P4C2 số phức www toantuyensinh com

Trang 1

3 số phức A Kiến thức cần nhớ 1 Số i Số ¡ là nghiệm của phương trình x? + 1 =0 Nhu vay i? =-1 Người ta coi ¡ là căn bậc hai của -I, 2i là căn bậc hai của -4 2 Số phức 1) Số phức là những số dạng a + bi trong đó a, b e IR và i2 Số phức z = a + bi thì a là phẩn zhực, b là phẩn do 2) Số phức bằng nhau Hai số phức bằng nuau nếu phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau a+bi=c+di e>a=c và Tập hợp các số phức kí hiệu C C= (atbila,beR,i?=-1}

3) Biểu dién hinh hoc s6 phitc

Mỗi số phức z = a + bi hoàn toàn được xác định bởi cặp số thực (a; b)

Điểm M (a; b) trong hệ toạ

độ Oxy gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi (h 3) Mặt phẳng biểu diễn số phức gọi là mặt phẳng phức Trong mặt phẳng phức trục hoành gọi là trục thực, trục tung gọi là trục ảo 4) Môđun của số phức

Độ đài của vectơ OM được gọi là mô đun của số phức z, kí hiệu là lzl

Izl = jow| hay fa + bil = ol =va'+bÐˆ

Trang 2

5$) Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Ta gọi a - bi là số phức liên hợp của số phức z và kí hiệu là z =a - bỉ Trong mặt phẳng phúc, các điểm biểu diễn z và z đối xứng qua trục thực 3 Công và nhân số phức 1) Phép cộng, trừ và nhân hai số phức được xác định theo quy tắc cộng, trừ và nhân đa thức:

(a+ bì) +(c + đi) = (a + e) +(b + đ)i (a + bi) (c + đi) = (ac - bđ) + (ad + be)i

Trang 3

5 Can bậc hai của số phức - Phương trình bậc 2 với hệ số phức

1) Cho số z, nếu có số phức Z¡ sao cho z¿ = z thì ta nói z; là một căn

bậc hai của z

2) Khai căn bậc hai:

Mọi số phức z # 0 đều có 2 căn bậc hai 3) Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai ax” + bx + c =0 (ở đây a, b, c là những số phức a # 0) Công thức nghiệm của phương trình trên là:

-b+o

x=

2a

(œ là một căn bậc hai của A)

4) Người ta đã chứng minh được rằng mọi phương trình bậc n với nề l: agx" + + a„,X + ay= 0 trong dé a; Œ, ao # 0 dêu có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt)

6 Dạng lượng giác của số phức

r= [ona = va? +bŸ ,cosọ = 2 sing = z T ý

=a=r cosọ, b =r sino Vậy z = a + bì = z=r (cose + ising) @ gọi là argumen của số phức Z„ r = lz|

Sự biểu diễn của số phức z với r = |zị „0 =argz được gọi là dạng lượng

giác của số phức z

s Công thức Moa - vrơ (Moivre)

[r (coso + isino)]° = r"(cosno + isinno)

Trang 4

B Bài tập Câu 208 Trong những số sau số nào là số ảo: A V=3 B.W-3 Cea D ⁄-3; 4-3; =3 Câu 209 Trong các số phức sau, những số nào có phần thực bằng nhau: Zz=8+7i; za=2-31; z=3 +7; Z=8- 7Ì Á.Z;Z Đ.z;z KH: D 43% Câu 210 Trong các số phức cho ở câu 209 Hai số nào có phần ảo bằng nhau: ALD te B 23% C ty ts D %; 2 Câu 211 Tìm các số thực x, y biết: (x + y) + (x - y)i = 5 + 3i a Te = =3

soles yd Bil y=3 ac a eee y=4 A y=2

Câu 212 Nếu ta có (x - 2) + (2y - L)i = (y - 1) + (x + 2)i thì hai số „ thực x, y bằng: =2 = ee Bie y=3 Yat Câu 213 Phần thực và phần ảo của số phức z được biểu diễn bởi Đ K * ou an điểm M ở hình 4 lân lượt là: A.43 B.4;-3 C.3;4 D.-4,3 Câu 214 Trong những số phức có phần thực và phần ảo là số nguyên, thì số phức nào có môdun bằng 5: Hình 4

A.3+4i,-3 - 4i, 3 - 4i, -3 + 4i B.-4- 3i, 4 - 3i, -4 + 3i

C Si, -5i, 5 + 0i, -5 + 0ï D Cả 3 đáp án trên

Cân 215 Trên mặt phẳng phức tập hợp điểm biểu diễn số phức z có

phần thực là 2 là:

