ĐỀ THI HSG TOÁN lớp 9

ĐỀ THI HSG TOÁN lớp 9 ĐỀ THI HSG TOÁN lớp 9 ĐỀ THI HSG TOÁN lớp 9 ĐỀ THI HSG TOÁN lớp 9 ĐỀ THI HSG TOÁN lớp 9 VĐỀ THI HSG TOÁN lớp 9

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2012 -2013 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (3,0 điểm) 1 1 1   1     1  2 2 2012 20132 b) Cho số nguyên x y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  | x | 3 | y | Câu (1,5 điểm) a) Tính tổng: S   Tìm số hữu tỉ x, y thỏa mãn:   3x  y Câu (1,5 điểm ) Chứng minh rằng: a 2b 3c 1 3    a  2b  3c    2b 3c a a 2b 3c Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  Câu (3,0 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC ( AC  AB ) có đường cao AA ', BB ', CC ' trực tâm H Gọi (O ) đường tròn tâm O, đường kính BC Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) Gọi M ' giao điểm thứ hai A ' N đường tròn (O) , K giao điểm OH B ' C ' Chứng minh rằng: a) M ' đối xứng với M qua BC b) Ba điểm M , H , N thẳng hàng KB '  HB '   c)  KC '  HC '  Câu (1,0 điểm) Cho bảng ô vuông  (3 hàng cột) Người ta điền tất số từ đến vào ô bảng (mỗi số điền vào ô) cho tổng bốn số bảng có kích thước  số T Tìm giá trị lớn T —Hết— Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2012 -2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn - Với hình học thí sinh không vẽ hình phần không cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Ý 1 Nội dung trình bày Ta có: n  * ,1  (3đ) 1 n (n  1)  n  (n  1)   n (n  1) n (n  1) 2 (n  n  1)  1    1    n (n  1)  n n 1 1 1 1 Suy   (do    n  * ) 1  n (n  1) n n 1 n n 1 Áp dụng kết trên, ta có 1 1 1  1  2 1 1     22 32 1 1 1  1  2 2012 2013 2012 2013 ộng vế với vế 2012 đẳng thức t rên, ta C S  2013  2013 1 Nhận xét: Nếu có x, y thỏa mãn điều kiện đề xy  Do cần xét hai trường hợp sau TH1: x   y Khi P  | x | 3 | y | x  y y   x  x 13 x  21 Suy P  x  3· Do đó, P nhỏ x nhỏ  5 Do x nguyên dương, y nguyên âm nên x  3, y  1 Vậy, trường hợp này, P nhỏ 12 TH2: x   y Khi P  | x | 3 | y | 5 x  y y   x Điểm  x 13 x  21  Do đó, P nhỏ x lớn 5 Do x nguyên âm, y nguyên dương nên x  2, y  Vậy, trường hợp này, P nhỏ So sánh kết hai trường hợp, giá trị nhỏ P đạt x  2, y  Suy P  5 x  3· (1,5đ) Tìm số hữu tỷ x, y thỏa mãn: Điều kiện x  0; y    x  y (1) (1)    x  y  xy  (3 x  y  2)  xy  (2)  (3x  y  2)  36 xy  36 xy  12 xy   (3 x  y  2)  xy  (3) 12 x, y số hữu tỉ, nên từ (3) suy xy số hữu tỉ + Nếu x  y   0, ta có vế trái (2) số vô tỉ, vế phải (2) số hữu tỉ, điều vô lí + Nếu x  y   0, kết hợp với (2) ta có: 3x  y  3 x  y      xy    xy    x   Giải hệ ta được: x  y   y   Thay vào (1) ta x  y  thỏa mãn yêu cầu toán x y z ,2b  (với x, y, z > 0)  3c  z x y Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: y2 z x2 y z x x y z 3         zx xy yz x y z y z x Đặt a  (1,5đ)  x  y  z  