3.BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC A-Lý thuyết :
Phương pháp 1:
Sử dụng phép biến đổi tương đương :
2
2
2
2
0
0
0 0
3
0
0 0
4
0
A
A B A
A B
B B
A B
B B
A B
≥
< ⇔ >
<
≥
≤
≥
<
> ⇔ ∪
>
Bài toán 1:
Giải các bpt sau :
2
2
3 3 2 4 3
− < −
− + ≤ +
− > −
+ − ≥ +
Bài giải :
1
x x
>
− >
3
2.
2
1 0
8
3 0
7
1 ( 3)
− + ≥
− + ≤ +
x x
− ≥
− <
2
1 4
x
x x
≤ <
⇔ ≤ <
≤ <
4.
2
4
x
x
x
x
Bài toán 2:
Giải các bpt sau :
2
1 1 2( 1)
2 ( 5)(3 4) 4( 1)
+ − − < −
Bài giải : 1
2
1
x x
= −
⇔ ≤ ≤
2.
2
2
4( 1) 0 ( 5)(3 4) 0 (2)
1 0 ( 5)(3 4) 16( 1) 1
5 4
3 1
x
x
x
x
x x
x
− <
⇔ − ≥
<
≤ −
≤ − ∪ ≥ −
− − <
5
x≤ − ∪ − ≤ <x
Trang 23 Đk:
2 0
5
2
x
x
+ ≥
− ≥ ⇔ − ≤ ≤
− ≥
2
+) Xét : 2 3
2
x
− ≤ <
(1) luôn đúng
+) Xét : 3 5
2≤ ≤x 2
2
(2) 2 11 15 (2 3)
3
2 2
x
⇔ − − <
⇔ − < <
2≤ ≤x 2 nên nghiệm của bpt là :
3
2
2≤ <x
Kết luận :
− ≤ <
4.Đk: x2− ≥ ⇔ ≤ − ∪ ≥4 0 x 2 x 2
Nhận xét x = 3 là nghiệm bpt
+) Xét x > 3 :
( )
2
2 2
13
6
x
⇔ ≥ −
Suy ra x > 3 là nghiệm bpt
+) Xét :x≤ − ∪ ≤ <2 2 x 3
( )
2
2
3 0
3 0
3
13 13
6 3
6
x x
x
x x
+ >
+ ≤
≤ −
− < ≤ −
Vậy kêt luận :
13 6 3
x x
≤ −
≥
Bài tập về nhà : Bài 1:
Giải các bpt sau :
2 2
1 2 1 8
− ≤ −
− + − + >
− + − > −
+ − + <
Bài 2:
Giải các bpt sau :
2 2
2 2
1.( 3 ) 2 3 2 0
2
x
x x x
x x
< +
> −
Bài giải : Bài 1:
1.
Trang 32
2 1 (8 )
8
1
2
18 65 0
1
5
2
x
x
x
x
x
− ≥
− ≤ −
≤
⇔ ≥
⇔ ≤ ≤
2.
2
2 2
2
2
2 0
2 0
2
2
2
3 2
x x
x
x x
x
− ≥
− <
− + > −
<
≤
− − >
≥
−
3.
Tương tự :3< ≤x 5
4.Đk:
3 0
x
x
+ ≥
− ≥ ⇔ ≤ ≤
− ≥
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
11 30 0 5
6
x
x
≤
⇔ ≥
Kết luận : 4 5
x x
≤ ≤
≤ ≤
2.Đk :
9
2
Khi đó :
5.
Đkiện :
2 0
0
x
x
+ ≥
+ ≥ ⇔ ≥
≥
( )2
2 2 1 2 ( 1)
1
3 2 3 3 1
3 2 3
1 3
3 2 3 3
3 2 3 3
x
x o
x x
x
x
x
− ≥
− <
< −
⇔ > ∪
− + < ≤
< −
⇔
− + <
Kết luận :
3 2 3 3
x>− +
Bài 2:
1.
2 2 2
1 2
2 1
2 2
3 1
2 2
x x
x
⇔ − − >
>
≤ ∪ ≥
Bài 2:
2
4
x
Trang 4( )2
2
2
4
7
2
x x
x
x
⇔ <
Kết luận :
0
x x
− ≤ <
≠
3
Đk: 1+ ≥ ⇔ ≥ −x 0 x 1
Nhận xét : x = 0 là nghiệm của bpt
+) Xét x≠0:
2 2
2 2
8
x x
x
x
⇔ − + > −
⇔ + < ⇔ + <
⇔ <
Kết luận : 1− ≤ <x 8
Chú ý : Dạng :
( ) ( ) 0 ( ) 0 ) ) 0 ( ) 0
g x
g x
f x
≥
⇔ >
Bài tập về nhà :
Bài 1 :
Giải các bpt sau :
2
x
− + + + <
Nhân xét x = 1 là nghiệm
+) Xét x <1 :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Ta có :
1
2 4 , x
x <
Suy ra x < 1 bpt vô nghiệm
+) Xét :x≥4 :
(2)⇔ x− +2 x− ≥3 2 x−4
Bài 1:
Đk :
4 1
3 0
x x
− ≤ ≤
≠
:
Xét : 0 4
3
x
< ≤ :
( )
2
2
2 2
2
7
x
x
x
x
− ≥
⇔ − + + < −
≥
− >
Vậy (1) có nghiệm :9 4
7< ≤x 3
Xét : 1− ≤ <x 0 :
(1) luôn đúng Kết luận nghiệm của bpt:
x x
− ≤ <
< ≤
Bài 2:
1.
