Thiết kế hệ thống điều khiển số sử dụng vi điều khiển và máy tính - chương 1

Thiết kế hệ thống điều khiển số sử dụng vi điều khiển và máy tính - chương 1

Chương 1 Các hệ thống dữ liệu lấy mẫu và phép biến đổi z

Các hệ thống dữ liệu lấy mẫu hay còn gọi là các hệ thống điều khiển số làm việc với các tín hiệu rời rạc theo thời gian Các hệ thống điều khiển này khác với các hệ thống điều khiển tương tự trong đó các tín hiệu là liên tục theo thời gian Một máy tính số có thể được sử dụng như một bộ điều khiển số Khái niệm máy tính số được bao hàm các thiết bị tính toán

được xây dựng từ các vi điều khiển công nghiệp hay máy tính các nhân (PC)

Một bộ chuyển đổi từ số sang tương tự (A/D converter) thường được dùng để kết nối

đầu ra của máy tính phục vụ cho quá trình điều khiển các thiết bị chấp hành vì tín hiệu điều khiển các thiết bị chấp hành này là tín hiệu tương tự Một bộ chuyển đổi tương tự sang số (A/D converter) được sử dụng để đọc các tín hiệu vào máy tính số Các thời điểm tín hiệu

được đọc vào được gọi là các thời điểm lấy mẫu

Sơ đồ khối một hệ thống điều khiển số có phản hồi được trình bày trên hình 1.1 Máy tính số là trung tâm của hệ thống điều khiển chứa chương trình điều khiển Bộ biến đổi A/D chuyển tín hiệu sai lệch tương tự thành tín hiệu số thuận tiện cho việc xử lý bằng máy tính số Tại đầu ra của máy tính số, bộ biến đổi D/A chuyển tín hiệu số thành tín hiệu tương tương tự

để điều khiển thiết bị chấp hành

Hình 1.1 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số 1.1 Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu

Trước tiên ta định nghĩa bộ lấy mẫu Một bộ lấy mẫu về cơ bản có thể xem như là một công tắc được đóng sau mỗi chu kỳ là T giây như trình bày trên hình 1.2 Khi tín hiệu liên tục

ký hiệu là r t ( ) được lấy mẫu tại các khoảng thời gian T, tín hiệu rời rạc đầu ra được ký hiệu

là *

( )

r t có dạng như trên hình 1.3

Hình 1.2 Bộ lấy mẫu Một quá trình lấy mẫu lý tưởng có thể xem như là tích của một chuỗi xung với một tín hiệu tương tự:

Tín hiệu liên tục Tín hiệu lấy mẫu

chấp hành

Cảm biến

Đầu vào

Đầu ra

Hình 1.3 Tín hiệu r t( ) sau khi lấy mẫu

Hình 1.4 Chuỗi xung delta Xung delta được biểu diễn như sau:

* n

r t r nT δ t nT

∞

=ư∞

= ∑ ư (1.4) Khi t <0 ta có r t( ) = 0 nên

*

0 n

r t r nT δ t nT

∞

=

=∑ ư (1.5) Biến đổi Laplace phương trình (1.5) ta có:

2T 3T 4T 5T 6TT

( ) ( )

*

0

pnT n

H×nh 1.5 Mét bé lÊy mÉu vµ gi÷ bËc kh«ng

§¸p øng xung cña mét bé gi÷ bËc kh«ng ®−îc tr×nh bµy trªn h×nh 1.6 Hµm truyÒn cña gi÷ bËc kh«ng cã d¹ng nh− sau:

Gi÷ bËc kh«ng (ZOH)

TÝn hiÖu lÊy mÉu

Hình 1.7 Đáp ứng của một bộ lấy mẫu và giữ bậc không đối với tín hiệu dốc

1.2 Biến đổi z

Phương trình (1.6) định nghĩa một chuỗi vô hạn của các lũy thừa pnT

eư với toán tử p Toán tử z được định nghĩa sau:

pT

z=e (1.9) Biến đổi z của hàm r t ( ) ký hiệu là Z r t ( ) = R z( ) nên ta có

0

n n

ở đây r nT ( ) là các hệ số của chuỗi lũy thừa tại các thời điểm lấy mẫu khác nhau

