Skkn một số dạng toán cơ bản về xác suất của biến cố

Lí do chọn đề tài: Trong chương trình Toán THPT các bài toán có liên quan đến xác suất là một phần quan trọng của Đại số - giải tích 11, học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn đề tài:

Trong chương trình Toán THPT các bài toán có liên quan đến xác suất

là một phần quan trọng của Đại số - giải tích 11, học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan

Chính vì vậy trong giảng dạy ngoài việc giúp cho học sinh nắm được kiến thức cơ bản thì việc phát huy tính tích cực, tự lập của học sinh và biết

áp dụng các kiến thức đã học vào giải các bài toán và ứng dụng toán học vào trong thực tế là rất cần thiết Xác suất của biến cố là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Toán phổ thông Sau khi học sinh đã học xong “xác suất của biến cố ” bản thân tôi muốn học sinh tìm xác suất của một bài toán, của một ứng dụng trong thực tế một cách đơn giản, nên

trong bài viết này “ Một số dạng toán cơ bản về xác suất của biến cố ” ở

đại số - giải tích 11 sẽ giúp cho học sinh làm bài tập một cách nhanh chóng

và chính xác

2 Mục đích nghiên cứu:

Nhằm hệ thống lại những kiến thức về xác suất của biến cố để học sinh hiểu và vận dụng tốt hơn trong các bài toán liên quan

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Một số kiến thức liên quan đến xác suất của biến cố trong chương trình Đại số - giải tích 11 và học sinh lớp 11 của trường THPT Phạm Văn Đồng

4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp suy luận, tổng hợp: Được đúc rút qua thời gian giảng dạy, hệ thống lại kiến thức, mở ra các hướng đi mới

Phương pháp trò chuyện: Trao đổi với nhiều học sinh để nắm tình hình

sử dụng kiến thức vào giải toán

Phương pháp phân tích lý luận: Phân tích giúp học sinh nắm rõ bản chất của vấn đề

PHẦN II: PHẦN NỘI DUNG.

THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Khái niệm xác suất của biến cố là một khái niệm mới đối với học sinh Xác suất của một biến là một số được đưa ra để đánh giá khả năng xảy ra của biến cố đó Do đó, xác suất có biến cố gần 1 hay xảy ra hơn còn biến

cố có xác suất gần 0 thường hiếm xảy ra Khi nói đến việc tìm một số yếu

tố liên quan đến xác suất của biến cố thì đại đa số học sinh đều làm được nhưng khi bài toán yêu tìm xác suất của biến cố thì học sinh còn rất nhiều lúng túng vì không biết phải áp dụng quy tắc cộng xác suất hay quy tắc nhân xác suất hay dạng toán tổng hợp giữa quy tắc công và quy tắc nhân

Vì vậy tôi đã chọn đề tài này để nghiên cứu

Nội dung của đề tài chia thành các mục:

Chương I Một số kiến thức liên quan đến xác suất của biến cố.

Chương II Một số bài toán liên quan đến xác suất của biến cố.

CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ.

1 Phép thử, không gian mẫu.

- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó

- Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu

2 Biến cố.

Biến cố là một tập con của không gian mẫu

3 Định nghĩa cổ điển của xác suất.

- Giả sử A là một biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu

hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện Ta gọi tỉ số

)(

)(

Ω

n

A n

là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A)

ta có

)(

)()

Nếu sự xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của một biến cố khác thì ta nói hai biến cố đó độc lập Tổng quát, đối với hai biến cố bất kì ta có mối quan hệ sau:

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B)=P(A).P(B).

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC

SUẤT CỦA BIẾN CỐ.

