KHẢO SÁT ỨNG XỬ PHI TUYẾN TĨNH HÌNH HỌC CÁC KẾT CẤU TẤM, VỎ CHỊU UỐN BẰNG PHẦN TỬ CSDSG3_KS. Nguyễn Đăng Thạch, TS. Nguyễn Văn Hiếu, PGS.TS. Nguyễn Thời Trung

Trong bài báo này, ứng xử phi tuyến hình học của kết cấu tấm, vỏ được nghiên cứu bằng một phương pháp phần tử hữu hạn trơn CSDSG3 sử dụng phần tử tam giác ba nút đã được đề xuất gần đây. Cơ sở lý thuyết tấmvỏ bao gồm lý thuyết biến dạng nhỏ chuyển vị lớn của von Kármán và cách tiếp cận Total Lagrangian dựa trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (First order Shear Deformation Theory – FSDT). Phần tử CSDSG3 có thể khắc phục hiện tượng “trội cắt” (shear locking) do lý thuyết FSDT gây ra, đồng thời giúp tăng độ chính xác cũng như ổn định lời giải số với lưới thô và lưới méo. Các kết quả số trong bài báo được so sánh với những kết quả tham khảo có sẵn, nhằm minh họa tính hiệu quả của phần tử CSDSG3 trong việc phân tích phi tuyến hình học của kết cấu tấm vỏ. Các kết quả từ bài báo sẽ giúp người thiết kế hiểu rõ hơn các dạng ứng xử phi tuyến hình học của kết cấu tấm, vỏ.

KHẢO SÁT ỨNG XỬ PHI TUYẾN TĨNH HÌNH HỌC CÁC KẾT CẤU TẤM, VỎ CHỊU UỐN BẰNG PHẦN TỬ CS-DSG3 GEOMETRICALLY NONLINEAR STATIC ANALYSIS OF PLATE, SHELL STRUCTURES UNDER BENDING LOAD USING CS-DSG3 ELEMENT KS Nguyễn Đăng Thạch, TS Nguyễn Văn Hiếu, PGS.TS Nguyễn Thời Trung TÓM TẮT Trong báo này, ứng xử phi tuyến hình học kết cấu tấm, vỏ nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-DSG3 sử dụng phần tử tam giác ba nút đề xuất gần Cơ sở lý thuyết tấm/vỏ bao gồm lý thuyết biến dạng nhỏ - chuyển vị lớn von Kármán cách tiếp cận Total Lagrangian dựa sở lý thuyết biến dạng cắt bậc (First order Shear Deformation Theory – FSDT) Phần tử CSDSG3 khắc phục tượng “trội cắt” (shear locking) lý thuyết FSDT gây ra, đồng thời giúp tăng độ xác ổn định lời giải số với lưới thô lưới méo Các kết số báo so sánh với kết tham khảo có sẵn, nhằm minh họa tính hiệu phần tử CS-DSG3 việc phân tích phi tuyến hình học kết cấu vỏ Các kết từ báo giúp người thiết kế hiểu rõ dạng ứng xử phi tuyến hình học kết cấu tấm, vỏ Từ khóa: Phân tích phi tuyến hình học, Kết cấu tấm/vỏ, Phần tử hữu hạn trơn ABSTRACT This paper studies the geometrically nonlinear behaviors of plate and shell structures using the triangular Cell-based Smoothed Discrete Shear Gap (CS-DSG3) proposed recently The plate theories used in the paper including the small strain – large deflection theory of von Kármán and the Total Lagrangian approach are used in association with the First order Shear Deformation Theory (FSDT) The CS-DSG3 element helps to overcome shear-locking phenomenon caused by the FSDT and improve the accuracy and effectiveness of numerical solutions for coarse and distorted meshes The results obtained in this paper are compared with other available numerical results to illustrate the robustness of the CS-DSG3 element in geometrically nonlinear analysis of plate and shell structures The paper also helps designers to have a better understanding of nonlinear behavior types of these structures Keywords: Geometric