Chúng ta có thể xem biến đổi z trong các hệ thống dữ liệu lấy mẫu tương tự như là biến

đổi Laplace của các hệ thống thời gian liên tục Đáp ứng của một hệ thống dữ liệu lấy mẫu có thể xác định dễ dàng bằng cách tìm biến đổi z của đầu ra sau đó tìm biến đổi z ngược như là

kỹ thuật biến đổi Laplace trong hệ thống thời gian liên tục Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu biến

đổi z của một số hàm thông dụng

1 Phương pháp 2: Khai triển thành các phân số riêng

Tương tự như kỹ thuật biến đổi Laplace ngược, một hàm Y z ( )có thể được khai triển thành các phân số riêng Sau đó chúng ta dùng bảng của các biến đổi z của các hàm thông dụng để tìm ra biến đổi z ngược của các phân số này Nếu nhìn vào bảng biến đổi z, chúng

ta thấy chỉ có thành phần z ở tử số Do đó sẽ thuận tiện hơn nếu chúng ta tìm biến đổi z của các phân số riêng của hàm y z ( ) / z và sau đó nhân các phân số riêng này với z để xác định

được y z ( )

Ví dụ 1.6:

Tìm biến đổi z ngược của hàm sau:

( ) ( 1 )( 2 )

1.2.8 Hàm xung rời rạc có trễ

Hàm xung rời rạc có trễ được định nghĩa như sau

1.2.10 Tìm biến đổi z qua biến biến đổi Laplace

Mặc dù chúng ta biểu thị biến đổi z tương đương của G p ( ) là G z ( ), nhưng điều đó không có nghĩa là G z ( ) được xác định bằng cách thay thế toán tử p bằng toán tử z Thay vào đó chúng ta sử dụng một trong các phương pháp sau đây để xác định biến đổi z của một hàm qua biến đổi Laplace của hàm đó

-Phương pháp 1: Giả thiết chúng ta có biến đổi Laplace của một hàm là G p ( ) Từ đây chúng ta tính toán đáp ứng theo thời gian là g t ( ) bằng phép biến đổi z ngược

-Phương pháp 2: Giả thiết chúng ta có biến đổi Laplace của một hàm là G p ( ) Từ đây

ta tìm biến đổi z của hàm là G z ( )bằng cách tra bảng với các biến đổi Laplace và biến đổi z tương đương

-Phương pháp 3: Giả thiết chúng ta có biến đổi Laplace của một hàm là G p ( ) Mặt khác ta có thể biểu diễn G p ( ) = N p ( ) / D p ( ) và sử dụng công thức sau đây để xác định biến đổi z:

2 3

1

T z zz

aT aT

-Phương pháp 1: Sử dụng biến đổi Laplace ngược

Chúng ta có thể biểu diễn G p ( ) là một tổng của các phân số như sau:

Theo định nghĩa của biến đổi z, chúng ta có thể xác định G z ( ) từ g t ( ) như sau:

-Phương pháp 2: Sử dụng bảng biến đổi z

Từ bảng biến đổi z của một số hàm thông dụng (bảng 1.1) ta có biến đổi z của

1.2.11 Các tính chất của biến đổi z

Đa số các tính chất của biến đổi z tương tự như các tính chất của biến đổi Laplace Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến một số tính chất quan trọng của biến đổi z

( ) m ( )

Z f nT −mT =z− F z (1.18)

4 Tính chất suy giảm

Giả sử biến đổi z của f nT ( ) là F z ( ) Khi đó

( )

Z e − f nT =F ze  (1.19)

Điều này có nghĩa là nếu một hàm đ−ợc nhân với một lũy thừa anT

e− thì biến đổi z của hàm z này đ−ợc thay bằng aT

ze

5 Tính chất giá trị đầu

Giả sử biến đổi z của f nT ( ) là F z ( ) Khi đó giá trị đầu của đáp ứng theo thời gian

6 Tính chất giá trị cuối

Giả sử biến đổi z của f nT ( ) là F z ( ) Khi đó giá trị cuối của đáp ứng theo thời gian

1 z− − F z nằm bên trong vòng tròn đơn vị hay tại z =1

Ví dụ 1.2:

Biến đổi z của hàm dốc (ramp) r nT ( ) có dạng nh− sau:

( ) ( )2

Xác định giá trị cuối cùng của g nT ( )

Biến đổi z ngược tương tự như biến đổi Laplace ngược Nói một cách tổng quát, biến

đổi z là tỷ số của các đa thức đối với biến z với bậc của đa thức tử số không được lớn hơn bậc của đa thức mẫu số Bằng phép biến đổi z ngược, chúng ta có thể tìm được chuỗi kết hợp với các đa thức biến đổi z đã cho Khi xác định được biến đổi z ngược, chúng ta quan tâm đến đáp ứng thời gian của hệ thống có nghĩa là chúng ta zác định được hàm thời gian ( )

y t từ hàm Y z ( ) Chúng ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau đây để tìm biến

đổi z ngược:

-Phương pháp 1: Phương pháp chuỗi lũy thừa (chia dài)

-Phương pháp 2: Phương pháp khai triển Y z ( ) thành các phân số từng phần và sử dụng bảng để tìm biến đổi z ngược

-Phương pháp 3: Phương pháp tích phân đảo

Đối với một hàm biến đổi z cho trước Y z ( ), chúng ta có thể xác định được các hệ số của chuỗi tổ hợp y nT ( ) tại các thời điểm lấy mẫu khác nhau bằng cách sử dụng biến đổi z ngược Hàm thời gian y t ( ) khi đó được xác định như sau:

0 n

1 Phương pháp 1: Chuỗi lũy thừa

Phương pháp này được thực hiện bằng cách chia mẫu số của Y z ( ) cho tử số để thu

được một chuỗi lũy thừa có dạng như sau:

H×nh 1.8 lµ mét sè mÉu ®Çu cña y t ( )

H×nh 1.8 Mét sè mÉu ®Çu cña y t ( ) trong vÝ dô 1.4

1 Phương pháp 2: Khai triển thành các phân số riêng

Tương tự như kỹ thuật biến đổi Laplace ngược, một hàm Y z ( )có thể được khai triển thành các phân số riêng Sau đó chúng ta dùng bảng của các biến đổi z của các hàm thông dụng để tìm ra biến đổi z ngược của các phân số này Nếu nhìn vào bảng biến đổi z, chúng

ta thấy chỉ có thành phần z ở tử số Do đó sẽ thuận tiện hơn nếu chúng ta tìm biến đổi z của các phân số riêng của hàm y z ( ) / z và sau đó nhân các phân số riêng này với z để xác định

được y z ( )

Ví dụ 1.6:

Tìm biến đổi z ngược của hàm sau:

( ) ( 1 )( 2 )

1.3 Hàm truyền xung và thao tác các sơ đồ khối

Hàm truyền xung là tỷ số biến đổi z của đầu ra so với đầu vào lấy mẫu tại các thời điểm lấy mẫu khác nhau

Giả thiết chúng ta muốn lấy mẫu một hệ thống với đáp ứng đầu ra nh− trên hình 1.9:

( ) *( ) ( )

H×nh 1.9 LÊy mÉu mét hÖ thèng D¹ng tÝn hiÖu lÊy mÉu cña tÝn hiÖu ®Çu ra cã d¹ng nh− sau

§èi víi hÖ thèng nµy, chóng ta cã thÓ viÕt

Ví dụ 1.8:

Hình 1.11 trình bày một hệ thống lấy mẫu vòng hở Xác định biến đổi z của đầu ra hệ thống

Hình 1.11 Hệ vòng hở ví dụ 1.8 Lời giải:

Đối với hệ thống này chúng ta có thể viết

aT aT

aT aT

Đáp ứng thời gian của một hệ thống dữ liệu lấy mẫu có thể thu đ−ợc bằng cách tìm biến

