Lý thuyết nhóm đại số đại cương

Trình bày lý thuyết nhóm trong đại số đại cương. Tài liệu là file pdf dạng slide thích hợp để trình chiếu, giảng bài trong các trường đại học cao đẳng Tài liệu có ví dụ minh họa cụ thể, giải thích rõ ràng

Phép toán hai ngôi

Mỗi ánh xạ ◦ : G × G → G được gọi là một phép toán hai ngôi (haymộtluật hợp thành) trên G

thànhcủa x và y , kí hiệu là x ◦ y

Phép toán hai ngôi

Mỗi ánh xạ ◦ : G × G → G được gọi là một phép toán hai ngôi (hay

mộtluật hợp thành) trên G

thànhcủa x và y , kí hiệu là x ◦ y

Phép toán hai ngôi

Mỗi ánh xạ ◦ : G × G → G được gọi là một phép toán hai ngôi (haymộtluật hợp thành) trên G

thànhcủa x và y , kí hiệu là x ◦ y

x ◦ e = e ◦ x = x ,với mọi x ∈ G

cho:

x ◦ e = e ◦ x = x ,với mọi x ∈ G

cho:

x ◦ e = e ◦ x = x ,với mọi x ∈ G

cho:

x ◦ e = e ◦ x = x ,với mọi x ∈ G

cho:

x ◦ e = e ◦ x = x ,với mọi x ∈ G

cho:

lập được kí hiệu là 0, phần tử nghịch đảo của x kí hiệu là −x

lập được kí hiệu là 0, phần tử nghịch đảo của x kí hiệu là −x

Quy ước

tùy ý được kí hiệu theo lối nhân “.”

Quy ước

tùy ý được kí hiệu theo lối nhân “.”

Quy ước

tùy ý được kí hiệu theo lối nhân “.”

Phép toán trong nhóm Abel được kí hiệu theo lối cộng “ + ”

Quy ước

tùy ý được kí hiệu theo lối nhân “.”

tử nghịch đảo.

không là nhóm với phép cộng (vì không tồn tại phần tử trunglập)

cộng và phép nhân thông thường

với phép nhân

Tập số thực R là nhóm abel với phép cộng thông thường Tuy

tử nghịch đảo

không là nhóm với phép cộng (vì không tồn tại phần tử trunglập)

cộng và phép nhân thông thường

với phép nhân

tử nghịch đảo.

không là nhóm với phép cộng (vì không tồn tại phần tử trunglập)

cộng và phép nhân thông thường

với phép nhân

tử nghịch đảo.

không là nhóm với phép cộng (vì không tồn tại phần tử trunglập)

Tập các số hữu tỉ Q là nhóm abel với phép cộng thông thường

cộng và phép nhân thông thường

với phép nhân

tử nghịch đảo.

không là nhóm với phép cộng (vì không tồn tại phần tử trunglập)

Tập các số vô tỉ I và số tự nhiên N không là nhóm với phépcộng và phép nhân thông thường

với phép nhân

tử nghịch đảo.

không là nhóm với phép cộng (vì không tồn tại phần tử trunglập)

cộng và phép nhân thông thường

Tập số nguyên Z là nhóm abel với phép cộng, và không là nhómvới phép nhân

tử nghịch đảo.

không là nhóm với phép cộng (vì không tồn tại phần tử trunglập)

cộng và phép nhân thông thường

với phép nhân

một quan hệ tương đương Tập các lớp tương đương với quan hệ

Phép cộng: x + y = x + y vàPhép nhân: x y = x y Khi đó:

một quan hệ tương đương Tập các lớp tương đương với quan hệ

Phép cộng: x + y = x + y vàPhép nhân: x y = x y Khi đó:

một quan hệ tương đương Tập các lớp tương đương với quan hệ

Phép cộng: x + y = x + y và

Phép nhân: x y = x y Khi đó:

một quan hệ tương đương Tập các lớp tương đương với quan hệ

Phép cộng: x + y = x + y và

Phép nhân: x y = x y Khi đó:

một quan hệ tương đương Tập các lớp tương đương với quan hệ

Phép cộng: x + y = x + y và

Phép nhân: x y = x y Khi đó:

Phần tử đơn vị là ánh xạ đồng nhất trên X

Phần tử đơn vị là ánh xạ đồng nhất trên X

Phần tử đơn vị là ánh xạ đồng nhất trên X

α.β(i ) = α(β(i )), (1 ≤ i ≤ n) với mọi α, β ∈ S

Phần tử đơn vị là ánh xạ đồng nhất trên X

Phần tử đơn vị là ánh xạ đồng nhất trên X

Phần tử đơn vị là ánh xạ đồng nhất trên X

Phần tử đơn vị là ánh xạ đồng nhất trên X

Nhóm GL(V ) là nhóm Abel khi và chỉ khi dimV = 1.

Nhóm GL(V ) là nhóm Abel khi và chỉ khi dimV = 1.

Nhóm GL(V ) là nhóm Abel khi và chỉ khi dimV = 1.

Nhóm GL(V ) là nhóm Abel khi và chỉ khi dimV = 1.

Nhóm GL(V ) là nhóm Abel khi và chỉ khi dimV = 1.

Nhóm GL(V ) là nhóm Abel khi và chỉ khi dimV = 1.

Nhóm trực giaoO(n) vànhóm unitaU(n) là nhóm các phép biến đổi

tương ứng

Nhóm trực giaoO(n) vànhóm unitaU(n) là nhóm các phép biến đổi

tương ứng

Nhóm trực giaoO(n) vànhóm unitaU(n) là nhóm các phép biến đổi

tương ứng

Giả sử G là một nhóm Khi đó, với mọi a, b, c ∈ G ta có:

Giả sử G là một nhóm Khi đó, với mọi a, b, c ∈ G ta có:

Giả sử G là một nhóm Khi đó, với mọi a, b, c ∈ G ta có:

Giả sử G là một nhóm Khi đó, với mọi a, b, c ∈ G ta có:

Giả sử G là một nhóm Khi đó, với mọi a, b, c ∈ G ta có:

Ví dụ 1.6

số tự nhiên cùng với phép cộng là một vị nhóm

nhóm với phép nhân đa thức

(iii) Tập M(n, K) các ma trận vuông cấp n là vị nhóm với phép nhân

ma trận

phép hợp thành ánh xạ

Tập hợp G 6= ∅ cùng phép nhân trên G là nhóm nếu:

(iii) Với mọi x ∈ G , tồn tại x0 ∈ G sao cho x0x = e0

Tập hợp G 6= ∅ cùng phép nhân trên G là nhóm nếu:

(iii) Với mọi x ∈ G , tồn tại x0 ∈ G sao cho x0x = e0

Tập hợp G 6= ∅ cùng phép nhân trên G là nhóm nếu:

(iii) Với mọi x ∈ G , tồn tại x0 ∈ G sao cho x0x = e0

Tập G 6= ∅ và phép nhân trên G là nhóm nếu:

Chứng minh

Theo Mệnh đề 1.7 ta có G là một nhóm

Tập G 6= ∅ và phép nhân trên G là nhóm nếu:

Chứng minh

Theo Mệnh đề 1.7 ta có G là một nhóm

Tập G 6= ∅ và phép nhân trên G là nhóm nếu:

Chứng minh

Theo Mệnh đề 1.7 ta có G là một nhóm

ϕ là đơn cấu nếu và chỉ nếu Ker ϕ = {e}.

Chứng minh

thế ϕ là đơn cấu Ngược lại nếu ϕ đơn cấu thì Ker ϕ chỉ gồm một

ϕ là đơn cấu nếu và chỉ nếu Ker ϕ = {e}.

Chứng minh

thế ϕ là đơn cấu Ngược lại nếu ϕ đơn cấu thì Ker ϕ chỉ gồm một

ϕ là đơn cấu nếu và chỉ nếu Ker ϕ = {e}.

Chứng minh

thế ϕ là đơn cấu Ngược lại nếu ϕ đơn cấu thì Ker ϕ chỉ gồm một

nghịch trái) thì ϕ là một đơn cấu.

nghịch phải) thì ϕ là một toàn cấu

Chứng minh

nghịch trái) thì ϕ là một đơn cấu.

nghịch phải) thì ϕ là một toàn cấu

Chứng minh

nghịch trái) thì ϕ là một đơn cấu.

nghịch phải) thì ϕ là một toàn cấu

Chứng minh

nghịch trái) thì ϕ là một đơn cấu.

nghịch phải) thì ϕ là một toàn cấu

Chứng minh

Các mệnh đề đảo của Mệnh đề 2.5 (i) và (ii) đều không đúng.

1 = ψϕ(1) = ψ(2) = ψ(1) + ψ(1) = 2ψ(1)

Vô lí vì ψ(1) ∈ Z Như vậy ϕ không có nghịch đảo trái

2ψ(1) = ψ(1) + ψ(1) = ψ(1 + 1) = ψ(0) = 0Khi đó

Điều này chứng tỏ ϕ không có nghịch đảo phải

Các mệnh đề đảo của Mệnh đề 2.5 (i) và (ii) đều không đúng.

1 = ψϕ(1) = ψ(2) = ψ(1) + ψ(1) = 2ψ(1)

Vô lí vì ψ(1) ∈ Z Như vậy ϕ không có nghịch đảo trái

2ψ(1) = ψ(1) + ψ(1) = ψ(1 + 1) = ψ(0) = 0Khi đó

Điều này chứng tỏ ϕ không có nghịch đảo phải

Các mệnh đề đảo của Mệnh đề 2.5 (i) và (ii) đều không đúng.

1 = ψϕ(1) = ψ(2) = ψ(1) + ψ(1) = 2ψ(1)

Vô lí vì ψ(1) ∈ Z Như vậy ϕ không có nghịch đảo trái

2ψ(1) = ψ(1) + ψ(1) = ψ(1 + 1) = ψ(0) = 0Khi đó

Điều này chứng tỏ ϕ không có nghịch đảo phải

Các mệnh đề đảo của Mệnh đề 2.5 (i) và (ii) đều không đúng.

1 = ψϕ(1) = ψ(2) = ψ(1) + ψ(1) = 2ψ(1)

Vô lí vì ψ(1) ∈ Z Như vậy ϕ không có nghịch đảo trái

2ψ(1) = ψ(1) + ψ(1) = ψ(1 + 1) = ψ(0) = 0Khi đó

Điều này chứng tỏ ϕ không có nghịch đảo phải

vào chính nó Gọi Aut(G ) = {f : G → G |f là tự đẳng cấu}

Mệnh đề 2.7

Aut(G ) là một nhóm đối với phép toán hợp thành các ánh xạ

vào chính nó Gọi Aut(G ) = {f : G → G |f là tự đẳng cấu}

Mệnh đề 2.7

Aut(G ) là một nhóm đối với phép toán hợp thành các ánh xạ

vào chính nó Gọi Aut(G ) = {f : G → G |f là tự đẳng cấu}

Mệnh đề 2.7

Aut(G ) là một nhóm đối với phép toán hợp thành các ánh xạ

Nhóm cyclic

Nhóm con

Lũy thừa nguyên - Bội nguyên

Nếu phép toán trong G được kí hiệu theo lối cộng thì ta có định

Lũy thừa nguyên - Bội nguyên

Nếu phép toán trong G được kí hiệu theo lối cộng thì ta có định

Lũy thừa nguyên - Bội nguyên

Nếu phép toán trong G được kí hiệu theo lối cộng thì ta có định

cho mọi phần tử của G đều bằng một lũy thừa nào đó của a.

cyclic G Khi đó ta nói G sinh bởi a và kí hiệu G =< a >

Mọi nhóm cyclic đều là nhóm Abel Thật vậy,

Do đó G là nhóm Abel

cho mọi phần tử của G đều bằng một lũy thừa nào đó của a.

cyclic G Khi đó ta nói G sinh bởi a và kí hiệu G =< a >

Mọi nhóm cyclic đều là nhóm Abel Thật vậy,

Do đó G là nhóm Abel

cho mọi phần tử của G đều bằng một lũy thừa nào đó của a.

cyclic G Khi đó ta nói G sinh bởi a và kí hiệu G =< a >

Mọi nhóm cyclic đều là nhóm Abel Thật vậy,

Do đó G là nhóm Abel

cho mọi phần tử của G đều bằng một lũy thừa nào đó của a.

cyclic G Khi đó ta nói G sinh bởi a và kí hiệu G =< a >

Mọi nhóm cyclic đều là nhóm Abel Thật vậy,

Do đó G là nhóm Abel

Do đó Z là nhóm cyclic với phần tử sinh là 1.

Ngoài ra m = (−m).(−1) nên −1 cũng là một phần tử sinh củaZ

Xét nhóm cộng Z Khi đó, với mọi m ∈ Z ta có m = m.1

Do đó Z là nhóm cyclic với phần tử sinh là 1

Ngoài ra m = (−m).(−1) nên −1 cũng là một phần tử sinh củaZ

Do đó Z là nhóm cyclic với phần tử sinh là 1.

Ngoài ra m = (−m).(−1) nên −1 cũng là một phần tử sinh củaZ

Do đó Z là nhóm cyclic với phần tử sinh là 1.

Ngoài ra m = (−m).(−1) nên −1 cũng là một phần tử sinh củaZ

Do đó Z là nhóm cyclic với phần tử sinh là 1.

Ngoài ra m = (−m).(−1) nên −1 cũng là một phần tử sinh củaZ

Giả sử G là nhóm với đơn vị e và a ∈ G

Kí hiệu cấp của a là ord (a) và ord (e) = 1

Giả sử G là nhóm với đơn vị e và a ∈ G

Kí hiệu cấp của a là ord (a) và ord (e) = 1

Giả sử G là nhóm với đơn vị e và a ∈ G

Kí hiệu cấp của a là ord (a) và ord (e) = 1

Giả sử G là nhóm với đơn vị e và a ∈ G

Kí hiệu cấp của a là ord (a) và ord (e) = 1

Giả sử G là nhóm với đơn vị e và a ∈ G

Kí hiệu cấp của a là ord (a) và ord (e) = 1

xảy ra hai trường hợp

xảy ra hai trường hợp

xảy ra hai trường hợp

xảy ra hai trường hợp

Nếu a có cấp n thì Ker (f ) = n.Z Khi đó

xảy ra hai trường hợp

Hai phần tử sinh của một nhóm cyclic thì cùng cấp.

Cấp của nhóm cyclic bằng cấp của mọi phần tử sinh của nó.Hai nhóm cyclic đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng cấp

Cấp của một nhómG, kí hiệu bởi |G |, là số phần tử của G nếu G có

hữu hạn phần tử, và bằng ∞ nếu G có vô hạn phần tử

Từ Định lý 3.4 ta suy ra ngay hệ quả sau đây

Hệ quả 3.5

Hai phần tử sinh của một nhóm cyclic thì cùng cấp

Cấp của nhóm cyclic bằng cấp của mọi phần tử sinh của nó.Hai nhóm cyclic đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng cấp

Hai phần tử sinh của một nhóm cyclic thì cùng cấp.

Cấp của nhóm cyclic bằng cấp của mọi phần tử sinh của nó.Hai nhóm cyclic đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng cấp

Nhóm con

Từ Định nghĩa 4.1 ta suy ra các mệnh đề sau

Mệnh đề 4.2 (Định nghĩa tương đương)

Cho H ⊂ G , H là một nhóm con của G nếu và chỉ nếu:

Mệnh đề 4.3 (Định nghĩa tương đương)

Cho H ⊂ G , H là một nhóm con của G nếu và chỉ nếu:

Nhóm concủa G là một bộ phận ổn định H của G cùng với phép toán

cảm sinh tạo thành một nhóm Kí hiệu H ≤ G

Từ Định nghĩa 4.1 ta suy ra các mệnh đề sau

Mệnh đề 4.2 (Định nghĩa tương đương)

Cho H ⊂ G , H là một nhóm con của G nếu và chỉ nếu:

Mệnh đề 4.3 (Định nghĩa tương đương)

Cho H ⊂ G , H là một nhóm con của G nếu và chỉ nếu:

Nhóm concủa G là một bộ phận ổn định H của G cùng với phép toán

cảm sinh tạo thành một nhóm Kí hiệu H ≤ G

Từ Định nghĩa 4.1 ta suy ra các mệnh đề sau

Mệnh đề 4.2 (Định nghĩa tương đương)

Cho H ⊂ G , H là một nhóm con của G nếu và chỉ nếu:

Mệnh đề 4.3 (Định nghĩa tương đương)

Cho H ⊂ G , H là một nhóm con của G nếu và chỉ nếu:

Từ Định nghĩa 4.1 ta suy ra các mệnh đề sau

Mệnh đề 4.2 (Định nghĩa tương đương)

Cho H ⊂ G , H là một nhóm con của G nếu và chỉ nếu:

Mệnh đề 4.3 (Định nghĩa tương đương)

Cho H ⊂ G , H là một nhóm con của G nếu và chỉ nếu:

Thật vậy, vì G hữu hạn nên H hữu hạn Từ đó suy ra tồn tại các số

Thật vậy, vì G hữu hạn nên H hữu hạn Từ đó suy ra tồn tại các số

Thật vậy, vì G hữu hạn nên H hữu hạn Từ đó suy ra tồn tại các số

Thật vậy, vì G hữu hạn nên H hữu hạn Từ đó suy ra tồn tại các số

là nhóm con nhỏ nhất của G chứa X Nếu không có tập con thực sự của X là tập sinh của H thì ta nói X

làtập sinh cực tiểu của H

là nhóm con nhỏ nhất của G chứa X

Nếu không có tập con thực sự của X là tập sinh của H thì ta nói X

làtập sinh cực tiểu của H