Trang 5

A.x=2 B.x=2 Cx=l D.x=-I

Câu 216 Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z có

phần ảo bằng 3 là:

A.x=3 B.y=-3 Cy=3 D.x=2

Câu 217 Số phức liên hợp của Z = 3 + 2i là: A.z=3-2i B.z=2+3i C.z=2-3i D.z=-2+3i Câu 218 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z= (2 + 3i) (I - 2i) A.& 1 B.1;8 C8;-1 D.-4;-1 Câu 219 Số phức z = (3 + 2i)? có phần thực và phần ảo lần lượt bằng: A 13; 12 B.13;6 ::15; 0ï ho L2 Cau 220 Tính ¡'° A.-i B.i C.-1 D.1

Câu 221 Cho z = 2 + 3i, nghịch đảo của số phức z là:

A.2-3i B.3+2i Di 13 13 bi 2Ð2362i {2 b4 2:D@0ˆ p 1-i Câu 222 Kết quả của phép tính: A.7-i B 56 - 8i € 7e 1 D 56 + 8i Câu 223 Căn bậc 2 của số phức z = -5 + 121 1a: A.2+3i B.-2-3i

C.2-3i,-2 +3i D.2+3i,-2-231

Câu 224 Căn bậc 2 của số phức z = 3 - 4i là:

A.2-i-2+i B.2+i

C.-2-i , D.2+I-2-1

Câu 225 Giải phương trình trên tập số phức: 2x” - 6x + 29 = 0

‘ee 3+7i : pee Be

2 2 2

Trang 6

C.x= JD.31+7i

2

Câu 226 Giải phương trình x? - 4x + 5 = 0

Trang 7

Re eee „cư

A +isin 7 B cos— + isin—

C.cosx = - isin 2 D cos - isin

3 a

Câu 230 Biểu diễn số phức z = 3 + _ ¡ dưới dạng lượng giác:

Câu 234 Trong mặt phẳng phức tìm tập hợp diém M(z) thod mãn

£+1-i[<3

A Đường thẳng y = 3 B Đường thẳng x = - 3

C Đường thẳng y + x = 3 D Đường tròn tâm I (-1; 1), R = 3

Trang 8

X=—-=t=l 3 4 1 3 b Vay Van fm +1 B Kn (S| +n (4) x et (eo iege, =—- 5 Tưng oe 1 aE ‘dvtt ) Đáp án C đúng

208 3/-3 ; Äƒ-3 là số thực vì căn bậc lẻ của một số âm là một số âm

v-3 ; Ÿ-3 ; §-3 là số áo vì trẻnfR không có căn bậc chain của một số âm Đáp án D đúng 209 z, = 8 + 7i có phần thực là 8; z = 8 - 7i có phần thực là 8 Vậy z,_ và z¿ cùng có một phần thực là 8 Đáp án C đúng 210 z¡ = 8 + 7¡ có phần ảo là 7; z, = 3 + 7i có phần ảo là 7 Vậy 2 số Z, và z; cùng có một phần ảo là 7 Đáp án B đúng

211 Ta biết hai số phức bằng nhau là hai số phức có phần thực bằng

nhau và phần ảo bằng nhau :

Vậy (X+y)+(x- V)i =5 +3 © na ° ae x-y=3 Đáp án A đúng 212 (x- 2) + (2y - Li= (y- 1)+(x+2)i x-2=y-l x-y=l x=5 ° = es x+2=2y-1 -x+2y=3 y=4 Đáp án B đúng ệ

213 Ta đã biết trong mãt phẳng phức truc hoành Ox gọi là truc thực

truc tung Oy gọi là truc ảo

Vay điểm M biểu diễn số phức có phân thực là 3, phần ảo là 4

Đáp án C đúng

Trang 9

214 z =a + bi thi môđun của z kí hiệu lzl= Va? +b? ma va2+b? =5

va a, b € Z Vậy a, b phải thoả mãn hệ số sau: {

=(@&,b)= @,4), C3, -4, @; -4), (-3; 4),

(-4, -3), (4, -3), C4, 3)

(0, 5), (0, -5), (5; 0), (5, 0)

Đáp án D đúng

215 Ta đã biết z = a + bi, a,b c IR a=2, buuỳ ý thuộc R = M () thuộc đường thẳng x = 2 (h 17) Đáp án B đúng y=3 216 b = 3, a tuỳ ý thuộc R > M (Z) thuộc đường thẳng y = 3 (hình 17) Đáp án C đúng Hình T7

