Với kết quả này, hệ thức cần chứng minh có thể được viết lại thành: MC⋅ME⋅DC=MC2⋅DE ME⋅DC=MC⋅DE DC/MC=DE/ME Do tứ giác EMOC nội tiếp nên dễ thấy DEO~DMC và DEM~DOC.. Đây chính là [r]
(1)ĐỀ THI VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI HSG lớp tỉnh Nghệ An năm 2012-2013 Câu (4.0 điểm) a/ Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c = a 3+b3+c3 = Chứng minh ba số a,b,c có ít số b/ Cho các số tự nhiên a,b,c,d thỏa mãn a>b>c>d và: ac+bd=(b+d+a−c)(b+d−a+c) Chứng minh ab+cd là hợp số Lời giải a/ Do a+b+c =0 nên ta có a3+b3+c3−3abc =(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)=0, suy a3+b3+c3 =3abc Mà theo giả thiết a3+b3+c3 nên ta có 3abc=0 Nói cách khác, ba số a,b,c có ít số ĐPCM b/ Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề Nếu số nguyên dương a là ước số tích A=a1a2⋯an với aiN∗ và a>ai, i =1,2,…,n thì a là hợp số Chứng minh Giả sử ngược lại, a là số nguyên tốt Khi đó, A⋮a nên các số phải có ít số aj chia hết cho a, tức ta phải có aj≥a Điều này mâu thuẫn với tính chất số a, đó nó phải là hợp số Trở lại bài toán: Giả thiết bài toán có thể viết lại dạng sau: ac+bd=(b+d)2−(a−c)2,hay a2−ac+c2=b2+bd+d2 Ta có (ab+cd)(ad+bc)=ac(b2+d2)+bd(a2+c2) =ac(b2+bd+d2)+bd(a2−ac+c2)=(ac+bd)(b2+bd+d2) Do đó, ab+cd là ước (ac+bd)(b2+bd+d2) Theo bổ đề trên, để chứng minh ab+cd là hợp số, ta cần chứng minh tính đúng đắn hai bất đẳng thức: ab+cd >ac+bd (1) và ab+cd >b2+bd+d2 (2) Bất đẳng thức (1) hiển nhiên đúng ta có ab+cd−ac−bd = (a−d)(b−c)>0 Như vậy, ta còn phải xét bất đẳng thức (2) Từ giả thiết, ta thấy a<b+d thì: a2−ac+c2 =a(a−c)+c2<(b+d)(b+d−c)+c2 =b2+bd+d2−(b−c)(c−d)<b2+bd+d2 (2) Mâu thuẫn này cho thấy a≥b+d và thế, ta có ab+cd>(b+d)b+d2=b2+bd+d2 Bất đẳng thức (2) chứng minh Bài toán giải hoàn toàn Câu (6.0 điểm) _ a/ Giải phương trình: √2x +7x+10 + √2x2+x+4 = b/ Giải hệ phương trình: x2−3xy+y2 =−1 (1) 3x2−xy+3y2=13 (2) 3(x+1) Lời giải a/ Đặt a = √2x +7x+10 và b = √2x2+x+4 với (a,b>0) Khi đó, ta có 2 a −b = 6(x+1) Do đó, phương trình đã cho có thể viết lại thành: a+b =1/2 (a2−b2 ) (a+ b) = ½ (a+b) (a – b ) hay (a – b )(a – b – ) = Do a+b>0 nên từ đây ta có a − b =2 Lại có a+b=3x+3 nên kết hợp lại, ta _ 2a=(a−b)+(a+b) = 3x+5, √2x +7x+10 =3x+5 Phương trình này tương đương với 3x+5≥0 4(2x2+7x+10) = (3x+5)2 x ≥ −5/3 x2+2x−15=0 x≥−5/3 (x−3)(x+5)=0 x=3 Thử lại, ta thấy x=3 thỏa mãn phương trình đã cho ban đầu Vậy phương trình có nghiệm x=3 (ĐS) (2) Từ hệ phương trình, ta suy 0=13⋅(−1)+13 =13(x2−3xy+y2)+(3x2−xy+3y2)=8(2x−y)(x−2y) Do đó, ta có x=2y y=2x *Trường hợp x=2y Thay kết này vào phương trình (1), ta (2y)2−3⋅2y⋅y+y2=−1 y2=1 y=1 ; x=2 y=−1 ; x=−2 (3) *Trường hợp y=2x Bằng phép tương tự trên, ta tìm (x,y)=(1,2) (x,y)=(−1,−2) Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm (x,y) là (1,2),(2,1),(−1,−2) và (−2,−1) Câu (3.0 điểm) Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a3+b3+c3−3abc =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P=a2+b2+c2 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 1=(a3+b3+c3−3abc) =(a+b+c) (a2+b2+c2−ab−bc−ca) ≤ [(a+b+c) 2+2⋅(a2+b2+c2−ab−bc−ca)3]3 =(a2+b2+c2)3 Từ đây, ta thu P≥1 Mặt khác, dễ thấy dấu đẳng thức xảy a=1 và b=c=0 Vậy minP=1 Đ PCM Câu (7.0 điểm) Từ điểm D nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến DA,DB với đường tròn (A và B là các tiếp điểm) Vẽ cát tiếp tuyến DEC (E nằm D và C) OD cắt AB M, AB cắt EC N Chứng minh rằng: a/ MA là phân giác góc EMC b/ MB2⋅DC=MC2⋅DE c/ 2/EC=1/DC+1/NC Lời giải Dễ thấy các khẳng định bài toán là hiển nhiên đúng trường hợp cát tuyến DEC qua O Chứng minh đây, ta trường hợp DEC không qua O và không tính tông quát, ta giả sử E gần A B (như hình vẽ) (a) Sử dụng tính chất tiếp tuyến, ta có DE⋅DC=DA2 Mặt khác, ta lại có DA2=DM⋅DO (áp dụng hệ thức lượng tam giác DAO vuông A có AM là đường cao) Do đó, ta thu DE⋅DC=DM⋅DO Từ đây, ta suy tứ giác EMOC nội tiếp Suy EMD=ECO Do tam giác OEC cân O nên ECO=CEO (4) Mà CEO=CMO (cùng chắn cung CO (EMOC)) nên ta có EMD =ECO = CEO =CMO Một cách đơn giản, ta có EMD = CMO; Mà EMD +EMA= 90o và CMO +CMA = 90o nên với kết trên, ta thu EMA = CMA Nói cách khác, MA là phân giác góc EMC (2) Theo chứng minh trên, ta có EMD = OMC và DEM =COM (do tứ giác EMOC nội tiếp), suy △DEM∽△COM Từ đây, ta có EM/OM=DM/MC hay MC⋅ME=MD⋅MO Mà MD⋅MO=MB2 (áp dụng hệ thức lượng tam giác MBO vuông O có BM là đường cao) nên ta suy MB2=MC⋅ME Với kết này, hệ thức cần chứng minh có thể viết lại thành: MC⋅ME⋅DC=MC2⋅DE ME⋅DC=MC⋅DE DC/MC=DE/ME Do tứ giác EMOC nội tiếp nên dễ thấy DEO~DMC và DEM~DOC Suy DC/MC=DO/OE và DE/ME=DO/OC Mà OC=OE nên từ đây, ta có DC/MC=DO/OE=DO/OC=DE/ME (3) Ta thấy hệ thức cần chứng minh có thể viết lại sau: 2=EC/DC+EC/NC 1−EC/DC=EC/NC−1DE/DC=EN/NC Sử dụng tính chất đường phân giác, ta có EN/NC=EM/ MC Do đó, ta cần chứng minh DE/DC=ME/MC, hay DC⋅ME=DE⋅MC Đây chính là kết đã chứng minh phần (2) trên PHH sưu tầm và giới thiệu 2/2014 Nguồn trunghocphothong (5)