Đề thi ôn HSG (toanTHCS)

TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 120 phút ĐỀ SỐ 01 Bài 1: (3 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: a) A = 3 5 3 5 2 3 5 2 3 5 + − + + + − − b) B = ( ) ( ) 14 2 13 12 2 11 44 52+ − + + b) C = 10 24 40 60 7 40+ + + − + Bài 2: (2 điểm) a) Tìm các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa: D = 1 2 1x x− − b) Giải bất phương trình: 3 2 5x − < c) Giải phương trình: 16 17 8 23x x+ = − Bài 3: (1,5 điểm) Cho biểu thức : P = 4 4 4 2 2 a a a a a + + − + + − ( Với a ≥ 0 ; a ≠ 4 ) a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính P tại a thoả mãn điều kiện a 2 – 7a + 12 = 0 Bài 4: (1,5 điểm) Cho tứ giác ABCD có µ µ 0 90D C+ = . Chứng minh AB 2 + CD 2 = AC 2 + BD 2 Bài 5: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD. E là điểm nằm giữa B và C. Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng AE và DC. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 AFAE AD + = ======= HẾT======= TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 120 phút ĐỀ SỐ 02 Bài 1: (3 điểm) 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) A = ( ) 3 2 5 29 12 5+ − b) B = 3 2 2 3 2 2 17 12 2 17 12 2 − + − − + 2. Không xử dụng máy tính , So sánh hai số a và b với: a = 2011 2010− và b = 2010 2009− Bài 2: (2 điểm) 1. Chứng minh bất đẳng thức Côsi: Với hai số a và b không âm, chứng minh rằng: 2 a b ab + ≥ 2. Giải phương trình sau: 2 2 3 5 2 3 12 14x x x x− + − = − + 3. Cho A = 3 5x x+ + − . Chứng minh rằng: A ≤ 4 Bài 3: (3 điểm) 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Biết AB : AC = 20 : 21 và AH = 420. Tính chu vi tam giác ABC. 2. Cho góc nhọn α . a) Biết rằng cos α – sin α = 0,2. Tính cotg α . b) Tính sin 2 1 0 + sin 2 2 0 + sin 2 3 0 + ……….+ sin 2 87 0 + sin 2 88 0 + sin 2 89 0 Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, Gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi D và E lần lượt là các điểm trên các đoạn thẳng BH và CH sao cho · · 0 90ADC AEB= = . Chứng minh tam giác ADE cân. = ==== HẾT===== TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 03 Bài 1: (3 điểm) 1. Rút gọn các biểu thức sau: A = 13 160 53 4 90− − + 2. Cho biểu thức P = 2 2 1 1 b b b b b b b b − + − + + − + a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P khi b = 3 2 2 4 − Bài 2: (2 điểm) 1. Giải phương trình : 1 4 3x x− + + = 2. a) Với a, b tùy ý, chứng minh rằng: a b a b+ ≥ + b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = ( ) ( ) 2 2 2009 2010x x− + − Bài 3: (3 điểm) 1. Tìm x, biết sinx.cosx = 0,5 và sin 2 x +cos 2 x = 1 2. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và C là điểm bên ngoài nửa đường tròn. CA, CB lần lượt cắt nửa đường tròn tại N và M. Gọi H là giao điểm của AM và BN. a) Chứng min CH ⊥ AB b) Giả sử CH = 2R. Tính tang · ACB . Bài 4: (2 điểm) Tử điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( B và C là hai tiếp điểm. Gọi E là hình chiếu của C trên đường kính BD của đường tròn (O). AD cắt CE ở K. Chứng minh K là trung điểm CE ==== HẾT===== TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 04 Bài 1: (2 điểm) 1. Thực hiện phép tính: 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3   + − +     + + − −   2. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 10 1 2 3 100 + + + + > Bài 2: (2 điểm) 1. Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: ( ) 1 1 2 2 x y z x y z+ − + − = + + 2Giải phương trình: 2 2 1 1 1 2 x x x x+ + − − + = Bài 3: (2 điểm) 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 4 3x x− + 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = ( ) ( ) 2 6x x− − Bài 4: (2 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB và tiếp tuyến d tại B. Trên d lấy hai điểm C và D. (B nằm giữa C và D). CA và DA cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Chứng minh AM. AC = AN. AD Bài 5: (2 điểm) Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến PA và PB tới đường tròn (A,B là hai tiếp điểm) . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến đường kính BC của đường tròn. Chứng minh PC cắt AH tại trung điểm I của AH. === HẾT=== TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 05 Bài 1: (3 điểm) 1. Tính giá trị biểu thức: a) A = 4 80 7 2 45 7 5 20 7− − b) B = 3 3 5 2 13 5 2 13+ + − 2. Rút gọn biểu thức P = 2 2 3 1 4 3x x x x− − − − + − − , với 3 4x ≤ ≤ Bài 2: (3 điểm) 1. Giải phương trình: a) 2 4 4 2x x x− + = − b) 2 2 2 4 5 4 8 4 9 3 5x x x x x x− + + − + + − + = + 2. Cho 0 < x < 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 9 2 2 x x x + − Bài 3. (2,5điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = a. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB ( Ax, By thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (O) (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn (O); nó cắt Ax, By lần lượt ở E và F. Gọi K là giao điểm của AF và BE, 1. Chứng minh MK AB ⊥ . 2. Khi MB = 3 .MA, tính diện tích tam giác KAB theo a. Bài 4: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC, trực tâm H là trung điểm của đường cao AD. Chứng minh rằng tgB. tgC = 2 ==== HẾT===== TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 06 Bài 1: (1,5 điểm) 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ab(a + b) – bc(b + c) + ac(a – c) 2. Chứng minh x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi x Bài 2: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: 1. A = ( ) 2011 2010 2010 2011 2010 2011 2011 2010 2010 2011 − + + 2. B = 2 1 2 1 1 4( 1) x x x x x − + − − + − − với x ≥ 1 và x ≠ 2 Bài 3: (2 điểm) 1. Giải phương trình sau: 2 2 3 2 2 1x x x x x+ = + + − 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 6 10 2 2023x y x y xy+ − − + + với x, y là các số thực không âm. Bài 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, H là trực tâm, các đường thẳng BH và CH lần lượt cắt AC và AB tại M và N, · 0 120NHM = . 1. Chứng minh · · AMN ABC= , tính MN BC . 2. Tính AH BC Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13cm; BC = 10cm. Tính cos A Bài 6: (1 điểm) Cho biểu thức M = ( ) ( ) 3 2 2 1 2 2 1n n n− − + + với n ∈ N Chứng minh M M 16 ====HẾT==== TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 07 Bài 1: (1,5 điểm) 1.Cho x và y là hai số khác nhau sao cho x 2 – y = y 2 – x . Tính giá trị của biểu thức A = x 2 + 2xy + y 2 – 3x – 3y 2.Tìm 3 chữ số tận cùng của tổng 999 4 + 999. Bài 2: (1,5 điểm) Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau: 1. ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2+ − − − + + 2. 14 6 5 2 2 5 3 1,5 2 − + + − + Bài 3: (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 1. A = 2 3x x− − 2. B = ( ) ( ) 2 2 2011 1x x− + − 3. C = 2 2 2 2 2 6 4 11 3 2 6 4x y x y x y x y+ − + + + + + + + Bài 4: (1,5 điểm) 1. Chứng minh bất đẳng thức 1 1x y y x xy− + − ≤ (với x ≥ 1; y ≥ 1) 2. Giải phương trình: 3 2 1 2 1 2 x x x x x + + − + − − = Bài 5: (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6; BC = 4. Vẽ AH ⊥ BD. Gọi M là trung điểm của HB; N là trung điểm của CD. Tính MA 2 + MN 2 . Bài 6: (2,0 điểm) Qua một điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ đường thẳng qua O cắt đường tròn ở A và B, kẻ qua M một đường thẳng khác cắt đường tròn ở C và D 1. So sánh các tích MA. MB và MC. MD. 2. Kẻ tiếp tuyến MT với đường tròn (T là tiếp điểm) . Chứng minh MTC ∆ MDT∆ ===HẾT==== TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 08 Bài 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức : A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 1. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên x, giá trị của A là số chính phương. 