Thiết kế hệ thống điều khiển số sử dụng vi điều khiển và máy tính - chương 2 Chơng
2 ổn định của
hệ thống điều khiển số Trong chơng này, chúng ta sẽ quan tâm đến một
số kỹ thuật cơ bản đợc
dùng để phân tích ổn định các
hệ thống điều khiển số. Nh đã trình bày ở chơng 1, giả
thiết ta có hàm truyền của
hệ thống điều khiển số vòng kín có dạng nh sau ( )( )( )( )( )( )1y z G z N zr z GH z D z= =+ ở đây ( )1 0GH z+ = đợc gọi là phơng trình đặc tính. Các giá trị của z ứng với ( )0N z = đợc gọi là không (zeros)
và các giá trị của z ứng với ( )0D z = đợc gọi là các cực (poles).
Tính ổn định của
hệ thống sẽ phụ thuộc vào
vị trí của các cực hay gốc của phơng trình ( )0D z = . 2.1. ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z Đối với các
hệ vòng kín liên tục, mặt phảng p đợc
sử dụng để khảo sát ổn định của
hệ thống. Tơng tự đối với các
hệ thống rời rạc, mặt phẳng z đợc
dùng để khảo sát ổn định của
hệ thống. Trong phần này chúng ta sẽ xét đến quan
hệ tơng đơng giữa mặt phẳng p của
hệ liên tục
và mặt phẳng z của
hệ rời rạc. Trớc tiên chúng ta làm một phép ánh xạ từ nửa trái của mặt phẳng p vào mặt phẳng z. Nếu phơng trình p j = + mô tả một điểm trong mặt phẳng p thì dọc theo trục ảo j ta có pT T j Tz e e e = = (2.1)
Vì 0= nên cos sin 1j Tz e T j T T = = + = (2.2) Từ phơng trình (2.2),
vị trí của các cực trên trục ảo của mặt phẳng p đã đợc ánh xạ lên trên vòng tròn đơn
vị của mặt phẳng z. Khi thay đổi dọc theo trục ảo của mặt phẳng p, góc của các cực trên vòng tròn đơn
vị trong mặt phẳng z sẽ thay đổi. Nếu đợc giữ nguyên không đổi
và tăng giá trị ở nửa trái mặt phẳng p, thì
vị trí của các cực sẽ di chuyển về phía gốc xa khỏi vòng tròn đơn vị. Tơng tự nếu giảm giá trị ở nửa trái mặt phẳng p, thì các cực trong mặt phẳng z sẽ di chuyển xa ra khỏi gốc nhng vẫn nằm trong vòng tròn đơn vị. Qua các phân tích trên ta thấy toàn bộ nửa trái của mặt phẳng p sẽ tơng đơng với phần bên trong của vòng tròn đơn
vị trong mặt phẳng z. Tơng tự toàn bộ nửa bên phải của mặt phẳng p sẽ tơng đơng với miền nằm bên ngoài vòng tròn đơn
vị của mặt phẳng z nh trên hình 2.1. Nếu một
hệ thống liên tục đợc coi là ổn định khi các cực nằm bên trái mặt phẳng p thì một
hệ thống rời rạc đợc coi là ổn định nếu các cực nằm bên trong vòng tròn đơn vị. Hình 2.1. ánh xạ từ nửa trái mặt phẳng p vào bên trong vòng tròn đơn
vị của mặt phẳng z Từ mặt phẳng z chúng ta có thể phân tích ổn định của
hệ thống bằng cách
sử dụng phơng trình đặc tính. Tuy nhiên phơng pháp này chỉ cho chúng ta biết
hệ có ổn định hay không mà không cho chúng ta biết
hệ có ổn định hay không khi bị tác động bởi các
thông khác. Sau đây chúng ta sẽ xét một
số ví dụ.