Dạng toán 1: Bài tập về xác suất dựa vào các liệt kê các phần tử, dựa vào quy tắc cộng, quy tắc nhân và dựa vào công thức tính các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Ví dụ 1: Gieo ba đồng tiền cân đối và đồng chất Tính xác suất của các

(B =

Ví dụ 2: Một tổ học sinh có 12 người trong đó có 7 nam và 5 nữ Chọn

a Hai người được chọn đều là nữ.

b Hai nguời được chọn đều là nam

c Hai người được chọn có 1 nam và 1 nữ

10)

21)

7.5)

B : “ Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3”

C: “ Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 3”

2)

4)

(C = =

Ví dụ 4: Có chín miếng bìa như nhau được ghi từ 1 đến 9 Lấy ngẫu nhiên

hai miếng bìa và xếp theo thứ tự từ trái sang phải Tính xác suất của các biến cố sau :

a A: “ Số tao thành là số chẵn”

b B : “ Số tạo thành là số chia hết cho 5”

c C: “ Số tạo thành có chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị”.Phân tích: Với đề ra như trên học sinh đọc đề không kỹ sẽ dẫn đến tìm sai

số phần tử của không gian mẫu đó chính là học sinh không nhận ra được có

sự sắp xếp thứ tự Đối với câu c học sinh có thể tính số phần tử theo hai cách: đó là theo tổ hợp hoặc theo quy tắc đếm

Bài giải

Mối kết quả của phép thử là một chỉnh hợp chập 2 của 9 phần tử Vậy, không gian mẫu gồm:

Ω = A = 722 ⇒n(Ω)= 72 ( kết quả đồng khả năng)

8)

36)

(C = =

Ví dụ 5: Một tổ có 9 học sinh, trong đó có 5 nam và 4 nữ được xếp thành

một hàng dọc Tính xác suất sao cho không có hai bạn nam nào đứng kề nhau

Bài giải

Có 9 học sinh xếp thành một hàng dọc thf số cách xếp bằng số hoán vị của

9 phần tử, do đó không gian mẫu có 9! phần tử

Tổ có 9 học sinh, trong đó 5 nam và 4 nữ, muốn xếp thành một hàng dọc sao cho không có hai bạn nam nào đứng kề nhau thì phải xếp một học sinh nam đứng trước, rồi đến một học sinh nũ, tiếp tục cứ xếp xen kẽ nhau, học sinh xếp cuối cùng là nam

Số khả năng xảy ra bằng số hoán vị của 5 học sinh nam nhân với số hoán vị của 4 học sinh nữ, do đó có 5!.4!

Vậy

126

1

!9

!4

!

5)

(A = =

Bài tập áp dụng:

1 Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến

20 Tìm xác suất để thẻ được lấy ghi số

P ;

20

3)(C =

P ;

6

1)(C =

P ;

36

11)(D =

3 Một bộ sách có 4 tập mà nhìn bề ngoài giống hệt nhau lấy ngẫu nhiên

các tập sách xếp trên giá sách Tính xác suất để các tập sách được xếp trên

.

giá theo đúng thứ tự từ tập một đến tập bốn (kể từ trái qua phải hoặc từ phải qua trái)

( Sách toán cơ bản – nâng cao đại số - giải tích 11 – trang 64)

Đáp số:

12

1)(A =

4 Một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và 2

viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi Tính xác suất để:

a Cả hai bi lấy ra đều là bi đỏ

b Trong hai bi lấy ra có 1 bi xanh và 1 bi vàng

( Sách rèn luyện giải toán đại số - giải tích 11 – trang 74)

Đáp số: a

9

2)(A =

b

15

2)(B =

Dạng toán 2: Bài tập về xác suất của biến cố hợp - quy tắc cộng xác suất.

Ví dụ 1: Một hộp đựng 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ có kích thước và

trọng lượng như nhau Lấy ngẫu nhiên ra 5 viên bi Tìm xác suất để lấy được ít nhất ba viên bi màu đỏ

Phân tích: Yêu cầu của bài toán là lấy được ít nhất ba viên bi màu đỏ, do đó

để tìm được xác suất của bài toán ta phải đưa về theo quy tắc hợp của hai biến cố

15.4)(A1 = =

6.1)(A2 = =

Vì A = A1  A2và A1, A2 là hai biến cố xung khắc

Vậy P(A)=P(A1  A2)=P(A1)+P(A2)

42

11252

66252

6252

60

=

=+

Ví dụ 2: Một chiếc hộp kín đựng 12quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ có kích

thước và trọng lượng như nhau Lấy ngẫu nhiên ra 6 quả Tìm xác suất để trong 6 quả lấy ra có ít nhất 5 quả cầu đỏ