2. Tìm số nguyên x sao cho A = 25 Bài 2: (1,5 điểm) 1. Chứng minh rằng: a) 1 1 1 1 1 9 1 2 2 3 3 4 98 99 99 100 + + + + + = + + + + + b) 1 1 1 1 28 2 3 4 225 + + + + < 2. Cho biểu thức 2 2 6 19 6 10 3x x x x− + − − + = . Tính giá trị của biểu thức : M = 2 2 6 19 6 10x x x x− + + − + Bài 3: (2,0 điểm) 1. Với a ≥ 0, b ≥ 0 , chứng minh rằng a + b ( ) 2 2 2 a b≤ + 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = 3 4x y− + − , biết x + y = 8 3. Giải phương trình sau: 2 2 10 12 40x x x x− + − = − + Bài 4: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm (O; r), cạnh AB tiếp xúc với đường tròn tại D. Gọi S là diện tích tam giác ABC . Chứng minh : S = r (AD + BC) Bài 5: (2,5 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. 1. Chứng minh: 1 AB MO CD MO =+ . 2. Chứng minh: . MN 2 CD 1 AB 1 =+ 3. Biết 2 COD 2 AOB nS;mS == . Tính ABCD S theo m và n (với CODAOB S,S , ABCD S lần lượt là diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD). Bài 6: (1,0 điểm) Chứng minh rằng a 3 b – ab 3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b. === HẾT==== TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 09 Bài 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức A = n 3 – 4n 2 + 4n – 1. 1. Phân tích A thành nhân tử. 2. Tìm số tự nhiên n để giá trị của A là số nguyên tố. Bài 2: (3 điểm) 1. Rút gọn biểu thức: ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 − + + + − 2. So sánh hai số: a = 3 5 3 5 2 2 3 5 2 2 3 5 + − + + + − − ; b = 4 7 4 7 3 2 4 7 3 2 4 7 + − + + + − − 3. Tính giá trị của biểu thức : P = ( x 3 + 12x – 9) 2010 tại x = ( ) ( ) 3 3 4 5 1 4 5 1+ − − Bài 3: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình sau: ( ) ( ) 7 . 7 5 . 5 2 7 5 x x x x x x − − + − − = − + − 2. Chứng minh rằng: nếu a > 0; b > 0 thì a b a b b a + ≥ + Bài 4: (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm AD, N là trung điểm BC. Trên tia đối của tia DC lấy điểm P. Tia PM cắt đoạn thẳng AC ở Q. Chứng minh : · · QNM MNP= Bài 5: (1,5 điểm) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác mà độ dài các đường cao là 1 2 3 ; ;h h h . Chứng minh hệ thức: 1 2 3 1 1 1 1 r h h h = + + ====HẾT==== TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 10 Bài 1: (2,0 điểm) Cho biết a 3 + b 3 + c 3 = 3abc . Tính giá trị biểu thức : A = 1 1 1 a b c b c a     + + +  ÷ ÷ ÷     Bài 2: ( 4,5 điểm) Không xử dụng máy tính, hãy: 1. So sánh hai số: a = 2009 2011+ và b = 2 2010 . 2. Rút gọn các biểu thức sau: A = 3 2 2 3 2 2 17 12 2 17 12 2 − + − − + 3. Tính giá trị của biểu thức: B = 2 2 1 1 x x x x x x x x − + − + + − + với x = 3 2 2 4 − Bài 3: ( 4,0điểm) Giải các phương trình sau: 1. 3 7 1 2x x+ + − = 2. Cho hàm số: y = 1 2 2 7 6 2x x x x− − − + + − − a) Tìm các giá trị của x để y có nghĩa ? b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Bài 4: (4 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đường thẳng MN cắt các đường thẳng AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng µ µ E F= Bài 5: (4 điểm) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, và C là hai tiếp điểm). Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB, AC. Từ điểm T bất kì trên cung nhỏ BC vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt đoạn thẳng EF tại M. Chứng minh MA = MT Bài 6: (1,5 điểm) Chứng minh rằng: 1. a = 10 21 1 200− M 2. b = 20 13 39 39 40+ M 3. c = 2007 2005 2005 2007 2006+ M ======HẾT===== [...]... :(3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD Chứng minh rằng: 1 1 2 + = AB AC AD Bài 6: (4 điểm) a) chứng minh rằng : Với mọi số tự nhiên n ta có: 212 n+1 + 172 n +1 + 15 không chia hết cho 19 b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x + 25 = – 3xy + 8y2 -hết ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐỀ SỐ 25 Bài 1: (3 điểm) a)... + 2 2 < 1 2 1 2 2 3 3 4 9 10 2 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ( x + y ) = ( x − 1) ( y + 1) a) Chứng minh rằng: 2 ======= HẾT ======= 2 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐỀ SỐ 26 Bài 1 : (4 