SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH YÊN BÁI ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM 2011 Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 04/3/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm câu) Câu (3,0 điểm) Tìm số có chữ số biết lập phương số tự nhiên tổng chữ số bình phương số tự nhiên Câu (4,0 điểm) Một người xe máy người xe đạp khởi hành lúc sáng từ địa điểm A đến B Vận tốc xe máy lớn vận tốc xe đạp 36 km/h Người xe máy đến B nghỉ nửa quay A gặp người xe đạp C điểm quãng đường AB Người xe đạp nghỉ C nửa tiếp đến B lúc 11 30 phút Tính chiều dài quãng đường AB vận tốc người Câu (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O, R) Các đường cao BD CK cắt đường tròn (O, R) theo thứ tự E F (D ∈ AC; K ∈ AB) Chứng minh: a) DK // EF b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ADK không đổi A di động cung lớn BC (O, R) Câu (3,0 điểm) Cho ∆ABC ngoại tiếp đường tròn (O, R) Đường tròn tâm O’ qua ba điểm B, O, C cắt đường thẳng AB, AC D E Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O, R) Câu (5,0 điểm) a) Với giá trị x, y biểu thức P = 2x2 + 9y2 – 6xy + 2x – 30y + 2052 có giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ b) Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ Hết - Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính - Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh Số báo danh Chữ kí giám thị số 2: Chữ kí giám thị số 1: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH TỈNH YÊN BÁI LỚP THCS NĂM 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (Đề thức) Câu Sơ lược cách giải Điểm Tìm số có chữ số biết lập phương số tự nhiên tổng chữ số bình phương số tự nhiên 3,0 Gọi số cần tìm ab , theo ta có ab = k a + b = k (k ∈ N* ) 0,5 Vì ≤ a + b ≤ 18 => ≤ k2 ≤ 18 => ≤ k ≤ (1) 0,75 Lại có ab ≥ 10 => k3 ≥ 10 => k ≥ (2) Từ (1) (2) => k ∈ { 3; 4} 0,75 * k =3 => 33 = 27 + = = 32 (thỏa mãn) 0,5 * k = => = 64 + = 10 ≠ (không thỏa mãn) 0,5 Vậy số cần tìm ab = 27 Một người xe máy người xe đạp khởi hành lúc sáng từ địa điểm A đến B Vận tốc xe máy lớn vận tốc xe đạp 36 km/h Người xe máy đến B nghỉ nửa quay A gặp người xe đạp C điểm quãng đường AB Người xe đạp nghỉ C nửa tiếp đến B lúc 11 30 phút Tính chiều dài quãng đường AB vận tốc người 4,0 Gọi chiều dài đoạn đường AB x (đơn vị: km; đk: x > 0), vận tốc người xe đạp y (đơn vị: km/h; đk: y > 0) vận tốc người xe máy (y + 36) km/h 0,5 Khi xe gặp C, ta có phương trình: x 3x = + (1) y 2( y + 36) Vì xe đạp đến B lúc 11 30 phút nên ta có pt: x 1 + = (2) y 2 3x x x 3x+y + 36 y = 2( y + 36) + y = y + 36 x − y = 36 ⇔ ⇔ Từ (1) (2) => x = y x + =41 x =4 y y 0,75 0,75 1,5 Giải hệ pt tìm y =12, x = 48 (t/m đk) Vậy quãng đường AB dài 48km vận tốc người xe đạp 12km/h, vận tốc người xe máy 48km/h 0,5 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O, R) Các đường cao BD CK cắt đường tròn (O, R) theo thứ tự E F (D ∈ AC; K ∈ AB) Chứng minh: a) DK // EF b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ADK không đổi A di động cung lớn BC (O, R) 5,0 A E D O F K B H C I A' a) Vì điểm B, C, D, K thuộc đường tròn đường kính BC · · => BDK (hệ góc nội tiếp) (1) = BCK · · · · Tương tự, (O, R) có BEF hay BEF (2) = BCF = BCK · · Từ (1) (2) => BDK , mà chúng vị trí đồng vị => DK // EF = BEF b) Gọi A’ giao AO với (O, R), H giao BD với CK, I giao A’H với BC => AA’ đường kính (O, R), H trực tâm ∆ABC nên dễ dàng chứng minh tứ giác BHCA’ hình bình hành (dấu hiệu 1) => I giao đường chéo hình bình hành nên I trung điểm BC A’H => ∆AA’H có OI đường trung bình => AH = 2.OI ; Vì O, B, C, I cố định => độ dài OI không đổi => AH có độ dài không đổi A di động cung lớn BC t/m đk đề (3) Mặt khác có ADH AKH tam giác vuông có chung cạnh huyền AH => điểm A, D, H, K thuộc đường tròn đường kính AH => AH đường kính đường tròn ngoại tiếp ∆ADK (4) Từ (3) (4) => đpcm (Chú ý: Lời giải đk h/s chưa học tứ giác nội tiếp) Cho ∆ABC ngoại tiếp đường tròn (O, R) Đường tròn tâm O’ qua ba điểm B, O, C cắt đường thẳng AB, AC D E Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O, R) 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 1,0 3,0 Gọi H giao BC với (O, R), K chân đường vuông góc hạ từ O xuống DE; O tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC (gt) => O giao 0,5 phân giác ∆ABC · · » = DB » + BO » = OC » (1) => DO = OC => ABO => DO 0,75 = CBO · · · » = EO » (2)=>BO= EO 0,75 Tương tự CO p/g ACB => BCO => BO = ECO » = DO » + EO » = BO » + OC » = BC » hay DE = BC Từ (1) (2)=> DE 0,5 => ∆ODE = ∆OCB (c.c.c) mà OK, OH hai đường cao thuộc hai cạnh tương ứng tam giác nên OK = OH = R => DE tiếp tuyến (O, R) 0,5 A O E B H K C D O' a) Với giá trị x, y biểu thức P = 2x2 + 9y2 – 6xy + 2x – 30y + 2052 có giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ b) Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ a) 5,0 P = 2x2 + 9y2 – 6xy + 2x – 30y + 2052 = (x2 + 9y2 + 25 – 6xy – 30y + 10x) + (x2 – 8x +16) + 2011 1,0 = (x - 3y + 5)2 + (x - 4)2 + 2011 ≥ 2011 0,75 2 Đẳng thức xảy (x - 3y + 5) = (x - 4) = x = y = Vậy minP = 2011 x = y = b) Giả sử a + b > => (a + b)3 > a3 + b3 + 3ab(a + b) > + 3ab(a + b) > ab(a + b) > hay ab(a + b) > a3 + b3 0,75 0,5 1,0 Chia hai vế cho số dương a + b ta ab > a2 – ab + b2 (a – b)2 < 0,5 Điều xảy Vậy a + b ≤ 0,5 Đẳng thức xảy a = b = Chú ý: Trên gợi ý hướng giải toán h/s làm theo cách khác đảm bảo tính xác gọn cho điểm tối đa Điểm toàn điểm phần cộng lại không làm tròn số Phần hình học h/s không vẽ hình vẽ sai không công nhận kết chứng minh liên quan Hết ...TỈNH YÊN BÁI LỚP THCS NĂM 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (Đề thức) Câu Sơ lược cách giải Điểm Tìm số có chữ số biết lập phương... – 6xy – 30y + 10x) + (x2 – 8x +16) + 2011 1,0 = (x - 3y + 5)2 + (x - 4)2 + 2011 ≥ 2011 0,75 2 Đẳng thức xảy (x - 3y + 5) = (x - 4) = x = y = Vậy minP = 2011 x = y = b) Giả sử a + b > =>... => AH đường kính đường tròn ngoại tiếp ∆ADK (4) Từ (3) (4) => đpcm (Chú ý: Lời giải đk h/s chưa học tứ giác nội tiếp) Cho ∆ABC ngoại tiếp đường tròn (O, R) Đường tròn tâm O’ qua ba điểm B, O,