tổng hợp bài tập TCC- Luyện thi- K19HVNH

Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Tốn cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN Chương 1: Giới hạn I Lý thuyết cần nhớ Tính giới hạn thay VCB tương đương vô bé (VCB) tương đương sau (được áp dụng ko phải CM) x  s inx tan x ~x arcsin x arctan x  cos  ax   ax  ~ 2 a  ~ x.lna Đặc biệt với a  e ex  ~ x  x   loga 1  x  ~ x.logae   a  1 Đặc biệt với a  e ln 1  x  ~ x 1  x   ~ bx b Tính giới hạn phương pháp L’Hospital  Chỉ dùng cho dạng vô định ;  Các giới hạn cần nhớ 1-LNH  Khóa tổng ôn kiến thức, luyện đề Toán cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN  Tính giới hạn mũ: lim b x .ln a x  b x   xx o   lim a x  e    xx o    lim b x a x 1  lim a  x   b x   e xx o         x  x o   duøng cho ,  ,0    duøng cho   - Một số giới hạn cần học thuộc (có liên quan đến tích phân suy rộng) +, Hàm lượng giác ngược:   ; lim arctan x  x  2 lim arccot x   ; lim arccot x  lim arctan x   x  x  x  +, Các hàm lượng giác sinx, cosx, tanx, cotx khơng có giới hạn x   chứng minh định nghĩa giới hạn theo ngôn ngữ dãy số +, Hàm logarit, hàm mũ: Với a  1: lim log a x   ; lim log a x   ; lim a x   ; lim a x  x  x  x  0 x  Với  a  1: lim log a x   ; lim log a x   ; lim a  0; lim a x   x x  x  0 x  x  Định lý, định nghĩa, tính chất: a, Định lý tồn giới hạn điểm: Nôm na này: lim f  x  có giới hạn x0 tồn lim f  x  , lim f  x  lim f  x  = lim f  x  xx 0 xx xx 0 Phần áp dụng đa số trường hợp tính giới hạn lim f  x  xx xx 0 g x  với < f(x)  b, Định lý kẹp: 2-LNH xx 0 Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Toán cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN Cho hàm số f(x), g(x), h(x) thỏa mãn f  x   g  x   h  x  Nếu lim f  x   lim h  x   K lim g  x   K xx0 xx xx c, Tính chất: lim f  x   H, lim g  x   L với H, L hữu hạn xx xx      lim  f  x   g  x    H x x x        L với phép chia L  x  d, Định nghĩa giới hạn theo ngôn ngữ dãy số lim f  x   k dãy số x n thỏa mãn lim x n  x lim f  xn   k n xx0 n II Bài tập luyện tập 1, lim x sin x 0   x3 HD: Dùng định lý kẹp chứng minh giới hạn  cos 3x  2, lim   x 0 cos x   cot x HD: Sử dụng ct lim a  x   x x o đương b x  lim b x .a x 1  e x x o kết hợp công thức lượng giác cos – cos = -2sin sin để thay VCB tương  x  x ln  x2 3, lim   x 0 x  x ln   HD: Sử dụng ct lim a  x   x x o b x  e lim b x .a x 1 x x o sau L’Hospital 3-LNH Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Toán cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN 4, lim x 0 arcsin x  x x arcsin x HD: Thay VCB tương đương mẫu L’Hospital kết hợp thay VCB tương đương x  cos x x HD: Do lim sin x, lim cosx không tồn nên chia tử mẫu cho bậc cao x sử dụng định lý kẹp 5, lim x  x  x  1 x   x  x     6, lim x 0  e    HD: Dạng 1 nhiều mũ nên dùng công thức lim a  x  x x b x  lim b x .ln a x   exx o o 7, xlim  xe  x ln x  HD: Dạng  nên dùng công thức lim a  x   x x o b x  lim b x .ln a x   exx o sau L’Hospital 1 e x 8, lim x0 x2 2016 HD: Dạng 0. mũ to nên đặt  t sau L’Hospital 1005 lần để biến đổi x-2016 e L'Hospital x2 9, lim  cos x  a sin bx  x x 0 4-LNH Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Toán cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN HD: Sử dụng ct lim a  x   x x o 10, lim x 0 b x  lim b x .a x 1  e x x o sau thay VCB tương đương  cos x  sin x  tan x x arctan x HD: Thay VCB tương đương mẫu, sau xem bậc tử mẫu để tách giới hạn  x  1 x  e 11, lim x 0 x HD: Thay VCB tương đương kết hợp L'Hospital 12, lim x 0 ln 1  x arctan x  x  tan x HD: Thay VCB tương đương tử sau chia cho bậc thấp x x x 13, lim x  1 1 x e  cos  t sau thay VCB tương đương x HD: Đặt    cos x    x 1  14, lim x 0 ln  cos x  HD: Thay VCB tương đương mẫu  1x  x 1 x e e  15, lim x    5-LNH Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Toán cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN HD: Đặt  t sau thay VCB tương đương x  sin x  arcsin x 16, lim   x 0 arctan x   HD: Sử dụng ct lim a  x   x x o b x  e lim b x .a x 1 x x o sau thay VCB tương đương  x 1 x  x  arctan  arctan 17, xlim   x2 x2  HD: L'Hospital đổi biến cos  x.e x   cos  x.e x     18, lim x 0 ln 3tan x   HD: Thay VCB tương đương mẫu, tử sử dụng ct cos – cos = -2sin sin     HD: Dạng    Quy đồng sử dụng thay VCB tương đương cot x   19, lim  x 0 x 20, lim x 0 arcsin x  arctan x ln 1  x3  HD: Thay VCB tương đương mẫu, sau L'Hospital esin x  e x 21, lim x  sin x  x HD: L'Hospital 6-LNH Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Toán cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN xx  x 22, lim x 1 ln x  x  HD: L'Hospital đặt x-1 =t sau sử dụng thay VCB tương đương  x  3x   lim 23, x     x  2x   x 1 HD: Sử dụng ct lim a  x   x x o arctan x  24, lim   x 0 arcsin x   x  lim b x .a x 1 e x x o e x x o sin x x3 HD: Sử dụng ct lim a  x   x x o 25, lim  tan x  b x  b x  lim b x .a x 1  x  HD: Dạng 0 dùng công thức lim a  x  x x b x  lim b x .ln a x   exx o o    ln cos2 x  ex 26, lim x 0  3x  cosx HD: Sử dụng ct lim a  x   x x o b x  e lim b x .a x 1 x x o  tanx  ln   x2  x  HD: L'Hospital 27, lim x0 7-LNH Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Toán cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN 28, lim x 0   cos x cos2x  x3  x arcsin 3x HD: thay VCB tương đương tử sau chia tử, mẫu cho bậc nhỏ x 2arcsin x  3sinx 29, lim x0 ln  e tan x  HD: thay VCB tương đương mẫu sau tách giới hạn thích hợp L'Hospital 30, lim  log4 1  5x  ln  x0     x   5x HD: Dạng a    a  1 dùng công thức lim a  x  x x b x  lim b x .ln a x   exx o o 4x  sin 4x x  ln  x tan 4x     31, lim HD: thay VCB tương đương mẫu sau L'Hospital   arcsin x 32, lim x 1   x   ln  cos  cos      HD: thay VCB tương đương 33, lim x 0 sin   x    3tan x tan3 x  2x HD: thay VCB tương đương 8-LNH sau chứng minh giới hạn khơng tồn Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Tốn cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN ln  x  1    xsin x   x  x  1  34, lim  x0 HD: Quy đồng – thay VCB tương đương – L'Hospital 9-LNH Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Toán cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN Chương 2: Toán kinh tế hàm biến *Chú ý: - Chính phủ đánh thuế nhà sản xuất: + Đánh thuế t đơn vị sản phẩm sản xuất TC’ = TC +tQ +Đánh thuế T tồn sản phẩm sản xuất TC’ = TC+ T - Chú ý đơn vị sản phẩm (triệu đồng, ngàn đồng) để tránh nhầm lẫn Dạng 1: Bài toán kinh tế liên quan đến đạo hàm hệ số co giãn Bài 1: Cho hàm doanh thu doanh nghiệp TR  Q3  3Q2  6Q  10 Tại Q = a, Khi sản lượng tăng đơn vị TR thay đổi nào? b, Khi sản lượng giảm đơn vị TR thay đổi nào? c, Khi sản lượng giảm 2,5% TR thay đổi nào? MR