nonlinear analysis, Plate/Shell structures, Smoothed finite elements KS Nguyễn Đăng Thạch Học viên cao học, Khoa Xây Dựng, Trường Đại Học Kiến Trúc TP HCM Email: dangthachxd@gmail.com Điện thoại: 0986413759 TS Nguyễn Văn Hiếu Khoa Xây Dựng, Trường Đại Học Kiến Trúc TP HCM Email: hieu.nguyenvan@uah.edu.vn Điện thoại: 0938123299 PGS TS Nguyễn Thời Trung Viện khoa học tính toán, Trường Đại học Tôn Đức Thắng Email: nguyenthoitrung@tdt.edu.vn Điện thoại: 0933666226 Giới thiệu Với khả tạo hình phong phú sở hữu đặc tính lý đặc biệt, kết cấu tấm, vỏ trở nên phổ biến ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Do có ứng xử phức tạp điều kiện biên tải trọng khác nhau, việc nghiên cứu ứng xử kết cấu tấm, vỏ đề tài quan tâm Trong đó, nghiên cứu ứng xử phi tuyến hình học tấm, vỏ sở quan trọng để đánh giá trình làm việc kết cấu có biến dạng lớn hay độ võng lớn Phân tích phi tuyến hình học kết cấu trình xác định mối quan hệ tải trọng tác dụng chuyển vị kết cấu Để xác định mối quan hệ này, chuỗi bước lặp cần thực để cập nhật liên tục độ cứng kết cấu ứng với trạng thái thay đổi tải trọng tác dụng Trong bước tải, trình lặp thực nhằm đảm bảo cân ngoại lực ứng suất kết cấu Quá trình tính toán làm tăng chi phí tính toán đáng kể so với phân tích tuyến tính Do đó, việc lựa chọn phần tử thích hợp phương pháp tính toán đắn vấn đề cần quan tâm nghiên cứu chuyên sâu phân tích ứng xử phi tuyến hình học kết cấu Các báo cáo, nghiên cứu lĩnh vực nhiều khó liệt kê đầy đủ Tuy nhiên, số nét lịch sử nghiên cứu vấn đề tìm thấy tài liệu tổng hợp đầy đủ, chi tiết Crisfield [1] hay Gal Levy [2] Trong ba thập kỷ qua, phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng công cụ hữu hiệu để mô ứng xử kết cấu tấm, vỏ Tuy nhiên phương pháp hạn chế định liên quan đến kỹ thuật rời rạc miền toán, độ xác, tính ổn định nghiệm chi phí tính toán Do đó, việc đề xuất cải tiến cho phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống giữ vai trò quan trọng mang tính thời nhiều thập kỷ qua Gần đây, phương pháp phần tử hữu hạn trơn phát triển nhằm giải số vấn đề tồn phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống nâng cao hiệu phân tích, tính toán, cải thiện độ xác nghiệm với lưới thô, cải thiện độ ổn định nghiệm với lưới méo Trong báo này, kết cấu tấm, vỏ phân tích dựa lý thuyết biến dạng nhỏ - chuyển vị lớn von Kármán cách tiếp cận Total Lagrangian tảng sở lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT) Tuy nhiên, việc áp dụng lý thuyết FSDT thường gặp hai nhược điểm lớn: tượng “trội cắt” (shear locking) ảnh hưởng đến kết phân tích với mỏng ứng xử cứng (overly stiff) làm giảm độ xác độ hội tụ thấp phương pháp số Để khắc phục hạn chế này, phương pháp phần tử hữu hạn rời rạc độ lệch trượt làm trơn phần tử tam giác CS-DSG3 [3] đề xuất Phương pháp kết hợp kỹ thuật trơn dựa phần tử CS-FEM [4] phần tử rời rạc độ lệch trượt DSG3 [5] Vì vậy, mục tiêu nghiên cứu sử dụng phần tử CSDSG3 để phân tích ứng xử phi tuyến hình học kết cấu tấm, vỏ với dạng hình học điều kiện biên khác Đây phần tử có đặc tính tốt đơn giản việc thành lập công thức, linh hoạt rời rạc miền hình học nên giảm đáng kể chi phí tính toán so với phần tử truyền thống trước Trang Cơ sở lý thuyết với a = x2 − x1 , b = y2 − y1 , c = y3 − y1 , d = x3 - x1 Hình Đối với kết cấu tấm, mô hình ứng xử xây dựng mặt phẳng Oxy, đó, nút phần tử có bậc tự u , v, w, β x , β y Với kết cấu vỏ, phần tử xác định bất xi = [ xi yi ] , i = 1, 2, 3, tọa độ nút; Ae diện tích phần T tử tam giác kỳ không gian tổng quát OXYZ Do đó, thành phần bậc tự trên, cần kể đến thành phần bậc tự thứ sáu β z góc xoay pháp tuyến mặt trung bình quanh trục Oz nhằm thể đầy đủ xác chất ứng xử kết cấu vỏ Ngoài chuyển đổi tọa độ từ hệ tọa độ tổng thể OXYZ hệ tọa độ địa phương Oxyz cần xác định Rời rạc miền giới hạn Ω thành N e phần tử hữu hạn cho = Ω  Ne e=1 Ωe Ωi ∩ Ω j = ∅, i ≠ j Trường chuyển vị tổng quát phần tử Ωe xấp xỉ theo phương pháp phần tử hữu hạn sau: = uh 3 N (x)I d ∑ N d = ∑ I I I 1= I = I (1) I T d I = uI vI wI β xI β yI β zI  trường chuyển vị nút thứ I phần tử; N I (x), I = 1, 2, 3, hàm dạng phần tử tam giác hệ tọa độ tự nhiên có dạng: (2) N1 =1 − ξ − η , N =ξ , N =η Biến dạng màng, biến dạng uốn biến dạng cắt phần tử Ωe xấp xỉ là: = εm B d ;κ ∑ = B d ;γ ∑ = S d ;ε ∑= ∑G d mI I I bI I I I I g i I I (3) I đó, B mi , Bbi , Si , G i ma trận gradient biến dạng, tính công thức: B mI  NI ,x  =  NI , y  NI , y NI ,x 0 0  0 0 0 0  0 0 N I , x  BbI = 0 0 0 0 N I , y  0 N I , x SI =  0 N I , y (4) NI , y NI ,x 0  0  (5) NI 0 NI 0  (6)   b − c 0 0 c 0 0 −b 0 0    B mL = d − a 0 0 −d 0 0 a 0 0   Ae  d − a b − c 0 0 −d c 0 0 a −b 0 0         B m1 Bm Bm3   (8) 0 c 0 0 0 −d 0 0 −d c    Bb Hình 2:Ba tam giác tạo từ tam giác 1-2-3 phần tử CS-DSG3 Để khắc phục tượng “trội cắt” (shear locking) lý thuyết FSDT gây ra, Bletzinger [5] đề xuất phương pháp rời rạc độ lệch trượt (DSG3) để thay đổi trường biến dạng cắt Khi đó, ma trận gradient biến dạng cắt công thức (6) viết lại công thức: ac / bc / 0 b − c Ae 0 0 c 0 d − a A 0 − d −ad / −bd / e       S2 S1  S= Ae 0 −b −bd / −bc / 0 a ad / ac /     S3           (11) Trong CS-DSG3 [3], phần tử tam giác chia thành ba tam giác cách kết nối điểm trọng tâm phần tử đến ba nút xung quanh phần tử Hình Véc-tơ chuyển vị điểm trọng tâm O tính toán giá trị trung bình ba véc-tơ chuyển vị đỉnh d e1 , d e d e có dạng: d e1 + d e + d e (12) Trong tam giác con, phần tử DSG3 sử dụng để tính toán biến dạng tránh tượng shear locking Sau đó, kỹ thuật làm trơn biến dạng cho phần tử tam giác sử dụng để làm trơn biến dạng ba tam giác Trên tam giác thứ Δ (O-1-2), trường chuyển vị phần tử biểu diễn sau: de0 = 0 N I , x 0 0 (7) GI =   0 N I , y 0 0 Thay công thức (2) vào công thức (4), (5) (7), ma trận gradient biến dạng màng, biến dạng uốn biến dạng hình học xác định bởi:  0 0 b − c 0  d −a B= 0 0 b Ae  0 d −a b−c   Bb1  Hình 1:Phần tử tam giácDSG3 hệ tọa độ địa phương phần tử  0 −b 0   0 0 a 0 0 a −b    Bb  (9)   0 b − c 0 0 c 0 0 −b 0    G= Ae 0 d − a 0 0 − d 0 0 a 0         BG1 BG BG   u e∆1 = {ue ve β ex we β ey β ez } T (13) xấp xỉ tuyến tính sau: = u e∆1 { d ∆1 = d o∆1 d1∆1 = N d ∑ ∆1 i i =1 d ∆2 ∆1 i N ∆1 d ∆1 (14) } trường chuyển vị nút O,1,2 tam giác (O-1-2); N ∆1 =  N1∆1 N 2∆1 N 3∆1  hàm   dạng nút O, 1, tam giác (O-1-2) Các ma trận gradient biến dạng màng, biến dạng uốn, biến dạng cắt, biến dạng hình học tam giác Δ tính sau:  d e1  ∆1 ∆1     ∆1 ∆1 ∆1 ε mL∆1 = b + b b + b b B mL∆1 d e (15) m2 m1 m3 m1  d e  =  m1 3     d e  L∆ Bm (10) Trang m κ b∆1 (16)  d e1  ∆1 ∆1     ∆1 ∆1 ∆1 = Bb∆1 d e (17)  bb1 + bb bb1 + bb 3 bb1  d e  =    d e  ∆ B b γ ∆1 s  d e1   ∆1 ∆1 ∆1 ∆1 ∆1    S ∆1 d e =  s1 + s s1 + s3 s1  d e  =   d e  ∆ S ∆ BG1 b ,b NL∆1 m ∆1 b ∆1 , b , s b ∆1 G tính toán tương tự ma trận B , B , Bb , S BG DSG3 với hai điều L m NL m chỉnh: (1) tọa độ của= ba nút xi xi yi ] , i [= T 1, 2, thay tương ứng với x , x1 x ; (2) diện tích Ae thay diện tích A∆1 tam giác ∆1 Tương tự, dùng phép hoán vị, ta dễ dàng tính biến L∆ L∆ dạng màng tuyến tính ε m , ε m , biến dạng màng phi tuyến ε mNL∆2 , ε mNL∆3 , biến dạng uốn κ b∆2 , κ b∆3 , biến dạng cắt γ ∆s , γ ∆s ∆2 ∆3 biến dạng hình học ε g , ε g cho tam giác thứ hai ∆ tam giác thứ ba lại ∆ Áp dụng kỹ thuật làm trơn biến dạng CS-FEM cho biến dạng ba tam giác ∆ , ∆ ∆ ta Le biến dạng màng tuyến tính làm trơn ε m , biến dạng màng e NLe phi tuyến làm trơn ε m , biến dạng uốn làm trơn κ b , e biến dạng cắt làm trơn γ s biến dạng hình học trơn ε eg cho phần tử tam giác Ωe sau: L NL  e B b d e ;  NLe B= = ε mLe B = mde ; ε m m de ; κ b = = γ e Sd ; ε e B d s e g G (20) e 3 = A∆i B mL∆i ; B mNL ∑ ∑ A∆ B mNL∆i ; Ae i = Ae i i = đó: B mL = B b 3 = A∆i Bb∆i ; S = A∆i S ∆i ; B G ∑ ∑ ∑ A∆ BG∆i (21) Ae i = Ae i = Ae i i Sau ma trận tiếp tuyến trơn K T hiệu chỉnh sau:  =K  +K  +K  , (22) K T L NL g  = B T D* B A , K ∑ Li Li i L ∫ L Ω NL với giá trị ứng suất sau bước lặp thứ i tính công thức (28) σ*i +1= t σ*i + t ∆σ* ứng suất gia tăng tính công thức t  +B  ) ∆q (29) ∆σ* = D* ∆ε* = D* ( B L NL mối quan hệ thành phần nội lực, mô-men biến dạng biểu diễn theo định luật Hooke: (30) σ* = D*ε* m (18) D 0 N ε m        * * * b = M  , ε κ= D  D  với σ = b , Q  γ   0 Ds     s   d e1  ∆1 ∆1     ∆1 ∆1 ∆1 + + ε ∆g1 = b b b b b BG∆1 d e (19) G2 G1 G3 G1   d e  =  G1 3     d e  L∆1 m Nội lực thời điểm t phương trình phân tích phi tuyến tính từ trạng thái ứng suất kết cấu sau: t   +B  ) t σ * dΩ (27) F = (B (23) N = { N x Ny N xy } thành phần nội lực mặt phẳng tấm, M = {M x tấm, Q = {Qx M xy } thành phần mô-men My Qy } thành phần lực cắt mặt phẳng Các ma trận Dm , Db , Ds ma trận số vật liệu ứng với trạng thái kéo nén, uốn cắt Theo cách tiếp cận Total Lagrangian, biểu thức phần tử hữu hạn cho phân tích phi tuyến diễn tả: t  (31) K T ∆= u t + ∆t P − t F tF véctơ nội lực tổng thể thời điểm t, t+∆tP véctơ ngoại lực phần tử thời điểm t+∆t, tK T ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử thời điểm t ∆u gia số chuyển vị phần tử Các ví dụ số Các toán trình bày sau có điều kiện biên khác giải cho trường hợp lưới chia méo chia Nghiệm phi tuyến mô hình tính toán thực thuật toán lặp dây cung (Arc-Length) [6] nhằm thể đường cong quan hệ tải trọng chuyển vị Tiêu chuẩn hội tụ chuyển vị lấy với giá trị 0.001 3.1 Khảo sát ứng xử phi tuyến hình học hình vuông liên kết ngàm chịu tải phân bố Xét hình vuông liên kết ngàm chịu tác dụng lực phân bố q Tấm có bề dày h = , chiều dài cạnh L = 100 với mô-đun đàn hồi = E 2.1× 106 hệ số Poisson v = 0.316 Do tính chất đối xứng hình học, 1/4 khảo sát với mức chia lưới 5×5 trường hợp lưới chia chia méo Hình L/2 L/2 ε mNL∆1  d e1  NL∆1 NL∆1     NL∆1 NL∆1 NL∆1 b m1 + b m b m1  d e  = B mNL∆1 d e =  b m1 + b m 3     d e  B NL∆1 i =1  = B T D* B A , K ∑ NLi NLi i NL (24) i =1 ˆ  A,  = G K ∑  Ti NG g Li i (25) a) b) Hình 3: Hệ lưới 1/4 vuông: a) lưới đều, b) lưới méo i =1 B      = B L = Bb  , B NL B   s L m B mNL          (26) Hình biểu diễn đồ thị thể mối quan hệ chuyển vị chuẩn hóa wC / h điểm trọng tâm tải trọng phân bố bề mặt Kết từ phần tử CS-DSG3 so sánh với kết từ phần tử DSG3, phần tử “nonconforming” Zhang Cheung [7], phần tử MISQ20 H.Nguyen-Van [8], phương pháp giải tích Chia [9] Với Trang lưới lưới méo, sử dụng phần tử bậc thấp phương pháp CS-DSG3 cho kết phù hợp với nghiệm tham khảo có từ phương pháp giải tích hay phần tử bậc cao Bên cạnh đó, kỹ thuật làm trơn CS-FEM cho thấy hiệu rõ rệt cải thiện đáng kể độ xác phương pháp gốc DSG3 Tải trọng, q 2.5 1.5 DSG3 CS-DSG3 CS-DSG3 (chia méo) MISQ20 Zhang & Cheung Analytic 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 tích Schoop [10] phần tử áp dụng lý thuyết Kirchhoff phần tử NRT15 [11], phần tử DKT [12], phần tử RNEM [13] Ta thấy kết phần tử CS-DSG3 cải thiện nhiều so với kết phân tích từ phần tử DSG3 Đồng thời, dạng đường cong phi tuyến có từ phần tử CS-DSG3 phù hợp với lời giải tham khảo khác Ngoài ra, kết có ví dụ cho thấy tính hữu dụng phần tử CS-DSG3 việc phân tích kết cấu mỏng kết có từ phần tử tương đồng với phần tử xây dựng dựa lý thuyết mỏng NRT15, DKT RNEM 3.3 Khảo sát ứng xử phi tuyến hình học vỏ trụ liên kết ngàm chịu tải phân bố Xét vỏ trụ liên kết ngàm tất cạnh, chịu tác dụng tải phân bố Hình a Các thông số hình học cho sau: L = 20, R = 100, h = 0.125 , ϕ = 0.1 Thông số vật liệu gồm E = 4.5 × 105 v = Do tính chất đối xứng hình học nên 1/4 kết cấu khảo sát trường hợp lưới (Hình b) lưới méo (Hình c) với mức lưới × b) 1.4 Chuyển vị chuẩn hóa trọng tâm, wc/h Hình 4: Quan hệ tải trọng chuyển vị tâm vuông ngàm chịu tải phân bố 3.2 Khảo sát ứng xử phi tuyến hình học hình tròn liên kết ngàm chịu tải phân bố Trong ví dụ này, kết cấu tròn, ngàm xung quanh, chịu tải phân bố q khảo sát Bán kính R = 100 , bề c) dày h = , mô-đun đàn hồi E = 107 , hệ số Poisson v = 0.3 Do tính chất đối xứng hình học, 1/4 với 54 phần tử xem xét hai trường hợp chia lưới Hình a) R Hình 7: Vỏ trụ tựa ngàm tải trọng phân bố tâm vỏ: a) sơ đồ tính, b) mô hình lưới 6x6 đều, c) mô hình lưới 6x6 méo a) b) Hình 5: Hai dạng chia lưới (54 phần tử) 1/4 hình tròn: a)lưới chuẩn; b)lưới méo DSG3 CS-DSG3 CS-DSG3 (chia méo) NRT15 DKT RNEM Analytic 10 0.45 0.4 0.35 0.3 Tải trọng, q Tải trọng chuẩn hóa, qR4/(Eh4) 15 Hình biểu diễn đồ thị thể mối quan hệ chuyển vị chuẩn hóa wC / h điểm trọng tâm C tải trọng phân bố bề mặt vỏ Kết từ phần tử CS-DSG3 so sánh với kết có từ nghiên cứu Palazotto Dennis [14], Reddy [15] H.Nguyen-Van [8] Có thể thấy rằng, phần tử cho kết phù hợp với nghiên cứu kể hai trường hợp chia lưới Đặc biệt độ sai lệch so với phần tử tứ giác bậc cao làm trơn MISQ20 không nhiều Mặt khác, phần tử CS-DSG3 thể ứng xử phi tuyến hình học đặc thù toán này, đường cong bậc ba với giai đoạn đầu “softening” (mềm) giai đoạn sau “hardening” (cứng) 0.25 0.2 CS-DSG3 CS-DSG3(chia méo) MISQ20 Palazoto & Demis Reddy 0.15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 Chuyển vị chuẩn hóa trọng tâm, wc/h Hình 6: Quan hệ tải trọng chuyển vị tâm tròn ngàm chịu tải phân bố Hình biểu diễn đồ thị thể mối quan hệ chuyển vị chuẩn hóa wC / h điểm trọng tâm tải trọng phân bố bề mặt Kết từ phần tử CS-DSG3 so sánh với kết từ phần tử DSG3 với kết giải 0.1 0.05 0 0.5 1.5 2.5 3.5 Chuyển vị chuẩn hóa trọng tâm, wc/h Hình 8: Quan hệ tải trọng chuyển vị tâm vỏ trụ ngàm chịu tải phân bố Trang 3.4 Khảo sát ứng xử phi tuyến hình học vỏ trụ liên kết khớp chịu tải trọng tập trung Kết cấu vỏ trụ chịu tác dụng tải tập trung đặt trọng tâm C Điều kiện biên bao gồm: hai biên cạnh thẳng vỏ trụ chịu liên kết khớp, hai biên cong tự Các thông số kích thước hình học cho bởi: chiều dài vỏ trụ L = 508 mm , bán kính R = 2540 mm góc mở ϕ = 0.1 ; thông số vật liệu gồm: E = 3.10275 kN/mm v = 0.3 Chiều dày vỏ khảo sát với giá trị h = 12.7mm Hình 9a Như ví dụ trên, việc phân tích tiến hành 1/4 vỏ với hai loại lưới chia chia ngẫu nhiên Hình 9b,c b) c) a) Hình 9: Vỏ trụ tựa đơn tải trọng tập trung tâm vỏ: a) sơ đồ tính, b) mô hình lưới 6x6 đều, c) mô hình lưới 6x6 méo Hình 10 mô tả chuyển vị phi tuyến vỏ trụ điểm C với bề dày h = 12.7 mm dùng phần tử CS-DSG3 kết tham khảo từ phần tử MISQ20 [8] nghiên cứu Crisfield [16], Sabir Lock [17], Sze [18] Qua đồ thị này, ta nhận thấy rằng, điểm cực trị đường cong gần trùng chênh lệch đường cong không đáng kể Dạng đường cong thể ứng xử theo dạng Snap-through qua cho thấy phần tử CS-DSG3 giải tốt dạng ứng xử phức tạp ngày với lưới méo CS-DSG3 CS-DSG3(chia méo) MISQ20 Crisfield Sabir and Lock Sze et al 3.5 Tải trọng, P (kN) 2.5 1.5 0.5 0 10 15 20 25 30 Chuyển vị điểm C, wC (mm) Hình 10: Quan hệ tải trọng chuyển vị tâm vỏ trụ tựa đơn chịu tải tập trung Kết luận Trong báo này, phần tử CS-DSG3 sử dụng cho phân tích ứng xử phi tuyến tĩnh hình học kết cấu tấm, vỏ chịu uốn dựa thuyết biến dạng nhỏ, chuyển vị lớn von Kármán cách tiếp cận Total Lagrangian Các kết đạt phần ví dụ số cho thấy phần tử CS-DSG3 phù hợp với kết tham khảo cho kết cấu tấm, vỏ mỏng đến dày tương đối Phần tử giải số dạng ứng xử phức tạp kết cấu vỏ Kết số cho thấy kỹ thuật làm trơn biến dạng phần tử cho hiệu rõ rệt cải thiện nhiều kết phần tử DSG3 khắc phục tượng trội cắt Đồng thời, với dạng chia lưới méo ngẫu nhiên kỹ thuật cho kết nghiệm số gần trùng khớp với việc chia lưới Sau cùng, đặc điểm nhấn mạnh phần tử tam giác ba nút khả rời rạc, chia lưới cho kết cấu dễ dàng tự động TÀI LIỆU THAM KHẢO Crisfield, M.A., Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures Vol 1: New York : John Wiley & Sons, 1991 Gal, E and R Levy, Geometrically nonlinear analysis of shell structures using a flat triangular shell finite element Archives of Computational Methods in Engineering, 13(3): 331-388, 2006 Nguyen-Thoi, T., P Phung-Van, H Nguyen-Xuan, and C Thai-Hoang, A cell-based smoothed discrete shear gap method using triangular elements for static and free vibration analyses of Reissner–Mindlin plates International Journal for Numerical Methods in Engineering, 91(7): 705741, 2012 Liu, G.R., Nguyen, T T., Dai, K Y., Lam, K Y., Theoretical aspects of the smoothed finite element method (SFEM) International Journal for Numerical Methods in Engineering, 71(8): 902-930, 2007 Bletzinger, K.-U., M Bischoff, and E Ramm, A unified approach for shear-locking-free triangular and rectangular shell finite elements Computers & Structures, 75(3): 321334, 2000 Thạch, N.Đ., Phân tích phi tuyến hình học tấm, vỏ dùng phần tử CS-DSG3 Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật xây dựng Đại học Kiến trúc TP.HCM, 2015 Zhang, Y.X and Y.K Cheung, A refined non-linear nonconforming triangular plate/shell element International Journal for Numerical Methods in Engineering, 56(15): 2387-2408, 2003 Nguyen-Van, H., N Nguyen-Hoai, T Chau-Dinh, and T Tran-Cong, Large deflection analysis of plates and cylindrical shells by an efficient four-node flat element with mesh distortions Acta Mechanica: 1-21, 2015 Chia, C.Y., Nonlinear Analysis of Plates McGraw-Hill, NewYork, 1980 10 Schoop, H., A simple nonlinear flat element for large displacement structures Computers & Structures, 32(2): 379-385, 1989 11 Zhang, Y.X and Y.K Cheung, Geometric nonlinear analysis of thin plates by a refined nonlinear nonconforming triangular plate element Thin-Walled Structures, 41(5): 403-418, 2003 12 Gunderson, R., W.E Haisler, J.A Stricklin, and P.R Tisdale, A rapidly converging triangular plate element AIAA Journal, 7(1): 180-181, 1969 13 Zhang, Y.X and K.S Kim, Linear and Geometrically nonlinear analysis of plates and shells by a new refined nonconforming triangular plate/shell element Computational Mechanics, 36(5): 331-342, 2005 14 Palazotto, S.T.D.A.N., Nonlinear Analysis of Shell Structures American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1992 15 Reddy, J.N., An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis Oxford University Press, 2004 16 Crisfield, M.A., A faster modified newton-raphson iteration Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 20(3): 267-278, 1979 17 Sabir, A.B., Lock, A.C., The application of finite elements to large deflection geometrically nonlinear behaviour of cylindrical shells Variational Methods in Engineering, Southampton University Press, Southampton, Brebbia, C.A., Tottenham, H (eds.) 1973 18 Sze, K.Y., X.H Liu, and S.H Lo, Popular benchmark problems for geometric nonlinear analysis of shells Finite Elements in Analysis and Design, 40(11): 1551-1569, 2004 Trang