UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN Thời gian: 90 phút( Không kể thời gian giao đề) Câu (3 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a, x + b, Cho ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) − 24 a b c + + = Chứng minh rằng: b+c c+a a+b a2 b2 c2 + + =0 b+c c+a a+b Câu 2: (2 điểm) Tìm a,b cho f ( x ) = ax + bx + 10x − chia hết cho đa thức g ( x ) = x2 + x − 2 Tìm số nguyên a cho a + số nguyên tố Câu 3.( 3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD a Chứng minh: DE = CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu 4.(1,5 điểm) Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HẾT UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN Câu Đáp án 1a x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) 1b ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 0,25 0,25 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) 0,25 0,25 Nhân vế của: Điểm 0,5 0,25 0,25 a b c + + =1 b+c c+a a+b với a + b + c rút gọn ⇒ đpcm Ta có : g ( x ) = x + x − 2= ( x − 1) ( x + ) Vì 0,5 0,5 f ( x ) = ax + bx + 10x − chia hết cho đa thức 0,25 g ( x ) = x2 + x − Nên tồn đa thức q(x) cho f(x)=g(x).q(x) → ax + bx + 10x − 4= ( x+2 ) ( x-1) q ( x ) 0,25 Với x=-2 → 2a-b+6=0 ( ) Thay (1) vào (2) Ta có : a=2 và b=4 2 Ta có : a + 4= ( a -2a+2 ) ( a +2a+2 ) 0,25 Với x=1 → a+b+6=0 → b=-a-6 ( 1) 0,25 0,25 Vì a ∈ Z → a -2a+2 ∈ Z ;a +2a+2 ∈ Z Có a +2a+2= ( a+1) + ≥ ∀a Và a -2a+2= ( a-1) + ≥ ∀a Vậy a + số nguyên tố a +2a+2=1 a - 2a+2=1 Nếu a -2a+2=1 → a = thử lại thấy thoả mãn 0,25 Nếu a +2a+2=1 → a = −1 thử lại thấy thoả mãn 0,25 0,25 0,25 AE = FM = DF ⇒ ∆AED = ∆DFC ⇒ đpcm b DE, BF, CM ba đường cao ∆EFC ⇒ đpcm 0,5 ⇒ ME + MF = a không đổi ⇒ S AEMF = ME.MF lớn 0,5 0,25 ⇔ ME = MF (AEMF h.v) 0,25 ⇒ M trung điểm BD 0,25 a Chứng minh: 0,5 c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 0,25 ⇒ (a+ b) – ab = 0,25 ⇒ (a – 1).(b – 1) = 0,25 ⇒ a = b = 0,25 Vì a = => b2000 = b2001 => b = 1; b = (loại) Vì b = => a2000 = a2001 => a = 1; a = (loại) 0,25 Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = 0,25 * Chú ý : Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa -HẾT ... 1a x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) 1b ( x + 2)( x + 3)( x + 4) ( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 =... q(x) cho f(x)=g(x).q(x) → ax + bx + 10x − 4= ( x+2 ) ( x-1) q ( x ) 0,25 Với x=-2 → 2a-b+6=0 ( ) Thay (1) vào (2) Ta có : a=2 và b =4 2 Ta có : a + 4= ( a -2a+2 ) ( a +2a+2 ) 0,25 Với x=1 →... không đổi ⇒ S AEMF = ME.MF lớn 0,5 0,25 ⇔ ME = MF (AEMF h.v) 0,25 ⇒ M trung điểm BD 0,25 a Chứng minh: 0,5 c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab