ToanTHCS

PHÒNG GD&ĐT YÊN ĐỊNH TRƯỜNG THCS ĐỊNH THÀNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI PHÁT HUY TÍNH SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH LỚP QUA BÀI TOÁN CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Người thực : Lê Thế Hiển Chức vụ : Tổ trưởng chuyên môn Đơn vị công tác : Trường THCS Định Thành SKKN thuộc môn : Toán YÊN ĐỊNH, NĂM 2016 I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm học 2015-2016 năm học Trường THCS Đinh Thành áp dụng thử nghiệm “mô hình trường học mới” học sinh lớp Đây mô hình dạy học nhằm phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo kĩ làm việc nhóm học sinh Tuy nhiên thực tiễn giáo dục xuất số mâu thuẫn như: Trong tiết học thời lượng dành cho học sinh thảo luận nhóm để hình thành kiến thức nhiều nên thời lượng dành cho học sinh khá, giỏi hoạt động cá nhân nhằm tìm tòi, mở rộng, nâng cao kiến thức Hiện tại, tất môn học nói chung môn Toán nói riêng theo “mô hình trường học mới” lớp chưa có sách giáo khoa, sách tập, tài liệu bổ trợ ( thầy, trò, cha mẹ học sinh có tài liệu thử nghiệm dùng chung) Các toán số phương đa dạng phong phú, mang nội dung vô sâu sắc việc giaó dục tư tưởng qua môn học rèn luyện tư cho học sinh Các em học sinh thường gặp nhiều khó khăn việc tìm lời giải toán chứng minh số số phương Có đâu, vận dụng kiến thức chương trình học để giải Phương pháp giải loại toán nào? Để giải vấn đề dễ dàng cho loại toán này, trong phân phối chương trình môn toán THCS tiết dành cho loại toán mà chúng xuất cách đơn lẻ Với ‎ ‎nghĩa ‎như ‎vậy, ‎tôi ‎mạnh ‎dạn ‎lựa ‎chọn ‎đề ‎tài “Phát huy tính sáng tạo học sinh lớp qua toán chứng minh số số phương” để làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Việc nghiên cứu đề tài nhằm mục đích: -Giúp học sinh lớp nắm kiến thức Phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo học sinh việc mở rộng, vận dụng kiến thức học vào giải tập có liên quan đến số phương - Phục vụ cho công tác ôn tập bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp trường THCS Định Thành - Đề tài tập trung nghiên cứu, tổng kết chất lượng dạy học môn Toán trường THCS Định Thành Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết kết hợp với điều tra khảo sát thực tế II NỘI DUNG Cơ sở lí luận - Dạy học phát huy tính tích cực, chủ động học sinh phù hợp với quy luật tâm lí học, tính tích cực chủ động dẫn tới tính tự giác khơi dậy tiềm to lớn học sinh.Dạy học phát huy tính tích cực chủ động học sinh phù hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh THCS, lứa tuổi lứa tuổi ưa hoạt động, thích khám phá; đồng thời dạy học phát huy tính tích cực học sinh đáp ứng yêu cầu đát nước trình đổi mới, hội nhập, thời kỳ đòi hỏi người lao động phải động, sáng tạo, tự chủ, thích ứng linh hoạt với thực tiễn - Trong chương trình Toán THCS, phần số học chiếm thời lượng không nhiều, song kiến thức mở đầu lại tảng, sử cho kiến thức khác Đối với môn Toán 6, em học tập toán liên quan đến phép chia hết giới thiệu số phương Bắt đầu từ khái niệm đơn giản em làm quen với nhiều dạng toán liên quan đến số phương Đây điều kiện để em củng cố kiến thức, áp dụng kiến thức cách linh hoạt, sáng tạo, phát huy tính tích cưc, chủ động chiếm lĩnh kiến thức - Những kiến thức số phương sách giáo khoa hành viết ít, học sinh chủ yếu tiếp cận trình đọc tài liệu tham khảo, nâng cao Đây nguyên nhân nhiều học sinh gặp toán liên quan đến số phương không định hình hướng giải Nhận dạng số phương (chứng minh số