Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 huyện phú lộc huế năm học 2016 2017 (có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN PHÚ LỘC NĂM HỌC 2016 – 2017 -Môn thi: Toán – Lớp ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 08/12/2016  3x + x − + + Câu (4,0 điểm): Cho biểu thức A =  x + x − x −  1) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức A 3) Tìm giá trị x để số tự nhiên A Câu (4,0 điểm): 1) Giải phương trình: x − 10 x + 27 = − x + x −  1 − ÷: x +2  x −1 x +1 x + x +1 Câu (4,0 điểm): Cho hai đường thẳng: y = x + (d1); y = 3x + (d2) 1) Gọi A B giao điểm (d1) (d2) với trục Oy Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB 2) Gọi J giao điểm (d1) (d2) Tam giác OIJ tam giác gì? Tính diện tích tam giác Câu (6,0 điểm): Cho đường tròn (O;R) đường kính AB Gọi M điểm nằm A B Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M 1) Tứ giác ACED hình gì? Vì sao? 2) Gọi H K hình chiếu M AB AC Chứng minh rằng: HM MK CD × = HK MC R 3) Gọi C’ điểm đối xứng với C qua A Chứng minh C’ nằm đường tròn cố định M di chuyển đường kính AB ( M khác A B) Câu (2,0 điểm): Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: c + ab a + bc b + ac + + ≥2 a+b b+c a+c 2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A = -HẾT - PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN PHÚ LỘC NĂM HỌC 2016 – 2017 -Môn thi: Toán – Lớp HƯỚNG DẪN CHẤM Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 08/12/2016 Câu (4,0đ) Ý (0,5đ) (2,0đ) Lời giải x ≥ Điều kiện:  x ≠  3x + x − A= +  x+ x −2 ( ( = ( =( (1,5đ) )( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) 0,5 ×( x − 1) ) x + 2) ×( x + 2) x −1  1 − ÷: x +2  x −1 + x −1 x+3 x +2 = Điểm 0,5 x +2 0,5 )( x −1 0,5 ) x +1 0,5 x ≥ Với điều kiện:  x ≠ Ta có: A = Vì A = ( ( ) x +1 = Do đó: A Mà ) x +1 ( 2 ≥ với x ≥ nên ≤ ) x +1 x + > nên ∈¥ ( ) ( ) x +1 = ) x +1 x + = x + =1 Do đó: x = x = ( ( ≤2 ) x +1 = 0,5 0,5 2 −1 = − 2 số tự nhiên x = x = − 2 A Giải phương trình: x − 10 x + 27 = − x + x − Điều kiện: ≤ x ≤ VT = x − 10 x + 27 = ( x − ) + ≥ , dấu “=” xảy ⇔ x = 0,5 Vậy (4,0đ) (2,0đ) dấu “=” xảy ⇔ (1 ( ) ( ) + 12 )  − x + x −  ⇔ VP ≤ ,   1 = ⇒ 6− x = x−4 ⇔ x = 6− x x −1 VP = − x + x − ≤ 2 0,5 0,5 0,5 (2,0đ) VT = VP ⇔ x = (TMĐK) Vậy nghiệm phương trình x = x +1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A = x + x +1 1  Ta có: x + x + =  x + ÷ + > 0, ∀x ∈ ¡ 2  x +1 x + x + − x2 x2 x2 A= = = − ≤ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ) (vì x + x +1 x2 + x + x2 + x + x2 + x + Đẳng thức xảy x = 0, suy ra: maxA = x = x2 + x + − x2 + x + x +1 3x + A= ⇒ 3A = = x + x +1 x + x +1 x2 + x +1 ( = (4,0đ) (1,5đ) (2,5đ) ( x + 2) x + x +1 − ≥ −1 (vì ( x + 2) ) x + x +1 ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ) Suy ra: A ≥ − , đẳng thức xảy x + = ⇔ x = −2 Suy ra: minA = − , x = −2 Tìm A(0;3); B(0;7) Suy I(0;5) Hoành độ giao điểm J (d1) (d2) nghiệm PT: x + = 3x + ⇒ x = – ⇒ yJ = ⇒ J(-2;1) Suy ra: OI2 = 02 + 52 = 25; OJ2 = 22 + 12 = 5; IJ2 = 22 + 42 = 20 ⇒ OJ2 + IJ2 = OI2 ⇒ tam giác OIJ tam giác vuông J 1 ⇒ S∆OIJ = OI OJ = × × 20 = (đvdt) 2 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (4,0đ) (2,0đ) (2,0đ) Vì CD ⊥ AB ⇒ CM = MD Tứ giác ACED có AE cắt CD trung điểm đường nên hình bình hành Mà AE ⊥ CD ⇒ tứ giác ACED hình thoi Vì tam giác ABC có AB đường kính (O) nên ∆ABC vuông C, suy tứ giác CHMK hình chữ nhật Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ta có: 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 MA.MC AC MB.MC Tương tự ta có: MK = BC MA.MB.MC ⇒ MH.MK = AC.BC Mà MA.MB = MC2; AC.BC = MC.AB (do ∆ABC vuông C) MC MC MC3 MH.MK MC ⇒ MH.MK = = ⇒ = MC.AB AB MC AB Mà MC = MK ( CHMK hình chữ nhật) MH.MK MC 2MC CD ⇒ = = = HK.MC AB 2AB 4R HM MK CD × = Vậy: (đpcm) HK MC 4R Lấy O’ đối xứng với O qua A, suy O’ cố định Tứ giác COC’O’ hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm A đường Do O’C’ = OC = R không đổi Suy C’ nằm đường tròn (O’;R’) cố định M di chuyển đường kính AB Vì a + b + c = nên c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a)(c + b) a + bc = a(a + b + c) + bc = (b + a)(b + c) b + ac = b(a + b + c) + ac = (a + b)(a + c) nên BĐT cần chứng minh tương đương với: ( c + a) ( c + b) + ( b + a) ( b + c) + ( a + b) ( a + c ) ≥ a+b a+c b+c MH.AC = MA.MC ⇒ MH = (2,0đ) (2,0đ)  ( c + a) ( c + b)   ( b + a) ( b + c)   ( a + b) ( a + c)  ⇔  ÷ +  ÷ +  ÷ ≥2 a + b a + c b + c       2 Mặt khác dễ thấy: x + y + z ≥ xy + yz + zx , với x, y, z (*) Áp dụng (*) ta có: VT ≥ b + c + a + b + c + a = Dấu “=” xảy a = b =c = ⇒ đpcm 2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Chú ý: 1) Nếu thí sinh làm không làm theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Bài hình không vẽ hình không chấm điểm 0,5 0,5 ... KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN PHÚ LỘC NĂM HỌC 2016 – 2017 -Môn thi: Toán – Lớp HƯỚNG DẪN CHẤM Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: ... “=” xảy a = b =c = ⇒ đpcm 2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Chú ý: 1) Nếu thí sinh làm không làm theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Bài hình không vẽ hình không chấm... HƯỚNG DẪN CHẤM Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 08/12 /2016 Câu (4,0đ) Ý (0,5đ) (2,0đ) Lời giải x ≥ Điều kiện:  x ≠  3x + x − A= +  x+ x −2 ( ( =