GIẢI TÍCH 1 ĐẠO HÀM

Dành cho các bạn sinh viên các trường đại học cao đẳng trên toàn quốc.Bài giảng là tâm huyết cả đời của quý thầy cô được biên soạn tỉ mĩ, chọn lọc giúp sinh viên hoàn thành môn học cũng như vận dụng kiến thức vào thực tiễn ngành học của mình.Nguồn: Trường Đại học Bách KhoaĐHQG TP HCM

CHƢƠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm Bài toán mở đầu 1: Xét đƣờng cong y=f(x) Một điểm P(a,f(a)) cố định đƣờng cong Cho điểm Q(x,f(x)) chạy đƣờng cong tới điểm P Nếu cát tuyến PQ dần đến vị trí giới hạn Pt đƣờng thẳng Pt đƣợc gọi tiếp tuyến đƣờng cong P Tiếp tuyến có hệ số góc: f ( x )  f (a ) m  lim x a xa Đạo hàm Bài toán mở đầu 2: Xét vật chuyển động đƣờng thẳng Tại thời điểm t0 vị trí M0 với hồnh độ s0 = s(t0) Tại thời điểm t vị trí M với hồnh độ s= s(t) Ta tính đƣợc qng đƣờng Δs = s – s0 khoảng thời gian Δt = t – t0 M0 M t0 t Vận tốc trung bình tỉ số Δs/ Δt Vận tốc gần với vận tốc thực khoảng thời gian nhỏ s(t )  s(t0 ) s v  lim  lim t 0 t t t0 t  t0 Đạo hàm Cả hai toán dẫn ta đến việc tính giới hạn tỉ số Δf/ Δx Δx→0 Tức dẫn đến việc lập hàm f(x) tính đạo hàm Định nghĩa: Cho hàm f(x) xác định lân cận x0, đạo hàm x0 hàm f(x) f ( x)  f ( x0 ) f ( x0  x)  f ( x0 ) f ( x0 )  lim  lim x  x0 x 0 x  x0 x Nếu giới hạn hữu hạn Các quy tắc tính đạo hàm  f  g   f   g  f g   f g  gf  f  f g  g f g  g   Đạo hàm Bảng đạo hàm hàm 1 x  x x  x  1/ a  a ln a  e  e /  arccos x    x a  / x  a.x a 1  1 10 /  arctan x     /  log a x     ln x    x2 x ln a x 1  11 /  arccot x   /  sin x   cos x 1 x /  cos x    sin x 12 /  shx   chx    shx /  tan x     tan x 13 / chx   cos x  14 /  thx   2  /  cot x     (1  cot x) ch x sin x  15 /  cthx    sh x /  arcsin x    x2       Đạo hàm Đạo hàm phía: Đạo hàm trái: f (x  x0 )  f ( x0 ) f  ( x0 )  lim  x 0 x Đạo hàm phải: f (x  x0 )  f ( x0 ) f  ( x0 )  lim  x 0 x Định lý: Hàm f(x) có đạo hàm x0 có đạo hàm trái, đạo hàm phải x0 đạo hàm Đạo hàm vơ cùng: Nếu f (x  x0 )  f ( x0 ) lim  x 0 x Thì ta nói hàm f có đạo hàm vơ cực Đạo hàm Ví dụ: Tính đạo hàm hàm f ( x)  x  Áp dụng quy tắc bảng đạo hàm ta có f ( x)  3 ( x  1)2 Nhƣ vậy, x=1 khơng thể thay x=1 vào f ’ để tính mà phải dùng định nghĩa f (x  1)  f (1) x  f (1)  lim  lim   x0 x0 x x Vậy:  ,x 1  f ( x)   ( x  1)2 , x   Đạo hàm Tại x=1: f (1)   Nên tiếp tuyến đƣờng thẳng x=1 Đạo hàm Ví dụ: Tính đạo hàm  sin x ,x   f ( x)   x 1, x  Khi x≠0, ta tính bình thƣờng Khi x=0, ta dùng đ/n  sin x  f (x  0)  f (0)  lim  1  f (0)  lim  x 0 x  x x0  x Vậy:  x cos x  sin x ,x   f ( x)   x 0, x  Đạo hàm Đạo hàm hàm hợp h  f g  h  f .g  Tức y  g ( x), h( x)  f ( y)  h( x)  f ( y ).g ( x) Ví dụ: Tính đạo hàm hàm : a f(x) = tan (x3+x) b g(x) = esinx  ( x  x) 3x  f ( x)   cos ( x  x) cos ( x3  x) g ( x)  esin x (sin x)  cos x.esin x ... x  Đạo hàm cấp cao Cho hàm y = f(x) có đạo hàm z = f ’(x) Lấy đạo hàm hàm z, ta đƣợc đạo hàm cấp hàm f(x) – kí hiệu f ( x) Tiếp tục q trình đó, ta gọi đạo hàm đạo hàm cấp (n -1) đạo hàm cấp... (u  1) 2 shx chx  ( shx  1) 2 shx Đạo hàm Đạo hàm hàm ngƣợc Giả sử hàm 1- 1: y = f(x) có hàm ngƣợc x = g(y) Tại x = x0 hàm f(x) có đạo hàm hữu hạn khác hàm g(y) có đạo hàm y0 = f(x0) g ( y0 )... Đạo hàm y  x ? ?1 Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm ngƣợc hàm  y  x   y  x  0x  Do Nên theo CT tính đạo hàm hàm ngƣợc ta đƣợc 1 x( y )   , x  y( x) x x( y )  y ? ?1 ( ) Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm