Phòng GD&ĐT Hải Hậu kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học: 2012 - 2013 Môn Toán lớp 7 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1 (3 điểm) a, Thực hiện phép tính: 3 1 3 2 1 1 1 .15 .5 3 : 7 6 . 2 7 3 7 3 2 2 3 + ữ ữ b, So sánh các số : 5 6x = ; 6 5y = ; 7 3z = Bài 2 (3 điểm) a, Chứng minh rằng: Nếu ( ) ( ) ( ) 3. 7. 5.a b b c c a+ = + = + thì 3 7 a b b c- - = b, Cho hàm số ( ) 2 1f x x= - . Tìm các giá trị của x sao cho ( ) 1f x- nhận giá trị âm. Bài 3 (3 điểm) Cho biểu thức: A = 7 4x x+ + - a, Tìm giá trị của x để biểu thức A nhận giá trị bằng 13. b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. Bài 4 (3 điểm) Trong đợt phát động làm kế hoạch nhỏ, ba lớp 7A, 7B, 7C thu gom đợc 90 kilôgam giấy vụn. Trung bình mỗi học sinh lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự thu gom đợc 0,6; 0,7; 0,8 kilôgam giấy vụn. Biết số học sinh lớp 7A, 7B tỉ lệ với 4 và 3, lớp 7B, 7C tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi lớp tham gia làm kế hoạch nhỏ. Bài 5 (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và góc A bằng m 0 , góc B bằng 2 lần góc C. Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại điểm D. a, Tính số đo của góc BDC theo m. b, Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho CF = AB. Chứng minh tam giác AEF là tam giác cân. c, Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) cắt BD tại M. Kẻ CK vuông góc với AB (K thuộc AB) cắt BD, AH theo thứ tự tại N, I. Chứng minh IM = IN. Bài 6 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có góc A bằng 100 0 . Lấy điểm O thuộc miền trong của tam giác sao cho góc OBC bằng 20 0 , góc OCB bằng 10 0 . Tính số đo góc AOC. Đề thi gồm 01 trang Phòng GD&ĐT hải hậu hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi Năm học: 2012 - 2013 Môn toán lớp 7 Bài 1 (3 điểm) a, (1,5 điểm) 3 1 3 2 1 1 1 3 1 2 7 1 13 7 .15 .5 3 : 7 6 . 2 15 5 . . 7 3 7 3 2 2 3 7 3 3 2 7 2 3 + = + ữ ữ ữ ữ 0,25đ ( ) 3 7 .21 6 . 7 3 - = - - 0,5đ đề chính thức 9 14= - 0,5đ 5=- 0,25đ b, (1,5 điểm) Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 6 5 . 6 25.6 150; 180; 147x y z= = = = = = = = (Mỗi ý cho 0,25đ) 0,75đ Vì 147 < 150 < 180 => 2 2 2 z x y< < 0,25đ Mà ; ;z x y là các số dơng nên z x y< < 0,5đ Bài 2 (3 điểm) a, (1,5 điểm) Có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 7 5 3. 7. 5. 105 105 105 35 15 21 a b b c c a a b b c c a a b b c c a + + + + + + + = + = + => = = => = = 0,5đ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có 15 21 21 15 6 b c a c a c b c a b+ + + - - - = = = - (1) 35 21 35 21 14 a b a c a b a c b c+ + + - - - = = = - (2) 0,25đ 0,25đ Từ (1) và (2) => 6 14 3 7 a b b c a b b c- - - - = => = 0,5đ b, (1,5 điểm) Có ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 (1 ) 1 1 2f x x f x x x x= - => - = - - = = - 0,5đ (1 )f x- nhận giá trị âm khi ( ) 2 0x x - < mà 2x x- < với mọi x nên cần có 0 2 0 x x > < 0,5đ Từ đó tìm đợc 0 2x< < và KL 0,5đ Bài 3 (3 điểm) a, (1,75 điểm) Biểu thức A nhận giá trị bằng 13 khi 7 4 13(*)x x+ + - = - Nếu 7 0x + hay 7x - thì 7 7x x+ = + Khi đó (*) trở thành 7 4 13 11 13x x+ + - = => = . Vô lí (Loại) 0,25đ 0,5đ - Nếu 7 0x + < hay 7x <- thì 7 7x x+ =- - Khi đó (*) trở thành 7 4 13 2 3 13 2 16 8x x x x x- - + - = =>- - = =>- = => =- . Thỏa mãn ĐK 7x <- 0,25đ 0,5đ KL: Vậy giá trị cần tìm của 8x =- 0,25đ b, (1,25 điểm) Theo câu a có: A = 11 nếu 7x - và A = 2 3x- - nếu 7x <- 0,25đ Với 7 2 14 2 3 14 3 11x x x<- =>- > =>- - > - = => A = 2 3 11x- - > 0,25đ Do đó A 11 với mọi x 0,25đ Xảy ra dấu bằng khi 7x - 0,25đ KL: Vậy biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 11 khi 7x - 0,25đ Bài 4 (3 điểm) Gọi số học sinh lớp 7A, 7B, 7C tham gia làm kế hoạch nhỏ lần lợt là a, b, c (a, b, c là các số nguyên dơng) Theo bài ra ta có: 4 3 a b = và 4 5 b c = 0,25đ Vì trung bình mỗi học sinh lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự thu gom đợc 0,6; 0,7; 0,8 kg giấy vụn và ba lớp thu gom đợc 90 kg nên ta có: 0,6a + 0,7b + 0,8c = 90 0,25đ Từ 4 (1) 3 4 3 16 12 a a b a b b = => = => = 4 ( 2) 5 4 5 12 15 b b c b c c = => = => = (Mỗi ý cho 0,25đ) 0,5đ Từ (1) và (2) => 0,6 0,7 0,8 16 12 15 9,6 8, 4 12 a b c a b c = = => => = = 0,5đ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và 0,6a + 0,7b + 0,8c = 90 ta có 0,6 0,7 0,8 0,6 0,7 0,8 90 3 9,6 8, 4 12 9,6 8,4 12 30 a b c a b c+ + = = = = = + + 0,5đ Tứ đó tìm đợc 48; 36; 45a b c= = = . (Mỗi ý cho 0,25đ) 0,75đ KL 0,25đ Bài 5 (4,5 điểm) a, Tính số đo góc BDC theo m (1 điểm) Lập luận để có 1 2 BDC A B = + (1) 0,25đ Tính đợc 0 0 0 0 1 180 1 60 2 3 3 m B m = = 0,5đ Thay 0 0 1 1 60 2 3 B m = vào (1) và tìm đợc 0 0 2 60 3 BDC m = + 0,25đ b, Chứng minh tam giác AEF là tam giác cân (2điểm) Lập luận để có ABE FCA = 0,5đ Chứng minh đợc ABE FCA = (Nêu đợc mỗi yếu tố bằng nhau cho 0,25đ) 1đ => AE AF AEF= => là tam giác cân tại đỉnh A 0,5đ c, Chứng minh IM = IN (1,5 điểm) Lập luận để có 0 1 90 2 IMN HMB B = = 0,5đ Lập luận để có 0 1 90 2 INM B = 0,5đ Từ đó có IMN INM = => IMN là tam giác cân tại đỉnh I => IM IN= 0,5đ Bài 6 (3,5 điểm) B A C H M N I E F D K A B C O D Từ ABC là tam giác cân tại A có 0 100A = chỉ ra đợc ABC = 0 40ACB = 0,25đ Trên tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC => BDC là tam giác cân tại B => BCD = 0 70BDC = 0,5đ Chứng minh đợc BOD BOC OD OC ODC = => = => là tam giác cân tại O (1) 0,75đ Lập luận để có 0 0 0 70 10 60OCD BCD OCB = = = (2) 0,25đ Từ (1) và (2) => OCD là tam giác đều => CO CD= 0,5đ Lập luận để có 0 30ACO ACD = = 0,5đ Chứng minh đợc AOC ADC AOC ADC = => = hay 0 70AOC BDC = = 0,75đ * Chú ý: 1, Trong từng câu: + Học sinh giải cách khác hợp lý, đúng cho điểm tơng ứng. + Các bớc tính, hoặc chứng minh độc lập cho điểm độc lập, các bớc liên quan với nhau đúng đến đâu cho điểm đến đó. 2, Điểm toàn bài là tổng điểm các phần đạt đợc không làm tròn. . giấy vụn. Trung bình mỗi học sinh lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự thu gom đợc 0,6; 0 ,7; 0,8 kilôgam giấy vụn. Biết số học sinh lớp 7A, 7B tỉ lệ với 4 và 3, lớp 7B, 7C tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh. AOC. Đề thi gồm 01 trang Phòng GD&ĐT hải hậu hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi Năm học: 2012 - 2013 Môn toán lớp 7 Bài 1 (3 điểm) a, (1,5 điểm) 3 1 3 2 1 1 1 3 1 2 7 1 13 7 .15 .5 3 : 7 6 KL 0,5đ Bài 3 (3 điểm) a, (1 ,75 điểm) Biểu thức A nhận giá trị bằng 13 khi 7 4 13(*)x x+ + - = - Nếu 7 0x + hay 7x - thì 7 7x x+ = + Khi đó (*) trở thành 7 4 13 11 13x x+ + - = =>