Chương IV bất đẳng thức và bất phương trình

A.Mục tiêu : Qua bài học học sinh cần nắm vững : 1. Về kiến thức và kỹ năng : Định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức như : biến đổi tương đương , phản chứng , biến đổi hệ quả , sử dụng các bất đẳng thức cơ bản .... Đặc biệt , học sinh vận dụng được các tính chất của bất đẳng thức ( thực chất là các phép biến đổi tương đương và phép biến đổi hệ quả ) , vận dụng được bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối để chứng minh được một số bất đẳng thức 2. Về tư duy : So sánh , đối chứng , chọn lọc , thay đổi từ các tính chất của đẳng thức để có các tính chất của bất đẳng thức của bất đẳng thức . Phân biệt được đâu là phép biến đổi hệ quả , đâu là phép biến đổi tương đương 3. Về thái độ : Cẩn thận , chính xác , chặt chẻ , biến đổi có cơ sở . Tạo cơ sở cho thực hiện các biến đổi bất phương trình sau này

Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Bất đẳng thức a) Tính chất: a > b b > c  a  c a > b  ac bc a > b c > d  a  c  b  d a + c > b  a bc ac  bc c  a>b  ac  bc c  a > b  c  d   ac  bd a > b  n  N *  a n  b n ab0 a  b ab3 a 3 b | x | , | x | x , | x |  x (a > 0) | x | a   a  x  a | x | a  x   a hoăo x  a |a||b||ab||a||b| b) Bất đẳng thức Cơ-si ab ab  ab ;  ab  a  b (a, b  0) * 2 abc abc  abc ;  abc  a  b  c (a, b, c  0) * 3 BÀI TẬP 1.V ới x, y, z tùy ý Chứng minh rằng: a) x4 + y4  x y  y x b) x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z Chứng minh bất đẳng thức sau : Với  a, b, c  R : a/ a2 + b2 + c2 +  2(a + b + c) b/ a2 + b2 + a2b2 +  4ab a2  b2 a b     c/  d/ a3 + b3  a2b + ab2 e/ a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a(b + c + d + e) g/ (a + b + c)2  3(a2 + b2 + c2 ) f/ a2 + b2 + c2  ab + bc + ca h/ a2 + b2 +  ab + a + b Với a, b, c > : ab bc ca a2 b2 c2 a c b a/    abc b/      c a b c b a b c a a b c 1 c/      d / (a  b)(b  c )(c  a )  8abc bc ca ab a b c e / (a  2)(b  2)( a  b)  16ab a b 1 abcd   a b  abcd f/ g/   h/ a b ab b a  2a m/ (a + b)(b + c)(c + a)  8abc b 1 n/ a  b  2(a  b) ab p/    a b c abc Tìm giá trị nhỏ hàm số y =  với < x < x 1 x Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhầt hàm số sau TXĐ hàm số y = x    x A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Bất phương trình a) Bất phương trình tương đương * Hai bất phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Nếu f1(x) < g1(x) tương đương với f2(x) < g2(x) ta viết: f1 ( x)  g1 ( x)  f ( x)  g ( x) * Bất phương trình f(x) < g(x) tương đương với bất phương trình - f(x) + h(x) < g(x) + h(x) - f(x).h(x) < g(x).h(x) h(x) > x  D - f(x).h(x) > g(x).h(x) h(x) < x  D f(x) < g(x)  [ f ( x)]3  [ g ( x)]3 k/  1 1 16     a b c d abc d l/ a b   f(x) < g(x)  [ f ( x)]  [ g ( x )] với f(x) > 0, g(x) > b) Bất phương trình bậc bậc hai * ax + b < (1) b i) Nếu a > (1)  x   a b ii) Nếu a < (1)  x   a iii) Nếu a = (1)  x  b b  bất phương trình vơ nghiệm b < bất phương trình nghiệm với x * Cho nhị thức bậc f(x) = ax + b ( a  0) Ta có : x  f(x) = ax + b trái dấu với a  x0 dấu với a * Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Ta có: Nếu   f(x) dấu với hệ số a với x  R b Nếu  = f(x) dấu với hệ số a với x   2a Nếu   f(x) có hai nghiệm