Phòng GD & ĐT sơn động Đề thi chọn học sinh giỏi cấp HUYệN Năm học 2011 - 2012 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài I ( 5,5 điểm ): x+2 x 1) Cho biểu thức: P = x + x x +1 a Rút gọn P c Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn P 23 + 513 23 513 2) Tính giá trị biểu thức K = 2x3 + 2x2 +1 x = + 1ữ ữ 4 3) Giải phơng trình: x + x = x 12 x + 14 Bài II( 2,5 điểm ): 1) Chứng minh với n N n + n + không chia hết cho x + y y + = 2) Cho x, y, z thỏa mãn x + x y y = Bài III ( điểm ): 1) Tìm x, y nguyên thỏa mãn 23x + 7y =17 Tính Q = x2 + y2 4 2) Cho a, b, x, y số thực thoả mãn: x + y = x + y = a b a+b 2006 2006 x y Chứng minh rằng: 1003 + 1003 = a b (a + b)1003 Bài IV ( điểm ): x + ( m 1) y = 1) Cho hệ phơng trình ( m + 1) x y = m + 1 a) Giải hệ phơng trình m = b) Xác định giá trị m để hệ phơng trình có nghiệm (x,y) thỏa mãn x > y 2) Cho x , y, z số dơng thỏa mãn điều kiện x + y + z = x2 y2 z2 CMR: + + y+z z+x x+ y Bài V ( điểm ): 1) Cho (O, R) điểm K nằm bên đờng tròn Hãy tìm dây cung ngắn (O) qua K 2) Cho đờng tròn tâm O, đờng kính BC điểm A nửa đờng tròn( A khác B C) Hạ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đờng tròn đờng kính HB HC, chúng lần lợt cắt AB AC E F a Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC b Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn đờng kính HB HC c Gọi I K lần lợt hai điểm đối xứng với H qua AB AC Chứng minh ba điểm I, A, K thẳng hàng d Đờng thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B nửa đờng tròn (O) M Chứng minh MC, AH, EF đồng quy Câu Nội dung Đáp án Môn Toán Điểm I/1 x+2 1) Cho biểu thức: P = x x +1 2,5 x x + a Rút gọn P c Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn P * ĐKXĐ: x a HS rút gọn kq P = KL: I/2 0,75 x 0,75 3( x x + 1) 1,5 2) Tính giá trị biểu thức K = 2x3 + 2x2 +1 x= 23 + 513 23 513 + 1ữ ữ 4 x= 23 + 513 23 513 + 1ữ ữ 4 3x + = 23 + 513 23 513 + 4 0,75 I/3 23 + 513 23 513 ữ (3 x + 1)3 = +3 ữ 4 23 27x3 + 27x2+9x+1= +3(3x+1) 27 27x3 + 27x2= 2x3+2x2+1=2 3) Giải phơng trình: x + x = x 12 x + 14 0,75 1,5 ĐK: 1,5 x 2,5 + Sử dụng bất đẳng thức cô si Bu nhi a đánh giá VT + Đánh giá VP x = x VT = x=2 VP = x = 0,75 Do đó: PT II/1 II/2 KL 1) Chứng minh với n N n + n + không chia hết cho Giả sử tồn số tự nhiên n để (n + n + 1) Đặt A = n + n + Vì A9 A9 (1) Ta có: A = 4(n + n + 1) = (2n + 1) + Vì A9 A3 (2n + 1) 2n + 13 (2n + 1) (2) A = (2n + 1) + không chia hết cho A không chia hết cho Ta thấy (1) (2) mâu thuẫn Vậy điều giả sử sai Vậy ng với n N n + n + không chia hết cho x + y y + = x + x y y = 2) Cho x, y, z thỏa mãn 0,75 Tính Q = x2 + y2 1,5 0,75 0,75 III/1 1) Tìm x, y nguyên thỏa mãn 23x + 7y =17 +) 23x + 7y = 17 y = +) có x,y số nguyên 23 x + 17 x 2( x + 2) = x + + = x + + 7 x + Z 2( x + 2) Z 2( x + 2) Z 3x + + ( x + ) M7 x + 2M7 Do UCLN (2;7) = Do đó: x+2 = 7t ( t số nguyên) x = 7t-2 III/2 0,25 0,25 0,5 Khi đó: y = -23t+6 Thử lại ta đợc x = 7t-2 y = -23t+6 nghiệm nguyên pt 4 2 Ta có: ( x + y ) = nên x + y = ( x + y ) a b a+b 