Chuyên đề bồi dưỡng HSG toán

Nguyn Quang Khiờm Chuyờn : THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh Tớnh cht dóy t s bng I.Mục tiêu: -Học sinh nắm tính chất dãy tỉ số biết vận dụng làm tập -Rèn cho học sinh kỹ trình bày toán tính chất dãy tỉ số -Rèn cho học sinh có t sáng tạo giải toán -Giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, biết vận dụng kiến thức toán học vào gải toán thực tế II.Trọng tâm: Hai tiết đầu: hai dạng toán đầu III.Chuẩn bị: - Giáo viên: chọn lọc phân laọi tập, soạn văn GAĐT, máy chiếu, máy tính -Học sinh: học thuộc tính chất tỷ lệ thức tính chất dãy tỷ số IV.Hot động dạyhọc: A.Lý thuyết: * Các tính chất tỉ lệ thức: + Nếu a c = ad = bc b d + Nếu a, b, c, d : ad = bc a c = b d a b = c d d c = b a d b = c a * Về tính chất dãy tỉ số nhau: + Từ dãy tỉ số * * a c e a c = = = Theo tính chất dãy tỉ số ta có: b d f b d a c a+c ac = = = b d b+d bd a c e a+c+e ace = = = = = b d f b+d + f bd f Thỏng 11 nm 2008 Trang Nguyn Quang Khiờm Chuyờn : THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh Tớnh cht dóy t s bng B.Các dạng toán: Dạng 1: Tìm số bit tng (hoc tớch) v t s ca chỳng VD1: Tìm x,y,z biết: a) x y z = = x + y + z = 18 ; b) x y z = = x y z = 15 Giải: a) Cỏch 1: áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: x = 2.2 = x y z x + y + z 18 = = = = = y = 2.3 = 2+3+ z = 2.4 = Cỏch 2: t t s bng k rỳt x,y,z theo k x = 2k x y z = = = k y = 3k (1) z = 4k x + y + z = 2k + 3k + 4k = 9k 9k = 18 k = Theo (1) ta cú: x = 4; y = 6; z = Cỏch 3: Rỳt x, y theo z x= z x y z = = y = z x + y + z = z + z + z = z = 18 4 z = 8; x = 4; y = x = 3.2 = x y z x y z 15 = = y = 3.3 = b) = = = 234 z = 3.4 = 12 VD2: Tìm x, y,z biết: a) x y z = = x + y + z = 93 ; Thỏng 11 nm 2008 b) x y z = = x + y z = 34 Trang Nguyn Quang Khiờm Chuyờn : THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh Tớnh cht dóy t s bng Giải: áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: x = 3.3 = x y z y z x + y + z 93 = = = = y = 3.4 = 12 a) = = = 20 + + 20 31 z = 3.5 = 15 x = 2.3 = x y z x z x + y 3z 34 = = y = 2.4 = b) = = = = = 15 + 15 17 z = 2.5 = 10 2x 3y 4z = = x+2y+4z=220 ; VD3: Tìm x, y,z biết: Giải: a) Từ 2x 3y 4z x y z = = = = 18 16 15 áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: x = 2.18 = 36 x y z x + y + z 220 = = = = = y = 2.16 = 32 18 16 15 18 + 32 + 60 110 z = 2.15 = 30 VD 4: Tìm x, y biết: a) x = y x + y = 51 ; b) a.x = b y (a 0, b 0, b a) x y = b a Giải: a) Từ x = y x y = áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: x = 21 x y x + y 51 = = = =3 7 + 10 17 y = 15 b) Từ a.x = b y x y = b a áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: x = b x y x y ba = = = =1 b a ba ba y = a Thỏng 11 nm 2008 Trang Nguyn Quang Khiờm Chuyờn : THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh Tớnh cht dóy t s bng à 3B=C à VD5: Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ABC bit 2A=B; Giải: à à à à 3B=C à 2A=B à = C A = B = C = A + B + C = 180 = 200 2A=B; 9 Từ: = 200 ; B = 400 ;C = 1200 A Tổng quát : Tìm x,y,z biết x y z = = mx+ny+pz=d a b c (*) Với a, b, c, d số cho trớc m,n,p Phơng pháp giải là: ta cần áp dụng tính chất dãy tỉ số để để tạo tỷ số số Cụ thể: Từ x y z mx ny pz mx + ny + pz d = = = = = = = a b c ma nb pc ma + nb + pc ma + nb + pc VD6: Tìm x,y,z biết: a) x y = xy = 24 ; b) x y z = = xyz = 24 Giải: a) Cỏch 1: 2 x y x y x y xy 24 = ữ = ữ = = = =4 3 6 x = x = Vi x = y = Vi x = - y = - Cỏch 2: Đặt x y = = k x = 2k ; y = 3k Thỏng 11 nm 2008 Trang Nguyn Quang Khiờm Chuyờn : THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh Tớnh cht dóy t s bng Thay x = 2k ; y = 3k vào xy = 24 ta đợc: 2k 3k = 6k = 24 k = k = -Với k = x = 4; y = -Với k = x = 4; y = b) Đặt x y z = = = k x = 2k ; y = 3k ; z = 4k Thay x = 2k ; y = 3k ; z = 4k vào xyz = 24 ta đợc: x = 2k 3k 4k = 24k = 24 k = k = y = z = 3 VD7: Tìm x, y,z biết: a) x y z = = x + y + z =141 b) x y z = = x + y z = 77 Giải: x y z = = (1) a) Từ x2 y z = = 16 25 áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: x y z 2 y z x + y + z 141 = = = = = = = x = x = 16 25 32 100 + 32 + 100 141 x = x = kết hợp với (1) y = y = z = z = b) Từ x y z x2 y2 z2 = = (1) = = 16 25 Thỏng 11 nm 2008 Trang Nguyn Quang Khiờm Chuyờn : THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh Tớnh cht dóy t s bng áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: x y z 2 x 3z 2 x + y 3z 77 = = = = = = = x = x = 16 25 18 75 18 + 16 75 77 x = x = kết hợp với (1) y = y = z = z = Tổng quát : Tìm x,y,z biết x y z = = mx k + ny k + pz k = d a b c Với a, b, c, d , m, n, p, d , k số khác k N * Phơng pháp giải nh sau: Từ x y z mx k ny k pz k = = = = a b c ma k nb k pc k mx k ny k pz k = = áp dụng tính chất dãy tỉ số cho dãy tỉ số ma k nb k pc k ta đợc: mx k ny k pz k mx k + ny k + pz k d = = = = k k k k k k k ma nb pc ma + nb + pc ma + nb k + pc k Dạng 2: Chứng minh đẳng thức t hệ thức cho trớc a b c d VD1: Cho tỉ lệ thức: = (a, b, c, d 0; a b; c d ) Chứng minh rằng: a) a+b c+d = ab cd b) a+b c+d = b d Giải: a) Cỏch 1: p dng tớnh cht dóy t s bng Từ a c a b = = áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: b d c d a b a+b ab = = = c d c+d cd Thỏng 11 nm 2008 Trang Nguyn Quang Khiờm Chuyờn : : THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh Tớnh cht dóy t s bng a+b ab a+b c+d = = c+d cd a b cd Cỏch 2: t t s bng k rỳt t theo k v mu: a + b kb + b k + = = a = kb a b kb b k a c t = = k b d c = kd c + d = kd + d = k + c d kd d k a+b c+d = ab cd Vy: Cỏch 3: p dng tớnh cht ca t l thc b)do: b a+b a+b c+d = = d c+d b d Cỏch 2: t t s bng k rỳt t theo k v mu: Cỏch 3: p dng tớnh cht ca t l thc Cỏch 4: a c a c a+b c+d = +1 = +1 = b d b d b d a c b d VD2: Cho tỉ lệ thức: = Chứng minh rằng: 2a+3b 2c+3d a) = 2a-3b 2c-3d 3a +5ab 3c +5cd b) = 7a -10b 7c -10d Giải: a) Cỏch 1: p dng tớnh cht dóy t s bng do: a c a b = = áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: b d c d a b 2a 3b 2a+3b 2a-3b = = = = = c d 2c 3d 2c+3d 2c-3d t : 2a+3b 2a-3b 2a+3b 2c+3d = = 2c+3d 2c-3d 2a-3b 2c-3d Cỏch 2: t t s bng k rỳt t theo k v mu: 2a+3b 2kb+3b 2k+3 = = a=kb 2a-3b 2kb-3b 2k-3 a c t = =k b d c=kd 2c+3d = 2kd+3d = 3k+3 2c-3d 2kd-3d 2k-3 Thỏng 11 nm 2008 Trang Nguyn Quang Khiờm Chuyờn : Vy: THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh Tớnh cht dóy t s bng 2a+3b 2c+3d = 2a-3b 2c-3d Cỏch 3: p dng tớnh cht ca t l thc b) Cỏch 1: p dng tớnh cht dóy t s bng do: a c a b = = áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: b d c d 2 a b a b a b a b ab = ữ = ữ = = = = c d c d c d c d cd 2 2 3a 7a 10b 5ab 3a +5ab 7a -10b = 2= 2= = = = 3c 7c 10d 5cd 3c +5cd 7c -10d 3a +5ab 3c2 +5cd = 7a -10b 7c -10d t 3a +5ab 7a -10b 3a +5ab 3c +5cd = = 3c +5cd 7c -10d 7a -10b 7c2 -10d Cỏch 2: t t s bng k rỳt t theo k v mu: Cỏch 3: p dng tớnh cht ca t l thc Tổng quát : a c Nu: = thỡ: b d ma+nb mc+nd a) = m'a+n'b m'c+n'd ma +nb +kab mc +nd +kac b) = m'a +n'b +k'ab m'c +n'd +kcd Nhn xột: Hu ht cỏc bi hai dng toỏn trờn u cú th gii bng nhiu cỏch nhiờn mi bi ta nờn chn c ỏch gii hp lý nht VD 3: Cho tỉ lệ thức: Giải: a+b c+d a c = Chứng minh rằng: = b d ab cd a+b c+d a b + 2b c d + 2d 2b 2d = = 1+ = 1+ a b c d a b cd a b cd c d a b c a a c = = = 2d 2b 2d 2b b d Dạng 3: Tớnh giỏ tr ca mt biu thc Thỏng 11 nm 2008 Trang Nguyn Quang Khiờm Chuyờn : THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh Tớnh cht dóy t s bng a b c a +b +c = = M= Vớ d: Cho : hóy tớnh giỏ tr ca biu thc b c a (a+b+c) Giải: a b c a+b+c = = = =1 a = b = c b c a a+b+c a +b +c a +a +a 3a 3a M= = = = = (a+b+c) (a+a+a) (3a) 9a Thỏng 11 nm 2008 Trang Nguyn Quang Khiờm Chuyờn : THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh Tớnh cht dóy t s bng C.Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm hai số x y biết: a) x = 5x 2y = 87; y b) x y = 2x y = 34; 19 21 Bài 2: Tìm số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c 3a + 5c 7b = 30 Bài 3: Tìm số x; y; z biết rằng: x y y z = ; = 2x + 3y z = 186; 2x 3y 4z = = c) 3x = 2y; 7y = 5z x y + z = 32;d) x + y + z = 49; x y z = = e) 2x + 3y z = 50; a) x y z = = 5x + y 2z = 28; 10 24 b) Bài 4: Tìm số x; y; z biết rằng: a) x y z = = xyz = 810; b) x y3 z3 = = x2 + y2 + z2 = 14 64 216 Bài 5: Tìm số x; y; z biết rằng: y + z +1 x + z + x + y = = = ; x y z x+y+z + 2y + 4y + 6y 2x + 3y 2x + 3y = = = = b) ; c) 18 24 6x 6x a) Bi 6: Ba ngi cựng gúp kinh doanh c tng s tin l 180 triu ng Bit rng ln s ca ngi th nht bng ln s ca ngi th hai v ln s ca ngi th hai bng ln ca ngi th Tớnh s m tng ngi ó gúp a c = ; Chứng minh rằng: b d 5a + 3b 5c + 3d 7a + 3ab 7c + 3cd = = a) ; b) 5a 3b 5c 3d 11a 8b 11c 8d a c 2a +13b 2c +13d = = Bài 8: Cho tỉ lệ thức: Chứng minh rằng: 3a 7b 3c 7d b d x y z bz cy cx az ay bx = = = = Bài 9: Cho dãy tỉ số : Chứng minh rằng: a b c a b c Bài 7: Cho tỉ lệ thức: Bài 10: Cho số a1; a2; a3; a4 thoả mãn: a22 = a1.a3 a32 = a2.a4 Chứng minh rằng: Bài 11*: Cho tỉ lệ thức : Thỏng 11 nm 2008 a13 + a 32 + a 33 a1 = a 32 + a 33 + a 34 a a +b ab = c +d cd Chứng minh rằng: a c = b d Trang 10 Nguyn Quang Khiờm Chuyờn : Bài 12: Cho ba tỉ số nhau: THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh Tớnh cht dóy t s bng a b c , , b +c c +a a +b Tìm giá trị tỉ số ? Bài 13: Cho a, b, c số hữu tỉ khác cho: a+b-c a-b+c -a+b+c = = c b a Tìm giá số biểu thức: M = Bài 14: Cho biểu thức: P= (a+b)(b+c)(c+a) abc x+y y+z z+t t+x + + + Tìm giá tri biểu thức P biêt rằng: z+t t+x x+y z+y x y z t = = = y+z+t z+t+x t+x+y x+y+z a1 a2 a 2007 a 2008 Bi 15: Cho 2008 s tho a1+a2+ +a2008 v a = a = = a = a 2008 a12 +a 22 + a 22007 +a 2008 Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc: N= (a1 +a + +a 2007 +a 2008 ) a b c ax + bx + c = = Bi 16: Cho P = Chng minh rng nu a1 b1 c1 a1x + b1x + c1 Thỡ giỏ tr ca P khụng ph thuc vo giỏ tr ca x Thỏng 11 nm 2008 Trang 11