Đề cơng ôn tập *** Hệ thức Vi-ét và ứng dụng *** I. Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1 và x 2 1. x 1 = 3 và x 2 = 2 2. x 1 = 8 và x 2 = -3 3. x 1 = 3a và x 2 = a 4. x 1 = 36 và x 2 = -104 5. x 1 = 1 2+ và x 2 = 1 2 6. x 1 = 1 và x 2 = 6 3 II. Tìm 2 số a, b biết tổng S và tích P 1. S = 3 và P = 4 2. S = 3 và P = 2 3. S = 3 và P = 6 4. S = 9 và P = 20 5. S = 5 và P = 24 6. S = 2x và P = x 2 y 2 III. Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phơng trình bậc hai a) Cho phơng trình : 2 8 15 0x x + = Không giải phơng trình, hãy tính 1. 2 2 1 2 x x+ 2. 1 2 1 1 x x + 3. 1 2 2 1 x x x x + 3. ( ) 2 1 2 x x+ b) Cho phơng trình : 2 9 72 64 0x x + = Không giải phơng trình, hãy tính: 1. 1 2 1 1 x x + 2. 2 2 1 2 x x+ c) Cho phơng trình : 2 14 29 0x x + = Không giải phơng trình, hãy tính: 1. 1 2 1 1 x x + 2. 2 2 1 2 x x+ d) Cho phơng trình : 2 2 3 1 0x x + = Không giải phơng trình, hãy tính: 1. 1 2 1 1 x x + 2. 1 2 1 2 1 1x x x x + GV Dơng Thế Nam - THCS Thanh Lãng - 1 - 2007/2008 Đề cơng ôn tập *** Hệ thức Vi-ét và ứng dụng *** 3. 2 2 1 2 x x+ 4. 1 2 2 1 1 1 x x x x + + + e) Cho phơng trình 2 4 3 8 0x x + = có 2 nghiệm x 1 ; x 2 , không giải phơng trình, tính 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 6 10 6 Q 5 5 x x x x x x x x + + = + IV. Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm thoả mãn biểu thức chứa 2 nghiệm của ph- ơng trình: 1/ Cho phơng trình : 2 3 2 0x x + = có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ;x x . Không giải phơng trình trên, hãy lập phơng trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : 1 2 1 1 y x x = + và 2 1 2 1 y x x = + 2/ Cho phơng trình 2 3 5 6 0x x+ = có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ;x x . Không giải phơng trình, Hãy lập phơng trình bậc hai có các nghiệm 1 1 2 1 y x x = + và 2 2 1 1 y x x = + 3/ Cho phơng trình : 2 5 1 0x x = có 2 nghiệm 1 2 ;x x . Hãy lập phơng trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn 4 1 1 y x= và 4 2 2 y x= (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phơng trình đã cho). 4/ Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm thoả mãn : 1 2 2x x = và 3 3 1 2 26x x = . 5/ Cho phơng trình bậc hai: 2 2 2 0x x m = có các nghiệm 1 2 ;x x . Hãy lập phơng trình bậc hai có các nghiệm 1 2 ;y y sao cho : a) 1 1 3y x = và 2 2 3y x= b) 1 1 2 1y x = và 2 2 2 1y x= V. Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phơng trình bậc hai sao cho 2 nghiệm của này không phụ thuộc vào tham số (hay độc lập với tham số) 1/ Cho phơng trình : ( ) 2 1 2 4 0k x kx k + = có 2 nghiệm 1 2 ;x x . Lập hệ thức liên hệ giữa 1 2 ;x x sao cho chúng không phụ thuộc vào k. 2/ Cho phơng trình : ( ) ( ) 2 2 2 1 0x m x m + + = có 2 nghiệm 1 2 ;x x . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa 1 2 ;x x sao cho 1 2 ;x x độc lập đối với m. 3/ Cho phơng trình : ( ) ( ) 2 4 1 2 4 0x m x m+ + + = . GV Dơng Thế Nam - THCS Thanh Lãng - 2 - 2007/2008 Đề cơng ôn tập *** Hệ thức Vi-ét và ứng dụng *** a) Tìm m để biểu thức ( ) 2 1 2 A x x= có giá trị nhỏ nhất. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa 1 x và 2 x sao cho chúng không phụ thuộc vào m. 4/ Gọi 1 2 ;x x là nghiệm của phơng trình : ( ) 2 1 2 4 0m x mx m + = . Chứng minh rằng biểu thức ( ) 1 2 1 2 3 2 8A x x x x= + + không phụ thuộc giá trị của m. VI. Tìm giá trị của tham số m của phơng trình bậc hai thoả mãn hệ thức cho trớc. 1/ Cho phơng trình : ( ) ( ) 2 6 1 9 3 0mx m x m + = Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm 1 x và 2 x thoả mãn hệ thức : 1 2 1 2 .x x x x+ = 2/ Cho phơng trình : ( ) 2 2 2 1 2 0x m x m + + + = . Tìm m để 2 nghiệm 1 x và 2 x thoả mãn hệ thức : ( ) 1 2 1 2 3 5 7 0x x x x + + = 3/ Cho phơng trình : ( ) 2 2 4 7 0mx m x m+ + + = Tìm m để 2 nghiệm 1 x và 