Thiết kế hệ thống điều khiển số sử dụng vi điều khiển và máy tính - chương 2
Chơng 2 ổn định của hệ thống điều khiển số Trong chơng này, chúng ta sẽ quan tâm đến một số kỹ thuật cơ bản đợc dùng để phân tích ổn định các hệ thống điều khiển số. Nh đã trình bày ở chơng 1, giả thiết ta có hàm truyền của hệ thống điều khiển số vòng kín có dạng nh sau ( )( )( )( )( )( )1y z G z N zr z GH z D z= =+ ở đây ( )1 0GH z+ = đợc gọi là phơng trình đặc tính. Các giá trị của z ứng với ( )0N z = đợc gọi là không (zeros) và các giá trị của z ứng với ( )0D z = đợc gọi là các cực (poles). Tính ổn định của hệ thống sẽ phụ thuộc vào vị trí của các cực hay gốc của phơng trình ( )0D z = . 2.1. ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z Đối với các hệ vòng kín liên tục, mặt phảng p đợc sử dụng để khảo sát ổn định của hệ thống. Tơng tự đối với các hệ thống rời rạc, mặt phẳng z đợc dùng để khảo sát ổn định của hệ thống. Trong phần này chúng ta sẽ xét đến quan hệ tơng đơng giữa mặt phẳng p của hệ liên tục và mặt phẳng z của hệ rời rạc. Trớc tiên chúng ta làm một phép ánh xạ từ nửa trái của mặt phẳng p vào mặt phẳng z. Nếu phơng trình p j = + mô tả một điểm trong mặt phẳng p thì dọc theo trục ảo j ta có pT T j Tz e e e = = (2.1) Vì 0= nên cos sin 1j Tz e T j T T = = + = (2.2) Từ phơng trình (2.2), vị trí của các cực trên trục ảo của mặt phẳng p đã đợc ánh xạ lên trên vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z. Khi thay đổi dọc theo trục ảo của mặt phẳng p, góc của các cực trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z sẽ thay đổi. Nếu đợc giữ nguyên không đổi và tăng giá trị ở nửa trái mặt phẳng p, thì vị trí của các cực sẽ di chuyển về phía gốc xa khỏi vòng tròn đơn vị. Tơng tự nếu giảm giá trị ở nửa trái mặt phẳng p, thì các cực trong mặt phẳng z sẽ di chuyển xa ra khỏi gốc nhng vẫn nằm trong vòng tròn đơn vị. Qua các phân tích trên ta thấy toàn bộ nửa trái của mặt phẳng p sẽ tơng đơng với phần bên trong của vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z. Tơng tự toàn bộ nửa bên phải của mặt phẳng p sẽ tơng đơng với miền nằm bên ngoài vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z nh trên hình 2.1. Nếu một hệ thống liên tục đợc coi là ổn định khi các cực nằm bên trái mặt phẳng p thì một hệ thống rời rạc đợc coi là ổn định nếu các cực nằm bên trong vòng tròn đơn vị. Hình 2.1. ánh xạ từ nửa trái mặt phẳng p vào bên trong vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z Từ mặt phẳng z chúng ta có thể phân tích ổn định của hệ thống bằng cách sử dụng phơng trình đặc tính. Tuy nhiên phơng pháp này chỉ cho chúng ta biết hệ có ổn định hay không mà không cho chúng ta biết hệ có ổn định hay không khi bị tác động bởi các thông khác. Sau đây chúng ta sẽ xét một số ví dụ. Ví dụ 2.1: Cho một hệ thống vòng kín có sơ đồ khối nh trên hình 2.1. Xác định xem hệ có ổn định hay không nếu chu kỳ lấy mẫu 1T s= . Hình 2.1. Hệ thống vòng kín trong ví dụ 2.1 Lời giải: Hàm truyền của hệ có dạng nh sau ( )( )( )( )1y z G zr z G z=+ ở đây ( )( )( )( )( )( )( )21 122 11 4 41 12 21TTpTz eeG z Z z Z zp