Ví dụ 2.1: Cho một
hệ thống vòng kín có
sơ đồ khối nh trên hình 2.1. Xác định xem
hệ có ổn định hay không nếu chu kỳ lấy mẫu 1T s= . Hình 2.1.
Hệ thống vòng kín trong
ví dụ 2.1 Lời giải: Hàm truyền của
hệ có dạng nh sau ( )( )( )( )1y z G zr z G z=+ ở đây ( )( )( )( )( )( )( )21 122 11 4 41 12 21TTpTz eeG z Z z Z zp p p pz z e = = = + + ( )( )222 1TTeG zz e= Với 1T s= ta có ( )1, 7290,135G zz= Ta có phơng trình đặc
tính nh sau j 1 Mặt phẳng p Mặt phẳng z 1Tpep 42p + ( )r p ( )e p ( )*e p ( )y p ( )1, 729 1,5941 1 00,135 0,135zG zz z++ = + = = hay 1,594z = nằm ngoài vòng tròn đơn
vị nên
hệ không ổn định
Ví dụ 2.2: Xác định T sao cho
hệ thống trên hình 2.1 là ổn định. Lời giải: Từ
ví dụ 2.1 ta có hàm truyền ( )G z nh sau ( )( )222 1TTeG zz e= Ta có phơng trình đặc
tính nh sau ( )( )222 22 13 21 1 0TTT Tez eG zz e z e ++ = + = = hay 23 2Tz e= Để
hệ ổn định thì 23
2 1Tz e= < hay 12 ln3T < 0,549T < Vậy
hệ ổn định nếu chu kỳ lấy mẫu 0,549T s< 2.2. Tiêu chuẩn Jury Tiêu chuẩn Jury tơng tự nh tiêu chuẩn Routh-Hurwitz đợc
sử dụng để phân tích ổn định của các
hệ liên tục. Mặc dù tiêu chuẩn Jury có thể áp
dụng cho các phơng trình đặc
tính với bậc bất kỳ nhng việc
sử dụng tiêu chuẩn này sẽ trở nên phức tạp khi bậc của
hệ thống là lớn. Để mô tả tiêu chuẩn Jury, chúng ta biểu diễn phơng trình đặc
tính bậc n nh sau ( )11 1 0 .n nn nF z a z a z a z a= + + + + (2.3) ở đây 0na > . Từ đây ta có thể xây
dựng một dãy nh bảng 2.1. Các phần tử của dãy này đợc định nghĩa nh sau: Các phần tử của mỗi hàng chẵn là các phần tử cuối của hàng trớc theo thứ tự ngợc Các phần tử hàng lẻ đợc định nghĩa nh sau: 0 n kkn ka aba a= , 0 11n kkn kb bcb b = , 0 22n kkn kc ccc c = , . Bảng 2.1. Các dãy của tiêu chuẩn Jury 0z 1z 2z . n kz . 1nz nz 0a 1a 2a . n ka . 1na na na 1na 2na . ka . 1a 0a 0b 1b 2b . n kb . 1nb 1nb 2nb 3nb . 1kb . 0b 0c 1c 2c . n kc . 2nc 3nc 4nc . 2kc . . . . . . . . . . . 0l 1l 2l 3l 3l 2l 1l 0l 0m 1m 2m
Điều kiện cần
và đủ để gốc của phơng trình đặc
tính nằm trong vòng tròn đơn
vị là ( )1 0F > , ( ) ( )1 1 0nF > , 0 na a< (2.4) 0 10 20 10
2 nnnb bc cd dm m>>>> (2.5) Khi áp
dụng tiêu chuẩn Jury ta thực hiện các bớc sau: Kiểm tra ba
điều kiện (2.4)
và dừng nếu một trong ba
điều kiện này không đợc thỏa mãn. Xây
dựng dãy các
hệ số nh bảng 2.1
và kiểm tra các
điều kiện (2.5).
