Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 39 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
39
Dung lượng
685,54 KB
Nội dung
Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II TÍCH PHÂN Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân A Tóm tắt lí thuyết I CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN a Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục K a, b K Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K thì: b b f ( x )dx F( x)a F(b) F(a) ( Công thức NewTon - Leipniz) a b Các tính chất tích phân b Tính chất 1: a f ( x )dx f ( x)dx a b Tính chất 2: Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục a; b b b b f ( x ) g( x ) dx f ( x)dx g( x )dx a a a Tính chất 3: Nếu hàm số f(x) liên tục a; b k số b b k f ( x)dx k. f ( x )dx a a Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục a; b c số b a c b f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx a c Tính chất 5: Tích phân hàm số a; b cho trước không phụ thuộc vào biến số , b nghĩa là: b b f ( x )dx f (t)dt f (u)du a a a PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ b a) DẠNG 1: Tính I = f[u(x)].u' (x)dx cách đặt t = u(x) a Công thức đổi biến số dạng 1: b u(b) a u (a) f u ( x).u ' ( x)dx f (t )dt Cách thực hiện: Bước 1: Đặt t u ( x) dt u ' ( x)dx NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân Bước 2: Đổi cận: FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 xb t u (b) xa t u (a) Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta u (b ) b I f u( x ).u' ( x)dx f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) a u(a) b b) DẠNG 2: Tính I = f(x)dx cách đặt x = (t) a b a I f ( x )dx f (t ) ' (t ) dt Công thức đổi biến số dạng Cách thực x (t ) dx ' (t )dt xb t Bước 2: Đổi cận: xa t Bước 1: Đặt Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta b a I f ( x )dx f (t ) ' (t ) dt (tiếp tục tính tích phân mới) PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức tích phân phần b b u ( x).v' ( x) dx u ( x).v( x)a v( x).u ' ( x )dx b a a b b a a hay: udv u.vba vdu Cách thực Bước 1: Đặt u u ( x) du u ' ( x)dx dv v ' ( x)dx v v( x) b b a a Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần: udv u.vba vdu Bước 3: Tính u.v ba b vdu a II CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tính tích phân I x 3x 1 dx x2 x (Phân tích & dùng định nghĩa) Bài giải ♥ Biến đổi hàm số thành dạng x 3x 1 x 1 1 2 x x x x NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 2 x 3x 1 x 1 dx dx dx x x x x 1 Khi đó: I dx x 1 2 x 1 dx ln x x ln x x ♥ Vậy I ln Ví dụ 2: Tính tích phân I x 1 dx x2 1 (Phân tích & dùng định nghĩa) Bài giải x 1 ♥ Biến đổi hàm số thành dạng x 1 Khi đó: I x 1 x 1 1 x x 1 2x 1 2 x 1 x 1 2x dx x 1 dx dx dx x 1 2x dx ln x ln x 1 ♥ Vậy I ln ln Ví dụ 3: Tính tích phân I e x 1 e x dx (Đổi biến số dạng 1) Bài giải ♥ Đặt t e x 1 dt e x dx x ln t Đổi cận: x Suy ra: I t t3 t dt 30 3 ♥ Vậy I NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 4: Tính tích phân I x x dx (Đổi biến số dạng 1) Bài giải ♥ Đặt t x t x 2tdt 2 xdx tdt xdx x t Đổi cận: x Suy ra: I ♥ Vậy I t t3 t dt 2 1 2 1 e Ví dụ 5: Tính tích phân I 5ln x dx x (Đổi biến số dạng 1) Bài giải x ♥ Đặt t 5ln x t 5ln x 2tdt dx x e t Đổi cận: x t 2 38 Suy ra: I t dt t 33 23 15 15 15 ♥ Vậy I 38 15 Ví dụ 6: Tính tích phân I x 1 sin xdx (Tích phân phần) Bài giải du dx u x ♥ Đặt dv sin xdx v cos x 4 1 Suy ra: I x 1 cos x sin x 0 4 1 x 1 cos x sin x 4 0 ♥ Vậy I NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 7: Tính tích phân I x 1 sin x dx (Tích phân phần) 0 x2 x sin xdx ♥ Ta có: I xdx 0 2 x sin xdx x sin xdx 32 du dx u x Đặt dv sin xdx v cos x Suy ra: ♥ Vậy I 1 1 x sin xdx x cos x cos xdx cos xdx sin x 2 4 0 2 32 Ví dụ 8: Tính tích phân I x ln x dx x (Phân tích + đổi biến số dạng 1) Bài giải 2 1 ♥ Ta có: I xdx 2 ln x dx ♥ Tính x x2 xdx 2 ln x dx x Đặt t ln x dt dx x x t ln Đổi cận: x Suy ra: t ln ln x t2 dx tdt x ln ln 2 ♥ Vậy I ln 2 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 9: Tính tích phân I ♥ Đặt x 1 ln xdx x2 (Tích phân phần) u ln x du dx x dv x 1 dx v x x2 x 2 1 1 1 Suy ra: I x ln x x dx x x x 2 1 1 x ln x x x x 1 ln 2 ♥ Vậy I ln Ví dụ 10: Tı́nh tı́ch phân I = 0 (2e x2 ex ) xdx (Phân tích + đổi biến dạng 1+ tích phân phần) Bài giải ♥ Ta có: I = I1 = I2 = 0 2xe x2 dx xex dx 1 x2 x2 x2 0 2xe dx 0 e d (x ) = e = e – x 0 xe dx Đă ̣t u = x du = exdx dv = exdx v = ex 1 Suy ra: I2 = xex 0 ex dx = e e x = ♥ Vâ ̣y I = e – + = e NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 III TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân A DẠNG: I= P ( x) dx ax+b a 0 * Chú ý đến công thức: m m ax+b dx a ln ax+b Và bậc P(x) cao hoắc ta chia tử cho mẫu dẫn đến P( x) m ax+b dx Q ( x) ax+b dx Q( x)dx m ax+b dx Ví dụ 1: Tính tích phân: I= x3 1 x dx Giải Ta có: f ( x) x 27 x2 x 2x 8 2x Do đó: 2 x3 27 27 13 27 1 1 3 2 1 x dx 1 x x x dx x x x 16 ln x 16 ln 35 Ví dụ 2: Tính tích phân: I= x2 dx x 1 Giải x 5 x 1 x 1 x 1 1 x2 1 dx x 4ln dx x x 4ln x x 1 x 1 2 5 Ta có: f(x)= Do đó: B DẠNG: ax P( x) dx bx c Tam thức: f ( x) ax bx c có hai nghiệm phân biệt Công thức cần lưu ý: u '( x) dx ln u ( x) u ( x) Ta có hai cách Cách 1: ( Hệ số bất định ) Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 3: Tính tích phân: I= x x 11 dx 5x Giải Cách 1: ( Hệ số bất định ) A x 3 B x x 11 x 11 A B x x ( x 2)( x 3) x x ( x 2)( x 3) Ta có: f(x)= Thay x=-2 vào hai tử số: 3=A thay x=-3 vào hai tử số: -1= -B suy B=1 x2 x3 1 x 11 dx 0 x x 0 x x dx 3ln x ln x ln ln Do đó: f(x)= Vậy: Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) Ta có: f(x)= x 5 2x 2x 1 2 2 x 5x x x x x 3 x 5x x x 1 Do đó: I= f ( x)dx 0 2x 1 x2 2ln ln dx ln x x ln x 5x x x x 2 Tam thức: f ( x) ax bx c có hai nghiệm kép Công thức cần ý: u '( x) dx ln u ( x) u( x) Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I= x3 0 x x dx Giải Ta có: 3 x x x dx dx 2x 1 x 1 Đặt: t=x+1 suy ra: dx=dt ; x=t-1 và: x=0 t=1 ; x=3 t=4 Do đó: x3 x 1 dx t 1 t2 1 1 1 dt t dt t 3t ln t 2ln t t t1 2 1 Ví dụ 5: Tính tích phân sau: I= 4x 4x dx 4x 1 Giải Ta có: 4x 4x x x x 1 2 x t 1 x t 1 1 t 1 4x 4x 1 1 dx dx dt 0 x x 0 x 12 1 t 2 1 t t dt ln t t 1 2 Đặt: t= 2x-1 suy ra: dt 2dx dx dt; Do đó: Tam thức: f ( x) ax bx c vô nghiệm NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 b u x P( x) P( x) 2a Ta viết: f(x)= ; 2 2 b a u k k a x 2a a 2a Khi đó: Đặt u= ktant Ví dụ 6: Tính tích phân sau: I= x x2 x dx x 4 Giải x 2x 4x x2 2 x 4 x 4 2 x 2x 4x dx 1 2 Do đó: dx x dx x x J (1) 0 2 x 4 x 4 x 4 2 0 Ta có: Tính tích phân J= x dx 4 x t Đặt: x=2tant suy ra: dx = dt ; t 0; cost>0 cos t x t 4 14 14 Khi đó: dx dt dt t 2 tan t cos t 20 x 4 Thay vào (1): I C DẠNG: ax P( x ) dx bx cx d Đa thức: f(x)= ax bx cx d a có nghiệm bội ba Công thức cần ý: x m dx Ví dụ 7: Tính tích phân: I= 1 m1 1 m x x x 1 dx Giải Cách 1: Đặt: x+1=t , suy x=t-1 và: x=0 t=1 ; x=1 t=2 Do đó: x t 1 1 1 1 12 dt dt t t t t 2t 1 dx x 1 3 x 1 x 1 x 1 x 1 Cách 2: Ta có: x x 1 1 1 1 dx dx 0 x 13 0 x 12 x 13 x x 12 Do đó: x NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x Ví dụ 8: Tính tích phân: I= 1 x 1 dx Giải Đặt: x-1=t , suy ra: x=t+1 và: x=-1 t=-2 x=0 t=-1 Do đó: 1 x4 x 1 dx 1 t 1 t3 2 1 dt 1 t 4t 6t 4t 1 dt t dt 2 t t t t 2 1 1 t 42 13 dt t 4t ln t 12 33 ln t t t t t 2 2 2 Đa thức: f(x)= ax bx cx d a có hai nghiệm: Có hai cách giải: Hệ số bất định phương pháp nhẩy tầng lầu Ví dụ 9: Tính tích phân sau: I= x 1 x 1 dx Giải Cách ( Phương pháp hệ số bất định ) Ta có: x 1 x 1 A x 1 B x 1 x 1 C x 1 A B C 2 x x 1 x 1 x 1 x 1 A 1 A Khi (1) Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số: 1 2C C 2 A B x A C x A B C A B C B A C 1 4 x 1 x 1 3 1 1 1 dx 2 x 1 x 12 2 x x 1 x 12 dx 1 1 3 I ln x 1 x 1 ln ln 2 x 1 4 4 Do đó: Cách 2: Đặt: t=x+1, suy ra: x=t-1 x=2 t=3 ; x=3 t=4 Khi đó: I= x 1 x 1 4 dt t t 1 1 dt dt dt 2 t t 2 t t 2 t t 2 t 3 dx 4 11 1 1 t 2 4 I dt dt ln ln t ln 2 2t 2 t t 4 t 3 3t 4t 3t 4t 3t 4t 3t 3t 4t Hoặc: t 2t t 2t t 2t t 2t t t 2t t t 4 Do đó: I= 33t 42t 22 dt ln t 2t 3ln t ln t 2t t t 4 t 3 Hoặc: 2 1 t t 4 t 2 1 1 2 2 2 t t 2 t t 2 4t 2 t 4t 2 t t 1 2 1 t2 2 1 1 2 1 1 Do đó: I= dt ln ln ln ln ln 3t2 t t 4 t t 4 2 3 4 6 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 I 1 dt ( ) x Câu 11 Tính tích phân x xdx Ta có I x x xdx x dx x x dx 0 3 Đăṭ J x dx và K 0 3 81 x x dx ; ta có J x dx x 4 3 K x x dx Đặt t x t x 2tdt dx và x t Ta có x t 1; x t 2 1 Khi đó K t (t 1)dt (t t )dt t t 116 Vậy I J K 5 1 15 1679 60 Câu 12 Tính tích phân: I x x x dx 1 I x x x dx x dx x x dx 1 x3 I1 x dx 0 I x3 x dx Đặt t x x t xdx tdt Đổi cận: x t 1; x t t3 t I 1 t t dt t t dt 15 0 Vậy I I1 I 2 15 Câu 13 Tính nguyên hàm sau: I x x 3dx NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Đặt t x t x 2tdt 2xdx xdx tdt Suy I t.tdt t dt t3 ( x 3)3 C C 3 dx Câu 14 Tính nguyên hàm: I 2x Đặt t 2x t 2x tdt dx I tdt 1 dt t ln t C t4 t4 2x ln Câu 15 Tính I = 2x C x3 x x dx I= 1 x x x dx x dx x J x3 x 1dx t x5 J J x 1dx 5 t dt 22 15 1 2 I= J 15 J Câu 16 Tính tích phân sau: I x x 3dx Đặt x t ta x t dx 2tdt Đổi cận: x t 2; x t 3 232 2 Khi I 2t 6t dt t 2t 5 2 Tích phân hàm số mũ, hàm số logarith Câu 17 Tính tích phân I 1 x e2 x dx du dx => 2x v x e 1 I (1 x)(2 x e x ) (2 e2 x ) dx 2 u x Đặt 2x dv (2 e )dx NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân 1 1 = (1 x)(2 x e2 x ) ( x e2 x ) 0 Câu 18 Tính tích phân I 2 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 e 1 x 2ln x dx x2 2 ln x x2 ln x ln x I xdx 2 dx 2 dx dx x 1 x x 1 Tính J ln x dx x2 Đặt u ln x, dv 1 dx Khi du dx, v x x x x Do J ln x 1 dx x2 1 1 J ln ln x1 2 Vậy I ln 2 (1 + x)e dx x Câu 19 Tính tích phân I = I (1 x )e dx x dv e dx v e u x du dx Đặt Thay vào công thức tích phân phần ta được: x x 1 I (1 x )ex e xdx (1 1)e1 (1 0)e e x 2e (e1 e ) e Vậy, I (1 x )e xdx e ln Câu 20 Tính tích phân: I e2 x ex dx Đặt t e x t e x 2tdt e x dx x t 2, x ln t 3 I (t 1)2tdt (t 1)dt t 2 t3 2 t 3 2 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 21 Tính: I 0 ( x 2)e x dx I ( x 2)e x dx u x2 du dx x x dv e dx ve Đặt 1 Khi I= ( x 2)e x e x dx 1 = ( x 2)e x e x 2e e Câu 22 Tính: I 1 I e 1 3ln x ln x dx x 3ln x ln x dx x Đặt u= 3ln x =>u2= 1+3lnx => 2udu= dx x Đổi cận: x=e => u=2 x=1 => u=1 Khi I= u u2 1 udu 3 2 2 u5 u3 116 = u (u 1)du ( ) 91 135 Câu 23 Tính tích phân I x (x e x )dx du dx u x Đặt dv (x e x )dx v x e x Ta có I 1 x2 x2 x3 x (x e )dx x ( e x ) ( e x )dx e ( e x ) 2 0 x Câu 24 Tính tích phân I e e I 1 e ( e ) (0 1) x ln x x x ln x dx e e x x ln x ln x d x ln x dx xdx x ln x x ln x 1 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 e I x ln x ln x e 1 e2 ln e 2 e Câu 25 Tính tích phân I x ln xdx e x e e 1 1 Ta có: I x ln xdx x ln xdx ln xdx x x e x Tính x ln xdx Đặt u ln x dv xdx Suy du dx v e e x2 2 e x2 x e2 x e2 Do đó, x ln xdx ln x dx 2 4 1 e Tính 1 x ln xdx Đặt t ln x dt x dx Khi x 1 t , x e t e 1 t2 Ta có: ln xdx tdt x Vậy, I 1 e2 Câu 26 Tı́nh tích phân: I = tan x ln(cos x ) dx cos x *Đặt t=cosx Tính dt=-sinxdx , đổi cận x=0 t=1 , x t 2 Từ I ln t dt t2 dt t2 1 Suy I ln t t 1 du dt ; v t t *Đặt u ln t ;dv *Kết I 1 ln t dt t2 1 1 t dt ln t 2 ln 2 e Câu 27 Tính tích phân sau: x log 23 x 3ln x dx Đặt Từ NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Đổi cận: với I u4 u 1 (1u )2 du ( 1 u 2u2 1du ) 0 2u 1 2( u 1) 1 *) 2 2 u u 1 ( u 1) u 1 ( u 1) u 1 u 1 [( u 1) ( u 1)]2 ( u 1)2 ( u 1) ( u 1)( u 1) ( u 1) 3 ( u 1)2 ( u 1) u 1 u 1 I ( 1 2 1 1 3 1 du ) du ( u 1) ( u 1) u 1 u 1 u u 1 0 u 1 1 1 |u 1| ln u ln u 1 u 1 |u 1| e x ln x dx x Câu 28 Tính tích phân I e e e x ln x dx dx x ln xdx x x 1 e e A dx ln x 1 x I du dx u ln x x B x ln xdx Dat dv xdx v x e 2 e e e e2 x x x x e2 I B ln x dx ln x 12 4 4 2 e e Câu 29 Tính tích phân: I 1 I e ln x ln x