét: - Dựa vào tính biến thiên hàm số tam thức bậc hai, ta có kết tam thức bậc hai có cực trị (hoặc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ) - Trong tốn cực trị, ta đổi biến Cụ thể ví dụ ta dặt y = x + kho A = ( y-1) + ( y-1) 1.3- Một số tập tương tự: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x + B = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + C = (x+1)2 + ( x+3)2 D = x( x+1) ( x+2) ( x+3) E = x6 - 2x3 + x2 - 2x + Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: A = 4x - x2 +1 B = 5- 8x- x2 C = -5x2- 4x + D = 1- x- x2 II/ Cực trị hàm số đa thức nhiều biến số: Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ đa thức P = 19x2 + 54y2 + 16z2- 16xz- 24yz + 36x + Giải: P = (9x2+36xy+36y2)+(18y2- 24yz+8z2)+ (8x2 -16xz+8z2)+2x2 + = (x + 2y)2 + (3y- 2z)2 + (x- y)2 + 2x2 + Ta thấy P ≥ Với x = y = z = P = Do P = x = y = z = Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn biểu thức: Q = 15 - 10x - 10x2 + 24 xy - 16y2 Giải: Q = - (x2 + 10x + 25) - (9x2 - 24xy + 16y2) + 40 = 40 - (x + 5)2 - (3x- 4y)2 ≤ 40 x = -5 ⇔ Vậy max Q = 40 y=- 15 Nhận xét: + Ta vận dụng kiến thức cho F = F + F2 maxF = maxF + maxF hay (min F = F + F 2) Trong F 1,F2 biểu thức chứa biến đối lập với có chứa biến đạt max (min) giá trị xác định biến (Với đa thức nhiều biến) + Trong q trình giải ta dùng cách đổi biến Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ M M = a2 - 4ab + 5b2 + 10a - 22b + 28 Giải: Cách 1: M = a2 - 4ab + 5b2 + 10a - 22b + 28 = (a2 - 4ab + 4b2) + (b2 - 2b + 1) + 27 + 10a - 20b = (a - 2b)2 + (b - 1)2 + 27 + 10 (a - 2b) Đặt a - 2b = t ta D = t2 + (b - 1)2 + 27 + 10t = (t + 5)2 + (b - 1)2 + ≥ t+5=0 a- 2b + = a = -3 ⇔ Dấu “ = ” xảy ⇔ b- = b=1 b=1 Vậy M = ⇔ b = 1; a = -3 Cách 2: Đối với đa thức nhiều biến ta chọn biến làm biến thêm bớt hạng tử để trở thành đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu (a1 + a2 + + an)2 = a12 + a22 + + an2 + 2a1a2+ + 2an-1an + 2ana1 ⇒ M = a2 - 4ab + 5b2 + 10a - 22b + 28 = ( a2 + 4b2 + 25 - 4ab + 10a - 20b) + (b2 - 2b + 1) + = (a - 2b + 5)2 + (b - 1)2 + Vì (a - 2b +5 )2 ≥ ; (b - 1)2 ≥ ∀ a,b ∈ R (b - 1)2 = ⇒ M ≥ ⇒ M = ⇔ b=1 ⇔ (a - 2b + 5) = a=-3 áp dụng phương pháp ta làm cho ví dụ ví dụ Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = ax2 + by2 + cx + dy + e (a,b,c,d,e = const ; a,b > 0) 2c 2d c2 d2 c2 d2 = a(x + x + ) + b(y + y+ )+e 2a 2b 4a 4b 4a 4b c d − bc − ad + 4abe = a(x + ) + b (y + ) + 2b 2a 4ab c d Vì a,b > ; (x + ) ≥ 0; (y + ) ≥ ∀ x,y ∈ R 2a 2b 2 ⇒ A ≥ − bc − ad + 4abe 4ab 2 ⇒ Amin = − bc − ad + 4abe 4ab x+ ⇔ y+ c =0 2a d =0 2b x= −c 2a y= −d 2b ⇔ Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: N = (x- 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2 (a số) Giải: Ta có N ≥ (x- 2y + 1)2 = Dấu đẳng thức xảy ⇔ (Có nghiệm) (2x + ay + 5) = 10 ... cho dạng tập Từ giúp học sinh dễ dàng việc nắm kiến thức dạng tốn Tơi hy vọng giúp học sinh phát tri? ??n tư sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, khái qt hố qua tập góp phần nhỏ nâng cao hiệu học học