xyz  y z  xz  x y  x z  xy  yz  x( x  y )( x  z )  y ( y  z )( y  x )  z ( z  x )( z  y )  (1) Không tính tổng quát giả sử x  y  z Ta có: (1)  ( x  y ) ( x  y  z )  z ( z  x )( z  y )  (2) Dễ thấy (2) suy đpcm a  a    Dấu ‘‘=’’ xảy  x  y  z  b    c  A (3đ) B' N C' M B H A' O C M' Từ giả thiết ta có:  AMO   ANO   AA ' O  90o nên điểm A, A’, M, O, N thuộc đường tròn đường kính AO  AA ' N   AMN (1)   AMN  MM ' N  sđ MN Lại có:  (2)  'N   AA ' N  MM’//AA’ Từ (1) (2)  MM Mà BC  AA’  BC  MM’ Mặt khác BC đường kính (O) nên BC vuông góc với MM’ trung điểm MM’, M’ đối xứng với M qua BC b AMC’ ABM có  AMC '   ABM chung góc MAB AM AC ' (3)  AMC ' ~ ABM    AM  AB AC ' AB AM AC ' AH   AA ' AH  AB AC ' (4) Dễ thấy AC ' H ~ AA ' B  AA ' AB AH AM Từ (3) (4)  AA ' AH  AM   AM AA ' Mặt khác AHM AMA ' có chung góc  A’ AM nên   (5) AHM ~ AMA '  AMH  AA ' M Tứ giác AMA’N nội tiếp   AA ' M   ANM Có AM, AN tiếp tuyến ( O)   AMN   ANM AMN   AA ' M Từ (6) (7)   c (6) (7) (8) AMH   AMN Từ (5) (8) ta có  Dễ thấy H, N nằm phía so với đường thẳng AM nên tia MH trùng tia MN hay M, H, N thẳng hàng B' C' K H F E B O C D Qua O kẻ đường thẳng d song song với B’C’ , d cắt BB’ CC’ D, E KB ' KH KC ' KB ' OD      (9) OD OH OE KC ' OE   ECO  (vì BB    EOC  Ta có: BDO ' C ' ) BOD OD OB OD OC 2 (10)  DBO ~ CEO    OD.OE  OC   OC OE OE OE Lấy F (F ≠ E) đường thẳng CC’ cho OE = OF B  ' ) Lại có HB    OFC ' C ' H (vì OEC ' C '  OCF  B ' C ' H ~ CFO  HB ' OC HB ' OC    HC ' OF HC ' OE (11) (1đ) KB '  HB '  Từ (9), (10), (11)    KC '  HC '  1,0 điểm Tổng tất số ghi bảng       45 Gọi x số ghi ô (2; 2) (ô trung tâm bảng); ô lại ghi số a, b, c, d, e, f, g, h (Hình 1): a b c h x d g f e Hình Cộng tổng tất số ghi bảng kích thước  ta 4T  x  (a  c  e  g )  2(b  d  f  h)  45  x  ( x  b  d  f  h) Do x  9, x  b  d  f  h       35 nên 4T  45  2·9  35  98  T  24 (do T   ) Trên Hình phương án điền số cho T  24 Hình SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG ¯¯¯¯¯¯¯ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2012 – 2013 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Đề thức Môn: Toán - lớp (Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian phát đề) _ Đề thi có 01 trang Bài ( điểm) a) Chứng minh đẳng thức sau:  a a  a    1 a 1 a  : 1 a    ( với a > 0, a  1) b) Tìm giá trị nhỏ y  2x2  4x   x2  2x  Bài ( điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: a) 33 x   43 x  24  b) y  2x x 1  y 1     x  y  1  x  y  13 27 x  81  20 Bài ( điểm) a) Chứng minh rằng: Với a  Z A = a3 - 7a + 12 chia hết cho b) Tìm số có chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phương chữ số số Bài (4 điểm) Cho đường tròn đường kính AB Điểm C thuộc đường tròn ( C khác A, B) Vẽ dây BD phân giác góc ABC, BD cắt AC E, AD cắt BC G Điểm H điểm đối xứng với E qua D a) Tứ giác HAEG hình ? Chứng minh b) Chứng minh AH tia tiếp tuyến đường tròn đường kính AB Bài ( điểm) Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d cố định không giao với đường tròn Từ điểm M tùy ý d, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B thuộc đường tròn tâm O) Kẻ OH vuông góc với d H Dây cung AB cắt OH I, cắt MO K a) Chứng minh rằng: OI OH = OK OM b) Khi M thay đổi d điểm K di chuyển đường nào? -Hết - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG ¯¯¯¯¯¯¯ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2012 – 2013 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Đề thức Môn: Toán - lớp (Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian phát đề) _ HƯỚNG DẪN CHẤM Bài ( điểm) a)  a a     1 a 1 a     a a a a  1 a Ta có:    a 1 a  a 1 a 1 a  (0,5 điểm) (0,5 điểm) a 1 a a a a 1 a Vậy :    ( với a > 0, a  1) 1 a 1 a 1 a a  (0,5 điểm) (0,5 điểm) b) Tìm giá trị nhỏ y  2x  4x   x  2x   2 x  1   x  12  2 Do ( x + 1)  nên y   Dấu xảy ( x + 1)2 =  x = -1 Vậy giá trị nhỏ y   x = -1 (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) Bài ( điểm) a) 13 27 x  81  20 ( Điều kiện: x )  33 x   83 x   x   20  10 x   20 33 x   43 x  24   x   2  x   8  x  5 ( Thỏa điều kiện) (0,25 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,5 điểm) b) Đặt: X  x y ;Y  x 1 y 1 x  1; y  1 (0,5 điểm) Giải hệ phương trình: 2 X  Y    X  3Y  1 (0,5 điểm) Giải ra: X = 2; Y = -1 (0,5 điểm) x y Suy ra:   x = -2 ( thỏa),  1  y =  ( thỏa) x 1 y 1 (0,5 điểm) Vậy : ( x = -2 ; y =  ) Bài (4 điểm) a) A =a3 –7a+ 12 = a3 –a – a + 12 (0,25 điểm) = a(a – 1) - 6(a-2) (0,25 điểm) =a(a-1)(a+1) – 6(a-2) (0,5 điểm) Do a(a-1)(a+1) tích số liên tiếp nên a(a-1)(a+1) chia hết cho (0.5điểm) Mặt khác: -6(a – 2) (0,25 điểm) Nên A  (0,25 điểm) 3 b) Ta có : ab (a + b ) = a + b (0,25 điểm) 2  10a + b = a – ab + b = ( a + b ) – 3ab (0,25 điểm)  3a( + b ) = ( a + b ) ( a + b – ) (0,25 điểm) a + b a + b – nguyên tố đó: (0,25 điểm) a  b  3a  a  b    b  ( a = , b = 8) a  b   b  a  b   3a (0,5 điểm) ( a = , b = 7) (0,5 điểm) Vậy ab = 48 ab = 37 Bài (4 điểm) Hình vẽ (0,5điểm) G C H D E A B a) Tứ giác HAEG hình thoi Vì D thuộc đường tròn đường kính AB  BD  AG mà ABD  GBD (giả thiết) suy ra: tam giác BAG cân B DA = DG (vì BD trung tuyến) DE = DH (tính chất đối xứng) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) Suy tứ giác HAEG hình bình hành EA = EG ( BD đường trung trực AG) nên HAEG hình thoi (0,5 điểm) b) Ta có GE  AB ( E trực tâm tam giác BAG) (0,5 điểm) mà HA // GE ( tính chất hình bình hành) (0,5 điểm) suy HA  AB (0,5 điểm) Từ suy ra: AH tia tiếp tuyến đường tròn đường kính AB Bài (4 điểm) Hình vẽ (0,25 điểm) a) Do MA = MB ( định lí), mà OA = OB = R nên OM trung trực AB  OM  AB mà AB giao OM K  OKI  90 Xét tam giác OKI OHM có: OKI  OHM  90 , góc O chung  OKI đồng dạng OHM (g.g)  OH OM  OK OI (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm)  OI OH = OK OM (0,25 điểm) b) Ta có: OK OM = OA ( HTL tam giác vuông) (0,5 điểm) 2 Từ chứng minh câu a) suy ra: OI OH = OK OM = OA = R (0,5 điểm) Do O d cố định H hình chiếu O lên d nên OH không đổi, mà OI OH = R2 không đổi I thuộc OH nên OI không đổi  I cố định (0,5 điểm) Vì OKI  90 nên K thuộc đường tròn đường kính OI, mà OI cố định nên M di chuyển d K di chuyển đường tròn đường kính OI (0,5 điểm) Lưu ý: Học sinh có cách giải khác, cho trọn số điểm theo qui định -Hết - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2015-2016 Đề thức Môn: Toán - Lớp (Thời gian làm 150 phút, không kể phát đề) Đề thi có 01 trang Bài (4 điểm) 2 a) Phân tích đa thức thành nhân tử:  ax  by    ay  bx   c x  c y b) m i t nh nh t c a iể thức Q  x  10 x3  26 x  10 x  30 Bài (4 điểm) a) Chứn minh ằn : 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 với số tự nhiên n b) m c c số tự nhiên n cho n2 + 65 số phươn Bài (4 điểm) a) Giải phươn t nh: b) m c c n hiệm n x 1 x  x  x     95 93 91 89 yên c a phươn t nh: 5x – 3y = 2xy – 11 Bài (4 điểm) Cho h nh chữ nhật ABCD đối xứn c a C q a P a) ứ i c AMDB h nh ên đườn chéo BD l y điểm P Gọi M điểm ? Chứn minh ? b) Gọi E, F h nh chiế c a điểm M t ên AD, AB Chứn minh ằn : EF//AC a điểm E, F, P thẳn hàn Bài (4 điểm) Cho hình vuông ABCD Trên đườn chéo BD, l y điểm M ME  AB, MF  AD (E  AB, F  AD) t k Kẻ a) Chứn minh ằn : DE = CF DE  CF b) Chứn minh ằn : a đườn thẳn DE, BF, CM đồn q y c) Xác đ nh v t í c a điểm M t ên BD để tứ i c AEMF có diện tích lớn nh t Vì ? - HẾT Họ tên thí sinh: ………………………………… ……… Số o danh: …………… Chữ ký c a Gi m th 1: ………………… Chữ ký c a Gi m th 2: …………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2015-2016 Đề thức Môn: Toán - Lớp (Thời gian làm 150 phút, không kể phát đề) Đề thi có 01 trang Bài 1.(4 điểm) a) iể : P x  x 3 m x để iể b) x   11 x  x 9 x 3 P < m giá rị lớn n ấ n ỏ n ấ p ân : x2  2x  E x2  Bài (4 điểm) a) Ch ng r ng với m i a  Z 2a  3a  a  b) Ch ng r ng với m i ng n x, y A  ( x  y )( x  y )( x  y )( x  y )  y Bài 3.(4 điểm) Hai ng ời ùng làm mộ ông việ Nế àn ông việ Hai ng ời ùng làm đ ợ giờ, ng ời iếp ụ làm àn ng ời p ải àn àn ông việ r ng mấ n p ng ả ùng làm ng àn a ng ời n ấ làm việ k àn ông việ Hỏi nế làm mộ m n ? Bài (4 điểm) am giá AB v ông ại A, đ ờng a AH Mộ đ ờng ẳng q a A ắ đ ờng ròn đ ờng k n AB ại M, ắ đ ờng ròn đ ờng k n A ại N Điểm A n m điểm M N a) ng : MHN = 900 b) HM ắ AB ại I, HN ắ A ại J ng IJ // MN Bài (4 điểm) đ ờng ròn ( ) đ ờng ròn ( ), iếp ng ài ại A ( ) đ ờng k n A B đ ờng ròn (O) A đ ờng ròn ( ) â đ ờng ròn ( ) v ông gó với B ại r ng điểm B a) giá B n g ? ng ) i I gia điểm với đ ờng ròn ( ) ng a điểm , A, I ẳng àng ) ng I iếp ến đ ờng ròn ( ) - HẾT H n thí in : ………………………………… ……… S dan : …………… ữ ký iám ị 1: …………………… ữ ký iám ị 2: …………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC  x  16 x  Câu (1,5 điểm): Cho biểu thức: A    x  x   a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A  6 x 1  x 3 x 7  2  x 1   x   x 1 Câu (1,5 điểm): Cho hệ phương trình: mx  y  (với m tham số) 2 x  my  a) Giải hệ phương trình m  10 b) Tìm m để hệ phương trình cho có nghiệm  x; y  thỏa mãn hệ thức: 2015m  14m  8056 x  y  2014  m2  Câu (3,0 điểm): a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: a b c P   2 9a  3b  c 9b  3c  a 9c  3a  b b) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x(1  x  x )  y ( y  1) Câu (3,0 điểm): Cho đoạn thẳng AC có độ dài a Trên đoạn AC lấy điểm B cho AC  AB Tia Cx vuông góc với AC điểm C , gọi D điểm thuộc tia Cx ( D không trùng với C ) Từ điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD CD K , E a) Tính giá trị DC.CE theo a b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ c) Chứng minh điểm D thay đổi tia Cx đường tròn đường kính DE có dây cung cố định 1 1 Câu (1,0 điểm): Cho dãy gồm 2015 số: ; ; ; ; ; 2014 2015 Người ta biến đổi dãy nói cách xóa hai số u, v dãy viết thêm vào dãy số có giá trị u  v  uv vào vị trí u v Cứ làm dãy thu sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối lại số Chứng minh giá trị số cuối không phụ thuộc vào việc chọn số u, v để xóa lần thực việc biến đổi dãy, tìm số cuối -Hết Ghi chú: - Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………………… Số báo danh:…….…………… … SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (05 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm nêu cách giải với ý bản, thí sinh làm không theo cách nêu hướng dẫn chấm cho đủ số điểm phần thang điểm quy định 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm phải thống thực với tất giám khảo 3) Điểm toàn tính đến 0,25 điểm Sau cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết 4) Với hình học học sinh không vẽ hình phần không cho điểm phần II) Đáp án thang điểm: Câu Nội dung trình bày Điểm  x  16 x   x  x   x 1  x 3 Cho biểu thức: A   x 7  :2  x 1   x   x 1 a) (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức A  x   x  x    Điều kiện:  x     x 1   x 2  0 x 1  Từ đó: x  0; x  1; x  Biến đổi: Câu (1,5 đ) x  16 x   x2 x 3 x 1  x 3 x 7  x 1    x  1  x  3 x 1 x  x 1  x 3 x 6 x 7  x 3 x 1 x 3 x 7 x 7   2  x 3 x 1 x 1 0,25 x7 x 1 0,25    x  x 1  x 2 x 1 x 9 x 1 0,25 x 9 x 2 x 9 :  x 1 x 1 x 2 b) (0,5 điểm) Tìm x để A  6 x 9 Biến đổi: A  6   6  x    x  x 2 x  21  x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy để A  6 x  Từ đó: A   Trang /  0,25 0,25 0,25 Cho hệ phương trình: mx  y  (với m tham số) 2 x  my  a) (0,5 điểm) Giải hệ phương trình m  10 10 x  y  5 x  y   2 x  10 y  2 x  10 y  Thay m  10 ta hệ:  50 x-10y=10 52 x=15   2 x  10 y  2 x  10 y  15 15    x  52  x  52    x y   y  23  10 52  15   x  52 Kết luận: với m  10 hệ có nghiệm nhất:   y  23  52 b) (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình cho có nghiệm  x; y  thỏa mãn hệ thức: x  y  2014  0,25 2015m  14m  8056 m2  Câu Dùng phương pháp thế, ta có: (1,5 đ) mx   mx  y   mx  y  y      2 x  my  2 x  my  2 x  m mx    2m  10  mx   x   y   m2    ,m  R m   m   x=2m+10 y    m2  2m  10  x  m2  Nên hệ có nghiệm nhất:  ,m  R  m  y   m2  2015m  14m  8056 Thay vào hệ thức: x  y  2014  m2  Ta được: 0,25 2014 m  m  8050 2015 m  14 m  8056  m2  m2   2014m  7m  8050  2015m  14m  8056  m  m     m  1 m      m  m  Kết luận: để hệ phương trình cho có nghiệm  x; y  thỏa mãn hệ thức: Trang / 0,25 0,25 0,25 0,25 2015m  14m  8056 m   m 4 m  a) (1,5 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị x  y  2014  lớn biểu thức: P  a b c   2 9a  3b  c 9b  3c  a 9c  3a  b Chứng minh: (a  b  c )( x  y  z )  (ax  by  cz ) , a, b, c, x, y , z  R (1) Thật vậy: (1)  (a2 y  2abxy  b2 x2 )  (a2 z  2acxz  c2 z )  (b2 y  2bcyz  c2 z )   (ay  bx)  (az  cx)  (by  cz )  (đúng) ay  bx  Dấu "  "   az  cx  by  cz  1 Áp dụng BĐT (1) ta có: (9a  3b  c)(   c)  (a  b  c)  9a Dấu "  "  a  b  c  a 1  9a  3b  c    a (   c) 1 a  b  c a Câu  c 9a (3,0 đ) b 1 c 1 Tương tự có:  b(   a );  c (   b) 2 9b  3c  a 9b 9c  3a  b 9c abc  P    (ab  bc  ca ) 1 (a  b  c) (a  b  c)2 P    Do ab  bc  ca  3 3 Vậy Pmax   a  b  c  b) (1,5 điểm ) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x(1  x  x )  y ( y  1) Có: x(1  x  x )  y ( y  1)  ( x  x )  ( x  1)  y  y  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  ( x  1)( x  1)  (2 y  1) 0,25 (1) Vì x, y     y  1  , nên từ 1  x  x chẵn 0,25 Giả sử ( x  1, x  1)  d  d lẻ x  1 d ; x  1 d  2 d  d  0,25 Vì ( x  1)( x  1) số phương, ( x  1, x  1)  nên ( x  1) ( x  1) hai số phương 0,25 2 2 2 Trang / Do x   x  x   ( x  1)  x   ( x  1)  x  2 2 0,25 y   y 1 Khi x  , có (1)  y ( y  1)    Vậy có hai cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn yêu cầu toán là: (0;0),(0;1) 0,25 Cho đoạn thẳng AC có độ dài a Trên đoạn AC lấy điểm B cho AC  4AB Tia Cx vuông góc với AC điểm C , gọi D điểm thuộc tia Cx ( D không trùng với C ) Từ điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD CD K , E Câu (3,0 đ) a) (1,0 điểm) Tính giá trị DC.CE theo a Ta có: EBC  ADC (Cùng bù với góc KBC ); ACD  ECB  90  ACD ECB đồng dạng với nhau(g-g) o DC AC   DC.CE  AC.BC BC EC a 3a 3a  DC.EC  AC.BC  Do AB  ; BC  4 b) (1,0 điểm) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ SBDE  BC.DE  SBDE nhỏ DE nhỏ 3a Ta có: DE  DC  EC  DC.EC   a ( Theo chứng minh phần a) a Dấu "  "  DC  EC  a 3a D thuộc tia Cx cho CD   