De thi hs gioi tinh Nghệ An năm 2006-2007

KỲ THI CHỌN LỌC HS GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC : 2006-2007 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian giao đề Bài 1: Chứng minh rằng : a) Với mọi số tự nhiên n>1thì số A=n 6 -n 4 +2n 3 +2n 2 không thể là số chính phương b) Các số a và b đều là tổng của hai số chính phương thì tích a.b cũng là tổng của hai số chính phương . Bài 2: a) Hãy xác định giá trị x;y để có đẳng thức : 5x 2 +5y 2 +8xy+2y-2x+2=0 b) Cho hai số thực x,y thỏa mãn phương trình : 2x+3y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng : S=3x 2 +2y 2 Bài 3: Giải phương trình : 1612251172 223 −+=−+− xxxxx Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) , kẻ đường phân giác AD của góc BAC và đường trung tuyến AM (D;M ∈ BC ) . Vẽ hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và tam giác ADM , hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là I , đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt hai cạnh AB và AC theo thứ tự tại E và F . Tia AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại J. a) Chứng minh rằng: 3 điểm I , M, J thẳng hàng . b) Gọi K là trung điểm của EF , tia MK cắt AC và tia BA theo thứ tự tại P và Q . Chứng minh rằng tam giác PAQ cân. HẾT Bài giải Bài 1: a) A=n 6 -n 4 +2n 3 +2n 2 =n 2 (n-1) 2 (n+1) 2 suy ra A là số chính phương khi n>1 b) Đặt a = x 2 + y 2 ; b = z 2 + t 2 Khi đó ta có a.b =( x 2 + y 2 )( z 2 + t 2 ) = x 2 z 2 + x 2 t 2 + y 2 z 2 + y 2 t 2 a.b = (x 2 z 2 – 2 xzyt + y 2 t 2 ) +( y 2 z 2 +2xzyt + x 2 t 2 ) =(xz + yt) 2 +(yz+xt) 2 ( đpcm) Bài 2: a) 5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y -2x +2 = 0 ⇔ 4x 2 + 8xy +4y 2 +x 2 -2x +1+y 2 +2y+1 = 0 ⇔ 4(x+y) 2 +(x-1) 2 +(y+1) 2 =0 ⇔    −= = ⇔      =+ =− =+ 1 1 01 01 0 y x y x yx Vậy (x;y)=(1;1) thì đẳng thức thoả mãn b) 1= 2 3 .2 3 2 .332 yxyx +−+ suy ra 1 2 =( 2 3 .2 3 2 .3 yx + ) 2 ( ) ( ) ( )       +=               +               +≤ 6 35 23 2 3 3 2 .2.3 22 2 2 22 yxyx theo Bất đẳng thức Bunhiacopxki Dấu “=” xảy ra ⇔ yx yx 49 2 3 2 3 2 3 =⇔= kết hợp 2x + 3y = 1 suy ra x= 35 4 ;y= 35 9 Vậy MinS = 35 9 ; 35 4 35 6 ==⇔ yx Bài 3: 1612251172 223 −+=−+− xxxxx ( ) 047)47)(3(23 22 =−+−−−−−−⇔ xxxxxx ( )      == ≥ ⇔      −=−− ≥−− ≥− ⇔=−−−−⇔ 7;1 7 4 473 03 047 047)3( 2 2 2 2 xx x xxx xx x xxx Vậy phương trình có nghiệm x=1 và x=7 P Q K F E D M I J C B A . KỲ THI CHỌN LỌC HS GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC : 2006-2007 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian giao đề Bài 1: Chứng minh rằng : a)