Một số phương pháp nghiên cứu sự phân nhánh

Header Page of 89 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Trần Hòa Hiệp MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU SỰ PHÂN NHÁNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2012 Footer Page of 89 Header Page of 89 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Trần Hòa Hiệp MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU SỰ PHÂN NHÁNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Nguyễn Bích Huy Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2012 Footer Page of 89 Header Page of 89 MỤC LỤC MỤC LỤC Lời cảm ơn Phần mở đầu Phần nội dung Chương 1: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ HÀM ẨN 1.1 Định lý Hàm ẩn 1.2 Ứng dụng định lý hàm ẩn 18 Chương 2: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BỔ ĐỀ MORSE 22 2.1 Phép dựng Lyapunow-Schmidt 22 2.2 Phương pháp sử dụng Bổ đề Morse 26 Chương PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẬC TƠPƠ 34 3.1 Sự phân nhánh địa phương 34 3.2 Sự phân nhánh tồn cục 54 Chương 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN 60 4.1 Phương pháp biến phân 60 4.2 Ví dụ: 63 Phần kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 Footer Page of 89 Header Page of 89 Lời cảm ơn Lời luận văn này, tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy PGS TS Nguyễn Bích Huy dành nhiều thời gian q báu để hướng dẫn, đóng góp ý kiến cho luận văn tơi, xin cảm tạ đến thầy PGS TS Lê Hồn Hóa giúp đỡ, bổ túc kiến thức để luận văn tơi hồn tất Xin chân thành cảm tạ q Thầy, Cơ khoa Tốn-Tin học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh tận tâm giảng dạy, truyền đạt kiến thức hỗ trợ tài liệu cho tơi suốt thời gian học tập Tiếp đến xin chân thành cảm tạ q Thầy Cơ, Cán phòng Quản lý Khoa học Cơng nghệ - Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi thủ tục hành chánh cho tơi suốt q trình học tập Sau cùng, tơi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Sài Gòn tạo điều kiện thuận lợi cho tơi tham dự lớp Cao học Trường Đại học Sư Phạm, Thành phố Hồ Chí Minh Xin gửi lời tri ân tất bạn bè đồng nghiệp, bạn lớp Cao học Giải tích khóa 21, gia đình động viên quan tâm đến tơi qng thời gian học tập làm luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2012 Học viên Trần Hòa Hiệp Footer Page of 89 Header Page of 89 Phần mở đầu Nhiều vấn đề Khoa học tự nhiên, Khoa học xã hội, Kinh tế học dẫn đến việc nghiên cứu phân nhánh nghiệm phương trình chứa tham số Về mặt tốn học, vấn đề mơ tả phương trình dạng F(x, λ) = với λ tham số, đóng vai trò yếu tố tác động vào hệ thống xét Với λ ta ký hiệu S(λ) = {x : F(x, λ) = 0} ta cần nghiên cứu tính chất S(λ) mà λ thay đổi; đặc biệt ta muốn xét tồn điểm λ cho λ qua λ cấu trúc tập S(λ) có thay đổi hay hệ thơgns xét có biến động đột ngột Giá trị λ gọi điểm phân nhánh nghiệm phương trình Vì ý nghĩa quan trọng ứng dụng thực tế, tốn xác định điểm phân nhánh nghiên cứu tập S(λ) λ gần λ λ xa λ quan tâm nghiên cứu từ kỷ XIX ngày cơng