12.56)

70038760

2838760

672

=

=+

Ví dụ 3: Một bình đựng 5 viên bi xanh, 3 viên bi vàng và 4 viên bi trắng

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Tính xác suất sao cho:

a Lấy được 3 viên bi màu xanh

b Lấy được ít nhất 1 bi vàng

c Lấy được 3 viên bi cùng màu

Phân tích: Bài toán yêu cầu tìm xác suất của các biến cố, đối với yêu cầu thứ nhất thì đơn không kỹ thì sẽ không đưa ra hết được các trường hợp theo yêu cầu của bài toán

10)(A = =

b Cách 1:

Gọi B là biến cố “ lấy được ít nhất một viên bi vàng” nên B sẽ là hợp

của các biến cố sau:

B1 là biến cố “lấy được 3 viên bi vàng”

220

1220)

(

3 3

.)

(

1 5

2 3

.)

(

1 4

2 3

3 = =

B4 là biến cố “lấy được 1 viên bi vàng, 2 viên bi xanh”

220

30220

.)

(

2 5

1 3

.)

(

2 4

1 3

)

(

1 5

1 4

1 3

136220

6018301215

10)(A = =

B’1 là biến cố “ lấy được 3 viên bi trắng”

220

4220)

'(

3 4

)

'

(

1 4

2 5

2 = =

B’3 là biến cố “ lấy được 2 viên bi trắng và 1 viên bi xanh”

220

30220

.)

'

(

1 5

2 4

3040410

=+++

Do đó

55

34220

136220

841)(1)

(B = −P B = − = =

c Gọi C là biến cố “ lấy được 3 viên bi cùng màu” là hợp của các biến cố:

A là biến cố “ lấy được 3 viên bi xanh” ⇒

22

1220

10)(A = =

B1 là biến cố “lấy được 3 viên bi vàng”

220

1220)

(

3 3

'(

3 4

15220

1410

=

=++

Ví dụ 4: Một chiếc hộp kín đựng 12 quả bóng bàn trong đó có 3 quả màu

vàng và 9 quả màu trắng có kích thước và trọng lượng như nhau Lấy ngẫu nhiên ra 3 quả Tìm xác suất để :

a Ba quả bóng lấy ra đều màu trắng.

b Ba quả bóng lấy ra có không quả một quả màu vàng

84)

192

3 12

2 9

1 3 3 12

C

Ví dụ 5: Một tổ công nhân có 7 nữ và 5 nam Chọn ngẫu nhiên ra 3 người

để thực hiện một công việc Tìm xác suất để ba người được chọn có ít nhất một nam công nhân

Gọi A1, A2, A3 lần lượt là các biến cố trong ba người được chọn có đúng một người là nam, có đúng hai người là nam và cả ba người đều là nam, A

là biến cố ba người được chọn có ít nhất một người nam thì:

3 2

1 A A A

185

3 12

3 5 3

12

1 7

2 5 3

12

2 7

C C C

C

C

.Cách 2:

Gọi B là biến cố ba người được chọn đều là nữ thì B là biến cố đối của biến

cố A, do đó:

44

37220

3511

)(1

P

A

Bài tập áp dụng:

1 Một hộp chứa 12 viên bi, trong đó có 5 viên bi đỏ, 4 viên bi trắng và 3 viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi Tính xác suất để 3 viên bi lấy ra cùng màu

( Sách rèn luyện giải toán đại số - giải tích 11 – trang 79)

Đáp số:

44

3)

()()(

)

12

3 3 3 12

3 4 3 12

3

5 + + =

=+

+

=

C

C C

C C

C V P T P Đ

( Sách rèn luyện giải toán đại số - giải tích 11 – trang 79)

Đáp số:

Gọi A là biến cố “ chọn được thẻ số 1 và số 4”, B là biến cố “ chọn được thẻ số 2 và số 3” Gọi X là biến cố “ chọn được hai tấm thẻ có tổng các số ghi trên hai tấm thẻ đó bằng 5”

.)()(

)