đổi z ng−ợc của hàm đầu ra Chúng ta sẽ làm rõ khái niệm này thông qua các ví dụ

Một tín hiệu bước nhảy đơn vị được đặt vào một hệ RC điện như trên hình 1.13 Tính và

vẽ đáp ứng đầu ra của hệ thống, giả thiết chu kỳ lấy mẫu là T=1s

Hình 1.13 Hệ thống RC với tín hiệu đầu vào bước nhảy

Đối với hệ thống này ta có thể viết

pRC

Ví dụ 1.11:

Giả thiết chúng ta có một hệ thống điều khiển như trên hình 1.15 với giữ bậc không (ZOH) Xác định đáp ứng đầu ra nếu đầu vào của hệ thống là một xung bước đơn vị

Hình 1.15 Hệ thống RC với giữ bậc không Lời giải:

Hàm truyền của giữ bậc không có dạng như sau:

pRC

§¸p øng thêi gian trong tr−êng hîp nµy ®−îc tr×nh bµy nh− trªn h×nh 1.16

H×nh 1.16 §¸p øng thêi gian ®Çu vµo b−íc nh¶y cña vÝ dô 1.11 Khi ®Çu vµo lµm hµm dèc (ramp) ta cã

( ) ( )2

H×nh 1.17 HÖ thèng d÷ liÖu lÊy mÉu cña vÝ dô 1.12

§èi víi hÖ thèng h×nh 1.17 ta cã thÓ viÕt

§Çu ra lÊy mÉu lµ

vµ hµm truyÒn cña hÖ thèng lµ

( ) ( )

( ) ( )

H×nh 1.18 HÖ thèng d÷ liÖu lÊy mÉu cña vÝ dô 1.13

Hình 1.19 Hệ thống dữ liệu lấy mẫu của ví dụ 1.14

Hình 1.20 Sơ đồ tương đương của thống dữ liệu lấy mẫu hình 1.19

Đối với hệ thống này chúng ta có thể viết

Đầu ra của hệ thống y p ( ) có dạng như sau

Do đó biến đổi z của đầu ra có dạng như sau

hay hàm truyền của hệ thống là

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

+

1.3.4 Đáp ứng thời gian của hệ thống vòng kín

Đáp ứng thời gian của hệ thống vòng kín được xác định bằng biến đổi z ngược của hàm

đầu ra Trong phần này chúng ta sẽ xét một số ví dụ về đáp ứng thời gian của hệ thống vòng kín

Ví dụ 1.15:

Một tín hiệu bước nhảy đơn vị được đặt vào một hệ thống số như trên hình 1.21 Xác

định đáp ứng đầu ra của hệ thống với giả thiết chu kỳ lấy mẫu là 1 giây

T T

( ) ( )

2 2

§¸p øng thêi gian cña hÖ thèng sau 10 chu kú lÊy mÉu cã d¹ng nh− trªn h×nh 1.22

H×nh 1.22 §¸p øng thêi gian cña hÖ thèng trong vÝ dô 1.15

1.4 Sử dụng Matlab để tìm biến đổi z và biến đổi z ng−ợc

Trong Matlab, hộp công cụ hệ thống điều khiển hỗ trợ việc thiết kế hệ thống điều khiển thời gian rời rạc Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến một số lệnh thông dụng để xác định biến đổi z

chúng ta sử dụng các lệnh sau với giả thiết chu kỳ lấy mẫy là 0,1 giây để tìm biến đổi z

Điều đó có nghĩa là biến đổi z của hàm là

Để tìm biến đổi z ng−ợc của một hàm chúng ta sử dụng lệnh “iztrans” Sau đây chúng

ta sẽ xét một số ví dụ về biến đổi z ng−ợc

Chúng ta cũng có thể sử dụng Matlab để xác định các hệ số của các phân số riêng

đ−ợc khai triển Sau đây chúng ta có thể xét một số ví dụ

Ví dụ 1.21:

Xác định biến đổi z ng−ợc của hàm truyền sau

( )

2 2