Đk:
2 2 2
− + ≥
− + ≥
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Suy ra :x≤ −5 là nghiệm của bpt +) Xét : x≥5 :
2
2
17
3
Suy ra : 5 17
3
x
≤ ≤
Là nghiệm của bpt
Kết luận : Nghiệm của bpt đã cho là :
5 3 17 5
3
x x x
≤ −
=
≤ ≤
Trang 5Ta có :
4
2 4, x
Suy ra : x≥4 :, bất pt luôn đúng
Vậy nghiệm của bpt là : 1
4
x x
=
≥
2.
Điều kiện:
2 2 2
8 15 0
3
2 15 0
x
− + ≥
=
( ) ( ) ( ) ( )
(4 6)( 3)(2)
Nhận xét x = 3 là nghiệm của bpt :
+) Xét : x≤ −5:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
17
3
x
⇔ ≤
3.
x
x x
+ ≥
− ≥
Khi đó :
4
4
4 2 2
1;1
16
16
x
x
x
Vậy nghiệm của bpt là :− ≤ ≤1 x 1
Phương pháp 2: Đặt ẩn số phụ :
Bài toán 1:Giải bpt sau :
(x+1) (x+ <4) 5 x2+5x+28(1)
Bài giải :
Đặt : t= x2+5x+28,t>0
( Do x2+5x+28 0,> ∀x R∈ )
Khi đó :
2 2
5 24 0
t
⇔ − <
⇔ − − <
⇔ < <
( do t> 0 )
2 2
5 36 0
x
⇔ < + + <
⇔ − < <
Kết luận : -9 < x < 4
Bài toán 2 :
2
7x+ +7 7x− +6 2 49x +7x−42 181 14 (1)< − x
x
x x
+ ≥
− ≥
( ) ( )
2
2
Khi đó :
2 2
2
2
1 181
182 0
6
12 6
6 7
7 6
x
x x
⇔ + − <
⇔ + − <
≤ <
<
Kết luận :6 6
7≤ <x
Bài toán3:
2 2
x x
Đk : x > 0:
4 2
x x
Đặt :
Khi đó :
( 2 )
2
1 3(3) 2
x x
⇔ − − > ⇔ > ≥
Đặt :
1
2
0
0
0
u
= >
⇔ < < ∪ >
⇔ < < ∪ >
⇔ < < ∪ >
Kết luận :0 8 3 7 8 3 7
< < ∪ >
Bài tập về nhà : Bài 1: Giải các bpt sau :
1) 3 6 4 2 2
+ + < − −
Trang 6Bài 2:
3
2
2 2
1
1
x x
+
+
Bài 3:
2
35 12 1
x x
x
−
Bài giải :
Bài 1:
1.Đặt :
2
2 2
4 2
3
t
−
Khi đó :
2 2
2
4
3
t t
−
⇔ < −
⇔ + − < ⇔ ≤ < ≥
⇔ + < ⇔ − < <
2.
Đặt :
2
3 2
Khi đó :
( ) ( 2)
2
2
2
5
2
5
2
25
3 2
4
x x x
x
x x
⇔ − − <
− ≤ ≤
⇔ − − < ⇔ − ≤ ≤
3.
Đặt :
2
Ta được :
( )
2
2
2 2 2
2
1
3
1
3
x
x x
+ − ≥
⇔ ≤ ⇔ ≤
−
Bài 2:
1.
( ) ( ) (2 )2 3
2
Đk : x≥1:
3
2
Đặt : t= x−1,t≥0
Khi đó :
0
3 2 2 0
2
3 2 2 2
x x
< <
>
Trang 72 ) 1:
(2) 2
3 (2) 2
2
t
t
⇔ + + − >
+ ≥
⇔ > ⇔ >
+ ≤ <
⇔ >
2
x x
x
≥
Kết luận :x≥1
2.Đk : x > 0
( )2 5 1 2 1 4(3)
2 2
x x
Đặt :
2
1
1 4
x
Khi đó :
( ) ( 2 )
2
1
2
t
t
<
>
Do đk:Ta có
1
2
x
Đặt : u= x u, >0
Ta được : 2u2 – 4u + 1> 0
3.
Đk: x< − ∪ >1 x 0 :
1
+
+
Ta được :
2
2
1
1
2
t
t dot
x
− > ⇔ + − <
⇔ < < >
+
⇔ < < ⇔ − < < −
Bài 3:
1
x x
x
< −
− > ⇔ >
+) Xét x < -1 :bpt VN +) x > 1 :
1225
1225
x
Đặt :
2 2
2
2
2
2
2
1 1225
144 25
12
12 1
5 25
3 9
x
x
x
d x
x
−
−
≤ < < <