x1, x2 ( x1 < x2 ) Khi đó, f(x) trái dấu với hệ số a với x  ( x1 , x2 ) (tức x1 < x < x2) f(x) dấu với hệ số a với x nằm ngòai đọan [x1 , x2 ] (tức x < x1 x > x2) * Để tìm điều kiện để tam thức bậc hai ln âm ln dương ta áp dụng: a  x  R, ax  bx  c      a  x  R, ax  bx  c      * Để giải bất phương trình bậc hai ta áp dụng định lý dấu tam thức bậc hai B BÀI TẬP Giải bất phương trình : x  3( x  2)  3x  1  3x  x   x c/   4 x  x   5x   18 12 x   2x x  d/   a/ b/3 Giải hệ bất phương trình : 15 x   8 x   a/ 2(2 x  3)  x    x  3x    d / 3 x    x   6 x   x  b/  x   x  25   4x    x  e/  3x   x   3 x    c / 2 x   x    Giải biện luận bất phương trình theo tham số m : a/ m(x – m)  x – b/ mx + > 2x + 3m c/ (m + 1)x + m < 3x + 4 Xét dấu biểu thức sau : a/ f(x) = 2x – 5; f(x) = -11 – 4x; b/ f(x) = (2x + 1)(x – 5) ( x)( x  3) x  10 x  3x f/ f(x) = 1 x c/ f(x) = (3x - 1)(2 - x)(5 + x); e/ f(x) = d/ f(x) = 2  ;  x 3x  Giải bất phương trình : a/ 3x   1; x2 b/ 2x   1; 2x 6.Giải phương trình chứa trò tuyệt dối : a/ x   x   ; c/  ; x  2x 1 d/ 4  3x  x  b/  x   x  x  Xét dấu biểu thức sau : a / f ( x )  x  x  7;  b / f ( x)   x  x  1;  (2 x  3) x  x ; x  6x  3x  f / f ( x)   5; x  x2 d / f ( x)  c / f ( x )  x  x  5; x3  x  6x ;  x2  x  3x  x  g / f ( x)  x2  x  e / f ( x)     Giải bất phương trình sau : a / (1  x )( x  x  6)  0; d / 3(1  x )  g/  8x ; 1 x x  4x    x;  2x b/ 4x   x  2; 4(2  x) e / ( x  16 x  21)  36 x ; h/ x3  x  x2 1  0; x8 c/ 4 x  ; x  1 x f/ x  2x   ; x  4x  1 x i / (2 x  7)(3 x  x  2)  Giải hệ sau : 2 x  12 x  18  a/ ; 3 x  20 x    x  11x  10 x  b/ ;  x  12 x  32 x  6  x  x  c/ ;  x  x  (2 x  1)( x  9)  d / ;  x  x  20 6 x  x  56   e / 1 1 ;     x  x x 1 ( x  x )  ( x  10) f /  x  x   10.Đònh m để x  R, ta có : a/ x2 – (3m – 2)x + 2m2 – 5m – > b/ (m + 1)x2 – 8x + m +  c/ (m – 2)x + 2(2m – 3)x + 5m –  d/ m(m + 2)x2 + 2mx + < 11 Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm : a/ 3x2 + 2(2m – 1)x + m +  b/ (3 – m)x2 – 2(m + 3)x + m + > 12 Giải bất phương trình : a / x   x  0; b / 2x    x ; d /  x  3x  x  x  6; e/ c /  x  x  1; x  4x 1 x  3x  13 Giải bất phương trình : c /  13  3x  x; a / x  18   x; b / x  24  x ; d /  x  x  2; e / x  3x   x  f /   3x  x  x  14 Giải bất phương trình: a/ (x2 + x + 1)(x2 + x + 3)  15 b/ (x + 4)(x + 1) - x  x   c/ x  x   d/ ( x  3) x   x  x  x  12 Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC Định nghĩa Số thực a gọi lớn b, kí hiệu a > b ab > Khi ta kí hiệu b b  a-b > (bab c>d (hoặc a b  a+c > b+c (cộng vế bất đẳng thức số) a > b+ c  ac > b (chuyển vế)  ac  bc c  3) a > b   (nhân hai vế số)  ac  bc c  a  b 4)   ac  bd c  d a  b  5)   ac  bd c  d  6) Với n ngun dương: a > b  a2n+1 > b2n+1 a > b>0  a2n > b2n 7) Nếu b>0 a>b  a  b ; a>b  a  b a  b 8)  (bắc cầu) ac b  c 1  a  b ab  9) a > b     ab   a b 10) a > b >  an > bn ( n N  ) 11) a > b >  n a  n b ( n N  ) Chú ý: Khơng có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức chiều PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp chung: Một số đảng thức: (ab)2= a2  2ab +b2 (ab)3= a3  3a2b+3ab2  b3 a3b3= (ab)(a2 +ab +b2) (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc a2 b2 = (ab)(a+b) a3b3= (a+b)(a2 ab +b2) Ví