nee 2 , ỳ a 2 | ¬ “ = n Ma tin f 128 3 Jets ` nf [x4 _ ) ` 2 2 2 : n n x'+ =lim Re dx x+y T2 lim| x+ =3 n 3 =1.x=x 7 2 n n n 3 l 7 x
Vậy: limll+~—| =e* “| Ôn
Bài 17 Cho x # k2zœ, k € Z Tinh:
a)S =sinx + sỉn2x + -:- +sinnx b) T = cosx + c0s2X + - +c0snx
Giải
a),b) Đặt: z = cosx + isinx
Ta có: T+iS =(cosx + isinx) + (cos2x + isin2x)+ -+(cosnx + isinnx)
Trang 2A (V3 + 2i) - (V3 -2i) B (3+ 2i)+(3-2i)
C (142i) +(-1 + 2i) D (5+20~(V/5~20 4) Số nào trong các số phức sau là số: thuần ảo? ,
A (V2 4 2i) + (2 -2i) B (3+i)-(2-i) C (5-iv2)-(5+iv2) D (2008 + i) + (2009 ~i) 5) Cho số phức z = (m? + m ~ 2)+ (mÊ —Li(m R) Gid tri nào của m để z là số thuần ão và khác 0 A.m=l B m=2 C m=-2 D m=+l 6) Tìm cặp số thực (x; y) thỏa hệ thức 3x + I+(1+ y)i = 5~ x +(2y - Di A.(1;2) B 2:1) C (1;—2) D (—2;1)
7) Số phức liên hợp của z=(IL—i)(3+ 2i) là : :
Á.7=l+I B Z=1-i C.7=5-i D Z=5+i
8) Số phức z = (1+ 2)?(1— ¡) có môđun là :
'Arll=sV2” ` B.b|=50 c.j<22 D b=
9) Cho số phức 2 = ä + (a — Di (ae R) Giá trị nào của a để |z| = 1?
A.a=l 2 B.a=2 3 C.a=0va=l D |al=1
10) Dang z =a + bị của số phức Ta là số phức nào dưới đây? 342i eae 13 13 Be 13 13 e 442; 13 13 Dy 2202 13 13 Si 11) Mệnh đề nào dưới đây là sai? A Zz+7 là một số thực B.z+z=7+? C —_ + = là mội số thực D.(1+j9=29¡ l+i l-1 : 12) Cho số phức z = 3 + 4i.zˆ' có môđun bằng I | I 1 A —= B.— C= D — 5 5 3 4 13) Cho số phức z = ~3 ~ 2¡ Xét các mệnh để l : 42 24 D z+Z=—6 IW z+z'=—-—- Si @®) z+z (i) z2+z 13 13!
Mệnh để nảo sau đây đúng?
A () đúng, (II) sai B (1) sai, (1D) ding
C Ca) va I déu ding D Cả () và (I) đều Sai
Trang 314) Phân tích z = 27 +i vé dang tich của hai số phức Khẳng định nào sau đây đúng? A (3+ i)(8 + 3i) B (3 i)(8 +31) C 20-08-30 Đ.- s0" 1(8+30) l+i 1-i "144.354 15) Choz = trĩ + yyy Troms các kết luận , kết luận nào đúng? -i Iti
A.zeR.- B z là số thuần áo
C., Môđun của z bằng 1 D z có phần thực và phần ảo đều khác 0
16) Mệnh để nào dưới đây là sai?
AL Lita? $0 412 =] _ B (i~1)'14 86 thực
C z+Z là số thuần ảo D z.Z là số thực
-7)Cho số phức z = a + ai (ae R) Trong mặt phẳng phức tập hợp các
điểm biểu diễn của các số phức z khi a thay đổi là :
A Đường thẳng y =x - B Dudng thing y=ax
C Đường thẳng y =ax — a D Dudng tron x? +y? =a?
18) Trên mặt phẳng phức, tập hợp mọi.số phức z thỏa mãn |z — i| = l là
đường tròn có phương trình nào sau đây?
A x2 4y?—2x-1=0 B x? +y?-2x+y-1=0
-C, x? +y? —4x +2y-3=0 `—P x°+y`-2y=0
19) Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn |z|<3 là A Hình tròn tâm O, bán kính R =3 B Hình tròn tâm O, bán kính R = V3 C Hình tròn tâm 1(0; 1), bán kính R =3, D., Hình tròn tâm I(1; 0), bán kính R =3 20) Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn|z + 2i|< | là : A, Hình tròn tâm I(0; 2), bán kính R =l B Hình tròn tâm ÏI(O, — 2), bán kính R =1 C Hình tròn tâm I(- 2; 0), bán kính R =1
D Đường tròn tâm I(0; - 2), bán kính R =I
Trang 4;2008 1 22) Biểu diễn về dạng z = a + bị của số phức z = là số phc no? q+20 Â ơ B ng 2.445 D #33 25 25 25 25 25 25 25 25 23) Điểm biểu diễn của số phức z = ee có tọa độ là : + A (1,-4) B (-1;-4) € (—I;4) D (-4,—I) 24) Tập hợp nghiệm của phương trình ¡z + 2008 —¡ = O là : ; A {2008 + i} B {-2008+i} C {1+ 2008i} D {-2008} 25) Tap hop nghiệm của phương trình (3 — ¡)Z — 5 = 0 là : A §::j 22 B {5-34 22 C Bait 2”2 p.J3-1¡ 22
26) Tập hợp nghiệm của phương trình z + z Z = 5 là: ,
¬ B ty); C đuổi D eel
2 2 2 2 2 2 2
„2008
27) Tập hợp nghiệm của phương trình Gỗ] z+(1+2)0đ-0)=0là :
A {-3-i3 B (-3+i} c 8-i} D {3 +i}
28) Tập hợp nghiém cia phuong trinh 3z —Z = 2(3 -10i) la:
AL 3-5 B {(-3+5i} Cc B-si} | D +5i}
29) Tập hợp các nghiệm của phương trình x? +16 = 0 là :
A.E4i4i} B —3i;3) C {-2i;2i} D.£4,4}
30) Căn bậc hai của — 5 là :
A V5i B -Vãi C tối p +/5i
31) Căn bậc hai của 2¡ là :
A.l+ivà-l~i B.-V2ivàV2i C.2+iva-2-i D.1+ivà3-i
32) Căn bậc hai của 9 - 40i là : ˆ
A.+@-4) B +(5-4i) C.+(5+4) D +(3+4i)
Trang 535) Tập hợp các nghiệm của phương trình z? + 4z + 5 = 0 là :
A.{-2-2i;~2+2i} B.{~2-3i;~2+3i
C.{-2-4i;—2+4i} D, {-2-i;-24i}
36) Tập hợp các nghiệm của phương trình z” + 2|z|~ 35 = 0 là :
A {-5:5} B {2-3i;2+3i} C {-5i;5i} D {2-is2+i}
37) Tập hợp các nghiệm của phương trình z” = —3 + 4i là :
A.{T-1-2i1+21} B.{-I-3i1+231} C {-3-21;3+2i } D.{-2- 312435}
38) Tập hợp các nghiệm của phương trình xˆ + 3x + L0i = O là : '
A.{122i24+2i} B.Í1-2i-4+21}C {[+3;—5+2i} D {1-3i;5- 2i}
39) Tập hợp các nghiệm của phương trình 2x? +(i+3)x+7i+1=O01a:
A.{I-3ii-2} - B.l+3ii+2} C.{2-3i—1} — Ð Kếtquảkhác
40) Phương trình bậc hai nhận z, = —Ï + 3i,Z¿ = =4 + 2i làm các nghiém? A.?? +3(1-i)z-2(145i)=0 B 2? 4+2(1+i)z +3(1-4i) =0
C.z2+5(1—0z~2(371)=0 Đ.22-3(1+0Z+2(1+7i)=0
41) Cho phương trình x? +(L+i)x + 2i =0 Téng cdc bình phương của các
nghiệm của phương trình trên viết dưới dang a + bi nào dưới đây?
A.7-2i B 3+2i C 5-2i D -2i
42) Tìm hai số phức biết tổng và tích của chúng lân lượt bằng - 6 va 10
A -3-iva-3+i B -2-3iva-4+i
C -5+2iva-1+3i D, -8+5i và 2+3i
43) Phương trình x? ~(2—ï)x + 3—¡ = 0 có hai nghiệm x,, x; Khang định
nào sau đây là sai ? Á.X;+X¿=2-Ì B x,.x, =3-i C x} +xj =-3-2i “ˆD, xị +x; là số thực 44) Cho số phức z = 3 + 4i, Z là số phức liên hợp của z Phương trình bậc hai nhận z và Z làm các nghiệm là: ñ a Z? -6Z+35=0 ‘B, Z? -6Z+25=0 C Z ~6z+ =0 D ZẺ +6Z+2=0 45) Tap hợp các nghiệm của phương trình x' - ¡ = O là : A.{-b-i] B {+1} c {+h+i} p { +3}
46) Dạng lượng giác của số phức z = 1— ¡ là : :
A, 2) cos +isin™ B V2 cost +isin]
4.4 v.v 4
C 2⁄2 cos isin} _ p v2| cos{-) isin -]
4 4 4 - 4
Trang 6~l+3i
47) Dạng lượng giác của số phức z = là:
l+i
A Vif cos 12 + isin 12 B {cos + hán] 12,12
C {cos tin.) D ⁄2 cos ~ SE) sisi 72)
2 12 127), 12 12
48) Dạng lượng giác của số phức z = -1[ cos + isin 4 la:
A “cos + isin B 2{ cos + isin) 3 3 xxx C {cost +iein 2E D {os « isin 3 3 3 3 Ậ Ẩn 2o at An 4m + 49) Phần thực và phần ảo của z = 2 OSS + ist lần lượt theo thứtự ? Atv B-v¥3 - C2-/3 D -1;-¥3 50) Tìm một acgumen của số phức z = co” ising được a 3 3 3 p 3 §1) Tìm một acgumen của số phức z = -3 + 3i được he B 2 «4 pb 2 3 4 3 6
52) Mệnh để nào đưới đây là sai?
A i+i? +i) +i* =0
(
B: Số phức z = 3; cost + isin™] có một acgumen bằng J (eens 7
Trang 784) Cho số phức z = 26 + v2 +(\/6 ~ J2)i Tim mot acgumen cilia 2?
AS 6 B.2 4 c= 3 pt 4
55) Cho hai số phức z; =2 cos + iin) vaz, = {cos win
4 4 12 12)°
Dang dai số của tích z,.z¿ là :
A.343V3i B.3-3V3i C: -1+3i - Ð.l+vii
56) Dạng lượng giác của số phức (1— i3)” là :
A,27 cos 3+ isin 2) B 2 (cos + isin 358 | = 3 3 3 C.27 cos isin 2) “Dp 2’ ng 3 3 6 6 57) Cho số phức z = =5 + a i, Khang định nào dưới đây là sai? A SO phức z có phần thực bằng _ phần ảo bằng 8 1B B Số phức liên hợp của z là Z = _— C Médun cia z bang | D Số phức z có một acgumen bằng 60” „
58) Tập hợp nghiệm của phương trình z” + 2cosơ z + l = 0 là :
A {—cosa + isina; ~ (cosa + isina) } B { cosa + ising; = (cosữ + Isinơ) }
GQ {cosa —isina; — (cosa + isina) } D { cosa — isina; cosa + isina }
` 89) Cho số phức z, =4cos” 40° —i(4sin" 40°),2; =~3cos40” + i(3sin 40°)
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A |z,+2,|=1 B |z, «2,|=3 C |z, +2,|=7 D |z, +2,|= 14 60) Khang dinh nao dudj đây sai?
A (1-0? =-1024
1X Tập hợp các điểm trong mặt phẳn g phức biểu diễn các số phức z thỏa
z.z=a? {a >0) là đường tròn tâm O, bán kính R =a
C, Nghịch đảo của số phức z = 3(cos19° + isin 19" 1a —isin19°)
_Ð Số phức z= cost + sin(- 3] là dạng lượng giác
Trang 8D HUGNG DAN GIAI VA DAP AN 1)ChonA 2) Chọn B 3) Chọn B (3+21)- (3-21)=6 | 4)ChọnC (5-i/2: (5+i/2)=-2M2i m?+m-2=0 5) Chọn C z là số thuần ảo và ksico= 4 > om=-2 m’-1#0 3x+l=5-x Í4x=4 x=1 6)Chon A 3x +14+(l+y)i=5-x+Qy-Dio c© o l+y=2y-l y=2
7T)ChonD z=(1-i).(34+21)=3+ 21-31-27 =5-i > Z=54i,
8) Chon A 2=(1+2i)(1-i) =(1+4i4+ 47) -i) =(-3 4 4i)(1 -i) =14-7i
—=|z|= VÉ +72 =v50 =5⁄2
9) ChọnC Mô đun của z là |2|= ya? +(@—1)° =V2a? -2a+1
„ Ta có: |z| =1 c> V2a” =2a +1 =l© 2á” ~2a +l =Í c> a =0 hoặc a = l, 10)Chọn A ——= = ¬ 342) 3742? 13 13 11) Chọn D Hà Hàn beR)—=7 =a-bi Do đó: z+Z=2ac R (Câu A đúng) 2+ =7Z+# (cau B đúng do tính chất ) yt Lilt 2 eR (cau ding) l+i li 1-i° 2 +i) [si P a4? +21) = 2 PY in 2 Wis câu D sai
12) Chon B gts a wob 344? 25° 25 z 2-4 3 Ales ae +16 695 "625 255 2 os
Went 72-348, ote a+b? 3°42? A Ey 13 13 An 2+Z=(-3-2i)+(-3+2i)=-6 Zz! =(-3-2i)+ 24 Fis, 13 13 I3 13 14)ChọnB 27+i=3`—ï” os =(~i)@? +3i+i?)=(3~i)(§+3)) +2 -i2 15) Chon A patti Lei Os) +Criy Ocoee, I-Ì l+i _j2009 lu 1 v2 la ¡ 1-/CD94 5 16 ChọnC 1+i+ +i9%-1-L LE) Cn hy 1-i Isis 4 (Cau A đúng)
«1 =[G 17 Ï = (1+ — 2i? =4” ==4e R (câu B đúng ) ,
Datz= ar bila, beR)=z=a-bi Do đó: z+z=2aeR= câu C sai
,z#=ah+b2eR ( câu D đúng )
Trang 9
17)ChonA
Số phức đã cho có điểm biểu diễn là Mía; a) Do đó khi a thay đổi thì tập hợp các điểm M nằm trên đường thắng có phương trình y=x
18) Chọn D
Đặt z=x+iy (x,yc R) và MG; y) là điểm biểu diễn số phức z trên _
mặt phẳng phức => z —¡ = x +(y— L)i =>|z—i|= jx? +(y-U?`
Theo gid thiét |z-iJ =I x? +(y-1P sloox’ ty? -2y=0 `
19)ChonA
Dat z=x+iy (x, yeR ), M(x; y) la diém biéu diễn z trên mặt phẳng phức
Giả thiết |z|<3©Jx? +yˆ° <3e©x”+y°<9 ( chọn câu A ) 20) Chọn B - Đặt z=x +ỉy (x,y e R) và Mộ; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức = z + 2i = x ty + 2)¡ =]z + 2i| = \Jx?+(y+2)2 Theo giả thiết lz + 2i| <Ii©x?+ (y+ 2)? <1 (chọn câu B) 21)ChọnC Đặt 'z =x + iy.(&, yc R), MG@; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức :
Tá có:2|z—i|=|z—š + 2i| © 2|x + (y = Đi|=2l(y + Dị
Trang 101 1, =z= +-i 2 2 l+i (+D 1x32 (1e, 27) Chọn A Tướng - = '=i¬[ TH] =2)19% =(—I!94 ~| .(l1+2)-j)=l-i+2i-2/ =3+ï Suy ra: nghiệm.của phương trình đã cho là z = ~3— i 28) ChọnC “ yeR)>7Z=x-iy ‘ « 34-7 =2(3-10i) > 3{x tiy)- (x -iy)= 6-201 © 2x + đyi = 6 - 20i a 3 vay =-5 Vậy nghiệm phuong trinh da cho ld z =3 - Si © 29) Chọn A x?+!16=0©x” -l16i <0 (x + 41x - 41) =0 > x = 441
30) ChọnD Vì -5 = 5i” nên căn bậc hai của - 5 là +M5i: -
31) Chọn A Vì2¡= a+b? nên căn bậc hai.của 2i là +(+ 1) : 32) Chọn Cách giải tương tự Bài 9;
33) Chon B Ta có:
i= cos + isin® nên căn bậc hai của ¡ là + vi cos + jin
2 2 - 4 4J-
hay ‘t [2 + 2) ( xem lại kiến thức cần nhớ]V 5)
34) ChọnC , Cách giải tương tự Bài 9 /
Căn bậc hai của -2+242i là 443V2i va -4-3V2i
, Điểm cần âm là (4; 32 ),(-4; -3 2 )
35) ChọnD Cách giải tương tự Bài l0a)
36) Chọn A Đặtz=x+iy %x,yeR)= 72 =x? Ty” +2xyi, |z|= Ÿx? +y?
