Quá trình phân nhánh và ứng dụng

Header Page of 126 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THU QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2017 Footer Page of 126 Header Page of 126 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THU QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Lí thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 01 06 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TẠ NGỌC ÁNH HÀ NỘI - 2017 Footer Page of 126 Header Page of 126 Mục lục Mở đầu Quá trình Galton-Watson 1.1 Định nghĩa 1.2 Mômen 1.3 Tính chất hàm sinh 1.4 Xác suất tuyệt chủng 1.5 Các định lý giới hạn 1.5.1 Các định lý tỉ lệ 1.5.2 Trường hợp tới hạn 1.5.3 Trường hợp tới hạn 1.5.4 Trường hợp siêu tới hạn 1.5.5 Tính chất cấp Zn /mn 1.6 Quá trình Q Quá trình phân nhánh Markov thời gian liên 2.1 Định nghĩa 2.2 Phương trình hàm 2.3 Hàm sinh 2.4 Xác suất tuyệt chủng mômen 2.5 Ví dụ 2.6 Nhúng vào trình Galton - Watson 2.7 Định lý giới hạn 2.7.1 Trường hợp tới hạn λ > 2.7.2 Trường hợp tới hạn λ = 2.7.3 Trường hợp tới hạn Footer Page of 126 tục 3 10 13 14 16 19 21 23 26 26 27 29 30 32 33 35 35 36 38 Header Page of 126 Quá trình phụ thuộc tuổi 3.1 Giới thiệu 3.2 Xác suất tuyệt chủng 3.3 Mômen 3.4 Tiệm cận F (s, t) 3.4.1 Trường hợp tới hạn 3.4.2 Không tới hạn : trường hợp Malthusian 3.4.3 Không tới hạn: trường hợp sub-exponential 3.5 Các định lý giới hạn 3.5.1 Trường hợp tới hạn 3.5.2 Trường hợp tới hạn 3.5.3 Trường hợp tới hạn Ứng dụng 4.1 Chuỗi phản ứng PCR trình phân nhánh 4.1.1 Cơ chế hoạt động PCR 4.1.2 Mô hình toán học 4.1.3 Ước lượng thống kê tỉ lệ đột biến 4.2 Khuếch đại gen 4.2.1 Khuếch đại gen kháng thuốc 4.2.2 Quá trình Galton - Watson cho mô hình khuếch suy giảm gen 4.2.3 Mô hình toán học sức đề kháng đại 39 39 41 43 44 44 45 46 46 46 47 48 50 50 50 51 52 53 53 54 55 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 Footer Page of 126 Header Page of 126 Mở đầu Quá trình phân nhánh trình ngẫu nhiên mô tả phát triển quần thể Các cá thể sinh sản chết độc lập với theo số phân bố xác suất Quá trình phân nhánh có nhiều ứng dụng sinh học quần thể, sinh học phân tử, sinh y, dân số học, Có nhiều kiểu trình phân nhánh: thời gian không liên tục (quá trình Galton - Watson), thời gian liên tục (quá trình Markov, trình phụ thuộc tuổi, trình Bellman - Harris) Nhưng khuôn khổ luận văn em trình bày ba trình phân nhánh là: trình Galton Watson, trình Markov, trình phụ thuộc tuổi số ứng dụng đơn giản trình phân nhánh Luận văn “Quá trình phân nhánh ứng dụng” gồm: Mở đầu, bốn chương nội dụng, kết luận tài liệu tham khảo Em xin cảm ơn đến thầy cô giáo Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp cao học chuyên ngành Lý thuyết xác suất thống kê toán học, khóa học 2013 - 2015 giúp đỡ em suốt trình học tập Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn TS Tạ Ngọc Ánh người trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành luận văn thạc sĩ Hà Nội, ngày 29 tháng 11 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Thu Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương Quá trình Galton-Watson 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Quá trình Galton - Watson (G - W) xích Markov {Zn ; n = 0, 1, 2, } tập số nguyên không âm Hàm chuyển định nghĩa thông qua phân bố xác suất cho trước {pk ; k = 0, 1, 2, }, pk ≥ 0, pk = sau   p∗ i i ≥ 1, j ≥ j P (i, j) = P {Zn+1 = j | Zn = i} = (1.1)  δ0j i = 0, j ≥ đó: - {p∗k i ; k = 0, 1, 2, } tích lặp i lần {pk ; k = 0, 12, } - δij ký hiệu delta Kronecker - Phân bố xác suất {pk } toàn liệu toán Quá trình miêu tả phát triển thành quần thể cá thể Bắt đầu thời điểm với số lượng cá thể Z0 , cá thể (sau đơn vị thời gian) phân tách độc lập thành cá thể khác, tạo lượng ngẫu nhiên theo quy luật xác suất {pk } Như vậy, số lượng cá thể hệ thứ Z1 tổng Z0 biến ngẫu nhiên(bnn) độc lập có phân bố xác suất {pk } Cũng vậy, hệ thứ 2, 3, sinh Tất cá thể độc lập với Số lượng cá thể hệ thứ n bnn Zn Footer Page of 126 Header Page of 126 Từ (1.1) ta thấy Zn = Zn+k = ∀k ≥ Do trạng thái ổn định trình trở thành tuyệt chủng Chú ý 1.1.2 Khi muốn ý đến số lượng cá thể khởi đầu, đặt {Zn(i) , n = 0, 1, 2, } trình phân nhánh với i cá thể khởi đầu Để cho thuận lợi, ta thường (1) giả sử Z0 = 1, đặc biệt ta viết Zn = Zn Hàm sinh: Một công cụ giải tích quan trọng để nghiên cứu trình phân nhánh hàm sinh: ∞ pk s k , f (s) = |s| ≤ (1.2) k=0 hàm lặp nó: f0 (s) = s; f1 (s) = f (s); fn+1 (s) = f [fn (s)] s số thực Ta thấy P (1, j)sj = f (s); j P (i, j)sj = [f (s)]i với i ≥ (1.3) j Giả sử Pn (i, j) xác suất chuyển để hệ thứ n có j cá thể từ i cá thể ban đầu, sử dụng phương trình Chapman - Kolmogorov, ta có Pn+1 (1, j)sj = j Pn (1, k)P (k, j)sj j k = P (k, j)sj Pn (1, k) j k Pn (1, k)[f (s)]k = k Nếu ta giả sử Pn (1, j)sj = f(n) (s), f(n+1) (s) = f(n) [f (s)] Suy f(n) (s) = fn (s), Footer Page of 126 (1.4) Header Page of 126 Từ (1.3) (1.4) ta có ∞ Pn (i, j)sj = [fn (s)]i (1.5) j=0 (i) • Tính cộng tính: Quá trình {Zn ; n = 0, 1, 2, } tổng i độc lập trình phân nhánh {Zn ; n = 0, 1, 2, } Nói cách khác, Pi định nghĩa độ đo F tương đương với độ đo ban đầu P {Z0 = i} = Pi tích lặp i lần P1 Vậy phân bố (i) (i) (Zn1 , , Znk ) với ≤ n1 ≤ ≤ nk tích lặp i lần phân bố (Zn1 , , Znk ) • Giả sử p0 + p1 < pj = ∀j pj = ∀j 1.2 Mômen Môment trình (nếu tồn tại) biểu diễn qua đạo hàm f (s) s = 1, từ ta có E(Z1 ) = P (1, j)j = f (1) = m m số trung bình cá thể Từ quy luật chuỗi ta có EZn = Pn (1, j)j = fn (1) = fn−1 (1)f (1) = · · · = [f (1)]n = mn (1.6) Tương tự từ công thức fn+1 (1) = f (1)[fn (1)]2 + f (1)fn (1) có fn (1) = f (1) m2n−2 + m2n−3 + + mn−1 , đó, đặt σ = Var(Z1 ) ta có  n−1 n σ m (m − 1)   m−1 Var(Zn ) =  nσ Footer Page of 126 m = m = Header Page of 126 1.3 Tính chất hàm sinh Các tính chất hàm sinh fn (s) chứa tính chất hàm chuyển Pn (i, j), thay nghiên cứu giới hạn {fn (s)} ta nghiên cứu giới hạn {Zn } Chúng ta bắt đầu nghiên cứu vấn đề tính chất sau: Cho t số thực Từ định nghĩa f (t) chuỗi với hệ số không âm {pk } p0 + p1 < suy f (t) có tính chất sau f (s) lồi tăng [0, 1] f (0) = p0 ; f (1) = m ≤ f (t) > t với t ∈ [0, 1) m > f (t) = t có nghiệm [0, 1) Đặt q nghiệm nhỏ phương trình f (t) = t với t ∈ [0, 1] Từ tính chất cho thấy phương trình có nghiệm, nữa: Bổ đề 1.3.1 • Nếu m ≤ q = • Nếu m > q < Hình 1.2: m ≤ Hình 1.1: m > Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 Bổ đề 1.3.2 • Nếu t ∈ [0, q) fn (t) ↑ q n → ∞ • Nếu t ∈ (q, 1) fn (t) ↓ q n → ∞ • Nếu t = q t = fn (t) = t ∀n Một ví dụ quan trọng: Trường hợp hàm tuyến tính ví dụ mà tính toán hàm lặp fn (s) Giả sử pk = bpk−1 k = 1, 2, ∞ pi = [1 − b − p][1 − p]−1 p0 = − i=1 Dễ dàng tính f (s) = − m= b bs + − p − ps (1.7) b (1 − p)2 Cho hai điểm u, v f (s) − f (u) s − u − pv = + f (s) − f (v) s − v − pu (1.8) Phương trình f (s) = s có nghiệm q • Nếu m > q < • Nếu m = q = • Nếu m < q < Nếu ta đặt u = q v = ⇒ với m = phương trở thành f (s) − q 1−p = lim − pq s→1 s−q f (s) − s−1 −1 = m (1.8) trở thành f (s) − q s−q = f (s) − m s − Footer Page 10 of 126 (1.9) Header Page 16 of 126 kì vọng có điều kiện tăng tuyến tính Điều dẫn đến nghiên cứu điều kiện trình Zn | Zn > , n > n Thật vậy, thấy trình hội tụ tới phân bố mũ âm Những vấn đề nội dung luật giới hạn cổ điển cho trình G-W Ngoài chứng minh số kết có liên quan đến điều kiện giới hạn Chúng ta thấy có lớp điều kiện luật giới hạn trường hợp siêu tới hạn có quan hệ mật thiết với trường hợp tới hạn Để chứng minh định lí giới hạn ta cần số kết hàm chuyển Markov P (i, j) 1.5.1 Các định lý tỉ lệ Trong mục đưa định lý tỉ lệ hàm chuyển Và công cụ hữu ích để chứng minh định lí giới hạn phần (j) Bổ đề 1.5.3 Đạo hàm cấp j (dj /dsj )fn (s) ≡ fn (s) thỏa mãn (j) fn(j) (s) = an,j (s) + f [fn−1 (s)]fn−1 (s) với n, j ≥ an,j (s) chuỗi với hệ số không âm Bổ đề 1.5.4 (Tỉ lệ Monotone) Giả sử pj = Pn (1, j) ↑ πj ≤ ∞, j ≥ Pn (1, 1) Với πj định nghĩa giả sử rằng: γ = f (q) (1.18) ∞ πn s n P(s) = n=1 p1 > ta có kết sau: 14 Footer Page 16 of 126 (1.19) Header Page 17 of 126 Định lý 1.5.5 {πj , j = 1, 2, } thỏa mãn phương trình ∞ πk P (k, j), j ≥ (1.20) P[f (s)] = γP(s) + P(p0 ) (1.21) γπj = k=1 P(·) thỏa mãn s p0 thuộc miền hội tụ P Định lý 1.5.6 (Định lý tỉ lệ) τi πj Pn+m (i, j) = γm n→∞ Pn (k, l) τ k πi lim với τi = iq i−1 1.5.2 Trường hợp tới hạn Khi m < xác suất tuyệt chủng Để mô tả giới hạn trường hợp Kolmogorov (1938) Yaglom (1947) đưa điều kiện Zn để {Zn > 0} Kết mục hệ định lí 1.5.14 Nó phát biểu m < phân bố {Zn | Zn > 0} hội tụ tới phân bố xác Đặt T thời gian tuyệt chủng trình G-W, tức T = k ⇔ Zk−1 > 0, Zk = Định lý 1.5.7 Giả sử q > (i) lim P {Zn = j | n < T < ∞} = bj tồn n→∞ (ii) Nếu m = bj hàm xác suất hàm sinh B(s) = bj sj nghiệm phương trình B f (sq) q = γB(s) + (1 − γ) Chứng minh Giả sử m ≤ P {T < ∞} = Bn (s) = E(sZn | n < T < ∞) = E(sZn | n < T ) 15 Footer Page 17 of 126 (1.22) Header Page 18 of 126 = Đặt Gn (s) = − fn (s) fn (s) − fn (0) =1− − fn (0) − fn (0) − fn (s) − f (s) Γ(s) = − fn (0) 1−s Gn (s) = Γ[fn−1 (s)] Gn−1 (s) Γ[fn−1 (0)] Vì Γ(s) fn (s) tăng s Gn (s) tăng n Như lim Gn (s) = G(s) lim Bn (s) = B(s) n→∞ n→∞ tồn B(s) = − G(s) Từ định nghĩa bn Γ: Gn (f (s)) = Gn+1 (s)Γ(fn (0)) với fn (0) ↑ n → ∞ Γ(x) ↑ m x → Suy G(f (s)) = mG(s) (1.23) B(f (s)) = mB(s) + (1 − m) (1.24) hay Nếu m < γ = m q = 1, (1.22) thiết lập Từ (1.23) cho s ↑ G(1−) = m(G(1−)) m < G(1−) = B(1−) = Như {bj } hàm xác suất Nếu m > ∞ j j=1 s P {Zn ∞ = j, n < T < ∞} P {n < T < ∞} j s P {Zn = j | n < T < ∞} = j=1 P {Zn = j}q j sj fn (sq) − fn (0) = = q − fn (0) P {Zn = j}q j f ∗ (s) − fn∗ (0) = n − fn∗ (0) fn∗ (s) tích lặp lần thứ n f ∗ (s) = q −1 f (qs) Chú ý f ∗ (s) hàm sinh với nghĩa m∗ = f ∗ (1−) = f (q) = γ < 16 Footer Page 18 of 126 Header Page 19 of 126 Do lập luận trường hợp giới hạn cho f (s) cho f ∗ (s) Thay f f ∗ vào (1.24) (1.22) Hệ 1.5.8 (Định lý Yaglom) Nếu m < P {Zn = j | Zn > 0} hội tụ n → ∞ tới phân bố xác suất có hàm sinh B(s) thỏa mãn phương trình B[f (s)] = mB(s) + (1 − m) 1.5.3 Trường hợp tới hạn Khi m = Zn → với xác suất Hay giới hạn xác suất bj chuỗi phân bố có điều kiện {Zn | Zn > 0} trình phân kì tới ∞ Chúng ta thấy cần thêm điều kiện để trình hội tụ tới giới hạn không suy biến Cách tiếp cận dùng giải tích để nghiên cứu kĩ giới hạn fn (t) Chúng ta biết fn (t) ↑ 1, ta tìm hiểu tỉ lệ hội tụ Chúng ta bắt đầu bổ đề quan trọng Bổ đề 1.5.9 Nếu m = E(Z1 ) = σ = Var(Z1 ) < ∞ 1 σ2 − = ∀t ∈ [0, 1) lim n→∞ n − fn (t) 1−t Chứng minh (Kesten, Ney, Spitzer (1966)) Cách chứng minh liên quan đến phương pháp ước lượng trực tiếp Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có f (1) − t f (t) − f (1) = lim = ≡ a t→1 (1 − t)2 t→1 2(t − 1) lim Đặt ε(t) = a − Do f (t) − t ta thấy (1 − t)2 ε(t) ≥ ε(1) ↓ t → (1.25) 1 − − f (t) − t (1.26) f (t) − t ≤ a (1 − t)2 Đặt δ(t) = a − 17 Footer Page 19 of 126 Header Page 20 of 126 Vì t ≤ f (t) suy f (t) − t − ≥ − f (t) − t (1 − t)2 Do δ(t) ≤ ε(t) (1.27) Thay t fi (t) (1.27), lấy tổng theo i sử dụng (1.25) ta 1 an− − = − fn (t) − t n−1 ≤ n−1 S(fi (t)) i=0 n−1 ε[fi (t)] ≤ i=0 ε[fi (0)] = 0(n) (1.28) i=0 ε[fi (0)] → i → ∞ Mặt khác ta thấy − f (s) f (s) − s δ(s) = a − 1−s (1 − s)2 Từ định nghĩa ε(s), − f (s) 1−s −1 ≥a s − f (s) − f (s) f (s) − s = (1 − s)(a − ε(s)), bất đẳng thức 1−s trở thành f (s) − s 1−s 1−s · = −a(1 − s)(a − ε(s)) 1−s − f (s) − f (s) 1−s ≥ −a2 (1 − s) ≥ −a2 (1 − s) − f (s) − f (0) S(s) ≥ −a Vì 1−s giảm dương [0, 1] Do − f (s) n−1 a2 S[fk (t)] ≥ − − f (0) k=0 a2 ≥− − f (0) n−1 − fk (t) k=0 n−1 − fk (0) = o(n) (1.29) k=0 Chia (1.28) (1.29) cho n, sau cho n → ∞ ta đpcm Dựa vào bổ đề trên, tỉ lệ mà trình trở thành tuyệt chủng ước tính Chúng ta biết P {Zn > 0} → n → ∞ Trong 18 Footer Page 20 of 126 Header Page 21 of 126 bổ đề đặt t = ý P {Zn > 0} = − fn (0), có tỉ lệ hội tụ tới Định lý 1.5.10 Nếu m = σ < ∞ n → ∞ [1 − fn (0)] = P {Zn > 0} ∼ nσ Chúng ta ý điều kiện trình {Zn | Zn > 0} phân kì với Định lý 1.5.10 sử dụng để đưa ý tưởng tỉ lệ tăng trưởng Như ta biết: E(Zn | Zn > 0) = P (Zn > 0) Và nσ Nghĩa kì vọng trình có điều kiện tăng tỉ lệ với n Như ta điều chỉnh trình n Điều dẫn đến kết sau: E(Zn | Zn > 0) ∼ Định lý 1.5.11 Nếu m = σ < ∞ lim P n→∞ Zn > z | Zn > n = exp −2z σ2 , z ≥ (1.30) Chứng minh Chúng ta Zn lim E e−α( n ) | Zn > = n→∞ + ασ2 (1.31) Ta thấy vế phải (1.31) biến đổi Laplace (1.30) Nhưng kì vọng có điều kiện (1.31) α fn e− n − fn (0) {n[1 − fn (0)]}−1 =1− α −1 − fn (0) n − fn e − n Từ bổ đề 1.5.9: σ2 lim = n→∞ n[1 − fn (0)] (sử dụng hội tụ đều) ta có: lim α n→∞ n − fn e− n σ2 σ2 = + lim = + α n→∞ n − e− n 2 19 Footer Page 21 of 126 Header Page 22 of 126 Hệ 1.5.12 Nếu m = σ < ∞ lim n2 [fn+1 (s) − fn (s)] = n→∞ , s < σ2 Chú ý P {Zn = j | Z0 = 1, Zn > 0, Zn+1 Pn (1, j)pj0 = 0} = fn+1 (0) − fn (0) Nếu p1 > từ Định lý 1.5.11 hệ ta có lim n2 Pn (1, j) = n→∞ 2πj σ P(p0 ) Áp dụng định lý tỉ lệ ta có: Hệ 1.5.13 Nếu p1 > 0, m = σ < ∞ với j ≥ lim n2 Pn (i, j) = ciπj n→∞ c = 1.5.4 σ P(p0 ) Trường hợp siêu tới hạn Phần nghiên cứu kĩ trạng thái Zn phát triển tính chất giới hạn tốt hơn, sử dụng giả thiết yếu phần đầu Zn Chúng ta bắt đầu với chuỗi Wn = n hội tụ hầu khắp nơi (h.k.n) m Chúng ta biết P {W = 0} = m ≤ Khi m > σ < ∞ điều kiện đủ để P {W = 0} < Levinson (1959) đưa nhận xét σ = ∞ P {W = 0} không mạnh σ < ∞ Các điều kiện cần đủ cho định lý sau mạnh tồn giá trị trung bình Đối với phân bố W, hoàn toàn liên tục tập số thực dương có hàm mật độ dương, liên tục Trong toàn phần ta giả sử Z0 = 1, m > pj = ∀j 20 Footer Page 22 of 126 Header Page 23 of 126 Định lý 1.5.14 • Nếu EZ1 log Z1 < ∞ EW = • Nếu EZ1 log Z1 = ∞ EW = P {W = 0} = Nhận xét 1.5.15 Định lý nói EZ1 log Z1 = ∞ Zn P {lim n = 0} = m Từ dẫn đến khả tồn chuỗi tiêu chuẩn khác {cn } cho {Zn /cn } hội tụ tới giới hạn không suy biến Tuy nhiên cần chứng minh cn ∼ mn EZ1 log Z1 < ∞ Ngoài phương pháp chứng minh trực tiếp định lý áp dụng cho trình tổng quát Chương Vì nghiên cứu định lý 1.5.15 độc lập sau tổng quát Định lý 1.5.16 Chú ý Wn hội tụ h.k.n tới W ϕn (u) ≡ Ee−uWn → Ee−uW ≡ ϕ(u), u ≥ ϕ(u) thỏa mãn phương trình ϕ(u) = f (ϕ( u )) m (1.32) Đây chìa khóa để chứng minh định lý 1.5.15[K.B.Athreya, P.E.Ney (1972)] Định lý 1.5.16 Giả sử {Zn ; n = 0, 1, 2, } trình GW với < m < ∞ Thì luôn tồn chuỗi số {cn } với cn → ∞ −1 c−1 n cn+1 → m n → ∞, cho bnn Wn = cn Zn →W h.c.c với P (W > 0) = − q Hơn ϕ(z) = E(e−zW ) với z ≥ ϕ(z) thỏa mãn phương trình (1.32): z ϕ(z) = f (ϕ( )) m Nhận xét 1.5.17 Nếu j pj j log j < ∞ từ định lý 1.5.14 biết Zn m−n hội tụ theo quy luật tới giới hạn không suy biến Luật Khinchine cn ∼ const × mn Ngược lại, cn ∼ const × mn Zn m−n hội tụ theo quy luật tới giới hạn không suy biến (định 21 Footer Page 23 of 126 Header Page 24 of 126 lý 1.5.16) Hơn nữa, thấy EW < ∞ pj j log j < ∞ Do có: pj j log j < ∞ cn ∼ const · mn [ Seneta (1969)] Phương trình hàm (1.32) thường khó giải xác ϕ(z) chí có giải đảo ngược ϕ(z) để có hàm phân phối W Tuy nhiên sử dụng (1.32) để xác định tất mômen W có cấp ≥ (khi chúng tồn tại) (m) Giả sử {Zn ; n = 0, 1, 2, }, m = 2, 3, chuỗi trình phân nhánh với số trung bình m định nghĩa không gian (m) Z1 hội tụ tới bnn Z m → ∞ xác suất Giả sử σm (m) (m) σm = Var Z1 /Z0 ≡ 1) Đặt W (m) giới hạn h.c.c Zn /mn n → ∞ thì: E mW (m) −Z σm (m) ≤ 2E mW (m) Z1 − σm σm (m) + 2E Z1 −Z σm Do (m) E mW (m) Z1 − σm σm = → h.c.c m → ∞ m m2 − m (m) Z1 mW (m) Do → Z; → Z với m lớn, giới hạn W (m) σm σm (m) Z1 m 1.5.5 Tính chất cấp Zn /mn Trong phần 1.5.4 thấy giới hạn chuỗi {Zn /mn ; n = 0, 1, } mac-tin-gan không âm, hội tụ h.c.c tới b.n.n W Do ta xấp xỉ Zn mn W với n đủ lớn Điều đặt câu hỏi tầm quan trọng hiệu Zn − mn W Trong phần 22 Footer Page 24 of 126 Header Page 25 of 126 xây dựng biểu diễn đơn giản cho Zn − mn W sử dụng để trả lời câu hỏi Không gian xác suất (Ω, F, P ) ký hiệu không gian trình phân nhánh {Zn , n = 0, 1, 2, } Giả sử P {Z0 = 1} = ∞ j=1 pj (j Định lý 1.5.18 Giả sử p0 = log j) < ∞ với n (j) tồn a tập An ∈ F với P {An } = biến ngẫu nhiên Wn (w) với j = 1, 2, , Zn (w) cho với w An : Zn (w) n (1 − Wn(j) (w)) Zn (w) − m W (w) = j=1 (j) Vecto {Wn (w); j = 1, 2, , Zn (w)} bao gồm bnn độc lập phân phối với W Chú ý 1.5.19 Chúng ta cần giả thiết ∞ j=1 pj (j log j) < ∞ để không xảy w → (h.c.c) Do cần xét tập {w : W (w) = 0} Không tổng quát ta giả sử P {W = 0} = hay p0 = Hệ 1.5.20 Giả sử p0 = A F cho P {A} = n = 0, 1, 2, cho với w ∈ A: ∞ j=1 pj (j log j) < ∞ tồn a tập (j) bnn Wn (w) với j = 1, 2, , Zn (w); Zn n (1 − Wn(j) (w)) ∀n Zn (w) − m W (w) = j=1 Bây sử dụng hệ để trả lời phần câu hỏi trước tầm quan trọng Zn − mn W Định lý 1.5.21 Giả sử p0 = 0, ∞ j=1 j pj < ∞ σ2 Zn − mn W d √ → − N 0, m −m Zn Chứng minh Từ hệ thấy Zn − mn W phân n phối với Zj=1 (1 − W (j) ), W (j) , j = 1, 2, , Zn độc lập W cho Zn Từ ∞ j=1 j pj < ∞ ta có EW (j) = Var(1 − W 23 Footer Page 25 of 126 (j) σ2 )= m −m Header Page 26 of 126 1.6 Quá trình Q Phần nghiên cứu điều kiện trình {Zn } không tuyệt chủng tương lai xa tuyệt chủng tương lai xa cách xây dựng trình {Q} từ trình {Zn } Định lý 1.6.1 Nếu p1 > 0, q > lim P {Zn = j | n + k < T < ∞} = bj (k) ≥ n→∞ j bj (k) = m = bj (k) = m = Nếu m = lim P {Zn = j | T = n + k} = θj (k) ≥ n→∞ , j θj (k) = Định nghĩa 1.6.2 Quá trình Q (liên kết với {Zn }) xích Markov {Zˆn ; n = 0, 1, } với hàm chuyển j−i jq Qn (i, j) = P {Zˆn+k = j | Zˆk = i} = Pn (i, j) n với i, j ≥ iγ Định lý 1.6.3 (i) Nếu m > trình Q lặp dương (positive recurrent) (ii) Nếu m = trình Q tạm thời (transient) (iii) Nếu m < trình Q lặp dương ∞ (k log k)pk < Cũng trình G-W, trường hợp m = đóng vai trò đặc biệt trình Q Trong suốt trạng thái chuyển nó, Zˆn → ∞ với xác suất Nhưng Zˆn /n hội tụ tới quy luật giới hạn không suy biến Định lý 1.6.4 Nếu m = σ < ∞ (2σ ) Zˆn /n hội tụ theo phân bố tới bnn có hàm mật độ   x · e−x x ≥ h(x) =  0 x < 24 Footer Page 26 of 126 Header Page 27 of 126 Bổ đề 1.6.5 Nếu Fn phân bố [0, ∞) với kỳ vọng µn , hội tụ yếu tới phân bố F với kỳ vọng µ > µn → µ Gn (x) = µn x tdFn (t) hội tụ tới phân bố: G(x) = µ x dF (t) Chứng minh Định lý 1.6.4 Đặt Fn (t) = P { µn = Zn ≤ x | Z0 = 1, Zn > 0} σ2 n Zn σ E n , Zn >0 = → P {Zn > 0} σ np(Zn > 0) Ta muốn n n + k có độ lớn tương ứng Để thuận lợi trình viết lại {Z[nt] | Zn > 0} ≤ t ≤ Để cho đơn giản ta bỏ dấu ngoặc vuông nhưg nt phải hiểu [nt] Định lý 1.6.6 Nếu m = f (1) < ∞ với t < cố định {Znt /n | Zn > 0} hội tụ theo phân bố tới biến ngẫu nhiên U + V n → ∞ Trong U V bnn độc lập có hàm mật độ mũ với tham số tương ứng 2/tσ 2/(t(1 − t)σ ) Chứng minh Ta thấy P {Znt − k | Zn > 0, Z0 = 1} P {Znt = k, Zn > | Z0 = 1} P {Zn > | Z0 = 1} P {Znt = k | Z0 = 1}P {Zn(1−t) > | Z0 = k} = P {Zn > | Z0 = 1} P {Znt = k | Znt > 0, Z0 = 1}P {Znt > | Z0 = 1}P {Zn(1−t) > | Z0 = k} = P {Zn > | Z0 = 1} = Do E exp −α Znt n | Zn > 0, Z0 = 25 Footer Page 27 of 