trình Liapunov,S chmit, Nekrasov, Krasnoselskii, Rabinowitz, Dancer, Tùy theo tính chất ánh xạ tham gia vào phương trình mà có nhiều phương pháp khác để nghiên cứu phân nhánh Footer Page of 89 Header Page of 89 Phần nội dung Nội dung luận văn nói việc nghiên cứu nghiệm (x, y) phương trình f(x, y) = lân cận (x , y ) Bao gồm chương: Chương Định lý hàm ẩn trình bày tồn nghiệm x(t) f(x,y) = Các cơng cụ đắc lực để chứng minh định lý bao gồm kiến thức phép đồng đẳng cấu tuyến tính khả vi theo Fréchet Chương Trình bày phương pháp sử dụng bổ đề Morse Ta nghiên cứu tốn lân cận Ω (0, λ ) ∈ X × A với A khơng gian tham biến, cách sử dụng phép dựng Lyapunow-Schmidt A hữu hạn chiều việc nghiên cứu địa phương phương trình f(x, λ) = quy việc nghiên cứu số hữu hạn phương trình với số hữu hạn ẩn nhờ vào bổ đề Morse Chương Phương pháp sử dụng bậc tơpơ, chia làm hai phần Thứ nhất, phân nhánh địa phương nói điều kiện cần để (0, λ ) điểm phân nhánh f, giá trị riêng đơn tốn tử tuyến tính liên tục K, phân nhánh vơ cực, giải pháp Đại số Banach Thứ nhì, phân nhánh tồn cục, nói tồn cục hàm ẩn, nghiệm mở rộng tồn cục, mở rộng tồn cục nón Chương Trình bày phương pháp biến phân, dùng để nghiên điểm phân nhánh phương trình f(x, λ) = điểm phân nhánh ϕ’(x) – λx = với ϕ ∈ C2 (Ω,  ) Footer Page of 89 Header Page of 89 Chương 1: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ HÀM ẨN 1.1 Định lý Hàm ẩn Nội dung chương trình bày dựa theo [1] PGS.TS Lê Hồn Hóa, trang 283-285; [7] L Nirenberg (bản Việt dịch), trang 74-77; [3] Jean Dieudonné, trang 127-131 Các khơng gian đề cập khơng gian Banach Định nghĩa 1.1 Ánh xạ f: X → Y đẳng cấu nếu: (I) f ánh xạ tuyến tính, liên tục (II) Ánh xạ f đảo (tức tồn ánh xạ tuyến tính liên tục g: Y → X cho g o f = I X f o g = I Y ) Tay ký hiệu: Isom(X, Y) = {f ∈  (X,Y) cho: NĨI CÁCH KHÁC Ánh xạ f : X → Y đẳng cấu, điều kiện cần đủ f phép đồng phơi, tuyến tính Định nghĩa 1.2 (Khả vi theo Fréchet) Cho Ω tập mở X, ánh xạ f : Ω → Y gọi khả vi (theo Fréchet) điểm x ∈ Ω, ∃A ∈ L(X, Y) cho: f ( x0 + u ) − f ( x0 ) − Au = o( u ) Y (1.1) có nghĩa ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀u ∈ X : u f ( x0 + u ) − f ( x0 ) − Au Y X (1.1) < δ thì: ≤ε u X Như (1.1) viết dạng quen thuộc sau: lim f ( x0 + u ) − ( f ( x0 ) − Au u →0 u Y =0 X Định nghĩa 1.3 Nếu f khả vi x ∈ Ω ta nói f khả vi Ω (hay f khả vi) Khi ánh xạ f’: Ω → L(X,Y) cho f’(x) ∈ L(Xy,Y) ∀x ∈ Ω, gọi đạo hàm (hay đạo ánh) f Bây giờ, f’ liên tục Ω ta gọi f khả vi liên tục hay thuộc lớp C1(Ω) Mệnh đề 1.1 (Tích phân giá trị trung bình) Giả sử f ∈ C1 tập lồi mở Ω, lấy x ∈ Ω hai điểm tùy ý x , x ∈ Ω ta có x = tx + (1 – t)x , (0 ≤ t ≤ 1) Khi Footer Page of 89 Header Page of 89 f(x ) – f(x ) = d ∫ dt f [tx + (1 − t ) x ]dt = ∫ fx [tx + (1 − t ) x ]dt.( x − x ) (1.2) Chứng minh: Ta có: d ∫ dt f [tx + (1 − t ) x ]dt= f [tx1 + (1 − t ) x2 ] t =0 t =1 = f [1x1 + (1 − t ) x2 ] − f [ x1 + (1 − 0) x2 ] = f ( x1 ) − f ( x2 ) Mặt khác 1 d d ∫0 dt f [tx1 + (1 − t ) x2 ]dt = ∫0 dt f ( x)dt d d f ( x) x(t )dt dt dt =∫ = ∫ f [tx + (1 − t ) x ] dt.( x − x ) x 2 Vậy (1.2) kiểm chứng xong Định lý 1.1 (Ngun lý ánh xạ co nghiêm ngặt) Cho X khơng gian Banach, f : X → X Giả sử tồn k ∈ [0, 1) cho f ( x) − f ( y ) ≤ k x − y , ∀x, y ∈ X Khi X tồn x* điểm bất động f lim f n ( x) = x* , ∀x ∈ X x →∞ Chứng minh Xem [1], PGS TS Lê Hồn Hóa, trang 13-14 Định lý 1.2 (Định lý hàm ẩn) Cho X, Y, Z khơng gian Banach, Ω tập mở khơng gian X × Y, f : Ω → Z liên tục f có đạo hàm riêng Fréchet f x : Ω → L(X,Z) liên tục Giả sử điểm (x , y ) ∈ Ω ta có f(x , y ) = Ta muốn nghiên cứu nghiêm (x, y) phương trình: f(x, y) = 0, Footer Page of 89 Header Page of 89 lân cận (x , y ) Muốn vậy, giả sử A = f x (x , y )1 ∈ Isom(X, Z) tức A đẳng cấu khơng gian X lên khơng gian Z Khi đó: (a) Tồn cầu mở B r (y ) = { y : y − y0 < r } Y ánh xạ u : B r (y ) → X cho u(y ) = x f(u(y), y) = (b) Trường hợp f ∈ C1 u(y) ∈ C1 u y ( y ) = − [ fx(u ( y ), y ) ] f y (u ( y ), y ) −1 (c) Trường hợp f ∈ CP với P > u(y)∈ CP Chứng minh (a) Giả sử x = y = Ta viết phương trình f(x, y) = với (x, y) ∈ Ω lân cận điểm (0, 0) dạng tương đương sau: Ax = Ax – f(x,y,):đặt = R(x, y) ⇔ ⇔ A-1Ax = A-1[Ax – f(x, y)] = A-1R(x, y) x = A-1Ax – A-1f(x,y) = A-1R(x, y): đặt= g(x,y) Bước Ta chứng minh với số r, δ > thích hợp điểm cố định y ∈ B r (0), ta ánh xạ: g(x, y) : B δ (0) → B δ (0) ánh xạ co nghiêm ngặt Thật vậy: • Vì A ∈ Isom(X, Z) nên A-1 ánh xạ tuyến tính liên tục, đó: ∀ε > ta có ε A−1 ≤ (1.3) • Cần chứng minh ∀x , x ∈ B δ (0) cho: R( x1 , y ) − R ( x2 , y ) ≤ ε x1 − x2 (1.4) Với x , x ∈ B δ (0) ≤ t ≤ x = tx + (1 – t)x (do khơng gian Banach X khơng gian lồi địa phương), ta có: R(x , y) – R(x , y) = [Ax – f(x ,y)] – [Ax – f(x ,y)] = Ax – Ax – [f(x ,y) – f(x , y)dt], (áp dụng (1.2)) 1  0  = A(x – x ) -  ∫ f x (tx1 + (1 − t ) x2 , y )dt  ( x1 − x2 )     =  A − ∫ f x ( x, y )dt  ( x1 − x2 ) Footer Page of 89 Header Page 10 of 89     =  f x (0, 0) − ∫ f x ( x, y )dt  ( x1 − x2 ) = ∫[ f x (0, 0) − f x ( x, y ) ]dt.( x1 − x2 ) Do đạo hàm f x liên tục nên ta chọn r, δ > cho x < δ , y < r f x (0, 0) − f x ( x, y ) ≤ ε (1.5) Ta xét: R( x1 , y ) − R ( x2 , y ) ∫[ f = x (0, 0) − f x ( x, y ) ]dt.( x1 − x2 ) = ∫[ f x (0, 0) − f x ( x, y ) ]dt x1 − x2 ≤ ∫ f x (0, 0) − f x ( x, y ) dt x1 − x2 ≤ ∫ ε dt x1 − x2 (do (1.5)) = ε x1 − x2 Như (1.4) kiểm chứng xong * Ta có: g ( x1 , y ) − g ( x2 , y ) = A−1R( x1 , y ) − A−1R( x2 , y ) = A−1 R( x1 , y ) − A−1R( x2 , y ) ≤ ε A−1 x1 − x2 ≤ (do (1.4)) x1 − x2 (1.6) Điều chứng tỏ g(x, y) ánh xạ co nghiêm ngặt theo biến x ∈ B δ (0) với y cố định thuộc B r (0) Bước Ta khẳng định g(x,y) ánh xạ từ B δ (0) → B δ (0) y ∈ B δ (0) Thật vậy: Lấy x ∈ B δ (0) ta chứng minh g(x,y) ∈ B δ (0) * Do g(x,y) liên tục (0, 0) (vì g ánh xạ co) nên Footer Page 10 of 89 Header Page 53 of 89 p A( µ ) = µQu1 + u Q( I − µ L) −1 = µ B( µ ) (3.31) p = dim N(Tm) B( µ ) ≠ lân cận µ = Nhận xét, với p lẽ, µ từ giá trị âm sang giá trị dương, chứng minh định lý 3.4, để tìm < \s n \ < δ với limn→∞ s n = 