2 b(a + b) x + a (a + b) y = ab( x + x y + y ) b x + a y 2abx y = (bx ay ) = a 2 2 x 2006 y 2006 Từ đó: x = y = x + y = 1003 = 1003 = x 2006 a 1003 a b a+b 2006 y + 1003 = b (a + b)1003 a+b a b (a + b)1003 0,25 0,25 KL: 0,25 b IV/1 2,25 x + ( m 1) y = ( m + 1) x y = m + 1) Cho hệ phơng trình a) Giải hệ phơng trình m = b) Xác định giá trị m để hệ phơng trình có nghiệm (x,y) thỏa mãn x>y a b Thay m = 1/2 giảI hệ PT x + ( m 1) y = x + ( m 1) ( ( m + 1) x m 1) = m x = m + y = ( m + 1) x m ( m + 1) x y = m + y = ( m + 1) x m 2 +) Nếu m = HPT vô nghiệm IV/2 m2 + x = +) Nếu m khác HPT có nghiệm là: m2 y = m +1 2 x>y m +2 > m + m +2 m > m 2+ > m3 + f m < m m m Vậy, m 0; my 2) Cho x , y, z số dơng thỏa mãn điều kiện x + y + z=2 CMR: 2 x y z + + y+z z+x x+ y áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 0,75 0,5 0,25 0,5 0,25 1,75 x2 y+z + x y+z y2 x+z + y z+x z2 x+ y + z x+ y 0,5 x2 y2 z2 x + y + z + + x+ y+ z ữ+ y+z z+x x+ y x2 y2 z2 x + y + z + + =1 ữ y+z z+x x+ y 2 Đẳng thức xảy x=y=z= V KL 1) Cho (O:R) điểm K nằm bên đờng tròn Hãy tìm dây cung ngắn (O) qua K 0,5 0,5 0,25 A C H K D O B Gọi AB dây cung qua K vuông góc với AB CD dây cung qua K không trùng với AB Kẻ OH vuông góc với CD H Nếu H trùng với K OK AB; OK CD Suy AB trùng với CD Mâu thuẫn Vậy H không trùng với K DO OH CD nên OH < OK CD > AB Vậy dây cung vuông góc với OK K dây cung ngắn đI qua K 0,25 2) Cho đờng tròn tâm O, đờng kính BC điểm A nửa đờng tròn( A khác B C) Hạ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đờng tròn đờng kính HB HC, chúng lần lợt cắt AB AC E F a Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC b Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn đờng kính HB HC c Gọi I K lần lợt hai điểm đối xứng với H qua AB AC Chứng minh ba điểm I, A, K thẳng hàng d Đờng thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B nửa đờng tròn (O) M Chứng minh MC, AH, EF đồng quy 4 0,25 0,5 N K A F M I E B P H O C Q a, Xét tam giác vuông ABH có HE AB AB.AE = AH2 (1) Xét tam giác vuông ACH có HF AC AC.AF = AH2 (2) Từ (1) (2) suy AE.AB = AF.AC b, Gọi P,Q lần lợt trung điểm HB HC Ta có tam giác PEH cân P, suy góc HEP = góc PHE Góc HCF = góc PHE (đồng vị) suy góc HEP = góc HCF Mặt khác AEHF hình chữ nhật nên ta có: góc HEF = góc HAF Từ đẳng thức ta suy ra: góc HEP + gócHEF = góc HCF + HAF = 900 suy EF PE, EF tiếp tuyến đờng tròn đờng kính BH Chứng minh tơng tự ta có: EF tiếp tuyến đờng tròn đờng kính CH c, Góc IAH lần góc BAH Góc KAH lần góc CAH Suy góc IAH + góc KAH =2( góc BAH + góc CAH) = 1800 Suy I, A K thẳng hàng Gọi N giao điểm BM CA Theo tính chất tiếp tuyến ta có MB = MA, tam giác BAN vuông A nên M trung điểm BN Mặt khác AH // BN suy CM qua trung điểm AH Do tứ giác AEHF hình chữ nhật nên EF qua trung điểm AH Suy CM, AH, EF đồng quy d, ... biểu thức: P = x x +1 2,5 x x + a Rút gọn P c Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn P * ĐKXĐ: x a HS rút gọn kq P = KL: I/2 0,75 x 0,75 3( x x + 1) 1,5 2) Tính giá trị biểu thức K = 2x3 + 2x2 +1