14

1 2

1 5 2

14

1 3

1

4 + =

=+

+

C

C C C

C C B P A

( Sách 500 bài tập cơ bản – nâng cao đại số - giải tích 11 – trang 80)

Đáp số: a

44

7)(A =

b

11

7)(B =

c

22

21)(C =

Dạng toán 3: Bài tập về xác suất của biến cố đối

Ví dụ 1: Một hộp đựng 20 viên bi trong đó có 12 viên bi đỏ và 8 viên bi

xanh có kích thước và trọng lượng như nhau Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi Tìm xác suất để:

a Cả 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ

b Cả 3 viên bi đều màu xanh

220)

56)

141)(1)(C = −P B = − =

Ví dụ 2: Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lý và 2 quyển

sách Hóa Lấy ngẫu nhiên ra 3 quyển sách Tìm xác suất để 3 quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán

)(1

Gọi A là biến cố “ xuất hiện ít nhất một lần hai mặt 6”, vậy A là biến cố “

không xuất hiện hai mặt 6” Khi đó P(A)=1−P(A)

Số khả năng có thể xảy ra khi gieo hai con súc sắc là 62= 36

Số khả năng để không xuất hiện hai mặt 6 là 35

Vậy xác suất để một lần gieo không xuất hiện mặt 6 là

36

35

Vậy xác suất để n lần gieo không xuất hiện mặt 6 là

Do đó:

n

A P A

)(1)

P B

2 Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng, hai quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng

thời hai quả Tính xác suất sao cho:

a Hai quả lấy ra khác màu

b Hai quả lấy ra cùng màu

( Sách đại số - giải tích 11 – trang 69)

Đáp số:

a

5

3

)

5

1 2

(B =P A = −P A =

.

Dạng toán 4: Bài tập về xác suất của biến cố giao - quy tắc nhân xác suất.

Ví dụ 1: Gieo hai con súc sắc Tìm xác suất để:

a Cả hai con súc sắc đều xuất hiện mặt 6 chấm

b Có đúng một trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm

Bài giải:

a Gọi hai con suác sắc là M và N, A là biến cố “ Súc sắc M xuất hiện mặt 6 chấm”, B là biến cố “ súc sắc N xuất hiện mặt 6 chấm” Ta nói A và B là các biến cố độc lập

Nên

6

1)(A =

6

1)(B =

Biến cố “ Cả hai con súc sắc đều xuất hiện mặt 6 chấm” là AB và cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra Vậy xác suất để hai con súc sắc đều xuất hiện mặt 6 chấm là:

P(AB) = P(A).P(B) =

36

1

b.Gọi X là biến cố “ có đúng mmột trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 6

chấm”, ta có X là hợp của hai biến cố xung khắc B A và B A , tức là

X = B A  B A Do đó P(X)=P(A B)+ P(A B)

Vì

6

56

11)(1)

(A = −P A = − =

6

5)(1)(B = −P B =

)()()

(X P A B P A B

18

56

1.6

56

5.6

Ví dụ 2: Có hai bình, mỗi bình chứa 3 viên bi chỉ khác nhau về màu: một

viên bi xanh, một viên bi vàng , một viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên mỗi bình một viên bi Tìm xác suất để lấy được hai viên bi xanh

A2 là biến cố “ lấy được một bi xanh từ bình thứ nhất”

3

1)( 2 =

Mà A1 và A2 là hai biến cố độc lập Do đó

9

13

1.3

1)()

()(

)

(A =P A1 A2 =P A1 P A2 = =

Ví dụ 3: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần Tìm xác suất

sao cho tổng số chấm trong hai lần gieo không bé hơn 10, nếu:

a Lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt 5 chấm

b Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhât một lần

Bài giải:

Không gian mẫu Ω={(a,b)/1≤a,b≤6}⇒n(Ω)=36.