0, limn→∞ µ n = cho (3.30) cho sn , µ n Bước Ta chứng minh khẳng định (3.31) hồn tồn đắn Trường hợp p = 1, phương trình (3.31) có nghiệm tầm thường, từ suy Q ui ≠ Trường hợp p > 1, Q ui = 0, từ suy u = Tw, ∀w: nhớ N (T ) = u1 N(T1+1) ≠ N(T1) - Trên khơng gian N(Tm), ta có T tốn tử lũy linh4 bậc p giá trị riêng T, có sở ξ = {u , u , ,u p } N (Tm) cho T có biểu diễn ma trận tắc Jordan:  01   001    T =        000 01   000    - Ta đồng N(Tm) với  p khơng làm tính tổng qt ta giả sử rằng: 1neu i = j  (ui , u j= ) δ=   ij 0 neu i ≠ j  ta có: T(α u + α u +… + α p u p )= α u + α u + … + α p u p-1 - Như Qu = α p u p với α p = (u, u p ), u ∈ N(Tm) u= ( I − µ L) −1 Lu1 u (như (3.31) nêu), có: Footer Page 53 of 89 Header Page 54 of 89 u − µ Lu = ( I − µ L) −1 Lu1 − µ L( I − µ L) −1 Lu1 = ( I − µ L)( I − µ L) −1 Lu1 = Lu1 Tu − µ ( I − Q)u =[T − µ ]u =[T − µ ( I − Q)]( I − µ L) −1 Lu1 = (T − µTL)( I − µ L) −1 Lu1 = TLu1 = ( I − Q)u1 = u1 - Ở tọa độ trở thành = α µ a1 + α i +1 = µai +1 với= i 2, p − , cho nên: 2 P P A = ( µ ) µ= Qu µ (u , u= µ α= µ α= µ ( µα1 + 1)uP p )u p PuP uP Đặt : ( µα1 + 1)uP = B( µ ) Trong đó: B( µ ) ≠ với µ nhỏ α= (u , u1= ) (( I − µ ) −1 Lu1 , u1 ) 3.2 Sự phân nhánh tồn cục 3.2.1 Nghiệm lập tồn cục định lý hàm ẩn Nhắc lại định nghĩa tốn tử compact ngun lý đồng ln suy rộng Cho khơng gian Banach thực X, tốn tử tuyến tính f: X → X gọi tốn tử compact hay hồn tồn liên tục, tập đóng bị chặn tùy ý A tập f(A) tập compact tương đối Tập tốn tử compat ký hiệu K(X) Cho khơng gian Banach thực X,  khơng gian tham biến Gọi Ω lân cận mở, bị chặn X × [a, b] , F : Ω → X tốn tử compact Đặt: f ( x, λ )= x − F ( x, λ ) , giả sử f(x, λ) = ∂Ω Khi Ngun lý đồng ln suy rộng nói rằng, với λ ∈ [a, b] deg( f (., λ ) ∈ Ω) Trong Ωλ= { x ∈ X : ( x, λ ) ∈ Ω} Footer Page 54 of 89 Header Page 55 of 89 GIỚI THIỆU Cho khơng gian Banach thực X,  khơng gian tham biến Giả sử f: X ×  → X , cho f ( x, λ )= x − F ( x, λ ) , đó: F: X ×  → X tốn tử compact Gọi ( x0 , λ0 ) nghiệm phương trình: f ( x, λ ) = , (3.32) thỏa mãn điều kiện định lý hàm ẩn; tức là: f liên tục, f ( x0 , λ0 ) = f x : X ×  → L( X ) liên tục, f x ( x0 , λ0 ) = Khi theo định lý hàm ẩn, tồn x : Br (λ0 ) → X cho x(λ0 ) = λ0 tìm f ( x(λ ), λ ) = , nói cách khác, đường cong f ( x(λ ), λ ) nghiệm phương trình (3.32) lân cận ( x0 , λ0 ) Do ta có x nghiệmcơ lập phương trình (3.32) λ = λ0 Nếu gọi U lân cận nghiệm lập x thì: deg( f (., λ ), U , 0) ≠ (3.33) Ta trình bày với điều kiện (3.33) đủ để bảo đảm phương trình (3.32) có nhánh nghiệm tồn cục hai nửa khơng gian X × [λ0 , +∞)5 X × [-∞, λ0 ) , định lý sau đây: Định lý 3.8 Cho U tập mở, bị chặn X Giả sử rằng, λ = λ0 , phương trình (3.32) có nghiệm U cho (3.33) ta đặt: S + {( x, λ ) ∈ X × [λ0 + ∞] : ( x, λ ) nghiệm (3.32)} = Khi tồn thành phần liên thơng C+ S+ cho: (a) Cλ+ ∩ U = {x } (b) C+ khơng bị chặn X × [λ0 + ∞) Cλ+ ∩ ( X / U ) ≠ φ Trong Cλ+0 = {x ∈ X : ( x , λ ) ∈ C + } Footer Page 55 of 89 Header Page 56 of 89 3.2.2 Mở rộng nghiệm tồn cụ Với X khơng