dụ: Chứng minh a) Nếu a,b  a+b  ab b) Chứng minh a2+b2-ab  Khi đẳng thức xảy Giải a) Cách 1: ta có a+b  ab  a+b- ab   ( a  b )2  với a,b  Dấu '=' xảy a = b Cách 2: ta biết ( a  b )2  a, b   a+b- ab   a+b  ab  đpcm 3b b  a, b  R b) Ta có: a2+b2-ab = a  b  b  ab = (a- ) + 4 b   a    a   đpcm dấu '=' xảy     b   3b   4 Bất đẳng thức Cơsi a/ Định lý: Nếu a  0, b  ab  ab hay a+b  ab Dấu '=' xảy  a=b b/ Các hệ quả: b.1 Nế a  0,b  có a+b=const (hằng số) a.b max  a = b b.2 Nếu a  0,b  có a.b = const a + b  a = b a  a   a n n b.3 Nếu a1, a2, a3,… ,an  thì:  a1 a a3 a n n b.4 a   , a > a * Ý nghĩa hình học: + Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn + Trong tất hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ c Ví dụ: a b Ví dụ 1: cho hai số a, b> Chứng minh   b a Giải a b Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương ,  ,ta có: b a a b a b a b       => đpcm b a b a b a Ví dụ 2: Chứng minh với a,b>0 (a+b)(ab+1)  4ab Giải Ap dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương a,b>0 ta có: a+b  ab (1) Ap dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương ab,1>0 ta có: ab +  ab (2) Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1)  4ab => đpcm Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối  x x  Định nghĩa: |x| =  ; - x x  a, b  R ta có a  b  a  b , dấu '=' xảy  a.b  a  b  a  b , dấu '=' xảy a.b  a  b  a  b  a.b  a  b  a  b  a.b  Ví dụ: chứng minh | x-y | + | y-z |  | x- z| Giải Ta có |x-y|+|y-z|  |x-y+y-z|=|x-z| => đpcm Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho số thực a, b, c, d thì: (ab+cd)2  (a2+c2)(b2+d2)  ab  cd  (a  c )(b  d ) Chứng minh: Ta có (ab+cd)2  (a2+c2)(b2+d2)  a2b2+c2d2+2abcd  a2b2+a2d2+b2c2+c2d2  a2d2+b2c2-2abcd   (ad-bc)2  a, b, c, d  R => đpcm Ví dụ 1: cho x2+y2=1,chứng minh   x y Giải Ap dụng bất đẳng Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 1, d = y ta có: (1.x+1.y)2  (12+12)(x2+y2)  (x+y)2     x  y  => đpcm Ví dụ 2: Cho x+2y = , chứng minh x2+y2  Giải Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 2, d = y BÀI TẬP ÁP DỤNG 1/ Với số thực x, y, z Chứng minh rằng: xyz  x  y z HD: Đưa đẳng thức  a   a  , a  2/ Chứng minh rằng: a Giải 2    a 1  a 1     a 1  a 1 a  a 1   (a  1)  (a  1)  a   a   2a  Vì 2a   nên a a a   1   4(a  1)   2a     a a   a   a  , a   đpcm Vậy a 1 3/ Tìm Giá trị nhỏ hàm số y=  với 00 nên Áp dụng bđt Cơ-si cho hai số dương ta được: x 1 x y= 1 1 2 2 + x 1 x x 1 x x(1  x ) x  (1  x ) 1  x (1  x )   x  (1  x ) x (1  x ) 1 1 1 y= + 2 2 2 4 x 1 x x 1 x x  (1  x ) x (1  x ) 1 1 1    y= +  Dấu "=" xảy   x  x  x  x 1 x x  (0;1)  1 Vậy giá trị nhỏ hàm số y= + x = x 1 x mà BÀI TẬP 1/ Cho a, b, c, d số dương; x, y, z số thực tùy ý Chứng minh rằng: a) x  y  x3 y  xy3 Giải 4 3 ( a)  x  x y  y  y x   x ( x  y )  y3 ( y  x)   x ( x  y )  y3 ( x  y )   ( x  y )( x3  y3 )   y  y2   ( x  y ) ( x  xy  y )   ( x  y )  x      2   Vậy x  y  x3 y  xy3  đpcm b) x  4y  z  14  x  12 y  z Giải 2 (b)  x  x   4y  2.2 y.3   z  3.z    2 2  ( x  1)  (2 y  3)  ( 3.z  3)2   Vậy x  4y  z  14  x  12 y  z  đpcm a b   a b c)* b a Giải (c )  a a b b b a  a   a  b b  b a   ( a  b )( a  a b  b)  b a( a  b)  ( a  b )( a  a b  b)  b a( a  b)   ( a  b )( a  a b b  ( a  b )( a  a b  b )   ( a  a  b b a)  b )( a  b )2   đpcm 1 d)   a b ab Giải Áp dụng bđt Cơ-si cho hai số dương a, b: a  b  ab (1) 1 1 , :  2 (2) a b a b ab 1 1 Lấy (1) nhân (2) ta được: (a  b)(  )      đpcm a b a b ab abcd  abcd (bđt Cơ-si cho số) e)* Giải a  b  ab    a  b  c  d  2( ab  cd )  2.2 ab cd  abcd c  d  cd  abcd   abcd 1 1 16 f)     a b c d abcd Áp dụng bđt Cơ-si cho hai số dương Giải Áp dụng bđt Cơ-si cho số dương a, b, c, d ta được: a  b  c  d  4 abcd (1) 1 1 Áp dụng bđt Cơ-si cho số dương , , , ta được; a b c d 1 1     44 (2) a b c d abcd 1 1 Nhân (1) với (2) ta được: ( a  b  c  d )(    )  16 a b c d 1 1 16 Vậy     a b c d abc d g) a 2b   2a b Áp dụng bđt Cơ-si cho số dương a2b, 1/b h) ( a  b)(b  c )(c  a )  8abc Áp dụng bđt Cơ-si cho a, b b, c c, a i)  a b   2(a  b) ab Khai triển đẳng thức áp dụng bđt Cơ-si cho ( a  b) ab 1 j)    a b c abc Giải Áp dụng bđt Cơ-si cho số dương a, b, c ta được: a  b  c  3 abcd (1) 1 Áp dụng bđt Cơ-si cho số dương , , ta được; a b c 1 1    33 (2) a b c abc 1 Nhân (1) với (2) ta được: ( a  b  c )(   )  a b c 1 Vậy    a b c abc 2/ Chứng minh bất đẳng thức sau x4 2 a) Với x>3 Chứng minh x3 HD: x   x  Áp dụng bđt Cơ-si cho x+3 x y2   Chứng minh |x.y|≤3 b) Với x y2 HD: Áp dụng bđt Cơ-si cho , c)* Với a, b, c0 a+b+c=1 Chứng minh: b+c  16abc HD: b+c  bc  (b+c)2  4bc (1) a+(b+c)  a (b  c )  1 4a(b+c) lấy (1)x(2) ta được đpcm (2) 3.2 Ví dụ 2: giải bất phương trình sau: a) | x-2 | > x+1 b) | 2x+1 | < x Tóm tắt lý thuyết Giải biện luận phương trình bậc dạng ax + b >0ax > -b (1) Biện luận: + Nếu a = (1) 0.x > -b - b > bất phương trình có vơ số nghiệm - b  bất phương trình vơ nghiệm b + Nếu a > bpt có nghiệm x >  a b + Nếu a < bpt có nghiệm x   a Kết luận Xét dấu nhị thức bậc f(x) = ax+b (a  0) x - -b/a + f(x) Trái dấu a Cùng dấu a * Chú ý : Xét biểu thức dạng tích thương nhị thức bậc (ax  b)(cx  d ) (ex  f ) ( ví dụ : (ax+b)(cx+d)…(fx+k); …) ta xét dấu tất nhị thứ bậc ( gx  h)(kx  m) bảng xét dấu * Các bước xét dấu biểu thức : B1 : Đưa biểu thức cho dạng ax+b dạng tích thương nhị thức bậc B2 : Tìm nghiệm nhị thức bậc B3 : Xét dấu tất nhị thức bảng xét dấu B4 : Tổng hợp => kết luận Giải bất phương trình bậc B1 : Đưa bất phương trình dạng f(x)>0 f(x) tập nghiệm Giải hệ gồm bất phương trình bậc dạng Bất pt (1) (I)  Bất pt (2) B1 : Giải bất phương trình (1) => Tập nghiệm S1 B2 : Giải bất phương trình (2) => Tập nghiệm S2 B3 : Tập nghiệm S hệ (I) S = S1  S2 BÀI TẬP 1/ Xét dấu biểu thức sau: a) f(x)= (2x1)(x+3) 4  c) f(x)= 3x   x 2/ Giải bất phương trình sau a)  x  2x  c)   x x4 x3 b) f(x)= (3x3)(x+2)(x+3) d) f(x)= 4x21 b) d) 1  x  ( x  1) x2  3x  1 x2  a) S=(1/2;1) [3;+) c) S= (12;4)  (3;0) 3/ Giải bất phương trình Đáp số: b) S= (;1)  (0;1)  (1;3) d) S= (;5)  (1;1)  (1;+) 5 10  x2 x 1 c) |2x1|≤ x+2 c) |x1|≤ 2+x4|+x2 Đáp số: a) S= (;2/5)  [2;+) b) S= (;5)  (1;1)  (1;+) c) S= [1/3;3] d) S= [5/4; +) 4/ Xét dấu biểu thức sau 2x  a) f(x)= (2x+3)(x2)(x+4) b) f(x)= ( x  1)( x  2)  c) f(x)= d) f(x)= (4x1)(x+2)(3x5)(2x+7) 2x 1 x  5/ Giải bất phương trình sau x2  x  3 1 1 a) b) 2 x x2  1   c) d) |x3| > 1 x 1 x  x  e) |58x|≤ 11 f) |x+2|+|2x+1| ≤ x+1 Đáp số: a) S= (;1)  (2;+) b) S= (2;1]  (2;+) c) S= (2;0)  (1;2)  (4;+) d) S= R e) S= [3/4;2] f) Vơ nghiệm 6*/ Lập bảng xét dấu biểu thức sau  3x 2x A B=1  C  x( x  2)2 (3  x) 2x  3x  2 x( x  3) D= E  x2  x  F= 2x  (2  3) x  ( x  5)(1  x)  3x G=(3x1)(x+2) H= K= (x+1)(x+2)(3x+1) 5x  2x L=  M= 9x2 1 N= x3+7x6 3x  1  O= x3+x25x+3 P=x2x 2 Q= 3 x 3 x 2 x  6x  x  4x  | x  | 1 R= S= T= 2 x  8x  x  2x x  x 1 7/ Giải bất phương trình sau (3  x)( x  2) a) 0 b)  x 1  x 2x  a) |5x4| b) c ) | x  |  |  x | x  d) | (  3) x  |  4 x  f)  3 3x  b) S=(;1/2)  [2/11;1) d) [52   2; 5+2   ] e) (  x+2)(x+1)(2x3)>0 Đáp số: a) S=(1;2]  [3;+) c) S= (;1) e) S=(;1) ( ;3/2) 8/ Giải biện luận bất phương trình a) mx+4>2x+m2 f) S=[4/5;1/3) b) 2mx+1 x+4m2 d) x(m21) < m4 1 9/ Giải bất phương trình sau e) 2(m+1)x ≤ (m+1)2(x1)  2x 0 (3 x  1)( x  4) x2 x2 d)  3x  x  b) S=(1/3;3/2) hop (4;+) d) S=(;1/3)[0;1/2)[8;+) a) ( x  2)( x  1)(4 x  5)  b) 3 x   2 2x  Đáp số: a) S=(;1)  ( /3;5/4) c) S= [3;1/2) 10/ Giải hệ bất phương trình ( x  3)(  x)      a)  x  b)  x   x  x   | x |  Đáp số: a) S= ( ;3) b) S=(1;1/2) 11/ Tìm nghiệm ngun hệ bất phương trình   6 x   x  15 x   x  a)  b)   x   x  25 2( x  4)  x  14   Đáp số: a) S={4;5;6;7;8;9;10;11} b) S={1} 12/ Giải phương trình bất phương trình sau | x  1|  a) |x+1|+|x1|=4 b) c) |5+x|+|x3|=8 ( x  1)( x  2) d) |x25x+6|=x25x+6 e) |2x1|= x+2 f) |x+2|+|x1|=5 2 x 2 g) |3x5|2x3 x 1 l) |x+1|≤ |x|x+2 Đáp số: a) S={2;2} b) S= (4;1)(2;5) c) S=[5;3] d) S= x≤2 x>3 e) S={1/3;3} f) S={3;2} g) S=(1;7/3) h) S=(4;1)(1;0] k) S=(;5/3) l)S=(;1] 13 Giải bất phương trình (chứa giá trò tuyệt đối) : a / x   x  0; b / 2x    x ; c /  x  x  1; c) d /  x  3x  x  x  6; x  4x e/ 1 x  3x  14 Giải bất phương trình (chứa thức) : c /  13  3x  x; a / x  18   x; b / x  24  x ; d /  x  x  2; e / x  3x   x  f /   3x  x  x  15/* Giải biện luận phương trình a) (2x )(xm)>0 b) 3x 0 x  2m  16/* Giải biện luận hệ phương trình ( x  5)(  x )  a)   x  m     b)  x  x   x  m  BÀI TẬP Bài 1: Giải biện luận bất phương trình sau theo tham số m a) m(x-m)  x-1 b) mx+6 > 2x+3m c) (m+1)x + m < 3x+4 Bài 2: Giải bất phương trình sau: 3x  2x  1  1 a) b) x2 2 x 4   c) d) x  2x  3x   x Đáp số: a) S=(;1)  (2;+) b) S=(2;3] c) S=(1/2;1) [3;+) d) S=(;11/5)(1/3;2) Bài 3: Giải bất phương trình sau: a) | 2x-5 |  x+1 b) | 2x+1 | < x c) | x-2 | > x+1 d) | x+2 |  x+1 Đáp số: a) S=[4/3;6] b) Vơ nghiệm c) S=(;1/2) d) S=R Bài 4: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: a) | 2x-1 | = x+m b) | x-1 | =x+m Bài 5: Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm: a) m2x+4m-3 < x+m2 b) m2x+1  m+(3m-2)x Bài 6: Giải hệ bất phương trình sau 15   8 x   a)  2(2 x  3)  x   Đáp số: a) Vơ nghiệm  4x   x3  b)  3x   x   b) S=(26/3;28/5) Bài 7: Tìm nghiệm ngun hệ bất phương trình sau:  6 x   x  a)  8 x   x  25   15 x   x  b)  2( x  4)  x  14  Đáp số: a) S={4;5;…;11} b) S= {1} Bài 8: Tìm số ngun lớn thoả mãn hệ bất phương trình:  3x  x  3( x  2) 1     3  x   x    x 18 12  Đáp số: S= {4} BÀI TẬP 1/ Giải biện luận bất phương trình sau a) (m +1)2x > 2mx + m b) (m2+m)x - m2 - 2m  c) (m+1)x  2m(x+1)+2+x d) m2x-1 > x+m mx  mx  x -1 x 1    (m  2)x m  -1 e) m  1 f) x  m -1 m 1 m 1 m 1 2/ Giải bất phương trình a) 2x2 - 5x + > b) (x-2)2(x-4) < c) -4 + x2  10 0 d) 25(x+10)(-x+1)  e) 16x2 + 40x + 25 < f) x ( x  1)  25 5x  x   2x  0    1 g) h) k) x3 x3 x 9 18 ( x  2)(3x  2) x 1 2  l) m) n) 1  0 x  2x  x3 x  x  x 2 x 1 o)  x2  x  x 1 3/ Giải hệ bất phương trình sau  2x   x 1   b)   ( x  2)(2 x  4) 0  x 1 3 x   x  a)  4 x   x  19  x 1  2x    c)    x  x  x   x 1 x  x   x   e)   x  3x   x   x   (4 x  x )(1  x)  0 2x   g)   (4  x)(3  x ) 0   x2  (5 x  1)(9  25 x )   i)   x  3x   2( x  1)  x  Đáp số: a) S = [6 ; 8) d) S = (-1;2)  x   x  d)   2 (5 x  19)  ( x  23) ( x  )( x  )( x  )   f)  ( x  1)(3  x )( x  2) 0   2x  2x   x 1  x  x  x3   h)   x(1  x ) 0   2x  1 c) S = (-  ;-1]  (- ;+  ) f) S = (-2;- )  [-1; )  [ ;+  ) b) S =(-  ; -4]  (1;2] e) S = (- 4; - ) 1 ;- )  (0; )  ( ;3)  [4;+  ) 3 h) S = (-1 ; - )  (0;1) i) S = (-  ; -3 ]  [0 ; ) 4/ Giải hệ bất phương trình sau x 1  2x  2x   x  ( x  2) ( x  3)  ( x  1)   a)  b)  c)  ( x  1)( x  2)  x3 2 x  x    x2  x   x   x  3x   x2  2x  x    x   x3 x    x     x 1 d)  e)  f)   x2   ( x  1) ( x  2) ( x  6) x2 x 4 0     x   3x  x   ( x  7) ( x  2)  x  2x   2x    x4  x 1  x  5x    x 1 1 g)  h) i)  x 4  x2  ( x  2)(2 x  4) x4 0    x 1  2x  2x  1 Đáp số: a) Vơ nghiệm b) Vơ nghiệm c) S = (-2;- )  (1; ) 2 1 d) S = (- ;0)  ( ;8) e) S = [1;2) f) S = (-2;-1) g) Vơ nghiệm h) S = [0; ]  [ ;+  ) i) S = (-  ;-4]  (1;2] g) S = (-  ; -3)  (  §4 Bất phương trình bậc hai ẩn I/ Bất phương trình bậc hai ẩn Định nghĩa: bất phương trình có dạng ax+by+c > ; ax+by+c < ,trong a,b,c  R , a2+b2  Cách giải : để giải bpt ax+by+c > ta vẽ đồ thị đường thẳng ax+by+c = Khi đó: + Nếu đường thẳng khơng qua gốc toạ độ ta thay góc toạ độ (0;0) vào vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm + Nếu đường thẳng qua góc toạ độ ta lấy điểm mặt phẳng thay vào vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm * Ví dụ: Giải bất phưng trình sau: a) x-3y < -3  x-3y+3 < (1) Vẽ đường thẳng x-3y+3= y x-3y+3=0 -3 x Thay O(0;0) vào (1) 3 vẽ đồ thị đường thẳ x-2y = , thay (0;1) vào vế trái ta VT= -2 > (!) => miền chứa (0;1) khơng phải miền nghiệm y 1/2 x II Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Định nghĩa: hệ có từ hai bất phương trình bậc hai ẩn trở lên Cách giải: để giải hệ bất phương trình bậc hai ẩn ta giải bất phương trình hệ biểu diễn chúng lên hệ trục toạ độ, miền trống miền nghiệm hệ bất phương trình (1) x  y   Ví dụ 1: giải hệ  x  y  3 (2) x  y  (3)  Giải Ta vẽ đường thẳng (d1): x-y= (d2): x-3y+3= (d3): x+y-5= (d3) (d1) (d2) -3 I x Miền I miền nghiệm Ví dụ 2:  x  Giải hệ  y   x  y  Giải Vẽ đường thẳng : (d1): x= (d2): y= (d3): x+y= y S -1 x BÀI TẬP Bài 1: Giải bất phương trình bậc hai ẩn a) x+3 +2(2y+5) < 2(1-x) b) 4(x-1) + 5(y-3) > 2x-9 c) 2x-y≤ d) 3+2y >0 e) 2x-1 h) -3x+y+2 ≤ k) 2x-3y+5 ≥ Bài 2: Giải hệ bất phương trình hai ẩn x y 2  1  x  y   3y   a)  x  y  3 b) 2( x  1)  4 x  y    x    3x  y  x  y  3 y   d)  e) 2x  3y   2 y   x  y  Bài 3: Gọi S tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình:  x  y  2 x  y   Tìm điểm S làm cho biểu thức F = y-x đạt giá trị nhỏ  x  y    x  Bài 4: Gọi S tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình:  x  y     x  y   Tìm điểm S làm cho biểu thức F =2x+3y đạt giá trị max, 2 x  y   §5 DẤU TAM THỨC BẬC HAI I/ Tam thức bậc hai Định nghĩa: Tam thức bậc hai biểu thức có dạng f(x) = ax2+bx+c (a  0) Định lý (về dấu tam thức bậc hai) Cho tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c (a  0)  = b2-4ac + Nếu  < f(x) dấu với hệ số a với x b + Nếu  = f(x) dấu với hệ số a với    2a + Nếu  > f(x) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ( giả sử x1< x2) : - x1 x2 + x Dấu Cùng dấu f(x) hệ số a Trái dấu hệ số a * Chú ý : ta thay   ' Ví dụ 1: xét dấu tam thức sau a) f(x) = 3x2-2x+1 b) f(x) = -4x2+12x-9 Giải a) cho f(x) =  3x2-2x+1 = tính  ' = -2 < f(x) >  x b) cho f(x) =  -4x2+12x-9 = tính  ' = f(x) < x  c) cho f(x)= 0 x2-4x-5 = tính  ' = => x1=-1 ;x2 = - -1 x + f(x) Cùng dấu hệ số a c) f(x) = x2-4x-5 _ + + f(x) > x  ( ;1)  (5; ) f(x) < x  (1;5) f(x) = x= -1 , x = Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức sau a) A = (2x2+9x+7)(x2+x-6) b) B = 2 x  x   x  x  10 Giải  x1  1 a) Đặt 2x +9x+7 =    x2    x  x2+x-6 =    x  3 x x2+9x+7 x2+x-6 A - - + + + -3 -1 + - + + + -0 + - + - + II/ Bất phương trình bậc hai Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai bất phương trình có dạng sau: ax2+bx+c > ; ax2+bx+c < ; ax2+bx+c  ax2+bx+c  ( a  0) Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai ta xét dấu tam thức bậc hai , kết hợp với chiều bất phương trình ta tìm nghiệm bất phương trình Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau a) 3x2+2x+5 > S=R b) -2x2+3x+5> S=(-1;5/2) c) -3x +7x-4 < S=(-;1) (4/3;+) d) 4x -3x+1 b) B = 2 x  x   x  x  10 c) mx210x50 với x nên qui dồng bỏ mẫu = m  m e) m(m+2)x2+2mx+2>0 = 4m216m Đáp số: a) khơng có m b) m> 1/20 c) m< 5 d) 7 ; x < -2 x > k) x2  6x   x  ; x < 1/8 l) x  x  12  x  ; S = (-169/25 ; -1]  [0;+  ) m) x  x  12   x ; x  -3 < x < 61/13 n) x  3x  10  x  ; S = R o)  x  x  p)  x  x  q) r) s) x2  x  2x  ;   x  4 / < x  ; < x < 1/4 ;x>3 22 ; )  x    x   x ; x < -2 x 1  x 1  x  ;S=( 14   x  Bài : Giải phương trình,bất phương trình sau ( Đặt ẩn số phụ ) a) x2 - 4x = x  x  12  ;x=2 t) x5  9 x 1 b) 3x  x  15  3x  x   ; ; x = ; -1/3 c) x  x   x  x   3x  x  19 ; x = -2;1 d) (x + 1)(x + 4) - x  x  = ; x = -7 ; e) x2 + x  x  11  x  ; x  [1;2] f) (x + 5)(x - 2) + x( x  3) > ; x < -4 x >1 g) 3x  x   x  x   ; x  [-2;-1]  [-2/3;1/3] [...]... điều kiện của ẩn x sao cho f(x) và g(x) có nghĩa Ví dụ: Điều kiện của bất phương trình 3  x  x  1  x 2 là 3x0 và x+10 4 Bất phương trình chứa tham số Là bất phương trình chứa các chữ cái khác ngồi ẩn Ví dụ: mx+2>5 (tham số m) 5 Hệ bất phương trình một ẩn Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc nhất một ẩn Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao các tập nghiệm... : Tổng hợp => kết luận 3 Giải bất phương trình bậc nhất B1 : Đưa bất phương trình về dạng f(x)>0 hoặc f(x) tập nghiệm 4 Giải hệ gồm 2 bất phương trình bậc nhất dạng  Bất pt (1) (I)   Bất pt (2) B1 : Giải bất phương trình (1) => Tập nghiệm S1 B2 : Giải bất phương trình (2) => Tập nghiệm S2 B3... thương các nhị thứ bậc nhất Để giải phương trình dạng này ta xét dấu biểu thức dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất đó Sau đó kết hợp với chiều củ bất phương trình ta sẽ tìm được tập nghiệm củ bất phương trình đó ( phần nào khơng lấy thì gạch bỏ) Ví dụ : Giải cácbất phương trình sau 3x  4 4 3 1  a) b) x2 3x  1 2  x Giải a) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho 3x  4 3x  4 2x ... 2 + + 0 - //  + + 11 1 )  (  ;2) 15 3 5/ Phương trình, bất phương trình chứa trị tuyệt đối 1 Định nghĩa: là phương trình chứa biểu thức trị tuyệt đối của biến x trong phương trình 2 Phương pháp: ta sử dụng định nghĩa để giải phương trình Nếu có từ hai biểu thức trị tuyệt đối trở lên ta phải lập bảng xét từng biểu thức trên cùng một bảng, sau đó căn cứ vào bảng xét dấu để giải Vậy S = ( ; * Chú... g(x) 0 thì f(x) > g(x)  f2(x) > g2(x) * Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau + Đặt điều kiện (nếu có) trước khi biến đổi bất phương trình + Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với một biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay dương, hoặc biểu thức đó mang cả hai giá trị âm và dương + Khi qui đồng mẫu số của bất phương trình: nếu biết chắc chắn mẫu dương thì khơng đổi dấu +... chứa (0;1) khơng phải là miền nghiệm y 1/2 x 0 1 II Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1 Định nghĩa: là hệ có từ hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn trở lên 2 Cách giải: để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta giải từng bất phương trình trong hệ rồi biểu diễn chúng lên cùng một hệ trục toạ độ, miền còn trống là miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) x  y  0  Ví dụ 1: giải hệ  x  3 y ...  1  0 III Bất phương trình tương đương 1 Định nghĩa: hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm 2 Định lý 2.1 Định lý 1 (phép cộng, trừ): Cho f(x) > g(x) xácđịnh trên D Nếu h(x) xác định trên D thì: f(x) > g(x)  f(x) + h(x) > g(x) + h(x) * Hệ quả: Nếu chuyển một biểu thức từ vế này sang vế kia của phương trình và đổi dấu thì ta được một bất phương trình mới tương... = (-  ; -3)  (  §4 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn I/ Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1 Định nghĩa: là những bất phương trình có dạng ax+by+c > 0 ; ax+by+c < 0 ,trong đó a,b,c  R , a2+b2  0 2 Cách giải : để giải bpt ax+by+c > 0 ta vẽ đồ thị của đường thẳng ax+by+c = 0 Khi đó: + Nếu đường thẳng khơng đi qua gốc toạ độ thì ta thay góc toạ độ (0;0) vào vế trái bất phương trình để xác định miền... S=(;13/27] 3/ Tìm điều kiện của các bất phương trình sau: x2 x 1 2x  1  5x  3 a 2 b 3 2  2 x  3x  4 x 4 ( x  1) 4/ CMR các bất phương trình sau vơ nghiệm: 1 4 x x2 2 a/ x 2  x  1  1 b/ 2  x  x  7  2 c/ d/ x 1   x 1 x  8 ( x  1)( x  3) 5/Giải các bất phương trình sau: ( x  3) x  1 1 1 a 5 b x2 > x c x 4  x 2 d x x 1 6/ Giải và biện luận bất phương trình sau: a mx + 4 > 2x – m... S=(;11/5)(1/3;2) Bài 3: Giải các bất phương trình sau: a) | 2x-5 |  x+1 b) | 2x+1 | < x c) | x-2 | > x+1 d) | x+2 |  x+1 Đáp số: a) S=[4/3;6] b) Vơ nghiệm c) S=(;1/2) d) S=R Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) | 2x-1 | = x+m b) | x-1 | =x+m Bài 5: Tìm m để các bất phương trình sau vơ nghiệm: a) m2x+4m-3 < x+m2 b) m2x+1  m+(3m-2)x Bài 6: Giải các hệ bất phương trình sau 15  8  ... "a  b" gọi bất đẳng thức + a gọi vế trái, b gọi vế phải bất đẳng thức; + a>b c>d (hoặc a