S( BDE ) nhỏ  Trang / 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 c) (1,0 điểm) Chứng minh điểm D thay đổi tia Cx đường tròn đường kính DE có dây cung cố định Gọi giao điểm đường tròn đường kính DE với đường thẳng AC M, N ( M nằm A B)  M, N đối xứng qua DE Ta có: Hai tam giác AKB ACD đồng dạng (g-g) AK AB (1)   AK AD  AC AB AC AD Hai tam giác AKM AND đồng dạng (g-g) AK AM (2)    AK AD  AM AN AN AD a2 T (1) v (2) suy AM AN  AC AB  a   ( AC  MC )( AC  NC )  AC  MC (Do MC  NC ) 3a a  MC   MC  NC   M , N hai điểm cố định Vậy đường tròn đường kính DE có dây cung MN cố định 1 1 Cho dãy gồm 2015 số: ; ; ; ; ; 2014 2015 Người ta biến đổi dãy nói cách xóa hai số u, v dãy viết thêm vào dãy số có giá trị u  v  uv vào vị trí u v Cứ làm dãy thu sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối 0,25  0,25 0,25 0,25 lại số Chứng minh giá trị số cuối không phụ thuộc vào việc chọn số u, v để xóa lần thực việc biến đổi dãy, tìm số cuối Với hai số thực u,v ta có:  u  1 v  1  u  v  uv    u  v  uv   (*) Câu Với dãy số thực a1 ;a2 ; ;a2015 , ta xét “Tích thêm T ”: (1,0 đ) T   a1  1 a2  1 a3  1  a2015  1 0,25 0,25 Áp dụng cách biến đổi dãy đề kết hợp với nhận xét (*), ta nhận thấy “Tích thêm T ” không thay đổi với dãy thu Với dãy cho ban đầu toán, “Tích thêm T ”:        2015 2016 T    1  1  1  1   1   2016       2015  2014 2015 Giả sử sau 2014 lần biến đổi tùy ý theo yêu cầu, dãy lại số x “Tích thêm T ” dãy cuối là: T  x  Vậy ta có: x   2016  x  2015 Bài toán giải quyết; sau 2014 lần biến đổi dãy theo yêu cầu toán ta thu số 2015 -Hết -Trang / 0,25 0,25 [...]... 1 3 2 Áp dụng BĐT (1) ta có: (9a  3b  c)(   c)  (a  b  c) 2  1 9a 3 1 Dấu "  "  a  b  c  3 1 a 1 1  9a 3  3b 2  c   3  a (   c) 2 1 1 9 a  3 b  c 9 a 3 Câu 3  c 9a 3 (3,0 đ) b 1 1 c 1 1 Tương tự có:  b(   a ); 3  c (   b) 3 2 2 9b  3c  a 9b 3 9c  3a  b 9c 3 1 abc  P  3   (ab  bc  ca ) 9 3 1 1 (a  b  c) 2 (a  b  c)2 P    1 Do ab  bc  ca  3 3 3... ủa đ ờng ròn ( ) - HẾT H n thí in : ………………………………… ……… S á dan : …………… ữ ký ủa iám ị 1: …………………… ữ ký ủa iám ị 2: …………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014 – 2015 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC  3 x  16 x  7 Câu 1 (1,5 điểm): Cho biểu thức: A    x  2 x  3  a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A  6 x 1  x 3 x 7... c a Gi m th 1: ………………… Chữ ký c a Gi m th 2: …………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2015-2016 Đề chính thức Môn: Toán - Lớp 9 (Thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề) Đề thi này có 01 trang Bài 1.