phương) hiểu phương pháp dạy giải toán số phương nhằm mục đích hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải toán số phương sở kiến thức học Thực trạng vấn đề trước áp dụng đề tài Qua nghiên cứu,khảo sát ,kết hợp với trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp năm gần ,tôi thấy việc học sinh tiếp thu vận dụng kiến thức phần số học nói chung ,giải toán số phương nói riêng nhiều hạn chế, kết chưa cao Sự nhận thức ứng dụng thực tế vận dụng vào việc giải tập vận dụng đặc biệt phần tập nhận dạng số phương nhiều yếu Bên cạnh đó, số học sinh đội tuyển học sinh giỏi Toán kiến thức em số phương chưa hoàn thiện,thiếu kĩ phương pháp giải dạng toán Là giáo viên nhiều năm giảng dạy phụ trách công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán Tuy nhiên thân gặp không khó khăn việc lựa chọn tài liệu giảng dạy ,phân dạng toán,tìm phương pháp giải cho dạng toán Các tài liệu chưa phân rõ dạng tập Kinh nghiệm truyền thụ kiến thức cho học sinh thiếu thốn Chính tìm tòi nghiên cứu tài liệu, phân dạng toán để học sinh dễ dàng nhận dạng toán từ có hướng giải vấn đề nhanh nhất, nâng cao chất lượng hiệu giảng dạy -Kết thi khảo sát đầu năm học 2015-2016, môn toán Trường THCS Định Thành TS Loại Loại Yếu Loại TB Loại Khá Loại Giỏi HS SL % SL % SL % SL % SL % 78 40 51 27 35 0 Các giải pháp để giải vấn đề 3.1 Các kiến thức cần nhớ số phương 3.1.1 Định nghĩa : Số phương số viết dạng bình phương số tự nhiên khác 3.1.2 Một số tính chất : * Tính chất 1: Số phương tận chữ số 0;1;5;6;9 * Tính chất 2: Số phương chia hết cho số nguyên tố P chia hết cho P2 * Tính chất 3: Một số phương lớn 10 có chữ số tận số hàng chục * Tính chất 4: Một số phương có chữ số tận chữ số hàng chục số lẻ * Tính chất 5: Một số phương chia cho dư * Tính chất 6: Một số phương chia cho dư * Tính chất 7: Giữa hai số phương liên tiếp số phương (Tính chất kẹp) * Tính chất 8: Nếu a,b hai số tự nhiên nguyên tố ab số phương a, b số phương * Tính chất 9: Nếu chữ số hàng đơn vị số phương chữ số hàng chục phải số lẻ * Tính chất 10: Nếu chữ số hàng đơn vị số phương khác chữ số hàng chục phải số chẵn * Tính chất 11: Không có số phương có tận hai chữ số lẻ * Tính chất 12: Nếu hai chữ số tận số phương chẵn, chữ số tận số 3.2 Một số dạng toán số phương Dạng 1: Chứng minh số số phương * Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa số phương Để chứng minh số A số phương, ta biến đổi A thành bình phương số tự nhiên (A = n2 ) * Ví dụ: Bài toán 1: Chứng minh số A= 135.60.3773.77.169 số phương Giải: - Phân tích số : 135, 60, 3773, 77 thừa số nguyên tố, ta : 135= 33.5 ; 60= 3.5.22 ; 3773=73.11; 77=7.11; 169=132 - Ta có: A= 135.60.3773.77.169 = 33.5.3.5.22 73.11.7.11.132 = (2.32.5.72.11.13)2 = 6306302 Nhận xét: Khi chứng minh số có dạng tích số tự nhiên có nhiều chữ số, ta phân tích số thừa số nguyên tố viết lại số dạng tích lũy thừa số nguyên tố (mỗi số nguyên tố viết lần tích) Bài toán 2: Cho số A tổng 2015 số nguyên dương đầu tiên, số B tổng 2016 số nguyên dương Chứng minh rằng: A+B số phương Giải: - Áp dụng cách giải toaans Gau-xơ (toán 6), ta dễ dàng tính được: A= 2015 × 2016 2016 × 2017 ;B = 2 - Ta có : 2015 × 2016 2016 × 2017 2016(2015 + 2017) × 2016 A+ B = + = = = 20162 2 2 Vậy A+B số phương - Từ kết toán trên, ta có tính chất tổng quát sau : Tổng quát : Với an=1+2+3+…….+n an+1=1+2+3+…….