điểm) Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau: a) A = 4 + 15 + 4 − 15 − 2 3 − 5 b) B = 1 + 23 22 − 22 23 66 − 22 + 22 + 23 + 22.23 4−2 3 Bài 2:... CD cùng đi qua P và vuông góc với nhau tại P Chứng minh AB2 + CD2 có giá trị không đổi Bài 4: (4điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đường thẳng CD tại F Chứng minh 1 1 1 = 2 2 AB AE 4AF 2 Bài 5: (3điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y + 2x2 – y2 + 1 = 0 -HẾT - ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 24 Bài 1: (2 điểm)... tùy ý không vuông góc với AB và cắt AB tại I Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD Chứng minh CM = DN Bài 5: (4 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC > BD Kẻ CE ⊥ AB, CF ⊥ AD Chứng minh : AB AE + AD AF = AC2 Bài 6: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 3 + + > a+ b b+ c c+ a a+ b+ c ( với a, b, c > 0) *******HẾT****** ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 16... tròn đường kính AB Hai dây cung AC và BD cắt nhau tại H Chứng minh AH AC + BH BD có giá trị không đổi HẾT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 19 Câu 1: (3 điểm) a) Tìm số dư khi chia 31998 + 51998 cho 13 b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố Câu 2: (4 điểm) Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau: a) A = b) B = ( 14 − 6 5 2+ 2 + 5 −3 1,5 +... trên các đoạn thẳng BH và CH sao cho · ADC = · AEB = 900 Chứng minh tam giác ADE cân Bài 6: (2 điểm) Tìm số dư của phép chia 23232299 cho 23 = === HẾT===== ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐỀ SỐ 27 Câu 1: (4 điểm) a)Rút gọn biểu thức: A= 2 2 + 3 − 12 + 18 5+2 6 6+ 2 ; 14 + 6 5 − 14 − 6 5 2 5 B= b) Ba số dương a, b, c thỏa mãn b ≠ c ; a + b ≠ c và... GD QUẢNG NAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC :2008-2009 Môn : TOÁN Thời gian : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: ( 4 điểm ) a) Tìm số dư phép chia (20082008 -1 ) : 7 b) Chứng minh rằng : 42n+2 -1 chia hết cho 15 ( ∀ n ∈ N ) Câu 2: ( 5 điểm ) Tính a) A = 2+ 3 2 + 2+ 3 5 b) B = 7+ 2 + + 2− 3 2 − 2− 3 2 10 5+ 2+ 7 + 20 (2điểm) (2điểm) (2 điểm) (2 điểm) c) Chứng minh rằng a, b, c là các số không âm và b...TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 11 Bài 1: (5,0điểm) ( b − c) + ( c − a) + ( a − b) 1 Rút gọn biểu thức: A = 2 a ( b − c ) + b2 ( c − a ) + c2 ( a − b ) 3 3 3 Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau: 2 P = 4 − 7 − 4 + 7 + 2 3 Q = 1 + 1 1 1 1 1 1 + 2 + 1 + 2 +... kẻ từ A và B của nửa đường tròn lần lượt ở C và D Gọi H là hình chiếu của E trên AB · a) Chứng minh HE là phân giác của CHD b) Chứng minh CD EH không đổi khi E di chuyển trên nửa đường tròn HẾT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 17 Câu 1: (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A= 2 2 + 3 − 12 + 18 5+2 6 6+ 2 b) Chứng minh bất đẳng thức: 2010 2011 + > 2010 + 2011 2011 2010 Câu... ********************** HẾT*************************** ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 15 Bài 1: (3 điểm) a) Tìm số dư của phép chia S : 101 trong đó: S = 1n + 2n + 3n + …………… + 97n + 98n + 99n với n là số tự nhiên lẻ b) Chứng minh rằng : Nếu n là số tự nhiên lẻ thì 32 n +3 + 24 n +1 chia hết cho 25 Bài 2: (4 điểm) Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau: a)A . chân đường vuông góc kẻ từ A đến đường kính BC của đường tròn. Chứng minh PC cắt AH tại trung điểm I của AH. === HẾT=== TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 05 Bài. giác của · CHD . b) Chứng minh CD. EH không đổi khi E di chuyển trên nửa đường tròn. HẾT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 17 Câu 1: (4 điểm) a) Rút gọn biểu. BD cắt nhau tại H. Chứng minh AH. AC + BH. BD có giá trị không đổi. HẾT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 19 Câu 1: (3 điểm) a) Tìm số dư khi chia 3 1998 + 5 1998