Thiết kế hệ thống điều khiển số sử dụng vi điều khiển và máy tính - chương 1

Thiết kế hệ thống điều khiển số sử dụng vi điều khiển và máy tính - chương 1

Chơng 1 Các hệ thống dữ liệu lấy mẫu và phép biến đổi z Các hệ thống dữ liệu lấy mẫu hay còn gọi là các hệ thống điều khiển số làm việc với các tín hiệu rời rạc theo thời gian. Các hệ thống điều khiển này khác với các hệ thống điều khiển tơng tự trong đó các tín hiệu là liên tục theo thời gian. Một máy tính số có thể đợc sử dụng nh một bộ điều khiển số. Khái niệm máy tính số đợc bao hàm các thiết bị tính toán đợc xây dựng từ các vi điều khiển công nghiệp hay máy tính các nhân (PC). Một bộ chuyển đổi từ số sang tơng tự (A/D converter) thờng đợc dùng để kết nối đầu ra của máy tính phục vụ cho quá trình điều khiển các thiết bị chấp hành vì tín hiệu điều khiển các thiết bị chấp hành này là tín hiệu tơng tự. Một bộ chuyển đổi tơng tự sang số (A/D converter) đợc sử dụng để đọc các tín hiệu vào máy tính số. Các thời điểm tín hiệu đợc đọc vào đợc gọi là các thời điểm lấy mẫu. Sơ đồ khối một hệ thống điều khiển số có phản hồi đợc trình bày trên hình 1.1. Máy tính số là trung tâm của hệ thống điều khiển chứa chơng trình điều khiển. Bộ biến đổi A/D chuyển tín hiệu sai lệch tơng tự thành tín hiệu số thuận tiện cho việc xử lý bằng máy tính số. Tại đầu ra của máy tính số, bộ biến đổi D/A chuyển tín hiệu số thành tín hiệu tơng tơng tự để điều khiển thiết bị chấp hành. Hình 1.1. Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số 1.1. Quy trình lấy mẫu và giữ mẫu Trớc tiên ta định nghĩa bộ lấy mẫu. Một bộ lấy mẫu về cơ bản có thể xem nh là một công tắc đợc đóng sau mỗi chu kỳ là T giây nh trình bày trên hình 1.2. Khi tín hiệu liên tục ký hiệu là ( )r t đợc lấy mẫu tại các khoảng thời gian T , tín hiệu rời rạc đầu ra đợc ký hiệu là *( )r t có dạng nh trên hình 1.3. Hình 1.2. Bộ lấy mẫu Một quá trình lấy mẫu lý tởng có thể xem nh là tích của một chuỗi xung với một tín hiệu tơng tự: ( ) ( ) ( )*r t P t r t= (1.1) ở đây ( )P t đợc gọi là xung delta hay là xung đơn vị có dạng nh hình 1.4. ( )r t ( )*r t Tín hiệu liên tục Tín hiệu lấy mẫu A/D Máy tính số D/A Thiết bị chấp hành Cảm biến Đầu vào Đầu ra Hình 1.3. Tín hiệu ( )r t sau khi lấy mẫu Hình 1.4. Chuỗi xung delta Xung delta đợc biểu diễn nh sau: ( ) ( )nP t t nT== (1.2) Do đó ta có ( ) ( ) ( )*nr t r t t nT== (1.3) hoặc ( ) ( ) ( )*nr t r nT t nT== (1.4) Khi 0t < ta có ( )0r t = nên ( ) ( ) ( )*0nr t r nT t nT== (1.5) Biến đổi Laplace phơng trình (1.5) ta có: 2T 3T 4T 5T 6T T 0 t ( )P t T 2T 3T 4T 5T 6T 2T 3T 4T 5T 6T T 0 0 t t ( )r t ( )*r t ( ) ( )*0pnTnR p r nT e== (1.6) Phơng trình (1.6) đặc trng cho biến đổi Laplace của tín hiệu liên tục đợc lấy mẫu ( )*r t . Một hệ thống lấy mẫu và giữ mẫu có thể xem nh là một sự kết hợp của bộ lấy mẫu và một mạch giữ bậc không (zero-order hold/ZOH) nh trên hình 1.5. Mạch giữ bậc không này có khả năng nhớ thông tin cuối cùng cho đến khi thu đợc một mẫu mới. Ví dụ ZOH lấy mẫu giá trị ( )r nT và giữ nó trong khoảng thời gian ( )1nT t n T + . Hình 1.5. Một bộ lấy mẫu và giữ bậc không Đáp ứng xung của một bộ giữ bậc không đợc trình bày trên hình 1.6. Hàm truyền của giữ bậc không có dạng nh sau: ( ) ( ) ( )G t H t H t T= (1.7) ở đây ( )H t là hàm bớc nhảy và nếu biến đổi Laplace phơng trình (1.7) ta có ( )1 1Tp Tpe eG pp p p = = (1.8) Hình 1.6. Phản ứng xung của giữ bậc không Một bộ lấy mẫu và giữ bậc không có thể bám hay thể hiện gần trung thực tín hiệu tơng tự đầu vào nếu thời lấy mẫu T đủ nhỏ so với sự biến thiên quá độ của tín hiệu. Đáp ứng của một bộ lấy mẫu và giữ bậc không đối với một đầu vào tín hiệu dốc (ramp) đợc trình bày nh trên hình 1.7. Giữ bậc không (ZOH) ( )r t ( )*r t ( )y t Bộ lấy mẫu Tín hiệu tơng tự Tín hiệu lấy mẫu T 0 t 1 ( )g t Hình 1.7. Đáp ứng của một bộ lấy mẫu và giữ bậc không đối với tín hiệu dốc 1.2. Biến đổi z Phơng trình (1.6) định nghĩa một chuỗi vô hạn của các lũy thừa pnTevới toán tử p . Toán tử z đợc định nghĩa sau: pTz e= (1.9) Biến đổi z của hàm ( )r t ký hiệu là ( ) ( )Z r t R z = nên ta có ( ) ( )0nnR z r nT z== (1.10) Chú ý rằng biến đổi z của ( )r t bao gồm một chuỗi vô hạn của các biến z có dạng nh sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 30 2 3 .R z r r T z r T z r T z = + + + + (1.11) ở đây ( )r nT là các hệ số của chuỗi lũy thừa tại các thời điểm lấy mẫu khác nhau. Chúng ta có thể xem biến đổi z trong các hệ thống dữ liệu lấy mẫu tơng tự nh là biến đổi Laplace của các hệ thống thời gian liên tục. Đáp ứng của một hệ thống dữ liệu lấy mẫu có thể xác định dễ dàng bằng cách tìm biến đổi z của đầu ra sau đó tìm biến đổi z ngợc nh là kỹ thuật biến đổi Laplace trong hệ thống thời gian liên tục. Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu biến đổi z của một số hàm thông dụng. 1.2.1. Hàm bớc đơn vị Hàm bớc đơn vị đợc định nghĩa nh sau ( )0 01 0nr nTn<= ( ) ( )1 2 30 01 .n nn nR z r nT z z z z z = == = = + + + + ( )1zR zz= , đối với 1z > 1.2.2. Hàm ramp Hàm ramp hay còn gọi là hàm dốc đợc định nghĩa nh sau T 2T3T4T5T 6TtT 0( )r t( )y t( )y t( )r t 1 2 31 4 8 8 .z z z + + + + 23 2z z + z 13 2z z + 13 2z 1 23 9 6z z + 1 27 6z z 1 2 37 21 14z z z + 2 315 14z z 2 3 415 45 30z z z + . Ta có hệ số của chuỗi lũy thừa nh sau: ( )( )( )( )( )0 012 33 74 15 .yy Ty Ty Ty T===== Hay