p p pz z e = = = + + ( )( )222 1TTeG zz e= Với 1T s= ta có ( )1, 7290,135G zz= Ta có phơng trình đặc tính nh sau j 1 Mặt phẳng p Mặt phẳng z 1Tpep 42p + ( )r p ( )e p ( )*e p ( )y p ( )1, 729 1,5941 1 00,135 0,135zG zz z++ = + = = hay 1,594z = nằm ngoài vòng tròn đơn vị nên hệ không ổn định Ví dụ 2.2: Xác định T sao cho hệ thống trên hình 2.1 là ổn định. Lời giải: Từ ví dụ 2.1 ta có hàm truyền ( )G z nh sau ( )( )222 1TTeG zz e= Ta có phơng trình đặc tính nh sau ( )( )222 22 13 21 1 0TTT Tez eG zz e z e ++ = + = = hay 23 2Tz e= Để hệ ổn định thì 23 2 1Tz e= < hay 12 ln3T < 0,549T < Vậy hệ ổn định nếu chu kỳ lấy mẫu 0,549T s< 2.2. Tiêu chuẩn Jury Tiêu chuẩn Jury tơng tự nh tiêu chuẩn Routh-Hurwitz đợc sử dụng để phân tích ổn định của các hệ liên tục. Mặc dù tiêu chuẩn Jury có thể áp dụng cho các phơng trình đặc tính với bậc bất kỳ nhng việc sử dụng tiêu chuẩn này sẽ trở nên phức tạp khi bậc của hệ thống là lớn. Để mô tả tiêu chuẩn Jury, chúng ta biểu diễn phơng trình đặc tính bậc n nh sau ( )11 1 0 .n nn nF z a z a z a z a= + + + + (2.3) ở đây 0na > . Từ đây ta có thể xây dựng một dãy nh bảng 2.1. Các phần tử của dãy này đợc định nghĩa nh sau: Các phần tử của mỗi hàng chẵn là các phần tử cuối của hàng trớc theo thứ tự ngợc Các phần tử hàng lẻ đợc định nghĩa nh sau: 0 n kkn ka aba a= , 0 11n kkn kb bcb b = , 0 22n kkn kc ccc c = , . Bảng 2.1. Các dãy của tiêu chuẩn Jury 0z 1z 2z . n kz . 1nz nz 0a 1a 2a . n ka . 1na na na 1na 2na . ka . 1a 0a 0b 1b 2b . n kb . 1nb 1nb 2nb 3nb . 1kb . 0b 0c 1c 2c . n kc . 2nc 3nc 4nc . 2kc . . . . . . . . . . . 0l 1l 2l 3l 3l 2l 1l 0l 0m 1m 2m Điều kiện cần và đủ để gốc của phơng trình đặc tính nằm trong vòng tròn đơn vị là ( )1 0F > , ( ) ( )1 1 0nF > , 0 na a< (2.4) 0 10 20 10 2 nnnb bc cd dm m>>>> (2.5) Khi áp dụng tiêu chuẩn Jury ta thực hiện các bớc sau: Kiểm tra ba điều kiện (2.4) và dừng nếu một trong ba điều kiện này không đợc thỏa mãn. Xây dựng dãy các hệ số nh bảng 2.1 và kiểm tra các điều kiện (2.5). Dừng lại nếu một trong các điều kiện này không đợc thỏa mãn. Tiêu chuẩn Jury sẽ trở nên phứa tạp nếu bậc của hệ thống tăng lên. Đối với các hệ thống bậc 2 và 3 tiêu chuẩn Jury sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Đối với hệ bậc 2 ta có phơng trình đặc tính nh sau ( )2 12 1 0F z a z a z a= + + Gốc của phơng trình đặc tính sẽ không nằm trên hoặc bên ngoài vòng tròn đơn vị nếu ( )1 0F > , ( )1 0F > , 0 2a a< Đối với hệ bậc 3 ta có phơng trình đặc tính nh sau ( )3 2 13 2 1 0F z a z a z a z a= + + + , ở đây 30a > Gốc của phơng trình đặc tính sẽ không nằm trên hoặc bên ngoài vòng tròn đơn vị nếu ( )1 0F > , ( )1 0F < , 0 3a a< , 0 3 0 13 0 3 2det deta a a aa a a a > Sau đây chúng ta sẽ xét một số ví dụ. Ví dụ 2.3: Cho hàm truyền của một hệ thống có dạng nh sau ( )( )( )( )1y z G zr z G z=+ ở đây ( )20,2 0,51, 2 0, 2zG zz z+= + Sử dụng tiêu chuẩn Jury để kiểm tra hệ có ổn định hay không. Lời giải: Phơng trình đặc tính của hệ thống có dạng nh sau ( )20,2 0,51 1 01, 2 0,2zG zz z++ = + = + hay 20, 7 0z z + = áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có ( )1 0, 7 0F = > , ( )1 2,7 0F = > , ( )( )0 20,7 1a a= < = Ví dụ 2.4: Cho phơng trình đặc tính của một hệ thống có dạng nh sau ( )( )20, 2 0, 51 1 01, 2 0, 2K zG zz z++ = + = + Xác định giá trị của K để hệ ổn định. Lời giải: Phơng trình đặc tính của hệ thống là ( )20, 2 1, 2 0,5 0, 2 0z z K K+ + + = áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có ( )1 0,7 0F K= > , ( )1 0,3 2, 4 0F K = + > , 0,5 0,2 1K + < Hệ ổn định nếu 0 1, 6K< < Ví dụ 2.5: Cho phơng trình đặc tính của một hệ thống có dạng nh sau ( )3 22 1, 4 0,1 0F z z z z= + = Sử dụng tiêu chuẩn Jury để xét ổn định của hệ thống. Lời giải: áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có ( )1 0,3 0F = > , ( )1 4,5 0F = < , 0,1 1< Vậy điều kiện thứ nhất của tiêu chuẩn Jury đợc thỏa mãn. Mặt khác ta có 0 33 00,1 1det det 0,99 0,991 0,1a aa a = = = 0 13 20,1 1, 4det det 1, 2 1, 21 2a aa a = = = Vậy 0 3 0 13 0 3 2det deta a a aa a a a < Điều đó có nghĩa là điều kiện thứ hai của tiêu chuẩn Jury không đợc thỏa mãn và do đó hệ không ổn định. 2.3. Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz ổn định của một hệ thống dữ liệu lấy mẫu có thể đợc phân tích bằng cách biến đổi phơng trình đặc tính của hệ thống sang mặt phẳng p rồi áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz. Khi đó ngời ta thờng sử dụng phơng pháp Tustin và z đợc thay thế nh sau / 2/ 21 / 2 11 / 2 1pTpTpTe pT wz ee pT w+ += = = (2.6) ở đây / 2w pT= . Khi đó phơng trình đặc tính của hệ thống ở dạng w nh sau ( )1 21 2 1 0 .n n nn n nF w b w b w b w b w b = + + + + + (2.7) Khi đó dãy Routh-Hurwitz đợc thiết lập nh sau: nw nb 2nb 4nb . 1nw 1nb 3nb 5nb . 2nw 1c 2c 2c . . . . . . 1w 1j 0w 1k Hai hàng đầu của dãy Routh-Hurwitz đợc xác định trực tiếp từ phơng trình (2.7) còn các hàng khác đợc tính nh sau: 1 2 311n n n nnb b b bcb = , 1 4 521n n n nnb b b bcb = , 1 6 731n n n nnb b b bcb = , 1 3 1 211n nc b b cdc = , . Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz có nghĩa là số gốc của phơng trình đặc tính ở bên phải mặt phẳng p bằng số lần đổi dấu của các hệ số của cột đầu của dãy. Do đó, hệ đợc xem là ổn định nếu tất cả các hệ số trong cột đầu phải cùng dấu. Ví dụ 2.6: Cho phơng trình đặc tính của một hệ thống điều khiển số có dạng nh sau: 20, 7 0z z + = Sử dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để xét độ ổn định của hệ. Lời giải: Phơng trình đặc tính trong mặt phẳng z có thể đợc chuyển thành phơng trình đặc tính trong mặt phẳng w có dạng nh sau: 21 10,7 01 1w ww w+ + + = hay 22, 7 0, 6 0,7 0w w+ + = Ta có dãy Routh-Hurwitz có dạng nh sau: 2w 2,7 0,7 1w 0,6 0 0w 0,7 Từ dãy Routh-Hurwitz ta thấy các hệ số ở cột đầu tiên cùng dấu do đó hệ ổn định. Ví dụ 2.7: Một hệ thống điều khiển số có sơ đồ khối nh trên hình 2.2. Sử dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để xác định giá trị của K để hệ ổn định với giả thiết 0K > và 1T s= Hình 2.2. Hệ thống vòng kín trong ví dụ 2.7 Lời giải: Phơng trình đặc tính của hệ thống ( )1 0G p+ = , ở đây ( )( )11Tpe KG pp p p=+ Biến đổi z của ( )G p có dạng nh sau: ( )( )( )1211KG z z Zp p = + hay ( )( )( ) ( )0,368 0,2641 0, 368K zG zz z+= Do đó phơng trình đặc tính sẽ có dạng nh sau: ( )( ) ( )0,368 0,2641 01 0,368K zz z++ = hay ( )21,368 0, 368 0, 368 0, 264 0z z K + + = Biến đổi phơng trình đặc tính sang mặt phẳng w ta có: 1Tpep ( )2Kp p + ( )r p ( )e p ( )*e p ( )y p ( )G p ( )21 11,368 0,368 0,368 0, 264 01 1w wKw w+ + + + = hay ( ) ( )22,736 0,104 1, 264 0,528 0, 632 0w K w K K + + = Từ phơng trình trên ta có thể xây dựng đợc dãy Routh-Hurwitz nh sau: 2w 2, 736 0,104K 0, 632K 1w 1, 264 0,528K 0 0w 0,632K Để hệ ổn định các hệ số của cột thứ nhất phải cùng dấu dó đó 1, 264 0,528 0K > hay 2, 4K < 2.4. Quỹ tích gốc (Root Locus) Quỹ tích gốc là một trong những phơng pháp mạnh đợc sử dụng để xét độ ổn định của các hệ thống vòng kín. Phơng pháp này cũng đợc sử dụng để thiết kế các bộ điều khiển với các đặc tính thời gian theo yêu cầu. Quỹ tích gốc là hình ảnh của quỹ tích các gốc của phơng trình đặc tính khi hệ số khuyếch đại của hệ thống thay đổi. Các quy tắc quỹ tích gốc của hệ thống rời rạc cũng tơng tự nh các quy tắc quỹ tích gốc của hệ liên tục bởi vì các gốc của phơng trình ( )0Q z = trong mặt phẳng z tơng tự nh gốc của phơng trình ( )Q p trong mặt phẳng p. Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu cách xây dựng quỹ tích gốc của các hệ thống điều khiển rời rạc qua các ví dụ. Cho hàm truyền của một hệ thống điều khiển kín có dạng nh sau: ( )( )1G zGH z+ Chúng ta có viết phơng trình đặc tính nh sau ( )1 0kF z+ = và quỹ tích gốc có thể đợc vẽ khi giá trị của k thay đổi. Quy tắc xây dựng quỹ tích gốc có thể đợc tóm tắt nh sau: 1. Quỹ tích bắt đầu từ các cực (poles) của ( )F z và kết thúc tại các không (zeros) của ( )F z . 2. Quỹ tích gốc đối xứng qua trục thực. 3. Quỹ tích gốc bao gồm các điểm trên trục thực tới phần bên trái của số lẻ các cực và không. 4. Nếu ( )F z có các không ở vô cùng, quỹ tích gốc sẽ có các tiệm cận khi k . Sô các tiệm cận bằng số các cực pn trừ đi số các không zn . Góc của các tiệm cận đợc xác định nh sau: 180p zrn n=, ở đây 1, 3, 5, .r = Giao của các tiệm cận tại với đợc xác định nh sau: = (Tổng các cực của ( )F z - Tổng các không của ( )F z )/(pn -zn ) 5. Điểm cắt xa trên trục thực của quỹ tích gốc là gốc của phơng trình ( )0dF zdz= 6. Trên một điểm của quỹ tích gốc, giá trị của k đợc xác định nh sau: ( )1 0kF z+ = hay ( )1kF z= Ví dụ 2.8: Một hệ kín có phơng trình đặc tính có dạng nh sau: ( )( )( )( )0,368 0, 7171 1 01 0,368zGH z Kz z++ = + = Vẽ quỹ tích gốc và từ đó xét độ ổn định của hệ thống. Lời giải: Các quy tắc để xây dựng quỹ tích gốc: 1. Phơng trình đặc tính của hệ thống có thể đợc viết dới dạng ( )1 0kF z+ = , ở đây ( )( )( ) ( )0,368 0,7171 0,368zF zz z+= Hệ thống có hai cực tại 1z = và 0,368z = . Hệ thống có hai zero, một tại 0, 717z = và một tại âm vô cùng. Quỹ tích sẽ bắt đầu tại hai cực và kết thúc ở hai zero. 2. Phần trên trục thực giữa 0,368z = và 1z = là trên quỹ tích. Tơng tự, phần trên trục thực giữa z = và 0, 717z = là trên quỹ tích. 3. Khi mà 1p zn n = , thì có một tiệm cận và góc của tiệp cận đó đợc tính nh sau: 0180180p zrn n= = đối với 1r = Chú ý rằng nếu góc của tiệp cận là 0180 điều đó không có nghĩa là tìm đợc điểm giao của các tiệm cận trên trục thực. 4. Các điểm tách rời có thể đợc xác định từ phơng trình sau: [...]