Dừng lại nếu một trong các
điều kiện này không đợc thỏa mãn. Tiêu chuẩn Jury sẽ trở nên phứa tạp nếu bậc của
hệ thống tăng lên. Đối với các
hệ thống bậc
2 và 3 tiêu chuẩn Jury sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Đối với
hệ bậc
2 ta có phơng trình đặc
tính nh sau ( )2 12 1 0F z a z a z a= + + Gốc của phơng trình đặc
tính sẽ không nằm trên hoặc bên ngoài vòng tròn đơn
vị nếu ( )1 0F > , ( )1 0F > , 0 2a a< Đối với
hệ bậc 3 ta có phơng trình đặc
tính nh sau ( )3
2 13
2 1 0F z a z a z a z a= + + + , ở đây 30a > Gốc của phơng trình đặc
tính sẽ không nằm trên hoặc bên ngoài vòng tròn đơn
vị nếu ( )1 0F > , ( )1 0F < , 0 3a a< , 0 3 0 13 0 3 2det deta a a aa a a a > Sau đây chúng ta sẽ xét một
số ví dụ.
Ví dụ 2.3: Cho hàm truyền của một
hệ thống có dạng nh sau ( )( )( )( )1y z G zr z G z=+ ở đây ( )20,2 0,51,
2 0, 2zG zz z+= +
Sử dụng tiêu chuẩn Jury để kiểm tra
hệ có ổn định hay không. Lời giải: Phơng trình đặc
tính của
hệ thống có dạng nh sau ( )20,2 0,51 1 01,
2 0,2zG zz z++ = + = + hay 20, 7 0z z + = áp
dụng tiêu chuẩn Jury ta có ( )1 0, 7 0F = > , ( )1 2,7 0F = > , ( )( )0 20,7 1a a= < =
Ví dụ 2.4: Cho phơng trình đặc
tính của một
hệ thống có dạng nh sau ( )( )20,
2 0, 51 1 01,
2 0, 2K zG zz z++ = + = + Xác định giá trị của K để
hệ ổn định. Lời giải: Phơng trình đặc
tính của
hệ thống là ( )20,
2 1,
2 0,5 0,
2 0z z K K+ + + = áp
dụng tiêu chuẩn Jury ta có ( )1 0,7 0F K= > , ( )1 0,3 2, 4 0F K = + > , 0,5 0,2 1K + <
Hệ ổn định nếu 0 1, 6K< <
Ví dụ 2.5: Cho phơng trình đặc
tính của một
hệ thống có dạng nh sau ( )3 22 1, 4 0,1 0F z z z z= + =
Sử dụng tiêu chuẩn Jury để xét ổn định của
hệ thống. Lời giải: áp
dụng tiêu chuẩn Jury ta có ( )1 0,3 0F = > , ( )1 4,5 0F = < , 0,1 1< Vậy
điều kiện thứ nhất của tiêu chuẩn Jury đợc thỏa mãn. Mặt khác ta có 0 33 00,1 1det det 0,99 0,991 0,1a aa a = = = 0 13 20,1 1, 4det det 1,
2 1, 21 2a aa a = = = Vậy 0 3 0 13 0 3 2det deta a a aa a a a <
Điều đó có nghĩa là
điều kiện thứ hai của tiêu chuẩn Jury không đợc thỏa mãn
và do đó
hệ không ổn định. 2.3. Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz ổn định của một
hệ thống dữ liệu lấy mẫu có thể đợc phân tích bằng cách biến đổi phơng trình đặc
tính của
hệ thống sang mặt phẳng p rồi áp
dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz. Khi đó ngời ta
thờng sử dụng phơng pháp Tustin
và z đợc thay thế nh sau / 2/ 21 /
2 11 /
2 1pTpTpTe pT wz ee pT w+ += = = (2.6) ở đây / 2w pT= . Khi đó phơng trình đặc
tính của
hệ thống ở dạng w nh sau ( )1 21
2 1 0 .n n nn n nF w b w b w b w b w b = + + + + + (2.7) Khi đó dãy Routh-Hurwitz đợc
thiết lập nh sau: nw nb 2nb 4nb . 1nw 1nb 3nb 5nb . 2nw 1c 2c 2c . . . . . . 1w 1j 0w 1k Hai hàng đầu của dãy Routh-Hurwitz đợc xác định trực tiếp từ phơng trình (2.7) còn các hàng khác đợc
tính nh sau: 1
2 311n n n nnb b b bcb = , 1 4 521n n n nnb b b bcb = , 1 6 731n n n nnb b b bcb = , 1 3 1 211n nc b b cdc = , . Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz có nghĩa là
số gốc của phơng trình đặc
tính ở bên phải mặt phẳng p bằng
số lần đổi dấu của các
hệ số của cột đầu của dãy. Do đó,
hệ đợc xem là ổn định nếu tất cả các
hệ số trong cột đầu phải cùng dấu.