+n+(n+1) (n ∈ N) an+an+1 số phương Bài toán 3: Chứng minh số sau số phương D = 1+3+5+7+9 E = 1+3+5+7+9+… +2015 Giải : D = 1+3+5+7+9= 25=52 Vậy D số phương E = 1+3+5+7+9+… +2015 dãy số cách có khoảng cách có 1008 số hạng, nên áp dụng cách giải toán Gau-xơ ta dễ dàng tính : E = 1+3+5+7+9+… +2015=2016.504=1008.1008=10082 Vậy E số phương - Từ kết toán trên, ta suy tính chất tổng quát sau: Tổng quát: Với n số lẻ thì, ta có 1+3+5+7+9+… +n số phương * Phương pháp 2: sử dụng kiến thức cấu tạo số Phương pháp thuận lợi cho việc xét số có chữ số giống - Phương pháp giải: + Để chứng minh số A số phương, ta sử dụng kiến thức cấu tạo số hệ thập phân học tiểu học: 1= 10 − 102 − 103 − ;11 = ;111 = ; 9 + Biến đổi A dạng : (a+b)2 (a-b)2 - Ví dụ: Bài toán 4: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số Chứng minh : A-B số phương Giải: 100 chữ số Ta có A = 11…1 = 99 10100 − = 9 100 chữ số Tương tự : B = 22…2 = 2(1050 − 1) 50 chữ số 2 10100 − 2(1050 − 1) 10100 − 2.1050 + 1050 −  = − = =>A –B = = (33…3)2  9   50 chữ số Dạng 2: Chứng minh số số phương * Phương pháp 1: Đánh giá chữ số tận - Phương pháp giải: Dựa vào đặc điểm chữ số tận số cần chứng minh để nhận dạng số có phải số phương hay không - Ví dụ: Bài toán 5: Chứng minh số m = 10100+1050+2 không số phương Giải: Ta có số 10100 có chữ số tận 0, số 1050 có chữ số tận Vậy số m có chữ số tận 2, nên số m số phương(Tính chất1) Bài toán 6: Ta viết số tự nhiên từ đến 100 liên tiếp thu số n = 1234567891011… 9899100 Chứng minh n số phương Giải: n = 1234567891011… 9899100 = 1234567891011…98991.102 Xét số 1234567891011…98991 có tận số lẻ nên không số phương (tính chất 11) Vậy n = 1234567891011… 9899100 số phương Nhận xét: Nếu nhìn nhận hai chữ số cuối số n = 1234567891011… 9899100 ta không giải toán Vấn đề số n có tận hai chữ số 0, nên ta phân tích n thành tich hai số 1234567891011… 98991 100 Đến toán có hướng giải * Phương pháp 2: Sử dụng tính chất số dư - Phương pháp giải: Dựa vào số dư phép chia số phương cho số 2,3,4,5,…để nhận biết số có phải số phương hay không - Ví dụ : Bài toán 7: Chứng minh số p = 10100+1050+1 không số phương Giải: Ta có số 10100 có tổng chữ số 1, số 1050 có tổng chữ số Vậy số p có tổng chữ số 3, nên số p chia hết cho (3 số nguyên tố), p lại không chia hết cho (vì có tổng chữ số 3) Vậy p số phương(Tính chất 2) Nhận xét: Nếu theo lối mòn tư mà áp dụng cách giải toán toán không giải được, hai chữ số tận số p 01 nên ta cách đánh giá Bài toán 8: Chứng minh số có tổng chữ số 2006 số phương Giải: Vì số phương chia cho có số dư 1(tính chất 5), mà tổng chữ số số 2006, nên số chia cho dư Vậy số cho số phương Nhận xét: Bài toán cho tổng chữ số số cần tìm 2006, nên ta không tìm chữ số tận cùng, mặt khác số 2006 không chia hết không áp dụng cách giải toán Vậy sở để giải toán dựa vào số dư số 2006 cho Bài toán 9: Chứng minh số q = 44+4444+444444+44444444+15 không số phương Giải: Vì số phương chia cho có số dư 1(tính chất 6), mà ta có số 44, 4444, 444444, 44444444 chia hết cho và15 chia dư 3, nên số chia cho dư Vậy số cho số phương Nhận xét: Ta thấy q có chữ số tận 9, nên giải theo phương pháp Mặt khác q chia cho lại dư 1, nên cách giải Vậy xét dư phép chia q cho dễ * Phương pháp 3: Dựa vào tính chất “kẹp” - Phương pháp giải: Nếu n số tự nhiên số tự nhiên k, thỏa mãn n2 < k < (n+1)2 k không số phương - Ví dụ: Bài toán 10: Chứng minh số 4014025 không số phương Giải: - Ta có: 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 20042 Vậy 4013225 số phương Nhận xét: Ta thấy số 4014025 có hai chữ số tận 25, chia cho dư 1, chia cho dư Thế nên tất cách làm trước không vận dụng Hướng giải cách