MỘT SỐ KHÁI NIỆM CĂN BẢN VỀ XÁC SUẤT Mục tiêu Sau nghiên cứu chủ đề, học viên có khả năng: - Trình bày định nghĩa xác suất đưa ví dụ - Xây dựng tập giao hợp tập hợp xác định - Trình bày phân biệt hai công thức chuyển vị tổ hợp - Trình bày định nghĩa xác suất có điều kiện - Trình bày công thức cộng xác suất công thức nhân xác suất Ðịnh nghĩa xác suất 1.1 Ðịnh nghĩa xác suất theo tần suất tương đối Theo ngôn ngữ thông thường, xác suất tần suất tương đối Thí dụ mệnh đề khẳng định xác suất sinh trai 0,515 có nghĩa thống kê nhiều lần sinh, tần suất tương đối sinh trai xấp xỉ 0,515 (tần suất tương đối tần suất xảy biến cố quan tâm chia cho tổng số lần thử) Nói cách khác, trình lập lại n nhiều lần, có f lần xảy biến cố E, tần suất tương đối biến cố E xấp xỉ xác suất E f P( E ) ≈ n (1) Thí dụ: Buffon thực 4040 lần tung đồng tiền quan sát 2048 lần xuất mặt sấp Tần suất tương đối xảy mặt sấp Xác suất xảy mặt sấp xấp xỉ 0,507 1.1 Phép thử, kết cục, biến cố, biến cố đối lập Khi gieo đồng tiền lên mặt phẳng xảy hai kết cục: xuất mặt sấp xuất mặt ngửa với kết tiên đoán Người ta gọi việc gieo đồng tiền phép thử (experiment) xuất mặt xấp hay mặt ngửa đồng tiền kết cục (outcome) Tương tự, tung xúc xắc, xuất mặt 1, 2, 3, 4, 5, việc tung xúc xắc gọi phép thử ngẫu nghiên việc xuất mặt 1, xuất mặt 2, 3, 4, gọi kết cục ngẫu nhiên Nếu quan tâm đến biến cố mặt xúc xắc chẵn biến cố (event) bao gồm kết cục: mặt 2, mặt mặt Nói khác biến cố tập hợp mà phần tử kết cục Bởi tập hợp có bao gồm toàn phần tử, phần tử hay phần tử nên việc mặt xúc xắc (thí dụ mặt 2) vừa xem kết vừa xem biến cố: biến cố gọi biến cố sơ cấp Nếu tung xúc xắc phân biệt , có kết cục sau xảy {1,1,1} (ba xúc xắc mặt 1); {1,1,2}; {1,1,3}; ; {6,6,5}; {6,6,6} Biến cố có tổng số điểm xúc xắc =18 bao gồm kết cục {6,6,6} Tương tự định nghĩa biến cố tổng số điểm ba xúc xắc =12 Đối với biến cố A có biến cố đối lập (complementary event ) Ac (được đọc không A) bao gồm kết cục tính chất A Trở thí dụ phép thử tung súc sắc mặt, biến cố đối lập với biến cố mặt chẵn biến cố mặt lẻ Biến cố đối lập cho biến cố mặt >=2 biến cố mặt 1.2 Kết cục đồng khả Khi gieo xúc xắc đồng nhất, cảm nhận thông thường cho phép giả định việc xuất kết cục mặt 1, mặt 2, mặt 3, mặt 4, mặt 5, mặt có xác xuất Khi ta gọi kết cục kết cục đồng khả 1.4 Ðịnh nghĩa xác suất cổ điển Nếu phép thử ngẫu nhiên xảy theo N kết cục loại trừ lẫn có xác suất gọi m số kết cục thuận lợi cho biến cố E, xác suất xảy biến cố E, kí hiệu P(E), m chia cho N m P( E ) = N (2) N gọi số kết cục m số kết cục thuận lợi Thí dụ: Nếu tung xúc xắc (xí ngầu) có mặt: mặt 1, mặt 2, mặt 3, mặt 4, mặt 5, mặt xảy với kết cục khác Những kết cục loại trừ lẫn (nếu mặt không mặt ngược lại) đồng xác suất Giả sử ta quan tâm đến biến cố xúc xắc mặt chẵn Biến cố xảy theo cách, nói khác biến cố bao gồm kết cục Khi xác suất xảy biến cố mặt chẵn 3/6=0.5 Thí dụ: Khoa phổi khoa Thận bệnh viện Chợ Rẫy có 50 bệnh nhân số có 35 bệnh nhân nữ Có 12 bệnh nhân khoa Thận có người nữ Có bệnh nhân nữ khoa phổi? Có số bệnh nhân khoa nữ hay nằm khoa Phổi Trước tiên lập bảng chéo để phân loại bệnh nhân theo giới tính theo khoa điều trị (Phổi hay Thận) điền thông tin cho từ đề vào bảng (các số in đậm bảng) Từ thông tin tính số ô lại (các số in thường) bảng chéo Bảng Giới tính bệnh nhân khoa Phổi khoa Thận bệnh viện Chợ rẫy Khoa Phổi Khoa Thận Tổng số Nam 11 15 Nữ 27 35 Tổng số 38 12 50 Từ bảng chéo biết số bệnh nữ khoa phổi 27 số bệnh nhân nữ hay nằm khoa phổi 46 người Thí dụ: Sử dụng số liệu bảng tính xác suất: Chọn người tính xác suất người nằm khoa Phổi - P(Khoa Phổi): N: Số kết 50; m: số kết thuận lợi cho 38; P (Khoa Phổi) = Chọn người tính xác suất người nam - P(Nam) N: Số kết 50; m: số kết thuận lợi cho 15; P (Nam) = Khái niệm nguy số chênh (odds) Một khái niệm quan trọng dịch tễ học nguy Nguy định nghĩa tỉ lệ mắc bệnh khoảng thời gian nghiên cứu nhóm người người lúc đầu không bị bệnh Như xem xác suất người bị mắc bệnh khoảng thời gian nghiên cứu với điều kiện lúc đầu không bị mắc bệnh Đó lí xác suất thống kê có vai trò then chốt nghiên cứu dịch tễ Những thấy xác suất hàm số có đặc tính thuận lợi mặt toán học, thí dụ nguyên lí cộng tính Tuy nhiên xác suất có miền xác định đoạn [0;1] nên để mô tả xác suất theo biểu thức tuyến tính cần sử dụng phép biến đổi để mở rộng miền xác định Một phép biến đổi số chênh (odds) Số chênh biến cố A kí hiệu Odds(A) xác suất biến cố A chia cho xác suất biến cố không A Odds(A)= = Miền xác định số chênh đoạn [0;∞) mở rộng so với miền xác định xác suất Số chênh có đặc tính khác quan trọng số chênh biến cố không A nghịch đảo số chênh biến cố A Odds(Ac) = = 1: = 1:Odds Mặc dù lí để sử dụng số chênh đặc tính toán học nó, số chênh khái niệm quen thuộc sống hàng ngày Thí dụ: Khi ta gieo đồng tiền chúng ta có kết cục sấp ngửa đồng khả Khi xác suất mặt sấp, P(sấp) = = 0,5 Số chênh mặt sấp, Odds(sấp) = = Thực dân gian cách nói xác suất mặt sấp 0,5 không quen thuộc cách nói việc mặt ngửa ăn thua (hay năm thua) Khi biến cố A (P(A)35 35 Tổng số B1 Bác sĩ 25 75 105 B2 Phục vụ phòng thí nghiệm 20 30 35 35 120 B3 Phục vụ dinh dưỡng 6 10 25 B4 Phục vụ hồ sơ bệnh án 