217 Ta đã biết z = a + bi thì số phức liên hợp của z là z = a - bi

Trang 10

221 z là số phức khéc 0 thi + = 2 z i Z=243i=> z =2-3i va lef =44+9=13 Dod6 1 = 223i pee Z1 IS Đáp án C đúng 222 @-Ðf@Đ° _ @-Ð@0*4+0 = @-4i-1).16(1 +i) ý led 2 2 = 803 - 4i)(1 +i) =8 (3 + 3i - 4i - 4P) =8 Œ-i) = 56 - 8i Đáp án B đúng 223 Giả sử x + yi là căn bậc hai của số phức Z,= -5 + 12i = (x + yi? =-5 + 121 o x? - y? + Qxyi = -5 + 12i 2 đi vi x?-y?=-5 () xy=6 (2) Bình phương hai vế của (1) va (2) ta được a x* -2x?y? 4y4 =25 4x?y? =144 @Œ°+y?? =169 =x'+y=l3 2 -y=-5 2 Ta có hệ phương trình: é mộ x?+y?=13 Giải hệ phương trình này ta được: x = #3, y = +2, do xy = 6 >0 3 Na

Nên ta được y=2 =-2

Vậy ta được 2 số phức là căn bậc 2 của số phức z = -5 + 12i: Z\¡= 3 +21, z¿ = -3 - 2i Đáp án D đúng

Trang 11

224 Goi x + yila can bậc 2 của số phite z = 3 - 4i

Trang 13

Do đó z viết dưới dạng lượng giác là z= cost + isin Đáp án B đúng ` 230 peels 2 s⁄3Ÿ 1#) = 425 =5 5 cos@ = 2 -= 5 - Tir d6 6 thé ly 9 = a Vay 2) = ae 2 3 5⁄3 2z —— =5sin— 2 3 Do đó z viết dưới dạng lượng giác là: z= Sa + Nhi Ác ) 3 3 Đáp án C đúng 231 Nếu z¡ = r,(coso, + isine,) Z2 = T;(COSO; + isino;)

ZiZ¿ = TỊ; (COS(0¡ + 0;) + iin(0¡ + @;)

Trang 14

Tee ( on —+——i=l.| cos— +Isin— lộ? 7,27 3 ri Vay z=1 co 5 sisi) =1 (=Ÿ-en7) ⁄3 Đáp án B đúng

Chú ý Trong bài 232, ta đã sử dụng công thức Moa-vrơ

Moivre: [r(cosp +ising)]’ = r'(cosng + isinng)

233 Mọi số phức z = r(cos@ + ising) đều có đúng n căn bậc n đó là các giá trị (với k=0,1,2, n- 1) Ta có thể viết 8 dưới dạng lượng giác: 8 =8 (cos0 + isin0)

Vay can bac ba của 8 có 3 giá trị:

sự 1/8 (cose isin es) với k=0, 1,2

Dođó sạ= 2(cos0 +isin 0) =2

Bị =2 (<os2% sin) =-1+ V3i

2172 os + int) =-1- V3i

Đáp án D đúng

Trang 15

234.z=a+bi—=z+1-i=(a+l)+(b- li

nên lz + 1 -il< 3=>(a+ D+(b- <9

Vậy {MŒ)} là hình tròn tâm I (-1; 1) bán kính bằng 3 Đáp án D đúng

235 Gọi H là hình chiếu 0 trên mp (ABC) Dễ dàng có AA' L BC

=0A' L BC nên ỐA' Ä là góc tạo bởi mặt bên (OBC) và đáy (ABC) — cae => OA’A = x => cosx = sin OAH = OH ăn Tương tự ta có OA a OH OH cosy = —— , cosz = —— b c Ti 1 = cos?x + cos”y + cos2z = OH? (3+ ot 2) a c

Do hai tam giác AOA’ va BOC Ia hai tam giác vuông nên: 1 1 1 =—— OH” OÁ': OA? 11c là 8D noi Do dé cos’x + cos’y + cos?z z = l Đáp án A đúng

236 Qua AB dựng mặt phẳng (œ) vuông góc với SC, gọi I và giao của (œ) và SC thì SC | AI Vậy AABI là thiết diện tạo bởi mặt phẳng œ và hình

chóp đã cho *

Gọi N là trung điểm của AB, dễ dàng chứng

minh JA = IB > AABI cân, nén IN L AB Theo gia

thiết S.ABC là hình chóp đều nên H là tâm của tam

giác đều ABC = SH L NC

Vay SH CN = NI SC (*) Dé dang tinh duge

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	12,27 MB