dựa vào tính chất “kẹp” Qua toán trên, ta thấy : Muốn chứng minh số tự nhiên không số phương, phải dựa vào điều kiện cần để số số phương, chứng minh số cho không thỏa mãn điều kiện Dạng 3: Tìm số phương thỏa mãn điều kiện cho trước Bài toán 11: Cho chữ số 0,2,3,4 Tìm số phương có chữ số gồm chữ số Giải: - Gọi số phương cần tìm n2 Số phương không tận 2, 3(tính chất 1), số phương tận phải tận số chẵn chữ số - Do đó, n2 phải tận 4, suy n M2 ⇒ n2 M4 (tính chất 2), n2 phải có hai chữ số tận 04 24 Xét số 2304, 3204, 3024, ta có 2304 = 482 Vậy số cần tìm 2304 Bài toán 12 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết nhân số với 135 ta số phương Giải : - Gọi số cần tìm A, ta có 135.A = n2 (n∈ N) hay 33.5.A = n2 - Số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn(vì theo tính chất số phương chia hết cho số nguyên tố p phải chia hết cho p2), nên A=3.5.k2 (k∈ N) + Với k=1 A=15 + Với k=2 A=60 + Với k ≥ A ≥ 135 , có nhiều hai chữ số Vậy số cần tìm 15 60 Bài toán 13: Tìm số phương có chữ số dạng abbb Giải: Không có số phương có tận hai chữ số lẻ (tính chất 11) Dễ thấy b ≠ b chẵn mà số phương tận hai chữ số chẵn chữ số tận (tính chất 12), rút b=4 Kiểm tra giá trị a ta thấy: +) a=1 ta số 1444=382 +) Với a số chẵn (Tức a=2;4;6;8) số a 444 số phương số a a a 444 = 4(500 + 111) mà số 500 + 111 có dạng 4k+3 dạng số 2 phương (tính chất 6) +) 3444 9444 số phương chúng chia hết cho mà không chia hết cho (tính chất 2) +) Kiểm tra trực tiếp hai số lại 5444 7444 ta nhận thấy chúng không phương Vậy toán có nghiệm 1444 Bài toán 14: Hãy tìm số phương có tận bốn chữ số giống khác Giải: Giả sử tồn số phương : A = a bcccc với c ≠ Do số phương tận hai chữ số lẻ (tính chất 11) hai chữ số cuối số phương chẵn chữ số tận số (tính chất 12), ta rút c=4 Khi số A viết dạng: A = a b.104 + 4444 = 4(a b.2500 + 1111) = 4(4m + 3) Do số 4m+3 dạng số phương (tính chất 6) nên A số phương Nói cách khác không tồn số phương có tận bốn chữ số giống khác Qua toán 11, 12, 13 14 ta thấy : Muốn tìm số tự nhiên số phương, phải dựa vào định nghĩa tính chất điều kiện toán sử dụng phương pháp loại trừ điều kiện không thỏa mãn Các tập tham khảo Bài 1: Cho hai số tự nhiên A B A gồm 2000 chữ số 1, số B gồm 1000 chữ số chứng minh A+B+1 số phương Bài 2: Chứng minh rằng: Với an=1+2+3+…….+n an+1=1+2+3+…….+n+(n+1) (n ∈ N) an+an+1 số phương Bài 3: Chứng minh rằng: 1+3+5+7+….+n số phương (n lẻ) Bài 4: Chứng minh rằng: A= 11…1 – 88…8 +1 số phương 20 chữ số 10 chữ số Bài 5: Chứng minh số sau không số phương: A=5+52+53+…+5100 B= 20042005 C= 20062-20052+20042-20032 Bài 6: Tìm dạng tổng quát số phương có tận ba chữ số giống khác Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: - Từ đầu năm học 2015-2016, sau nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào dạy học môn Toán lớp Trường THCS Định Thành Bản thân thấy phần kiến thức số học, đặc biệt dạng toán liên quan đến số phương hoàn thiện nhiều - Chất lượng môn Toán lớp 6, qua kỳ thi khảo sát học kỳ cải thiện đáng kể so với chất lượng khảo sát đầu năm học.Cụ thể: TS Loại Loại Yếu Loại TB Loại Khá Loại Giỏi HS SL % SL % SL % SL % SL % 78 35 44,87 24 30,77 11 14,1 10,26 0 So sánh với kết thi khảo sát đầu năm học, chưa nhiều chất lượng môn Toán lớp có chuyển biến tích cực Tỷ lệ học sinh yếu, giảm 4% 6%; tỷ lệ học sinh TB trở lên tăng 5% -Trong kỳ thi giải toán mạng internet cấp huyện vừa qua, Học sinh lớp Trường THCS Định Thành có học sinh đạt giải khuyến khích