hàm thời gian ( )y t có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 7 3 15 4 .y t t T t T t T t T = + + + Nhợc điểm của phơng pháp chuỗi lũy thừa là phơng pháp này không đa đến dạng chính xác của kết quả cần tìm. Khi cần tìm dạng chính xác của hàm thời gian, chúng ta cần sử dụng các phơng pháp khác. 1. Phơng pháp 2: Khai triển thành các phân số riêng Tơng tự nh kỹ thuật biến đổi Laplace ngợc, một hàm ( )Y z có thể đợc khai triển thành các phân số riêng. Sau đó chúng ta dùng bảng của các biến đổi z của các hàm thông dụng để tìm ra biến đổi z ngợc của các phân số này. Nếu nhìn vào bảng biến đổi z, chúng ta thấy chỉ có thành phần z ở tử số. Do đó sẽ thuận tiện hơn nếu chúng ta tìm biến đổi z của các phân số riêng của hàm ( )/y z z và sau đó nhân các phân số riêng này với z để xác định đợc ( )y z . Ví dụ 1.6: Tìm biến đổi z ngợc của hàm sau: ( )( )( )1 2zy zz z= Cho nên ( )2 2 2jn T jn T jn T jn Te e e er nTj j j = = Tuy nhiên ta đã biết đợc biến đổi z của một hàm mũ là ( )( )anTaTzR e R zz e= = Cho nên ( )( )( )21 1 1 12 21j T j Tj T j Tj T j Tz e eR zj z e z e jz z e e = = + + hay ( )( )( )2sin2 cos 1z TR zz z T= + 1.2.6. Hàm cos Hàm cos đợc định nghĩa nh sau ( )( )0 0cos 0nr nTn T n<= Trớc tiên ta có cos( )2jx jxe ex+= Cho nên ( )2 2 2jn T jn T jn T jn Te e e er nT += = + Tuy nhiên ta đã biết đợc biến đổi z của hàm mũ có dạnh nh sau ( )( )anTaTzR e R zz e= = Do đó áp dụng trong trờng hợp này ta có ( )1 1 12j T j TR zz e z e = + hay ( )( )( )( )2cos2 cos 1z z TR zz z T= + 1.2.7. Hàm xung rời rạc Hàm xung rời rạc đợc định nghĩa nh sau ( )1 00 0nnn== ( ) ( )0 01n nn nR z r nT z z = == = = 1.2.8. Hàm xung rời rạc có trễ Hàm xung rời rạc có trễ đợc định nghĩa nh sau ( )1 00n kn kn k= > = ( ) ( )0 0n n nn nR z r nT z z z = == = = 1.2.9. Bảng biến đổi z Bảng biến đổi z của các hàm thông dụng đợc trình bày nh trên bảng 1.1. Khi biết dạng biến đổi z, chúng ta quan tâm đến đáp ứng đầu ra ( )y t của hệ thống và phải sử dụng biến đổi z ngợc để thu đợc ( )y t từ ( )Y z . 1.2.10. Tìm biến đổi z qua biến biến đổi Laplace Mặc dù chúng ta biểu thị biến đổi z tơng đơng của ( )G p là ( )G z , nhng điều đó không có nghĩa là ( )G z đợc xác định bằng cách thay thế toán tử p bằng toán tử z . Thay vào đó chúng ta sử dụng một trong các phơng pháp sau đây để xác định biến đổi z của một hàm qua biến đổi Laplace của hàm đó. -Phơng pháp 1: Giả thiết chúng ta có biến đổi Laplace của một hàm là ( )G p . Từ đây chúng ta tính toán đáp ứng theo thời gian là ( )g t bằng phép biến đổi z ngợc. -Phơng pháp 2: Giả thiết chúng ta có biến đổi Laplace của một hàm là ( )G p . Từ đây ta tìm biến đổi z của hàm là ( )G z bằng cách tra bảng với các biến đổi Laplace và biến đổi z tơng đơng. -Phơng pháp 3: Giả thiết chúng ta có biến đổi Laplace của một hàm là ( )G p . Mặt khác ta có thể biểu diễn ( ) ( ) ( )/G p N p D p= và sử dụng công thức sau đây để xác định biến đổi z: ( )( )( )'1111nqnx TnnN xG zD xe z== (1.12) ở đây '/D D p= và nx với 1, 2, .,n q= là gốc của phơng trình ( )0D p = . Bảng 1.1. Biến đổi Laplace và biến đổi z của một số hàm thông dụng Tín hiệu tơng tự Tín hiệu lấy mẫu Biến đổi Laplace Biến đổi z ( )t ( )kT 1 1 ( )t a ( )k a T pte az 1 1( )kT 1p 1zz t kT 21p ( )21Tzz 22t ( )22kT 31p ( )( )2312 1T z zz+ ate akTe 1p a+ aTzz e atte akTkTe ( )21p a+ ( )2aTaTzTez e 1ate 1akTe ( )ap p a+ ( )( )( )11aTaTz ez z e ( )sin akT ( )sin akT 2 2ap a+ ( )( )2sin2 cos 1z aTz z aT + ( )cos akT ( )cos akT 2 2pp a+ ( )( )( )2cos2 cos 1z z aTz z aT + Ví dụ 1.1: Cho biến đổi Laplace của một hàm có dạng nh sau: ( )215 6G pp p=+ + Xác định biến đổi z tơng đơng của hàm trên. Lời giải: -Phơng pháp 1: Sử dụng biến đổi Laplace ngợc Chúng ta có thể biểu diễn ( )G p là một tổng của các phân số nh sau: ( )( )( )1 1 13 2 2 3G pp p p p= = ++ + + + Biến đổi Laplace ngợc của ( )G p là: ( ) ( )1 2 3t tg t L G p e e = = Theo định nghĩa của biến đổi z, chúng ta có thể xác định ( )G z từ ( )g t nh sau: ( )( ) ( ) ( )2 3 2 1 4 2 3 1 6 201 . 1 .nT nT n T T T TnG z e e z e z e z e z e z == = + + + + + + ( )( )( )( )2 32 32 3T TT TT Tz e ez zG zz e z ez e z e = = -Phơng pháp 2: Sử dụng bảng biến đổi z Từ bảng biến đổi z của một số hàm thông dụng (bảng 1.1) ta có biến đổi z của ( )1 / p a+ là ( )/aTz z e . Do đó biến đổi z của hàm ( )G p là ( )( )( )( )2 32 32 3T TT TT Tz e ez zG zz e z ez e z e = = 1.2.11. Các tính chất của biến đổi z Đa số các tính chất của biến đổi z tơng tự nh các tính chất của biến đổi Laplace. Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến một số tính chất quan trọng của biến đổi z. 1. Tính chất tuyến tính Giả sử biến đổi z của ( )f nT là ( )F z và biến đổi z của ( )g nT là ( )G z . Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Z f nT g nT Z f nT Z g nT F z G z = = (1.13) ( ) ( ) ( )Z af nT aZ f nT aF z = = (1.14) ở đây a là một đại lợng vô hớng 2. Tính chất dịch trái Giả sử biến đổi z của ( )f nT là ( )F z và ( ) ( )y nT f nT mT= + . Khi đó ( ) ( ) ( )10mm m iiY z z F z f iT z== (1.15) Nếu tất cả các điều kiện đầu là không ví dụ ( )0f iT = , 0,1, 2, ., 1i m= thì ( ) ( )mZ f nT mT z F z + = (1.16) 3. Tính chất dịch phải Giả sử biến đổi z của ( )f nT là ( )F z và ( ) ( )y nT f nT mT= . Khi đó ( ) ( ) ( )10mm iiY z z F z f iT mT z == (1.17) Nếu ( )0f nT = đối với 0k < khi đó ta có ( ) ( )mZ f nT mT z F z = (1.18) 4. Tính chất suy giảm Giả sử biến đổi z của ( )f nT là ( )F z . Khi đó ( )anT aTZ e f nT F ze = (1.19) Điều này có nghĩa là nếu một hàm đợc nhân với một lũy thừa anTe thì biến đổi z của hàm z này đợc thay bằng aTze . 