Ví dụ 2.6: Cho phơng trình đặc
tính của một
hệ thống điều khiển số có dạng nh sau: 20, 7 0z z + =
Sử dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để xét độ ổn định của hệ. Lời giải: Phơng trình đặc
tính trong mặt phẳng z có thể đợc chuyển thành phơng trình đặc
tính trong mặt phẳng w có dạng nh sau: 21 10,7 01 1w ww w+ + + = hay 22, 7 0, 6 0,7 0w w+ + = Ta có dãy Routh-Hurwitz có dạng nh sau: 2w 2,7 0,7 1w 0,6 0 0w 0,7 Từ dãy Routh-Hurwitz ta thấy các
hệ số ở cột đầu tiên cùng dấu do đó
hệ ổn định.
Ví dụ 2.7: Một
hệ thống điều khiển số có sơ đồ khối nh trên hình 2.2.
Sử dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để xác định giá trị của K để
hệ ổn định với giả
thiết 0K >
và 1T s= Hình 2.2.
Hệ thống vòng kín trong
ví dụ 2.7 Lời giải: Phơng trình đặc
tính của
hệ thống ( )1 0G p+ = , ở đây ( )( )11Tpe KG pp p p=+ Biến đổi z của ( )G p có dạng nh sau: ( )( )( )1211KG z z Zp p = + hay ( )( )( ) ( )0,368 0,2641 0, 368K zG zz z+= Do đó phơng trình đặc
tính sẽ có dạng nh sau: ( )( ) ( )0,368 0,2641 01 0,368K zz z++ = hay ( )21,368 0, 368 0, 368 0, 264 0z z K + + = Biến đổi phơng trình đặc
tính sang mặt phẳng w ta có: 1Tpep ( )2Kp p + ( )r p ( )e p ( )*e p ( )y p ( )G p ( )21 11,368 0,368 0,368 0, 264 01 1w wKw w+ + + + = hay ( ) ( )22,736 0,104 1, 264 0,528 0, 632 0w K w K K + + = Từ phơng trình trên ta có thể xây
dựng đợc dãy Routh-Hurwitz nh sau: 2w 2, 736 0,104K 0, 632K 1w 1, 264 0,528K 0 0w 0,632K Để
hệ ổn định các
hệ số của cột thứ nhất phải cùng dấu dó đó 1, 264 0,528 0K > hay 2, 4K < 2.4. Quỹ tích gốc (Root Locus) Quỹ tích gốc là một trong những phơng pháp mạnh đợc
sử dụng để xét độ ổn định của các
hệ thống vòng kín. Phơng pháp này cũng đợc
sử dụng để
thiết kế các bộ điều khiển với các đặc
tính thời gian theo yêu cầu. Quỹ tích gốc là hình ảnh của quỹ tích các gốc của phơng trình đặc
tính khi
hệ số khuyếch đại của
hệ thống thay đổi. Các quy tắc quỹ tích gốc của
hệ thống rời rạc cũng tơng tự nh các quy tắc quỹ tích gốc của
hệ liên tục bởi
vì các gốc của phơng trình ( )0Q z = trong mặt phẳng z tơng tự nh gốc của phơng trình ( )Q p trong mặt phẳng p. Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu cách xây
dựng quỹ tích gốc của các
hệ thống điều khiển rời rạc qua các
ví dụ. Cho hàm truyền của một
hệ thống điều khiển kín có dạng nh sau: ( )( )1G zGH z+ Chúng ta có viết phơng trình đặc
tính nh sau ( )1 0kF z+ =
và quỹ tích gốc có thể đợc vẽ khi giá trị của k thay đổi. Quy tắc xây
dựng quỹ tích gốc có thể đợc tóm tắt nh sau: 1. Quỹ tích bắt đầu từ các cực (poles) của ( )F z
và kết thúc tại các không (zeros) của ( )F z .