... mÃn và do đó hệ không ổn định. 2. 3. Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz ổn định của một hệ thống dữ liệu lấy mẫu có thể đợc phân tích bằng cách biến đổi phơng trình đặc tính của hệ thống sang mặt phẳng p rồi áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz. Khi đó ngời ta thờng sử dụng phơng pháp Tustin và z đợc thay thÕ nh− sau / 2 / 2 1 / 2 1 1 / 2 1 pT pT pT e pT w z e e pT w − + + = = = (2. 6) ở đây / 2w... ( ) 2 0, 2 1, 2 0,5 0, 2 0z z K K+ − + + = ¸p dơng tiªu chn Jury ta cã ( ) 1 0,7 0F K= > , ( ) 1 0,3 2, 4 0F K− = + > , 0,5 0 ,2 1K + < Hệ ổn định nếu 0 1, 6K< < Ví dụ 2. 5: Cho phơng trình đặc tính của mét hƯ thèng cã d¹ng nh− sau ( ) 3 2 2 1, 4 0,1 0F z z z z= − + − = Sư dơng tiªu chn Jury ®Ĩ xÐt ỉn ®Þnh cđa hƯ thèng. Lêi giải: áp dụng tiêu chuẩn... dụ 2. 8: Một hệ kín có phơng trình đặc tÝnh cã d¹ng nh− sau: ( ) ( ) ( )( ) 0,368 0, 717 1 1 0 1 0,368 z GH z K z z + + = + = − − VÏ quü tÝch gèc vµ từ đó xét độ ổn định của hệ thống. Lời giải: Các quy tắc để xây dựng quỹ tích gốc: 1. Phơng trình đặc tính của hệ thống có thể đợc vi t dới dạng ( ) 1 0kF z+ = , ở đây ( ) ( ) ( ) ( ) 0,368 0,717 1 0,368 z F z z z + = − − HÖ thống. .. HÖ thống có hai cực tại 1z = và 0,368z = . HƯ thèng cã hai zero, mét t¹i 0, 717z = và một tại âm vô cùng. Quỹ tích sẽ bắt đầu tại hai cực và kết thúc ở hai zero. 2. Phần trên trục thực giữa 0,368z = và 1z = là trên quỹ tích. Tơng tự, phần trên trục thực giữa z = và 0, 717z = là trên quỹ tích. 3. Khi mà 1 p z n n− = , th× cã mét tiƯm cËn và góc của tiệp cận đó đợc tính nh sau: 0 180 180 p... < , 0,1 1< Vậy điều kiện thứ nhất của tiêu chuẩn Jury đợc thỏa mÃn. Mặt khác ta có 0 3 3 0 0,1 1 det det 0,99 0,99 1 0,1 a a a a − = = − = − 0 1 3 2 0,1 1, 4 det det 1, 2 1, 2 1 2 a a a a − = = − = − VËy 0 3 0 1 3 0 3 2 det det a a a a a a a a < Điều đó có nghĩa là điều kiện thứ hai của tiêu... 1 pT pT pT e pT w z e e pT w − + + = = = (2. 6) ở đây / 2w pT= . Khi đó phơng trình đặc tính của hệ thống ë d¹ng w nh− sau 180 p z r n n = , ở đây 1, 3, 5, r = ± ± ± Giao cđa c¸c tiƯm cËn tại với đợc xác định nh sau: = (Tỉng c¸c cùc cđa ( ) F z - Tỉng c¸c kh«ng cđa ( ) F z )/( p n - z n ) 5. Điểm cắt xa trên trục thực của quỹ tích gốc là gốc của phơng trình ( ) 0 dF... là trên quỹ tích. 3. Khi mà 1 p z n n− = , th× cã mét tiƯm cËn và góc của tiệp cận đó đợc tính nh sau: 0 180 180 p z r n n θ = = ± − ®èi víi 1r = ± Chó ý r»ng nÕu gãc cđa tiƯp cËn là 0 180 điều đó không có nghĩa là tìm đợc điểm giao của các tiệm cận trên trục thực. 4. Các điểm tách rời có thể đợc xác định từ phơng trình sau: . Routh-Hurwitz ta thấy các hệ số ở cột đầu tiên cùng dấu do đó hệ ổn định. Ví dụ 2. 7: Một hệ thống điều khiển số có sơ đồ khối nh trên hình 2. 2. Sử dụng. ( )( )22 2 1TTeG zz e= Ta có phơng trình đặc tính nh sau ( )( )22 2 22 13 21 1 0TTT Tez eG zz e z e ++ = + = = hay 23 2Tz e= Để hệ ổn định