(4 điểm) a) iể : P 2 x  x 3 m x để iể b) x  1 3  11 x  x 9 x 3 P < 1 m giá rị lớn n ấ và n ỏ n ấ ủa p ân : x2  2x  3 E x2  2 Bài 2 (4 điểm) 3... x 3 x 1 2 x 3 x 7 x 7   2  x 3 x 1 x 1 0,25 x7 x 1 0,25   và 2  x  x 1  x 2 x 1 x 9 x 1 0,25 x 9 x 2 x 9 :  x 1 x 1 x 2 b) (0,5 điểm) Tìm x để A  6 x 9 Biến đổi: A  6   6  x  9   6 x  2 x 2 7 x  21  x  9 (thỏa mãn điều kiện) Vậy để A  6 thì x  9 Từ đó: A   Trang 1 / 5  0,25 0,25 0,25 Cho hệ phương trình: mx  2 y  2 (với m là tham số) 2 x ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2015-2016 Đề chính thức Môn: Toán - Lớp 8 (Thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề) Đề thi này có 01 trang Bài 1 (4 điểm) 2 2 a) Phân tích đa thức thành nhân tử:  ax  by    ay  bx   c 2 x 2  c 2 y 2 b) m i t nh nh... dãy, hãy tìm số cuối cùng đó -Hết Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:…………………………………………………… Số báo danh:…….…………… … SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014 – 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (05 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài... c  3  3 2 2 9a  3b  c 9b  3c  a 9c  3a 2  b 3 Chứng minh: (a 2  b 2  c 2 )( x 2  y 2  z 2 )  (ax  by  cz ) 2 , a, b, c, x, y , z  R (1) Thật vậy: (1)  (a2 y 2  2abxy  b2 x2 )  (a2 z 2  2acxz  c2 z 2 )  (b2 y 2  2bcyz  c2 z 2 )  0  (ay  bx) 2  (az  cx) 2  (by  cz ) 2  0 (đúng) ay  bx  Dấu "  "   az  cx  by  cz  1 1 3 2 Áp dụng BĐT (1) ta có: (9a  3b  c)(... 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 với mọi số tự nhiên n b) m c c số tự nhiên n sao cho n2 + 65 là số chính phươn Bài 3 (4 điểm) a) Giải phươn t nh: b) m c c n hiệm n x 1 x  3 x  5 x  7    95 93 91 89 yên c a phươn t nh: 5x – 3y = 2xy – 11 Bài 4 (4 điểm) Cho h nh chữ nhật ABCD đối xứn c a C q a P a) ứ i c AMDB là h nh ên đườn chéo BD l y điểm P Gọi M là điểm ? Chứn minh ? b) Gọi E, F lần lượt... mãn hệ thức: 2015m 2  14m  8056 x  y  2014  m2  4 Câu 3 (3,0 điểm): a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b c P 3  3  3 2 2 9a  3b  c 9b  3c  a 9c  3a 2  b b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x(1  x  x 2 )  4 y ( y  1) Câu 4 (3,0 điểm): Cho đoạn thẳng AC có độ dài bằng a Trên đoạn AC lấy điểm B sao cho AC  4 AB... ;a2 ; ;a2015 , ta xét “Tích thêm T ”: (1,0 đ) T   a1  1 a2  1 a3  1  a2015  1 0,25 0,25 Áp dụng cách biến đổi dãy như trong đề bài kết hợp với nhận xét (*), ta nhận thấy “Tích thêm T ” không thay đổi với mọi dãy thu được Với dãy đã cho ban đầu của bài toán, “Tích thêm T ”:  1  1  1  1   1  2 3 4 2015 2016 T    1  1  1  1   1   2016  1  2  3  4   2015 ... iám ị 2: …………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC  x  16 x  Câu (1,5 điểm):... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2015-2016 Đề thức Môn: Toán - Lớp (Thời gian làm 150 phút, không kể phát đề) Đề thi có 01 trang Bài 1.(4 điểm) a) iể... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2015-2016 Đề thức Môn: Toán - Lớp (Thời gian làm 150 phút, không kể phát đề) Đề thi có 01 trang Bài (4 điểm) 2 a) Phân