b Anh chị hãy trình bày các bước của phương pháp chung để giải một bài toán.. Lấy ví dụ minh họa.[r]
(1)SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI TỈNH CẤP THCS NĂM HỌC 2012 - 2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (6 điểm) a) Anh (chị) hãy nêu năm cách thông dụng để tạo tình có vấn đề dạy học Toán b) Anh (chị) hãy trình bày các bước phương pháp chung để giải bài toán Lấy ví dụ minh họa Câu (3,5 điểm) a) Hãy nêu các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp b) Hãy giải bài toán sau hai cách: Qua điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm|) và cát tuyến MEF đường tròn (O) (cát tuyến MEF không qua O) Gọi I là trung điểm EF Chứng minh rằng: điểm M, A, I, O, B cùng nằm trên đường tròn Câu (4 điểm) Xét bài toán: 2x x Cho biểu thức P = x x x x ( x1 ): x1 Tìm các giá trị x để biểu thức P có giá trị nguyên Anh (chị) hãy nêu định hướng giải bài toán trên và trình bày lời giải bài toán Câu (1,5 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n thì hai số (2n + 1)(n + 1) và 3n + là hai số nguyên tố cùng Câu (5 điểm) Cho bài toán: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh a, E là điểm nằm trên cạnh CD (E không trùng với D) Tia phân giác góc DAE cắt CD F Qua F kẻ đường thẳng vuông góc với AE H và cắt BC G a) Tính số đo góc FAG b) BD cắt AF, AG P, Q Chứng minh AH, GP, FQ đồng qui c) Tìm vị trí điểm E trên cạnh CD để diện tích tam giác AFG nhỏ Anh (chị) hãy giải bài toán trên Anh (chị) hãy hướng dẫn học sinh giải câu b Hết (2) Đáp án Câu Một số cách thông dụng để tạo tình có vấn đề Dự đoán nhờ nhận xét trực quan thực nghiệm Lật ngược vấn đề Xem xét tương tự Khái quát hoá Phát sai lầm, tìm nguyên nhân và sửa chữa Phương pháp chung tìm lời giải bài toán - Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán: + Giả thiết là gì? Kết luận? Hình vẽ sao… + Phát biểu bài toán nhiều dạng khác để hiểu rõ bài toán + Bài toán này thuộc dạng toán nào? + Các kiến thức liên quan - Bước 2: Xây dựng chương trình giải: Chỉ rõ các bước cần tiến hành theo trình tự thích hợp - Bước 3: Thực chương trình giải: Trình bày theo các bước đã - Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: + Xem có sai lầm không + Có thể giải bài toán theo cách khác không + Có thể khai thác bài toán không Câu a) Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 (hoặc tứ giác có góc ngoài đỉnh góc đỉnh đối diện) - Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại góc - Nếu hai đường thẳng AB ,CD cắt M và MA.MB =MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp (3) A _ I _ E _ F _ M _ K _ O _ B _ b) Cách 1: Do I là trung điểm dây EF không qua tâm nên OI EF suy MIO = 900 mặt khác vì MA, MB là các tiếp tuyến đường tròn tâm O nên MAO = MBO = 900 suy tứ giác MAIO và MAOB nội tiếp Suy điểm M, I, A, O, B cùng nằm trên đường tròn Cách 2: Gọi K là trung điểm MO Do I là trung điểm dây EF không qua tâm nên OI EF suy MIO = 900 mặt khác vì MA, MB là các tiếp tuyến đường tròn tâm O nên MAO = MBO = 900 MO suy KA = KB = KM = KO = KI = suy đpcm Câu Định hướng giải bài toán: Bước Tìm điều kiện xác định biểu thức P Bước Rút gọn biểu thức P Bước Tìm giá trị nguyên P từ đó tìm giá trị x thoả mãn Trình bày lời giải: x 0, x 1 Điều kiện xác định: 2x x x x x 1 x x x 1 Ta có: P = x x 1 x1 : x x 1 x x x 1 : x1 (4) Do x x 1 nên < P 2 Mà P nguyên suy P = 1; 2 1 x (Thoả mãn ĐKXĐ) Nếu P = giải Nếu P = giải x = (Thoả mãn ĐKXĐ) Câu Giả sử hai số (2n + 1)(n + 1) và 3n + không nguyên tố cùng suy tồn d là ước chung nguyên tố (2n + 1)(n + 1) và 3n + suy (2n + 1)(n + 1)d mà d nguyên tố nên 2n + 1d n + 1 d Nếu 2n +1d mà 3n + 2d suy 2(3n + 2) – 3(2n + 1)d 1 d (vô lí vì d nguyên tố) (1) Nếu n +1d mà 3n + 2d suy 3(n + 1) – (3n + 2)d 1d (vô lí vì d nguyên tố) (2) Từ (1) và (2) suy (2n + 1)(n + 1) và 3n + nguyên tố cùng Câu A B Q G P H D F E C a) Ta có ADF = AHF (cạnh huyền - góc nhọn) AH = AD = AB AHG = ABG (cạnh huyền - cạnh góc vuông) 1) A3 = A4 Mà A1 = A2 nên FAG = ½ DAB = 450 b) Xét tứ giác AQFD có FAQ = FDQ = 450 nên tứ giác AQFD nội tiếp ADF + AQF = 1800 mà ADF =900 AQF = 900 FQ AG (1) Tương tự GP AF (2) (5) Mà AH FG (3) Từ (1), (2), (3) suy AH, FQ, GP đồng quy c) Do ADF = AHF SADF = SAHF ABG = AHG SABG = SAHG SAFG = SADF + SABG 2SAFG = SABCD - SFGC = a2 - SFGC Suy SAFG nhỏ và SFGC lớn đặt CF = x, CG = y suy FG = x2 y2 mà FH = FD, GH = GB FC + FG + GC = CD + CB = 2a 2a = x + y + x y 2 xy xy xy (áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm) 2a a2 xy (1 2) xy (1 2) SFGC = 2) dấu “=” xảy và x = y và FAG = 450 E trùng C Nêu các phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy Quan sát hình vẽ ta nghĩ đến phương pháp sử dụng tính chất các đường đồng quy tam giác Mà AH FG nên ta dự đoán AH, FQ, GP là các đường cao tam giác AFG Ta phải chứng minh FQ AG AQF = 900 Mà ADF = 900 nên phải chứng minh tứ giác AQFG nội tiếp (6)