2 x thoả mãn hệ thức : 1 2 2 0x x = 4/ Cho phơng trình : ( ) 2 1 5 6 0x m x m+ + = Tìm m để 2 nghiệm 1 x và 2 x thoả mãn hệ thức: 1 2 4 3 1x x+ = 5/ Cho phơng trình : ( ) ( ) 2 3 3 2 3 1 0x m x m + = . Tìm m để 2 nghiệm 1 x và 2 x thoả mãn hệ thức : 1 2 3 5 6x x = VII. Xác định dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai: Cho phơng trình: 2 0ax bx c+ + = (a 0) . Điều kiện để phơng trình có: +) 2 nghiệm trái dấu là : 0 và P < 0. +) 2 nghiệm cùng dấu là: 0 và P > 0. +) 2 nghiệm cùng dơng là: 0 và P > 0 ; S > 0. +) 2 nghiệm cùng âm là : 0 và P > 0 ; S < 0. Xác định tham số m sao cho ph ơng trình: a) ( ) 2 2 2 3 1 4 0x m x m m + + = có 2 nghiệm trái dấu. b) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 0mx m x m + + = có 2 nghiệm cùng dấu. c) ( ) 2 3 2 2 1 0mx m x m+ + + = có 2 nghiệm âm. GV Dơng Thế Nam - THCS Thanh Lãng - 3 - 2007/2008 Đề cơng ôn tập *** Hệ thức Vi-ét và ứng dụng *** d) ( ) 2 1 2 0m x x m + + = có ít nhất một nghiệm không âm. VIII. Một số ứng dụng khác 1/ Cho phơng trình : ( ) 2 2 1 0x m x m+ = a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. b) Gọi 1 x và 2 x là các nghiệm của phơng trình. Tìm m để : 2 2 1 2 1 2 6A x x x x= + có giá trị nhỏ nhất. 2/ Cho phơng trình : 2 1 0x mx m + = a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. b) Gọi 1 x và 2 x là các nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau: ( ) 1 2 2 2 1 2 1 2 2 3 2 1 x x B x x x x + = + + + 3/ a) Phơng trình 2 2 5 0x px + = . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai. b) Phơng trình 2 5 0x x q+ + = có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai. c) Cho phơng trình : 2 7 0x x q + = , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phơng trình. d) Tìm q và hai nghiệm của phơng trình : 2 50 0x qx + = , biết phơng trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. 4/ Cho phơng trình : ( ) 2 4 2 2 0m x mx m + = . a) Tìm m để phơng trình trên có nghiệm 2x = . Tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt. c) Tính : 2 2 1 2 x x+ theo m. d) Tính : 3 3 1 2 x x+ theo m. e) Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm ( 1 2 1 1 x x + ) ; và Tổng bình phơng nghịch đảo các nghiệm : ( 2 2 1 1 1 1 x x + ) 5/ Cho phơng trình : ( ) 2 2 1 4 0x m x m + + = a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. GV Dơng Thế Nam - THCS Thanh Lãng - 4 - 2007/2008 Đề cơng ôn tập *** Hệ thức Vi-ét và ứng dụng *** b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu. c) CMR biểu thức ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1H x x x x= + không phụ thuộc vào m. d) Tính giá trị của các biểu thức nghiệm sau: 2 2 3 3 1 2 1 2 1 2 ; ;x x x x x x 6/ Tìm m để phơng trình : ( ) 2 1 2 0x m x m + + = có 2 nghiệm phân biệt 1 x và 2 x sao cho 1 x và 2 x là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5. 7/ a) Tìm m để phơng trình : ( ) ( ) 2 12 5 4 1 0mx m x m + + = có tổng bình phơng các nghiệm bằng 13. b) Tìm k để phơng trình : ( ) ( ) 2 2 1 2 0kx k x k+ + = có tổng bình phơng các nghiệm bằng 2005. 8/ Cho phơng trình : ( ) 2 2 2 1 4 5 0x m x m m + + + = a) Tìm m để phơng trình trên có nghiệm. b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm dơng phân biệt. 9/ Cho phơng trình 2 2 1 2 0 2 x mx m + = (1). a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau. b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3. 10/ Cho phơng trình ( ) 2 2 2 1 0x m x m + + + = (2) a) Giải phơng trình khi 3 2 m = b) Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (2) có nghiệm. c) Gọi 1 x và 2 x là 2 nghiệm của phơng trình (2). tìm các giá trị của m để: 1. ( ) ( ) 3 1 2 2 1 1 2 1 2x x x x m + = 2. ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 2 1 2x x x x m + = GV Dơng Thế Nam - THCS Thanh Lãng - 5 - 2007/2008