2. Quỹ tích gốc đối xứng qua trục thực. 3. Quỹ tích gốc bao gồm các điểm trên trục thực tới phần bên trái của
số lẻ các cực
và không. 4. Nếu ( )F z có các không ở vô cùng, quỹ tích gốc sẽ có các tiệm cận khi k .
Sô các tiệm cận bằng
số các cực pn trừ đi
số các không zn . Góc của các tiệm cận đợc xác định nh sau: 180p zrn n=, ở đây 1, 3, 5, .r = Giao của các tiệm cận tại với đợc xác định nh sau: = (Tổng các cực của ( )F z
- Tổng các không của ( )F z )/(pn -zn ) 5. Điểm cắt xa trên trục thực của quỹ tích gốc là gốc của phơng trình ( )0dF zdz= 6. Trên một điểm của quỹ tích gốc, giá trị của k đợc xác định nh sau: ( )1 0kF z+ = hay ( )1kF z=
Ví dụ 2.8: Một
hệ kín có phơng trình đặc
tính có dạng nh sau: ( )( )( )( )0,368 0, 7171 1 01 0,368zGH z Kz z++ = + = Vẽ quỹ tích gốc
và từ đó xét độ ổn định của
hệ thống. Lời giải: Các quy tắc để xây
dựng quỹ tích gốc: 1. Phơng trình đặc
tính của
hệ thống có thể đợc viết dới dạng ( )1 0kF z+ = , ở đây ( )( )( ) ( )0,368 0,7171 0,368zF zz z+=
Hệ thống có hai cực tại 1z =
và 0,368z = .
Hệ thống có hai zero, một tại 0, 717z =
và một tại âm vô cùng. Quỹ tích sẽ bắt đầu tại hai cực
và kết thúc ở hai zero.
2. Phần trên trục thực giữa 0,368z =
và 1z = là trên quỹ tích. Tơng tự, phần trên trục thực giữa z =
và 0, 717z = là trên quỹ tích. 3. Khi mà 1p zn n = , thì có một tiệm cận
và góc của tiệp cận đó đợc
tính nh sau: 0180180p zrn n= = đối với 1r = Chú ý rằng nếu góc của tiệp cận là 0180
điều đó không có nghĩa là tìm đợc điểm giao của các tiệm cận trên trục thực. 4. Các điểm tách rời có thể đợc xác định từ phơng trình sau: [...]... mÃn
và do đó
hệ không ổn định.
