Bài giảng Đề thi HS giỏi huyện

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO AN MINH Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2010 – 2011 Môn Toán. Thời gian 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1: (2 điểm) Cho biÓu thøc: P = 4 8 1 2 : 4 2 2 x x x x x x x x     − + −  ÷  ÷  ÷  ÷ − + −     a/ Rót gän P b/ TÝnh gÝa trÞ cña x ®Ó P = -1 Bài 2 : (1 điểm) Với ba số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức : ( ) 2 1 3 a b c ab bc ca a b c + + + ≥ + + + + + Bài 3 : (2 điểm) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình: 3x 2 +10 xy + 8y 2 =96 Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng tạo độ Oxy cho ba đường thẳng (d); (d 1 ) và (d 2 ) lần lượt có phương trình là: y = x – 4; x + 2y = – 2 và y = –2x + 2 a/ Chứng minh rằng : Nếu các điểm thuộc (d) thì cách đều (d 1 ) và (d 2 ) b/ Tính diện tích tam giác được tạo bởi (d 1 ) , (d 2 ) và trục Oy Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lầy điểm I trong tam giác sao cho CBI ˆ = 15 0 ; BCI ˆ = 30 0 . Tam giác AIC là tam giác gì , hãy chứng minh. HẾT PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO AN MINH Đáp án, biểu điểm môn Toán học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2010 – 2011 Bài 1: (2 điểm) a/ Rót gän P (1,5®) §iÒu kiÖn: a ≥ 0 ; x ≠ 4 vµ x ≠ 9 (0,5®) P = : )2)(2( 8)2(4 xx xxx −+ +− )2( )2(2)1( − −−− xx xx (0,25®) = 8 4 3 : (2 )(2 ) ( 2) x x x x x x x + − + − − (0,25®) = 8 4 ( 2) . (2 )(2 ) 3 x x x x x x x + − + − − (0,25®) = 4 3 x x − (0,25®) b/ TÝnh gÝa trÞ cña x ®Ó P = -1 (0,5®) P = -1 ⇔ 4x + x - 3 = 0 (0,25®) ⇔ ( x + 1) (4 x - 3)= 0 ⇔ x = 3 4 ⇔ x = 9 16 (0,25®) Bài 2 : (1 điểm) Ta có: ( ) 2 0 2a b a b ab − ≥ ⇒ + ≥ (0,25®) Tương tự: 2a c ac + ≥ 2b c bc + ≥ 1 2a a + ≥ (0,25®) 1 2b b + ≥ 1 2c c + ≥ (0,25®) Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ở trên ta được điều phải chứng minh. ( ) 2 1 3 a b c ab bc ca a b c + + + ≥ + + + + + (0,25®) Bài 3 : (2 điểm) Ta có: 3x 2 + 10xy + 8y 2 = 96 ⇔ 3x 2 + 4xy + 6xy + 8y 2 = 96 ⇔ (3x 2 + 6xy) + (4xy + 8y 2 ) = 96 (0,25®) ⇔ 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96 ⇔ (x + 2y)(3x + 4y) = 96 (0,25®) Do x, y nguyên dương nên : x + 2y; 3x + 4y nguyên dương và 3x + 4y > x + 2y 3 ≥ Mà 96 = 2 5 . 3 có các ước là : 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 được biểu diễn thành tích 2 thừa số không nhỏ hơn 3 là: 96 = 3.32 = 4.24 = 6. 16 = 8. 12 (0,25®) Lại có : x + 2y và 3x + 4y có tích là 96 ( là số chẵn) có tổng 4x + 6y là số chẵn (0,25®) Do đó ta giải các hệ phương trình sau:    =+ =+ 2443 42 yx yx Hệ phương trình này vô nghiệm. (0,25®) Hoặc    =+ =+ 1643 62 yx yx    = = ⇒ 1 4 y x (0,25®) Hoặc    =+ =+ 1243 82 yx yx Hệ phương trình này vô nghiệm (0,25®) Vậy cặp số nguyên dương phải tìm là : x = 4, y = 1 (0,25®) Bài 4: (2 điểm) a/ * Gọi A là giao điểm của (d) và ( d 2 ). Vậy tọa độ của A là nghiệm của hệ : 4 2 2 2 2 y x x y x y = − =   ⇔   = − + = −   Vậy A(2 ; – 2).Ta được:2 + 2.(– 2 )= – 2 => A thuộc (d 1 ).Vậy ba đường thẳng (d); (d 1 ) và (d 2 ) đồng quy tại A. (0,5®) * Gọi B; D; và C lần lượt là giao điểm của (d); (d 1 ) và (d 2 ) với trục Ox . Gọi H là hình chiếu của A trên Ox. Ta được : B( 4; 0);C(–2; 0);D( 1; 0); H ( 2; 0)=> BH = 2;HC = 4; BC = 6; H CD = BD =3; AH = 2. (0,25®) * Áp dụng định lý Pi – Ta – Go và các Tam giác vuông ADH và AHC ta được : AD 5;AC 20 2 5= = = (0,25®) * Xét tam giác ACD, ta được : AC 2 5 2 AC BC AD 5 AD BD BC 6 2 BD 3  = =   ⇒ =   = =   => AB là phân giác góc ngoài của tam giác ADC Suy ra các điểm thuộc AB cách đều AD và AC hay các điểm thuộc (d) cách đều (d 1 ) và (d 2 ). (Đpcm). (0,5®) b/ Diện tích tam giác được tạo bởi (d 1 ) , (d 2 ) và trục Oy là 33.2. 2 1 = (0,5®) Bài 5: (3 điểm) * Dựng tam giác đều BCD sao cho A và D nằm cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC. ( 0,5 đ) * Ta được : 0 000 000 15 ˆ ˆ 154560 ˆˆˆ 154560 ˆˆˆ ==⇒      =−=−= =−=−= ACDABD BCABCDACD ABCCBDABD ( 0,5 đ) * Xét ΔDAB và ΔDAC : DB = DC 0 15 ˆ ˆ == ACDABD AB = AC D C B I A Suy ra : ΔDAB = ΔDAC => 0 30 ˆ 2 1 ˆˆ === BDCCDABDA ( 0,5 đ ) * Xét ΔDBA và ΔCBI : 0 15 ˆˆ == IBCABD DB = BC 0 30 ˆ ˆ == ADBBCI Suy ra : ΔDBA = ΔCBI =>AB = IA => ΔABI cân tại B (0,5 đ ) * Tam giác ABI cân tại B và ICACAIBIAIABIBA ˆ 15 ˆ 75 ˆ ˆ 30 ˆ 000 ==⇒==⇒= Suy ra tam giác AIC cân tại I ( 1 đ ) ----------------------------------------- LƯU Ý: - Các cách giải khác nếu đúng, được hưởng điểm tối đa của phần đó. - Điểm từng phần, điểm từng bài khi chấm không làm tròn. . – ĐÀO TẠO AN MINH Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2010 – 2011 Môn Toán. Thời gian 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1: (2 điểm) Cho. DỤC – ĐÀO TẠO AN MINH Đáp án, biểu điểm môn Toán học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2010 – 2011 Bài 1: (2 điểm) a/ Rót gän P (1,5®) §iÒu kiÖn: a ≥ 0 ;