126 Header Page 28 of 126 Znt P {Znt > | Z0 = 1} Znt E exp −αt [1 − fn(1−t) ] | Znt > 0, Z0 = P {Zn > | Z0 = 1} nt Znt = + on (t) E exp − αt t nt Znt − exp − αt − nt log fn(1−t) (0) | Znt > 0, Z0 = nt = Nhưng lim [αt − nt log fn(1−t) (0)] = αt + n→∞ t 1−t σ2 từ công thức (1.30) ta có lim E[exp{−α n→∞ = 1 t + αt σ22 Znt } | Zn > 0, Z0 = 1] n t − + 1−t + αt σ2 σ −1 σ2 = (1 + αt ) + αt(1 − t) 2 −1 Hai thành phần biểu thức cuối phép biến đổi Laplace hàm mật độ U V Kết dẫn đến {(Znt /n) | Zn > 0} với n cố định t ∈ [0; 1] trình ngẫu nhiên với tham số t, ký hiệu X(t) Sau ta nghiên cứu chuỗi trình X1 (t), X2 (t), 26 Footer Page 28 of 126 Header Page 29 of 126 Tài liệu tham khảo [1] Athreya, K B and P.E Ney, P.E (1972), Branching Processes, Springer, Berlin [2] Doob, J.L (1953), stochastic processes, Wiley, Newyork [3] Haccou, P Jagers, V.A (2005), Branching Processes: Variation, Growth and Extinction of Populations, Cambridge University Press, Cambridge [4] Harris, T.E (1963), The Theory of Branching Processes, Springer, Berlin [5] Kesten, H., Ney,P , Spitzer, F (1966), "The Galton - Watson process with mean one and finite varience", TPA11 [6] Kimmel, M and Axelrod, D.E (1990), "Mathematical models of gene amplification with applications to cellular drug resistance and tumorigenicity", Genetics 125 [7] Kimmel, M and Axelrod, D.E (2002), Branching Processes in Biology, Springer, New York [8] Levinson, N (1959), "Limiting theorems for Galton - Watson branching processes, IJM [9] Mode, C.J (1971), Multitype Branching Processes, Elsevier, New York [10] Seneta, E (1969), "Functional equations and the Galton - Watson process", Adv 58 Footer Page 29 of 126 Header Page 30 of 126 [11] Saiki, R K , Gelfand, D.H.,toffel, S.S, Scharf, S.J.,Higuchi, R ,Horn,G.T , Mullis, K.B and Erlich , H.A (1988), "Primer-directed enzymatic amplification of DNA with a thermostable DNA polymerase", Science 239 [12] Weiss, G and Haeseler , A (1997), "A coalescent approach to the polymerase chain reaction", Nucleic Acids Research 25 59 Footer Page 30 of 126 ... khổ luận văn em trình bày ba trình phân nhánh là: trình Galton Watson, trình Markov, trình phụ thuộc tuổi số ứng dụng đơn giản trình phân nhánh Luận văn Quá trình phân nhánh ứng dụng gồm: Mở... Page of 126 Mở đầu Quá trình phân nhánh trình ngẫu nhiên mô tả phát triển quần thể Các cá thể sinh sản chết độc lập với theo số phân bố xác suất Quá trình phân nhánh có nhiều ứng dụng sinh học quần... sinh học phân tử, sinh y, dân số học, Có nhiều kiểu trình phân nhánh: thời gian không liên tục (quá trình Galton - Watson), thời gian liên tục (quá trình Markov, trình phụ thuộc tuổi, trình Bellman