2. 3. Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz ổn định của một
hệ thống dữ liệu lấy mẫu có thể đợc phân tích bằng cách biến đổi phơng trình đặc
tính của
hệ thống sang mặt phẳng p rồi áp
dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz. Khi đó ngời ta
thờng sử dụng phơng pháp Tustin
và z đợc thay thÕ nh− sau / 2 / 2 1 /
2 11 /
2 1pTpTpTe pT wz ee pT w−+ += = = (2. 6) ở đây / 2w... ( ) 2 0,
2 1,
2 0,5 0,
2 0z z K K+ − + + = ¸p dơng tiªu chn Jury ta cã ( )1 0,7 0F K= > , ( )1 0,3 2, 4 0F K− = + > , 0,5 0 ,2 1K + < Hệ ổn định nếu 0 1, 6K< < Ví dụ
2. 5: Cho phơng trình đặc
tính của mét hƯ thèng cã d¹ng nh− sau ( )3 2
2 1, 4 0,1 0F z z z z= − + − =
Sư dơng tiªu chn Jury ®Ĩ xÐt ỉn ®Þnh cđa hƯ thèng. Lêi giải: áp
dụng tiêu chuẩn... dụ
2. 8: Một
hệ kín có phơng trình đặc tÝnh cã d¹ng nh− sau: ( )( )( )( )0,368 0, 7171 1 01 0,368zGH z Kz z++ = + =− − VÏ quü tÝch gèc vµ từ đó xét độ ổn định của
hệ thống. Lời giải: Các quy tắc để xây
dựng quỹ tích gốc: 1. Phơng trình đặc
tính của
hệ thống có thể đợc
vi t dới dạng ( )1 0kF z+ = , ở đây ( )( )( ) ( )0,368 0,7171 0,368zF zz z+=− − HÖ thống. .. HÖ
thống có hai cực tại 1z =
và 0,368z = . HƯ thèng cã hai zero, mét t¹i 0, 717z = và một tại âm vô cùng. Quỹ tích sẽ bắt đầu tại hai cực
và kết thúc ở hai zero.
2. Phần trên trục thực giữa 0,368z =
và 1z = là trên quỹ tích. Tơng tự, phần trên trục thực giữa z =
và 0, 717z = là trên quỹ tích. 3. Khi mà 1p zn n− = , th× cã mét tiƯm cËn
và góc của tiệp cận đó đợc
tính nh sau: 0180180p... < , 0,1 1< Vậy
điều kiện thứ nhất của tiêu chuẩn Jury đợc thỏa mÃn. Mặt khác ta có 0 33 00,1 1det det 0,99 0,991 0,1a aa a− = = − = − 0 13 2 0,1 1, 4det det 1,
2 1, 2 1 2 a aa a− = = − = − VËy 0 3 0 13 0 3 2 det deta a a aa a a a <
Điều đó có nghĩa là
điều kiện thứ hai của tiêu... 1pTpTpTe pT wz ee pT w−+ += = = (2. 6) ở đây / 2w pT= . Khi đó phơng trình đặc
tính của
hệ thống ë d¹ng w nh− sau 180p zrn n=, ở đây 1, 3, 5, r = ± ± ± Giao cđa c¸c tiƯm cËn tại với đợc xác định nh sau: = (Tỉng c¸c cùc cđa ( )F z
- Tỉng c¸c kh«ng cđa ( )F z )/(pn - zn ) 5. Điểm cắt xa trên trục thực của quỹ tích gốc là gốc của phơng trình ( )0dF... là trên quỹ tích. 3. Khi mà 1p zn n− = , th× cã mét tiƯm cËn
và góc của tiệp cận đó đợc
tính nh sau: 0180180p zrn nθ= = ±− ®èi víi 1r = ± Chó ý r»ng nÕu gãc cđa tiƯp cËn là 0180
điều đó không có nghĩa là tìm đợc điểm giao của các tiệm cận trên trục thực. 4. Các điểm tách rời có thể đợc xác định từ phơng trình sau: . Routh-Hurwitz ta thấy các hệ số ở cột đầu tiên cùng dấu do đó hệ ổn định. Ví dụ 2. 7: Một hệ thống điều khiển số có sơ đồ khối nh trên hình 2. 2. Sử dụng. ( )( )22 2 1TTeG zz e= Ta có phơng trình đặc tính nh sau ( )( )22 2 22 13 21 1 0TTT Tez eG zz e z e ++ = + = = hay 23 2Tz e= Để hệ ổn định