15 12 42 B5 Phục vụ điều dưỡng 200 375 442 203 1220 B6 Dược sĩ 12 24 B7 Quang tuyến 10 19 12 45 B8 Phục vụ điều trị 25 15 10 55 B9 Những ngành khác 20 35 50 25 130 Tổng số 260 513 608 385 1766 Dựa vào số liệu bảng Giải thích lời tập hợp sau Những tập hợp có phần tử: A4∩B3 ; B5∩A2 ; B3∪A4 ; (A4∪A3)∩B3 Trong mệnh đề sau, mệnh đề 2+2 hay Darwin khỉ Bệnh AIDS loại virus gây bệnh AIDS lây lan qua muỗi Aedes aegypti Bài giải Giải thích tập hợp A4∩B3 tập hợp nhân viên cấp dưỡng >35 tuổi n(A4∩B3) = 10 B5∩A2 tập hợp điều dưỡng tuổi từ 26 đến 30 n(B5∩A2) = 375 B3∪A4 tập hợp người nhân viên cấp dưỡng hay 35 tuổi n(B3∪A4)=385 +25 -10 = 400 (A4∪A3)∩B3 tập hợp nhân viên cấp dưỡng tuổi từ 31 trở lên N{(A4∪A3)∩B3}=16 Mệnh đề (a) mệnh đề hay Mệnh đề mệnh đề (2+2 =4), Mệnh đề (b) mệnh đề Mệnh đề sai mệnh đề (bệnh AIDS lây lan qua muỗi Aedes aegypti ) sai Bài tập chỉnh hợp, tổ hợp Một nhân viên vật lí trị liệu kế hoạch làm việc ngày Anh ta biết có công việc phải làm ngày a Nếu tiến hành công việc theo ý muốn, có cách xếp? b Nếu định nghỉ buổi chiều làm công việc vào buổi sáng có cách xếp? Một nhân viên muốn làm xét nghiệm mẫu máu bà ta có đủ hóa chất để xét nghiệm cho mẫu mà Hỏi có cách chọn mẫu máu mẫu để làm xét nghiệm? Giả sử phòng thí nghiệm có công việc khác phải làm có người làm việc Hỏi có cách để giao công việc cho người? Bài giải 1a Do người nhân viên vật lí trị liệu muốn liên kết công việc khác vào thời điểm khác kế hoạch công tác, có xếp công việc theo 7!=7 × × × × × × 1= 5040 cách 1b Nếu có đủ thời gian để làm công việc, phải từ công việc chọn 3, công việc sau chọn xếp khác Như vậy, số kế hoạch xếp là: 7P3 = 7!/(7-3)! = × × × × × × / × × × = × × = 210 cách Người nhân viên muốn chọn từ mẫu máu lấy mẫu, mẫu máu sau chọn không phân biệt (đều làm xét nghiệm) Vậy số cách chọn mẫu máu để xét nghiệm 4C3 = 4!/(4-3)!3! = × × × / (1 × × × 1) = Từ người chọn 3, người có công việc khác Số kế hoạch phân công là: 5P3 = 5!/(5-3)! = × × × × / × × = 60 ... N: Số kết 50; m: số kết thuận lợi cho 38; P (Khoa Phổi) = Chọn người tính xác suất người nam - P(Nam) N: Số kết 50; m: số kết thuận lợi cho 15; P (Nam) = Khái niệm nguy số chênh (odds) Một khái. .. 15 Nữ 27 35 Tổng số 38 12 50 Từ bảng chéo biết số bệnh nữ khoa phổi 27 số bệnh nhân nữ hay nằm khoa phổi 46 người Thí dụ: Sử dụng số liệu bảng tính xác suất: Chọn người tính xác suất người nằm... tả xác suất theo biểu thức tuyến tính cần sử dụng phép biến đổi để mở rộng miền xác định Một phép biến đổi số chênh (odds) Số chênh biến cố A kí hiệu Odds(A) xác suất biến cố A chia cho xác suất