Kí hiệu: A “ Tổng số chấm trong hai lần gieo lớn hơn hoặc bằng 10”

B: “ Lần đầu xuất hiện mặt 5 chấm”

C: “ Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần”

a Ta có : A = { ( 4,6); ( 6,4); ( 5,5); ( 5,6) ; (6,5)}

B = { ( 5,1); ( 5,2); ( 5,3); ( 5,4); (5,5); ( 5,6)}

1)(B =

18

2)(A B =

Vậy:

3

11866118

1)

(

)(

)/

B P

B A P B A

b C = { ( 5,1); ( 5,2); ( 5,3); ( 5,4); (5,5); ( 5,6); (1,5) ; ( 2,5); (3,5); (4,5);(6,5)}

Mà A C = { (5,5) ; (5,6); (6,5)}

36

11)(C =

36

3)(A C =

Vậy:

113361136

3)

(

)(

)/

C P

C A P C A

Bài tập áp dụng:

1 Có hai hộp Hộp thứ nhất chứa hai bi trắng và một bi đen, hộp thứ hai

chứa hai bi trắng và hai bi đen Từ hộp thứ nhất, lấy ngẫu nhiên một bi, xem màu của nó rồi bỏ vào hộp thứ hai Sau đó từ hộp thứ hai, lấy ngẫu nhiên ra một bi Tìm xác suất sao cho cả hai bi lấy ra đều màu trắng

( Sách tuyển chọn 400 bài tập đại số và giải tích 11 – trang 89)

Đáp số:

Kí hiệu: A “ Bi lấy được từ hộp thứ nhất ra là màu trắng”

B: “ Bi lấy được từ hộp thứ hai ra là màu trắng”

5

2)(A B =

a Cả ba máy đều hoạt động tốt

b Cả ba máy đều hoạt động không tốt

( Sách 500 bài tập cơ bản và nâng cao toán 11 – trang 70)

Đáp số:

a P = P( ABC) = P(A).P(B).P(C) = 0,7.0,8.0,9 = 0,504

b P=P(A).P(B).P(C)=0,3.0,2.0,1=0,006

.

Dạng toán 5: Bài tập về dạng toán tổng hợp các quy tắc cộng và quy tắc nhân.

Ví dụ 1: Có hai hộp, hộp thứ nhất đựng 3 bi đỏ, 2 bi xanh và 5 bi vàng; hộp

thứ hai đựng hai bi đỏ, 3 bi xanh và hai bi vàng Lấy ngẫu nhiên hai bi mỗi hộp một bi Tính xác suất để trong một lần lấy ra được đúng một bi đỏ

Bài giải:

Gọi A là biến cố “ trong một lần lấy ra được đung một bi đỏ”, Ai là biến cố

“ lấy được bi đỏ ở hộp thứ i” với i = 1,2 Ta có: A= A1A2  A2A1

Suy ra

70

297

2.10

77

5.10

3)()()

(A =P A1A2 +P A2A1 = + =

Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên 3 giáo viên trong tổ chuyên môn Hóa – Sinh –

Thể dục để thành lập một đoàn công tác sao cho mỗi môn phải có một giáo viên Biết tổ có 6 giáo viên Hóa, 5 giáo viên Sinh, 3 giáo viên Thể dục, trong đó môn Hóa có 3 giáo viên nữ, môn Sinh có 2 giáo viên nữ và môn Thể dục có 1 giáo viên nữ Tính xác suất để đoàn công tác:

a Có đúng 1 giáo viên nữ

b Có ít nhất 1 giáo viên nam

Bài giải:

a.Gọi H là biến cố “ có 1 giáo viên nữ môn Hóa trong đoàn”, S là biến cố

“có 1 giáo viên nữ môn Sinh trong đoàn” , T là biến cố “ có 1 giáo viên nữ môn Thể dục trong đoàn”

Ta có:

3

1)(

;5

2)(

;2

16

3)(H = = P S = P T =

và

3

2)(

;5

3)(

;2

16

3

)

(H = = P S = P T =

Gọi X là biến cố “ có đung 1 giáo viên nữ trong đoàn”

Ta có X =H S T  H S T  H S T , đây là hợp của các biến cố xung khắc Theo quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất, ta có:

)(

)(

)(

1.5

3.2

1)(

;15

23

2.5

2.2

1)(

;5

13

2.5

3.2

1)(H S T = = P H S T = = P H S T = =

Suy ra

)(

)(

)(

115

25

1

=+

1.5

2.2

11)(1)(Y = −P Y = − =