III.KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Kết luận: - Bồi dưỡng học sinh giỏi nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Nhằm phát nuôi dưỡng tài cho đất nước Đẩy mạnh nghiệp phát triển giáo dục Đáp ứng mục tiêu: Nâng cao dân trí bồi dưỡng nhân tài phục vụ nghiệp công nghiệp hoá - đại hoá đất nước thời kỳ - Kinh nghiệm rút từ sáng kiến áp dụng cho công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp bậc THCS Giúp hệ thống hoá kiến thức cách có hệ thống, sâu rộng, phát triển tư phần số học lớp - Để nâng cao chất lượng giảng dạy phần tập số phương nêu đề tài cần có phối hợp linh hoạt phương pháp giảng dạy Tuỳ theo vùng , miền đối tượng học sinh mà giáo viên áp dụng khác cho phù hợp * Bài học kinh nghiệm: - Trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, học sinh cần nắm vững kiến thức cấu tạo số, phép tính tập hợp Z số nguyên, tính tổng dãy số theo quy luật, đặc biệt nội dung toán Gau-xơ - Trong tiết học gắn lí thuyết với tập thực tế giúp học sinh yêu thích môn, say mê nghiên cứu tìm tòi - Luôn không ngừng học hỏi để nâng cao trình độ chuyên môn, nâng cao tay nghề, tìm tòi phương pháp giảng dạy để đạt hiệu cao Kiến nghị: -Phòng GD nên thường xuyên mở hội thảo chuyên đề công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cho giáo viên phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi ngành có nhiều dịp giao lưu, học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau; Nếu Phòng GD nên xây dựng khung chương trình bồi dưỡng chung thống toàn ngành cho môn - Nhà trường cần quan tâm trong công tác tuyển chọn,bồi dưỡng học sinh giỏi - Bổ sung thêm tài liệu, đầu sách mới; nâng cao hiệu hoạt động thư viện nhà trường -Tổ,nhóm chuyên môn tăng cường hoạt động, tổ chức triển khai chuyên đề, hội thảo khoa học công tác tuyển chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi tuyến - Tổ,nhóm chuyên môn cần tập trung trí tuệ, xây dựng khung chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi cho tất môn,các tuyến.Xây dựng ngân hàng đề thi học sinh giỏi tất môn cho giáo viên học sinh nghiên cứu tham khảo - Tổ chức triển khai đưa vào giảng dạy đề tài SKKN có tính ứng dụng HĐKH ngành đánh giá cao 10 - Phòng GD nên tổ chức Hội thảo chuyên đề mô hình trường học mới; Tổ chức kỳ thi học sinh giỏi môn văn hóa riêng cho học sinh học mô hình trường học với học sinh lại XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Yên ‎Định,ngày ‎30 ‎tháng ‎3 ‎năm ‎2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác NGƯỜI VIẾT Lê Thế Hiển 11 TÀI LIỆU THAM KHẢO: - Phương ‎pháp ‎giải ‎bài ‎toán ‎nghiệm ‎nguyên, NXB Giáo dục, năm 1997 - Tạp chí Toán học tuổi trẻ, NXB Giáo dục, năm 1998 - 500 ‎Bài ‎toán ‎số ‎học ‎chọn ‎lọc ‎trung ‎học ‎cơ ‎sở, NXB Đại học Quốc gia, năm 2003 - Những ‎bài ‎toán ‎số ‎học ‎hay ‎và ‎khó, NXB Đại học sư phạm, năm 2006 - Bồi ‎dưỡng ‎học ‎sinh ‎giỏi ‎Toán ‎6,NXB Giáo dục,năm 2012 -Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn Toán 12 MỤC LỤC I Mở đầu lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II Nội dung Cơ sở lí luận Thực trạng vấn đề trước áp dụng đề tài 3.Các giải pháp để giải vấn đề 3.1 Các kiến thức cần nhớ số phương 3.1.1 Định nghĩa 3.1.2 Một số tính chất Dạng 1: Chứng minh số số phương Dạng 2: Chứng minh môt số số phương Dạng 3:Tìm số phương thỏa mãn điều kiện cho trước Các tập tham khảo III Kết luận đề xuất Kết luận Kiến nghị Tài liệu tham khảo Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 10 Trang 10 Trang 10 Trang 12 13