gian Banach thực, Ω lân cận (0, λ0 )  x X, K ∈ L( X ) g : Ω = Ω ∪ ∂Ω → X liên tục thỏa mãn: lim x →0 g ( x, λ ) =0 x Đều theo λ Ta xét hàm f ( x, λ ) = x − λ Kx + g ( x, λ ) với K g tốn tử compact Định lý 3.9 Với điều kiện nêu trên, ta gọi λ0 giá trị đặc trưng bội lẽ tốn tử compact K, ta đặt: = M {(= x, λ ) : f ( x, λ ) x ≠ 0} , C thành phần liên thơng M chứa (0, λ0 ) Khi C ∩ ∂Ω ≠ φ (0, λ1 ) ∈ C với λ1 giá trị đặc trưng khác thỏa mãn λ1 ≠ λ0 K CHỨNG MINH Giả sử trái lại rằng: C ∩ ∂Ω ≠ φ (3.34) C ∩ ({0} × ) = {(0, λ0 )} (3.35) - Nhớ thành phần liên thơng đóng (0, λ0 ) ∈ M (0, λ0 ) điểm phân nhánh - Từ (3.34) cho ta C compac (do K, g tốn tử compact), giả sử tìm tập mở, bị chặn Ω0 cho C ⊂ Ω0 ⊂ Ω0 ⊂ Ω - Từ (3.35) với J đặt= [λ0 − δ , λ0 + δ ] , giả sử Ω0 ∩ J khơng có giá trị đặc trưng K thỏa mãn λ − λ0 ≤ 2δ Theo bất biến đồng ln LaraySchauder cho M ∩ ∂Ω0 = φ ta suy ra: = deg(λ ) deg( f ( x, λ ), Ω0 (λ ), 0), Là số J, đó= Ω ( λ ) {x : ( x , λ ) ∈ Ω } * Như tron gphần chứng minh bước định lý 3.4, ta muốn sử dụng tính bất biến đồng ln λ vượt qua λ0 Footer Page 56 of 89 Header Page 57 of 89 - Nhưng dễ dàng thấy chúng thực tế gần khơng, chẳng hạn như, với λ3 > λ2 q nhỏ để Ω0 (λ3 ) = , ε lại q bé để f ( x, λ ) ≠ Bε (0) \{0} với λ ∈ [λ2 ,λ0 +δ ] Ω0 ∩ B e (0) =φ với λ ≥ λ0 + 2δ Do theo phép bất biến đồng ln với Ω0 \ ( Bε (0) × [λ2 , λ3 ]) suy ra: deg( f ( x, λ2 ), Ω0 (λ2 ) \ B= Ω0 (λ3 ) ε (0), 0), deg( f ( x, λ3 ), = Định lý 3.10 Cho X khơng gian Banach thực, Ω lân cận điểm (0, λ0 ) , X ×  Giả sử rằng: (i) K ∈ K ( X ) λ0 giá trị đặc trưng bội lẻ tốn tử K (ii) g : G → X tốn tử compact thỏa mãn lim x →0 g ( x, λ ) = , theo λ x Với f(x, λ ): đặt= x − λ − Kx + g ( x, λ ) M đặt= {( x, λ ) ∈ Ω : f ( x, λ=) 0, x ≠ 0} Khi thành phần liên thơng C M , chứa điểm (0, λ0 ) thỏa mãn tính chất sau đây: (a) ∩∂Ω ≠ (b) C chứa số lẻ nghiệm thường (0, λi ) thỏa mãn (0, λi ) ≠ (0, λ0 ) Hệ 3.1 Với tất giả thiết định lý 3.8, ta giả sử λ0 giá trị đặc trưng tốn tử K Khi thành phần liên thơng C M chứa điểm (0, λ0 ) gồm hai mở rộng C C cho: + - C + ∩ C − ∩ Bε (0, λ ) = {(0, λ0 )} đủ nhỏ,  ± C ∩ Bε (0, λ ) ≠ 0, ∀ε > ± Trong ký hiệu C= C+ ∩ C− CHỨNG MINH Bước * Với T đặt= I - λ K N(T) đặt= , u = Cho δ >0 η ∈ (0,1) Ta xét hai tập mở rời sau đây: + Ω = {(tu + z , λ ) ∈ Ω : λ − λ0 < δ , t > η tu + z } Footer Page 57 of 89 Header Page 58 of 89 − Ω = {(tu + z , λ ) ∈ Ω : λ − λ0 < δ , t > −η tu + z } Và ký hiệu Ω ± = Ω + ∩ Ω − Khi đó:  M \{(0, λ0 )} ∩ Bε (0, λ0 ) ⊂ Ω ± , ∀ε > đủ nhỏ   Bước * Với Ω ± đặt= C ∩ Ω ± ∪ {(0, λ0 )} , theo định lý 3.8 bước vừa nêu, nói có C+ C- có giao với ∂Bε (0, λ0 ) với ε > đủ nhỏ * Thật vậy, giả sử C- khơng có giao với ∂Bε (0, λ0 ) Xét hàm  g (tu + z , λ )  t  g1 (tu + z , λ ) = − g (−η ) x u + z , λ )  η x − g (−tu − z , λ )  nêu t ≤ −η x nêu -η x < t ≤ nêu t > - Ta có: g hàm số lẻ (do định nghĩa g ) g tốn tử compact (do g tốn tử hồn tồn liên tục) lim x →0 g ( x, λ ) = , theo λ (do giả thiết (ii) định nghĩa g ) x - Gọi C thành phần liên thơng qua (0, λ0 ) cảu M , M tập nghiệm khơng tầm thường phương trình x − λ Kx + g1 ( x, λ ) = Lúc đó: C1 ∩ ∂Bε (0, λ0 ) ≠ với ε > đủ nhỏ 3.2.3 Mở rộng tồn cục nón Nhắc lại số kiến thức nón khơng gian Banach X trường số thực Tập K X gọi nón nếu: (I) K tập đóng (II) K + K ⊂ K, λ K ⊂ K , ∀λ ≥ (III) Với K nón thứ tự sinh nón K X định bởi: x ≤ y ⇔ y − x∈K Footer Page 58 of 89 Header Page 59 of 89 Khi x ∈ K \{θ } ta nói x dương Trong X gắn thứ tự sinh nón K, tốn tử tuyến tính A: X → X gọi tốn tử dương nếu: ∀x ∈ X : x ≥ ⇒ Ax ≥ Giả sử Ω tập mở, bị chặn X A: K ∩ ∂Ω → K tốn tử hồn tồn liên tục cho Ax ≠ x, ∀x ∈ K ∩ ∂Ω → K Cho A : X → X tốn tử compact thỏa mãn:   Ax = Ax   A( X ) ⊂ K với x ∈ K ∩ ∂Ω Khi x - Ax ≠ với x ∈ K ∩ ∂Ω , nên bậc tơpơ ( A, Ω,θ ) , ta nói iK ( A, Ω) bậc tơpơ theo nón K tập mở, bị chặn Ω ÁP DỤNG TRONG LÝ THUYẾT PHÂN NHÁNH Định nghĩa 3.6 Với X khơng gian Banach thực có thứ tự sinh K, xét hàm: f ( x, λ ) = x − [ λTx + g ( x, λ ) ] Đặt: F ( x,= λ ) λTx + g ( x, λ ) Trong F: K ×  + → K tốn tử compact, T : X → X tốn tử dương, lim x →0 g ( x, λ ) = , theo λ khoảng bị chặn Khi (0, λ0 ) gọi điểm x phân nhánh dương phương trình f ( x, λ ) = f ( xn , λn ) = , x n dương xn , λn ) = (0, λ0 ) với n ∈ * lim( n →∞ Footer Page 59 of 89 Header Page 60 of 89 Chương 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN 4.1 Phương pháp biến phân Định nghĩa 4.1 Cho khơng gian Banach X, Ω⊂ X f: Ω →ℝ phiếm hàm khả vi theo nghĩa Gateux x ϵ Ω Nếu f’(x ) — 𝜃 x* ta nói x o điếm tới hạn f Định nghĩa 4.2 Cho A: Ω ⊂ X → X*, phiếm hàm f: Ω →ℝ khả vi theo nghĩa Gateux gọi hàm A, f'(u) = A(u) ∀u ∈ Ω Định lý 4.1 Cho khơng gian Hilbert thực X, Ω⊂ X lân cận x= (𝜑 > 𝓒2 (Ω, ℝ) Giả sử rằng: 𝜑' = K + R với K ∈ ℒ (X) lim x→0 Rx = 0, x ⋋ o giá trị riêng đơn bội hữu hạn tốn tử tuyến tính K Khi (0, ⋋ o ) điểm phân nhánh phương trình: 𝜑' ( x ) — ⋋x = tồn hai họ nghiệm phẫn biệt ( x(ε ), (ε )) cho: x(ε ) = ε VÀ lim (ε ) = ε →0 CHỨNG MINH: Bưóc Để ý K tự liên hợp, từ 𝜑 " ( x ) đối xứng cho ta: = φ ''(0), y Kx, y + R '(0), y = φ ''(0) y, x = Ky, x + R '(0) y, x , R’(0) = Do số bội đại số hình học giá trị riêng ⋋ o đồng - Với T = K - ⋋ o I Phân tích X thành tổng trực tiếp N(T) R(T); tức X = N(T) ⊕ R(T) - Ta có X trực giao, dim N(T) = n < + ∞ (do giả thiết ) phép chiếu Q:X → N(T) phép biến đổi trực giao1 Footer Page 60 of 89 Header Page 61 of 89 dat Với u = Qx dat = z 0 + µ , theo chứng minh bước định lý 3.4 −1 cho ta kết sau Với S = T R (T ) ' ta có: Z = µ Sz − S ( I − Q)R (u + z ) = µ u QR(u + z ) (4.1) (4.2) z z (u − µ ), với u < r | µ |< η z hàm thuộc lớp 𝒞1 Từ (4.1) cho ta= với: z (u , µ ) z (u ,η ) = lim η lim =0 u → || u || u →0 || u || Đều theo µ lân cận khơng µ u QR(u + z (u, µ )) Do đó, phương trình phân nhánh (4.2) trở thành= Bây ta áp dụng định lý hàm ẩn cho hàm sau đây: Với u ≠0 µ QR(u + z (u , µ )), u  µ −  Với u = f (u , µ )  u  u - Để ý f khả vi, liên tục lớp 𝒞1 lân cận (0, 0) theo với f(0, 0) = f µ (0,0) = - Do đó, ta có hàm liên tục µ (u ), với u < r ≤ r cho µ (u ), = 0, µ hàm lớp 𝒞 l B r (0) \ {0} ⊂ N(T), và: µ (u ) = u R (u + Fu ), u , (4.3) dat Fu = z (u , µ (u )) BƯỚC Ánh xạ F: B r (0) ⊂ N(T) → R(T), có limu →0 Fu = cần chứng minh F u hàm lớp 𝒞 B r (0) \ {0} Thật vậy, điều sau đâv: lim F '(u ) = u →0 đúng, F hàm lớp 𝒞 B r (0) - Từ 𝒵 = Fu, thoả mãn (4.1) với 𝜇= 𝜇(u), ta thấy rằng: F'(u)h = [I+S(I-Q)R'(x)- 𝜇(u)S]-1 + ( µ '(u ), h) SFu − S ( I − Q ) R '( x)h], Footer Page 61 of 89 Header Page 62 of 89 với x = u + Fu - Cũng từ (4.2) với 𝜇-𝜇(u)và𝒵 =Fu ta có: µ '(u ), h u = − µ (u )h + QR ( x)(h + F '(u )h), h ∈ N(T), nên limu →0 limu →0 Fu =0 u µ (u ), h SFu = 0, có điều - Do (4.4) xãy Bước Để tìm u ≠ cho 𝜇(u)u = QR(u + Fu), ta xét: Φu) = 𝜑(u + Fu) Ψ (u ) = u + Fu − ε với ε > đủ nhỏ, dat {u ∈ N(T):Ψ (u)=0} M = = u + Fu Do u ϵ M dẫn đến u ≤ ε Dễ thấy M 𝒞1- đa tạp N(T) Để ý u + Fu - 2 Φ M cho nghiệm phương trình phân Ta có điểm tới hạn Φ M = nhánh, tliu kết 𝜑‘(x) - ⋋x = Đặt Gu = u + Fu với - u < r, ta có: d Φ M (u ) = Φ '(u ) − e(u ), Φ '(u ) Ψ '(u ) Từ Ψ '(u ), h = Gu , h + F '(u )h limu →0 với e(u ), Ψ '(u ) = (4.4), cho ta u , Ψ '(u ) ≥ Fu = u u đủ nhỏ dẫn đến: v e(u ) = u, Ψ '(u ) G '(u )h, φ '(Gu ) N(T), ta có dΦ M (u) = Cũng từ Φ '(u ), h = như: φ '(u + Ru ) − (u + FU ), h + F '(u )h , (4-5) G '(u )u , φ '(Gu ) N(T), với  = Gu , G '(u )u - Ta có KR(T ) ⊂ R(T ), F '(v) ∈ N (T ), R(T ) Q = Q* (do Q tự liên hiệp) Từ (4.1) (4.2) với 𝜇 = 𝜇(u).z=Fu: vế trái (4.5) trở thành: (0 − )u + PRQv, h = − ( µ (u ) + 0 − ) Fu , F '(u ), h Footer Page 62 of 89 Header Page 63 of 89 N(T) nên - Đối với h=u ta thu (0 −  + µ (u ))  u + Fu, F '(u )u  = (u )u QR(u + Fu ) ⋋=⋋ 0+ µ (u ) , dẫn đến µ= Như vậy, với điểm tới hạn u(ε) Φ M tương ứng nghiệm (⋋(ε), x(ε)), với (ε ) = 0 + µ (u (ε )) → 0 x(ε ) = u (ε ) + Fu (ε ) = ε → ε →0 ε →0 Do tập M tập compact, Φ M có hai điểm tới hạn Vậy định lý chứng minh xong 4.2 Ví dụ: Cho xn + Ax +f(x)=0 ℝn, ta tìm nghiệm ω- tuần hồn với ω chu kỳ hệ phương trình tuyến tín xn + Ax =0, giả sử rằng: A ma trận đối xứng cấp n x n f= grad 𝜑 𝜑 ϵ 𝒞2 (ℝn, ℝ), lim x →0 f ( x) = x Khơng tính tổng qt, ta giả sử thêm 𝜑 (0)=0 Như biết, việc tìm nghiệm ω- tuần hồn giống tốn tìm nghiệm 2π- tuần hồn tốn sau đây: xn + ρ2(Ax+fx)=0 (4.6) ρ = ω Nhớ lại kiến thức phương trình đạo hàm riêng rằng, 2π phương pháp nghiệm yếu nhân (4.6) cho hàm v từ lớp hàm thích hợp, lấy tích phân phần nhằm mục đích hạ bậc khả vi để thu kết phù hợp Ta đặt J=(0,2π) và: X= { x ∈C2π (,  n ) | x ' ∈ 2 ( J ), ∫ 2π x(t )dt = 0} , Với: = x Footer Page 63 of 89  = x'   2π ∫ 2π  | x '(t ) |2 dt   Header Page 64 of 89 Khơng gian X khơng gian Hilbert nghiệm yếu (4.6) thỏa mãn: 2π ρ2 x, v x ' v ' dt = = 2π ∫0 2π ∫ 2π ( Ax.v + f ( x).v)dt , ∀v ∈ X (4.7) Ta định nghĩa K: X → X R:X → X cho bởi: Kx, v = 2π ∫ 2π Ax, vdt , Rx, v = 2π ∫ 2π f ( x).vdt , -2 Khi (4.7) tương đương với  x=Kx + Rx, với  = p p≠0 Ta kiểm tra điều kiện định lý 4.1 Đầu tiên ta có với x ∈ X thì: x(t ) = ∑ ak eikt với a -k = a k k∈ \{0} Và: 2∑ k ak < +∞ = x 2 Do đó: x0= max |x(t)| ≤ ∑ k −1k | ak |≤ α | x | t∈ j Trong α = π k với w= Kx theo định nghĩa K cho ta: k w v ∑ Aa v ∑= k ≠0 k k k k ≠0 −k , ∀v ∈ K , Dẫn đến w k =k Aa k , ∀ k ≠0 Như vậy, K ∈ ℒ(X) K x -2 = grad Kx, x Hơn ta có: ( Rx) x = 2π k ∫ 2π f ( x(t ))e − ikt dt Điều nói lên X nghiệm vếu; tức x∈ X thoả mãn (4.7) tương đương với  x=Kx+Rx, nghiệm co điển từ (Kx+Rx)" ∈ ℒ2(J), nên x" G ℒ2(J) dẫn đến x"-Ax + f ( x ) compact bởi: k ( Kx)k ∑= ∑k |k | ≥ m Footer Page 64 of 89 |k | ≥ m −2 ∈ 𝒞(J).'Ta để ý rằng, Ax k → m →∞ K tập Header Page 65 of 89 Đều theo x tập bị chặn sau cùng, lim x →∞ ∈ ℝn Và x f (a) Rx = 0, với a = 0, lim x →∞ a x ≤α x Rx grad Ψ ( x) đó: Ta chứng rằng= 2π Ψ ( x) = (2π ) −1 ∫ φ0 ( x(t ))dt , với 𝜑 hàm f Gọi ⋋ o giá trị riêng K Khi theo định lý 4.1 nói (4.6) có hai họ nghiệm −1 ρε ε→ →0 Footer Page 65 of 89 ( xε , ρε ) cho xε 2π -tuần hồn , xε = ε Header Page 66 of 89 Phần kết luận Qua luận văn này, thân tơi cảm thấy thực làm quen với cơng việc nghiên xứu khoa học cách nghiêm túc có hệ thống Tơi học tập phương pháp nghiên cứu việc đọc tài liệu thảo luận nhóm Bản thân tơi đọc cách vận dụng kỹ chứng minh từ lĩnh vực như: Giải tích phi tuyến, Giải tích hàm, Tơpơ đại cương… vào việc nghiên cứu điểm phân nhánh phương trình f(x, ) = Mong luận văn tài liệu tham khảo phục vụ chun đề “Lý thuyết Phân nhánh” Tuy nhiên giai đoạn bước đầu tập nghiên cứu khoa học nên khó tránh khỏi thiếu sót, mong hổ trợ bảo từ q Thầy, Cơ ngồi hội đồng đóng góp chân thành đồng nghiệp, bạn bè Footer Page 66 of 89 Header Page 67 of 89 Tài liệu tham khảo [1] Lê Hồn Hố, Định lý điểm bất động ứng dụng để nghiên cứu tồn nghiệm phương trình, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp sở, ĐHSP.Tp Hồ Chí Minh, 2010 [2] Haim Brezis, dịch giả TS Nguyễn Hội Nghĩa TS Nguyễn Thành Long, Giải tích hàm lý thuyết ứng dụng, tập 1, Tủ sách Đại học Khoa học Tự nhiên, 1998 [3] Jean Đieuonnné, Cơ sở Giải tích Hiện đại, tập 2, Nhà xuất Đại học Trung học chun nghiệp, Hà Nội, 1973 [4] L Nirenberg, Bài giảng giải tích hàm phi tuyến, Nhà xuất Đại học Trung học chun nghiệp, Hà Nội, 1986 [5] E Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and Applications, T.1 [6] K Deimlin, Nonlinear Functional Analysis, Springer – Verlag, 1985 [7] Kluas Schmit and Russell C.Thompson, Nonlinear Analysis, University of Utah, Novembert, 2004 Footer Page 67 of 89 ... 2.2 Phương pháp sử dụng Bổ đề Morse 26 Chương PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẬC TƠPƠ 34 3.1 Sự phân nhánh địa phương 34 3.2 Sự phân nhánh tồn cục 54 Chương 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN... Trình bày phương pháp biến phân, dùng để nghiên điểm phân nhánh phương trình f(x, λ) = điểm phân nhánh ϕ’(x) – λx = với ϕ ∈ C2 (Ω,  ) Footer Page of 89 Header Page of 89 Chương 1: PHƯƠNG PHÁP SỬ... tham gia vào phương trình mà có nhiều phương pháp khác để nghiên cứu phân nhánh Footer Page of 89 Header Page of 89 Phần nội dung Nội dung luận văn nói việc nghiên cứu nghiệm (x, y) phương trình