5. Tính chất giá trị đầu Giả sử biến đổi z của ( )f nT là ( )F z . Khi đó giá trị đầu của đáp ứng theo thời gian đợc xác định nh sau: ( ) ( )lim limn zf nT F z = (1.20) 6. Tính chất giá trị cuối Giả sử biến đổi z của ( )f nT là ( )F z . Khi đó giá trị cuối của đáp ứng theo thời gian đợc xác định nh sau: ( )( )( )11lim lim 1n zf nT z F z = (1.21) Chú ý tính chất này chỉ có hiệu lực nếu các cực của ( )( )11 z F z nằm bên trong vòng tròn đơn vị hay tại 1z = . Ví dụ 1.2: Biến đổi z của hàm dốc (ramp) ( )r nT có dạng nh sau: ( )( )21TzR zz= Tìm biến đổi z của hàm ( )5r nT . Lời giải: Sử dụng tính chất tuyến tính ta dễ dàng suy ra ( ) ( )( )255 51TzZ r nT Z r nTz = = Ví dụ 1.3: Cho biểu thức của biến đổi z nh sau: ( )( )( )20, 7921 0,416 0, 208zG zz z z= + [...]... liệu lấy mẫu và phép biến đổi z Các hệ thống dữ liệu lấy mẫu hay còn gọi là các hệ thống điều khiển số làm vi c với các tín hiệu rời rạc theo thời gian. Các hệ thống điều khiển này khác với các hệ thống điều khiển tơng tự trong đó các tín hiệu là liên tục theo thời gian. Một máy tính số có thể đợc sử dụng nh một bộ điều khiển số. Khái niệm máy tính số đợc bao hàm các thiết bị tính toán đợc... tín hiệu đợc đọc vào đợc gọi là các thời điểm lấy mẫu. Sơ đồ khối một hệ thống điều khiển số có phản hồi đợc trình bày trên hình 1. 1. Máy tính số là trung tâm của hệ thống điều khiển chứa chơng trình điều khiển. Bộ biến đổi A/D chuyển tín hiệu sai lệch tơng tự thµnh tÝn hiƯu sè thn tiƯn cho vi c xư lý bằng máy tính số. Tại đầu ra của máy tính số, bộ biến đổi D/A chuyển tín hiệu số thành tín hiệu... dựng từ các vi điều khiển công nghiệp hay máy tính các nhân (PC). Một bộ chuyển đổi từ số sang tơng tự (A/D converter) thờng đợc dùng để kết nối đầu ra của máy tính phục vụ cho quá trình điều khiển các thiết bị chấp hành vì tín hiệu điều khiển các thiết bị chấp hành này là tín hiệu tơng tự. Một bộ chuyển đổi tơng tự sang số (A/D converter) đợc sử dụng để đọc các tín hiệu vào máy tính số. Các thời... số ví dụ về đáp ứng thời gian của hệ thống vßng kÝn. VÝ dơ 1. 15: Mét tÝn hiƯu bớc nhảy đơn vị đợc đặt vào một hệ thống số nh trên hình 1. 21. Xác định đáp ứng đầu ra cđa hƯ thèng víi gi¶ thiÕt chu kú lÊy mẫu là 1 giây. Hình 1. 21. Hệ thống vòng kín của ví dụ 1. 