x 1 x Đặt u ln x dx x ln x ln x ln x du dx : u(1)=0; u(e)= x x e NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 e 1 u 1 e 1 du ln ln u 1 u 0 e I e (x 3e Câu 30 Tính tích phân x )e 2xdx 1 Ta có I (x 3e )e dx xe dx 3 e 3xdx x 2x 2x 0 1 1 Đăṭ J 3 e3xdx và K xe 2xdx ; ta có J 3e 3xdx e 3x e3 0 0 du dx u x ; đó K xe 2x K xe dx Đặt 2x 2x dv e dx v e 1 2x 2x e dx 0 1 1 1 1 K e e 2x e e e Vậy I e e 4 4 4 e Câu 31 Tính tích phân I x ln x x x ln x e Phân tích I e Tính x ln x x x ln x e x 1 x x ln x dx x x ln x dx 1 x x ln x dx x dx 1 x x x ln x dx = x ln x dx 1 e Tính 2( x ln x) e 2( x ln x) e dx = dx e x 1 1 e d ( x ln x) x ln x e ln( x ln x) ln(e 1) Vậy I = + ln(e+1) Câu 32 Tính nguyên hàm sau: dx e 1 x dx ex ( e x e x 1)dx d (e x 1) = dx x = x – ln( e x ) + C e 1 Ta có: Câu 33 Tính tích phân: I (1 e x ) xdx NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân u x du dx Đặt: x x dv (1 e )dx v x e FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Khi đó: I x( x e ) ( x e x )dx I e ( x 0 x2 e x ) 10 2 e Câu 34 Tính tích phân I x3 ln xdx 1 ln x u x x dx u ' x dx Đặt v x x x v ' x e I e e 1 e4 3e x ln x x dx x 4 x 16 16 1 e Câu 35 Tính tích phân: I x ln x dx x2 e e ln x 4e I dx dx I1 I1 x x x1 e 1 e ln x Tính I1 dx x Đặt t ln x dt dx x Đổi cận: x t 0; x e t 1 I1 t dt t4 1 4 y Vậy x -8 -6 -4 -2 -5 Câu 36 Tính tích phân sau I (2x+e x )dx 1 1 0 I x e x dx xdx e x dx x e x e e 0 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 37 Tính tích phân sau I x e x 3 dx 1 2e x I e 3 dx 2e dx 3 dx x x 0 x x ln 2e 0 2x 2e 3 ln ln 2e ln e ln x I dx x x ln x 1 1 Câu 38 Tính tích phân sau e Tính I1 1 x dx ta kết I1 e 1 dx x Đổi cận x t 0; x e t Đặt ln x t ta dt 1 2t dt 2t ln t 1 ln t 1 Khi K2 Vậy ta I I1 I e ln ln Câu 39 Tính tích phân sau I x 2e ln Tính I1 xdx ta kết I ln Tính I 2e x 1 x dx 1 ln 2 dx Đặt e x t ta e x dx dt Đổi cận x t 1; x ln t 2 dt ln t ln 2t 1 ln ln ln t 2t 1 Vậy ta L L1 L2 ln 2 ln Khi I e Câu 40 Tính tích phân I x ln xdx 1 du dx u ln x x dv xdx v x NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân e I FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 e e e x2 x x2 x ln x dx ln x 2 1 e2 Câu 41 Tính tích phân I xe x dx u x du dx x x x I xe e dx e e 1 x x 0 dv e dx v e Tích phân hàm lượng giác Câu 42 Tính tích phân I ( x sin x ) cos xdx I ( x sin x ) cos xdx x cos xdx sin x cos xdx 0 M N Tính M u x du dx dv cos xdx v sin x Đặt M x sin x sin xdx cos x 2 0 Tính N Đặt t sin x dt cos xdx t 1 Đổi cận x 0t 0 t N t dt 3 Vậy I M N x Câu 43 Tính tích phân: I x cos xdx I xdx x cos xdx 0 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân + xdx 2 x FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 2 12 + J xcos2 xdx x sin x sin xdx cos2 x 20 0 I 2 Câu 44 Tính tích phân I = ( x cos x) sin xdx I x sin xdx cos2 x sin xdx Đặt I1 x sin xdx, I cos x sin xdx 0 0 u x du dx I1 x cos x dv sin xdx v cos x Đặt cos xdx sin x 1 cos3 x I cos x sin