AR Bài 2: Cho hàm cầu QD  60  5p Tại Q = d, Nêu ý nghĩa tỷ số a, Tính tốc độ thay đổi doanh thu so với giá p = b, Khi sản lượng giảm 1,5 đơn vị doanh thu thay đổi nào? c, Khi sản lượng giảm đơn vị doanh thu thay đổi nào? d, Khi sản lượng giảm 2,5% doanh thu thay đổi nào? Bài 3: Giá bán p đơn vị sản phẩm hãng sản xuất phụ thuộc vào sản lượng x cho hàm số p  định doanh thu cận biên hãng hãng sản xuất đơn vị sản phẩm Bài 4: cho hàm doanh thu trung bình AR=60-3Q a, Tìm hàm MR b, Tại mức sản lượng Q = 5, tăng sản lượng lên 1% tổng doanh thu thay đổi nào? 10-LNH 1000 Xác 0,3x  Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Tốn cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN Chương 4: Tích phân Nhìn vào tích phân ta cần đánh giá đưa hướng cụ thể Để làm điều trước hết ta cần nắm bảng tích phân, bảng đạo hàm học Từ vấn đề đó, ta làm toán biến đổi phức tạp Vậy bây giờ, bạn chưa thuộc bảng cơng thức mở sách học thuộc làm tập để nhớ, để nhìn vào cơng thức đọc đc kết Cứ bạn thấy trình độ tăng lên nhiều ngày đẹp trời bạn này 15-LNH Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Toán cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN Dạng 1: Tích phân bất định Bài 1(st) Giải trí với tích phân sau: 1. 2. dx x4  1  2x2  x2  x2  x4 x2    x2 4. x4  x  x 4  5. 7.  x3 e3x  dx ex  2x 1 x dx x 1 ln  arctan x x 1 DS : arctan x  dx x2    x2 3. 6. DS : dx dx dx x DS : arcsin x  ln x   x2 DS : ln x  x2  x   x2 DS : ln x  DS : 4x e2x  ex   3x  x  22 DS : 2   ln     16-LNH Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Toán cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN 8. 9. dx  x  ln2 x 10. 11.  1 e x arctan ln x DS : ln x dx exdx x e 1 DS :  ex  ln ex   DS : ln  ex  x dx sin x DS : x  2 13. cot xdx DS:  x cotx   14.  sin 2xdx ,x   0;   2 DS :sin x  cos x 15. ex cosexdx DS :sin e x 16. ecosx sin xdx DS : ecosx 12. sin 17. x ln2 x dx x ex  e2x DS : dx  cos x DS :tan x 17-LNH Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Toán cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. dx sin x  cos x  cos x  x  sin x  DS : dx DS : dx DS : sin 2x  4sin2 x sin xdx  sin x  sin x DS : dx x  arctan 2x  4x x  arcsin 2x  4x 2  x  sin x  1  4sin x 1 arc cot 3x   1 DS : ln  4x  arctan 2x dx arcsin x  arccos x  x2  sin2 x  DS : arcsin      sin x cos xdx  9x2 x  ln tan    2 8 DS :  ln cosx   cos2 x arccot 3x dx   DS : arcsin x  arccos2 x DS : 1 1  4x  arcsin 2x 18-LNH Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Toán cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN Bài 2: Đổi biến thích hợp tính tích phân: 1. 2. e 2x dx DS: ex  dx DS: ln ex  e 2x dx 3. x e 1 4. 5.  ex  1  ex   arctan x dx 1 x x DS: arctan x  2x dx  4x dx 1 x 1  DS: e x  2x 7.  2x  1 e 2x 9.  DS:  ln x  ln ln x  2ln  ln x  6. e  e dx 8.   DS: e x  ln e x  1  ln x dx x ln x 3x  3e x  e x  21  2x 1 dx DS: 2x e DS: arcsin x ln 2   2x 1   DS:  x   ln  x    19-LNH Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Toán cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN 10  11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. x 1 dx x x2 x  dx  x 1 dx 2 1  x  dx 2 1  x  dx x  1 dx x2  x2 x 2dx a2  x2 x  1 dx DS: x   arctan x2 DS: 3 x  3ln x  DS: tan  arcsin x  DS: sin  arctan x  DS: 1 , t  arcsin cos t x x2 1 DS:  x DS: a2 x x arcsin  a  x2 a a DS: 1 x   arctan x   2 x 1 20-LNH Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Toán cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN 18. 19. 20. x2 1 DS: arccos  x x x  dx x 1 x2 dx DS: 2arcsin x x  x2  x  1 dx  x  xe x  xe x DS: ln  xe x Bài 3: Sử dụng phương pháp tích phân phần tính tích phân sau: 1.  x  1 cos xdx 2.  x  1 cos2 xdx 3. x2exdx 4. x2 2x dx 5. x.arctan xdx 6. arccos2 xdx 7. ex cosxdx 8. sin  ln x  dx 9. 10. x2e xdx 11. x 3e  x dx 12. 13. x.arcsin xdx 14. x.arctan xdx 15. ln xdx x ln  x   x    dx 16.  x2 17. sin x ln  tan x  dx 18. 21-LNH xdx cos2 x x arctan x  x2 arcsin x 1 x dx dx Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Toán cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN Dạng 2: Tích phân xác định Là tích phân bất định thêm cận vào thơi =)) Luyện tập tích phân bất định ổn Có thể tự thêm cận vào tích phân bất định để làm thêm bạn thấy cần thiết    dx ;a  1 x2  2xsina    ;  (đề cuối kì hè 2016) ĐS:  cosa Dạng 3: Tích phân suy rộng Đọc lại phần giới hạn hàm mũ, loga, hàm ngược chương (đã tổng hợp phía trên) Dạng giao thoa tích phân giới hạn Nên luyện tập kĩ tích phân giới hạn để làm dạng cách tốt Chúng ta đến với ví dụ cụ thể bước làm tích phân dạng Kết giới hạn tích phân tồn hữu hạn (kết số cụ thể) ta kết luận tích phân suy rộng hội tụ Kết giới hạn tích phân vơ cực khơng tồn ta kết luận tích phân suy rộng phân kỳ Ví dụ: Xét hội tụ tích phân I    Bước 1: I   x3dx t x3dx x8  x3dx  x8   tlim   x8  2 Bước 2: Xét riêng tích phân sau lim, để đỡ phải viết lim nhiều lần 22-LNH Khóa tổng ôn kiến thức, luyện đề Toán cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN  x4  d  1 t t   x3dx    ln Xét  2 16  x  2 x  1 2 1       2     x4 t   ln 16 x4  x4 t   ln  x 16 2 Bước 3: Tính giới hạn kết bước kết luận  I  lim  ln t   16   ln Vì lim t  16  t4  t4 2t  t4  ln 16  16  ln   16  16   lim ln t t  16 t4 1  1  16  16  ln1  16 Do I hội tụ Bài tập luyện tập:     dx  x  1  x dx  ex x6  2. dx x 1  x  e2x dx x  e   23-LNH  t4  t4  ln 16  16  16 Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Tốn cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN  e3x  e2x dx  7. x    11  1   dx dx x 1 x x2   x 1  dx x2  x2   x2 1 arcsin xdx 1 x 10  x cosxdx 12. xdx  x  1 x  1 24-LNH Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Tốn cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN Chương 5: Phương trình vi phân Dạng 1: Phương trình vi phân với biến số phân ly dạng đưa biến số phân ly y'cosx  xdy 1 y  y ln y ydx 1 x 0 y’  sin  x – y  – sin  x  y   y2  3y  y' x 1 x2  4x  cosy  sin y  y'  cosx  sin x  2x yy’  y  y  1dx  xydy y'  y x  y  xy4   2xy dx  x2dy  10 xy'  y  xe y x 25-LNH ... ln1  16 Do I hội tụ Bài tập luyện tập:     dx  x  1  x dx  ex x6  2. dx x 1  x  e2x dx x  e   23-LNH  t4  t4  ln 16  16  16 Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Toán cao... 1% tổng doanh thu thay đổi nào? 10-LNH 1000 Xác 0,3x  Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Tốn cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN Dạng 2: Bài toán kinh tế liên quan đến cung – cầu Bài. .. giá cân thị trường 11-LNH Khóa tổng ơn kiến thức, luyện đề Toán cao cấp – Học viện Ngân hàng Websise: OTHK.VN Dạng 4: Bài toán kinh tế liên quan đến ứng dụng đạo hàm Bài 12: Hàm cầu hàng hóa A Qd