15 Đầu ra của hệ thống ở dạng biến đổi z có dạng tỉng qu¸t nh− sau ( ) ( ) ( ) ( ) 1 r z G z y z GH z = + ở đây ( ) 1 z r... ) 1 0,37 y z A B z z z = + − − ë đây 1A = và 1B = nên ( ) 1 1 1 0,37 y z z z z = − − − ( ) 1 0,37 z z y z z z = − − − Sử dụng biến đổi z ngợc ta tìm đợc đáp ứng đầu ra của hệ thống nh sau: Hình 1. 18. Hệ thống dữ liệu lấy mẫu của ví dụ 1. 13 Đối với hệ vòng kín trên hình 1. 13 ta có ( ) ( ) ( ) y p e p G p= vµ ( ) ( ) ( ) ( ) * e p r p H p y p= − Thay ( ) e p vào... bộ điều khiển là ( ) D p và hàm truyền kết hợp giữ bậc không và đối tợng điều khiển là ( ) G p . Do đó sơ đồ tơng đơng của hệ thống đợc biểu diễn nh trên hình 1. 20. ( ) G p ( ) H p ( ) e p ( ) r p ( ) y p ( ) * y p Hình 1. 19. Hệ thống dữ liệu lấy mẫu của ví dụ 1. 14 Hình 1. 20. Sơ đồ tơng đơng của thống dữ liệu lấy mẫu hình 1. 19 Đối với hệ thống này chúng ta có thÓ vi t ... p ( ) 2 G p 1. 4. Sử dụng Matlab để tìm biến đổi z và biến đổi z ngợc Trong Matlab, hộp công cụ hệ thống điều khiển hỗ trợ vi c thiết kế hệ thống điều khiển thời gian rời rạc. Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến một số lệnh thông dụng để xác định biến đổi z . 1. 4 .1. Biến đổi z Để chuyển một hàm liên tục (hay hàm ở dạng biến đổi Laplace) thành một hàm rời rạc, chúng ta sử dụng lệnh c2d.... ) y p ( ) * y p Ví dụ 1. 8: Hình 1. 11 trình bày một hệ thống lấy mẫu vòng hở. Xác định biến đổi z của đầu ra hệ thống. Hình 1. 11. Hệ vòng hở ví dụ 1. 8 Lời giải: Đối với hệ thống này chúng ta có thể vi t ( ) ( ) ( ) ( ) * 1 2 y p e p G p G p= hc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) * * * * * 1 2 1 2 y p e p G p G p e p G G p   = =   vµ ( ) ( ) ( ) 1 2 y z e z G G z= ở... phân tích. Ví dụ 1. 11: Giả thiÕt chóng ta cã mét hƯ thèng ®iỊu khiĨn nh− trên hình 1. 15 với giữ bậc không (ZOH). Xác định đáp ứng đầu ra nếu đầu vào của hệ thống là một xung bớc đơn vị. Hình 1. 15. Hệ thống RC với giữ bậc không Lời giải: Hàm truyền của giữ bậc không có dạng nh− sau: ( ) 1 1 Tp e G p p − − = Hµm trun cđa m¹ch RC cã d¹ng nh− sau: ( ) 2 1 1 1 1 1 1 G p a RCp RC p... víi 1 a RC = §èi víi hệ thống này, đầu ra của hệ thống có dạng nh− sau ( ) ( ) ( ) * 1 2 y p u p G G p= vµ ( ) ( ) [ ] ( ) * * * 1 2 y p u p G G p= ở dạng biến đổi z đầu ra của hệ thống có dạng ( ) u p ZOH 1 1p + ( ) * u p ( ) y p ( ) y t 1 1, 367 1, 503 1, 552 1, 5 71 T 2T 3T 4T 0 t ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 T T T z e y z z ze e z − − − − = − + − Víi gi¶ thiÕt 1T . Các hệ thống điều khiển này khác với các hệ thống điều khiển tơng tự trong đó các tín hiệu là liên tục theo thời gian. Một máy tính số có thể đợc sử dụng. dụng nh một bộ điều khiển số. Khái niệm máy tính số đợc bao hàm các thiết bị tính toán đợc xây dựng từ các vi điều khiển công nghiệp hay máy tính các nhân