xdx cos2 xd (cos x) 3 0 Vậy I Câu 45 Tính tích phân: I (1 cos x )xdx I (1 cos x )xdx xdx x cos xdx 0 Với I 0 x2 xdx 02 2 2 Với I x cos xdx u x du dx Thay vào công thức tích phân phần ta được: dv cos xdx v sin x Đặt I x sin x sin xdx ( cos x ) cos x cos cos 2 Vậy, I I I 2 2 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 46 Tính Tích phân I x cos xdx I x cos xdx , u x du dx dv cos xdx v sin x Đặt I x sin x sin xdx cos x 02 2 cot x 6 Câu 47 Tính tích phân sau: I cos x sin x dx cos x sin x cos x 6 + Ta có: cos x sinx cot x 2 6 + Do đó: I dx d tan x ln tan x ln 6 2 cos x tan x 3 6 Câu 48 Tính tích phân: I sin x sin x.dx Tính tích phân: I sin x sin x.dx I = sin x cos x.dx Đặt t=sinx => dt=cosxdx 1 ▪ I 2t dt = t5 = 5 Câu 49 Cho hàm số f ( x) tan x 2 cot x cos x cos x có nguyên hàm F (x) F Tìm nguyên hàm F (x) hàm số cho 4 Tìm nguyên hàm F (x) F ( x) tan x cot x cos x cos x dx = sin x sin x dx NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân cos x x cos x C F C C 1 2 4 cos x Vậy F ( x) x cos x 1 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 50 Tính tích phân I 2x sin x dx I 0 0 2x sin x dx 2x.dx dx sin xdx A B C A 2x dx x 2 ; B dx x 02 C sin xdx cosx Vậy I A B C 2 1 1 Câu 51 Tính tích phân I = x tan xdx I= x( 1) dx cos x xdx x I1 = x tan x tanxdx Vậy I= u x du dx Đặt dx v tan x dv cos x x dx 0 xdx cos x 2 32 x dx I cos x ln cos x ln 2 ln 32 Câu 52 Tính nguyên hàm I x sin xdx Tính nguyên hàm I x sin xdx NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 du dx cos x v x cos3x x cos3x Do đó: I cos3 xdx sin x C 3 u x Đặt , ta dv sin xdx Câu 53 Tính tích phân sau: I s inx+ cos x dx I s inx cos x dx s inxdx cos xdx cos x sin x 0 Câu 54 Tính tích phân sau: I x sin x dx I x sin x dx xdx sin xdx x 2 0 2 cos x 2 Câu 55 Tính tích phân sau: I 1 sin x cos xdx I 1 sin x cos xdx Đặt sin x t dt cos xdx Đổi cận x t 0; x t 1 t4 Khi I 1 t dt t 0 Câu 56 Tính tích phân sau I Đặt cot x t dt Đổi cận x dx sin x cos4 x 1 dx sin x t 3; x t 1 Khi I 1 dt t 1 1 t t NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 dt t 27 t 3t SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 57 Tính tích phân sau: I s inx x sin xdx I s inx x sin xdx sin xdx x sin xdx 0 cos x dx 2 Đặt I1 sin xdx I x sin xdx u x du dx dv sin xdx v cos x I x cos x cos xdx s inx Khi I Câu 58 Tính tích phân I x sin xdx u x du dx dv sin xdx v cos x Đặt I x cos x cos xdx s inx 02 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ... 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta b a I f ( x )dx f (t ) ' (t ) dt (tiếp tục tính tích phân mới) PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức tích phân phần... 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 III TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân A DẠNG: I= P ( x) dx ax+b a... 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tích phân hàm phân thức Câu Tính tích phân: I 6x+7 dx 3x 1 6x+7 (6x+4)+3 I