l 2 2 2 2 lv
Ta có: z2 +2|2|—35=0 „4X ~Y” +2\jX +y 7352 xy=0 y=0
Vậy nghiệm phương trình đã cho là z = +5
37) Chọn A Xem lại bài giải Bài 9a)
38) Chon B Phương trình x” +3x +!0i=0 có A=9—40i=(5—4i}
Trang 1140) Chọn C
Tacé:2z, +2, =-5+5i=-5(1-i) Và z,.2, =-2(1+7i)
=>2Z,,Z, 14 nghiém ctia phương trình z!+5(1-0z-20+7)=0
41) Chon D x} +x} =(x, +x, —24).x) =(1+ i) -4i=14 i? -2i=-2i
42)Chon A Theo gid thiét_z,+z)=-6 va z,.z,=10
Z=-3-i
=>z¡ z; là nghiệm của phương trình 2’ + 6z + I0 =0 |? = Hi
( xem bài giải Bài l0a) )
43) ChợnD Câu A, B đúng ( theo hệ thức Vi-ét)
Trang 1250) Chọn C TL TL ny) 1 ST cos— — isin— = so|2x~ 5 ]+ in 2n =5 \Ì- [cos + sin) 3 3 3 3)} 3 3 5 Số phức z có một acgumen a2 4 \
51)ChonB 7 =-3+3i -M|-Š &, v2) 5 cox 7 sin |
SO phife z cé mét acgumen bing =
52) ChọnGC z= o cos + isin 4 có môđun bằng r = 2
:53)ChọnD z>Lei V8 p+ spi] s2[ od isin’) 4 ‘= 5-iea{ SLi) co -2) si -2)] z 2 [ mom) f{n nj “5 => —=——| C0SJ —+— |†+1Sin| —+— có một acgumen bing rma 2 4 4 12, 54) Chon A 2 = (46 + V2)? -(V6 - V2)? + (V6 + V2) (V6 ~ V2 )¡ = 8/3 + 8i =16 Bi, =16| cos™+isin= | có một acgumen bing la 2 2 6 6 6 55) Chon A avty Geol BoE) isn( E48) ¢{ cos sisin®) = 34331 4 12 4 12
56)ChonB I— Mãi =2 2 co 28 -5] + bin|2z ||" = 2 cos + isin
= (1-30 =2! [+ isin 5) (sử dụng công thức Moivre) 57) ChọnD z= -5 + Si =cos120 + isin120° có một acgumen bằng 120°,
58) Chon A
Phương trình z +2cosơ.z+Ì =0 có
A =cos2a—1 = —sin? ơ = (ising)?
Đo đó: Phương trình có hai nghiệm phân biệt là
Trang 13—cosơ + isind a Z¡ = =~cosơ + isina ` —cosa — isina va Z,= ——— 39) Chọn A_ Z,+z; = (4 cos® 40° — 3cos40")+ i(3sin40° - 4sin’ 40°) = cos120” + isin120° = cos’ 120° +sin*120° =1 =—(cosa@ + isina) +z, +2, 60) Chọn D + Câu A, B đúng vì 20 ‘
(-i” = bế 4 + wo(-2)] =1024(cos 5a ~isin5) = ~1204
.z.z=a? ©œx?+y? =a? (đặtz>=x+iy(x,yeR))
+ Câu C đúng vì nghịch đảo cửa số phức z = 3(cos19” + isin19”) là
z! _ 1 _1 cosl9”-isinl9" l 1
3(cos19° +isin19°) 3 cos?199-+sin?199 ;(eos19' ~isin19')
+ Câu Dsai vì dạng lượng dạng của số phức z = r(cosØ + isinø)(r > 0)
PHỤ LỤC ĐÁP ÁN CÂU HỒI TRẮC NGHIỆM CHUONG I IB.| 2A i 3B 4D 5A 6D 7C 8A 9D | 10B NC 12B 13B | 14B | 15C | 16C | 17A | 18C L 19A | 20B 21C | 22C | 23A | 24D | 25A | 26D | 27C | 28C | 29B 30D 31A | 32B | 33A | 34B | 35C | 36A | 37A | 38C | 39A | 40A 41A | 42B † 43D | 44D | 45C | 46C | 47A | 48B 1 49D _ | 50D | 5IA | 52B | 53A | 54C | 55D | 56A | 57B | 58A | 59D | 60A 61C | 62B | 63C | 64A | 65B | 66C |.67A | 68D | 69B | 70C MA | 72D | 273A | 74B | 75C | 76A | 77C | 78B | 79A | 80C 81B | 82D | 83B | 84A | 85D | 86C | 87A | 88D | 89A | 90A 9B | 92B | 93C | 94C | 95A | 96B | 97C | 98D | 99A | 100D 101A } 102D | 103A | 104C | 105A | 106B | 107D | 108C | 102A } 110D 11D | 112C | 113B | 114C | LI5A | I16B | 117A | 118C | 119D | 120D 121D | 122C | 123B | 124B | 125D | 126A | 127C | 128A | 129C | 130A