GIAO TRINH TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI NỘI DUNG 1.Định nghĩa đường loại 2.Tính chất đường loại 3.Cách tính đường loại 4.Định lý Green 5.Tích phân không phụ thuộc đường ĐỊNH NGHĨA Trong mp Oxy, cho cung AB hàm số P(x,y), Q(x,y) xác định AB Phân hoạch AB điểm {A0, A2, , An}, với A0 = A, An = B Giả sử Ak = (xk, yk), k = 0,…,n Gọi ∆xk = xk+1 – xk , ∆yk = yk+1 – yk, k = 0,…, n-1 Trên cung AkAk+1, lấy điểm Mk, xét tổng tp đường loại P, Q AB Quy ước: tích phân chu tuyến (đường cong kín) C TÍNH CHẤT TP ĐƯỜNG LOẠI 1.Tp đường loại phụ thuộc vào chiều đường Đổi chiều đường đổi dấu 2.Nếu C = C1 ∪ C2 CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI Khi tham số hóa đường cong, lưu ý chiều đường TH1: (C) viết dạng tham số x = x(t), y = y(t), t1 :điểm đầu, t2: điểm cuối TH2: (C) viết dạng y = y(x), x = a : điểm đầu, x = b : điểm cuối TH3: (C) viết dạng x = x(y), y = c : điểm đầu, y = d : điểm cuối Nhắc lại Khi tham số hóa cho cung tròn, elippse, ngược chiều kim đồng hồ tham số tăng dần, chiều kim đồng hồ tham số giảm dần Cách tính Tp đường loại không gian Cách tính: (C) x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1 :điểm đầu, t2: điểm cuối Nhận xét: đường tròn C, x2 + y2 = R2, thay vào ta có Lúc : ⇒ Áp dụng ct Green xác định (0, 0) b)C đtr (x – 3)2 + (y – 1)2 = Áp dụng ct Green hình tròn biên C c)C ={(x,y)/ max { |x|, |y|} = 1} Không thể áp dụng ct Green miền hình vuông (P, Q không xác định (0,0) Dùng đường tròn C’ đủ nhỏ bao gốc O (hoặc đtròn đủ lớn bao đường cong C) Áp dụng ct Green hình vành khăn (HVK) giới hạn C C’( hình vành khăn không chứa (0,0)) lấy chiều KĐH (theo câu a) Nhận xét: tính câu c) theo cách này, không sử dụng tham số hóa đc (C), Nếu C đường cong tùy ý bao gốc O? d)C đường cong bao quanh gốc O nối từ (1,0) đến (π,0) Nối vào C C’ với π C’: y = 0, x : π → Khi C ∪ C’ đường cong kín bao gốc O, áp dụng kết câu c) TÍCH PHÂN KHÔNG PHỤ THUỘC ĐƯỜNG ĐI D miền mở đơn liên P, Q đạo hàm riêng liên tục D Các điều sau tương đương: không phụ thuộc đường nối A, B với chu tuyến D 4/ Tồn hàm U(x, y) thỏa: (Biểu thức dấu vp toàn phần U) Áp dụng Thông thường ta kiểm tra điều kiện (nếu hàm U đoán nhanh) Nếu thỏa, có cách tính từ A đến B C1: Đổi đường lấy thông thường theo đoạn thẳng // với trục tọa độ B A Lưu ý miền D Áp dụng C2: với hàm U đk Cách tìm U: C1: Tìm U từ hệ :U’x = P, U’y = Q C2: chọn (x0, y0) tùy ý D VÍ DỤ 1/ Tính : C: đoạn thẳng nối điểm (1, -1), (2,1) P’y = Q’x R2 nên không phụ thuộc đường 1 -1 Cách khác: nhận thấy hàm U(x, y) = xy thỏa dU = ydx + xdy R2 nên I = U(2, 1) – U(1, -1) = + = 2/ Tính : Theo đường không cắt đường thẳng x + y = P’y = Q’x, ∀(x,y): x + y ≠ 2 -1 x + y =0 Hoặc(tính U): chọn (x0, y0) = (1, 0) 3/ Tìm số a, b cho không phụ thuộc đường Sau đó, với a, b vừa tìm được, tính với A(-1, 2), B(0,3) CHUA : 4/ Tìm hàm số h(y) thỏa h(1) = cho không phụ thuộc đường Sau đó, với h vừa tìm được, tính với A(-1,1), B(1,1) theo đường tròn x2 + y2 = 2y, lấy chiều KĐH theo nửa đường tròn Đổi đường lấy tp: chọn đường thẳng nối A, B ... b/ Parabol: x = y2 , y : → c/ x2+y2 = 2y ⇔ x2+(y – 1 )2 = 1, lấy ngược chiều KĐH x = cost, y = 1+sint, A(0,0) ⇒ B(1,1) ⇒ t = 2/ Tính: với C cung ellipse x2 + 3y2 = từ (0, 1) đến giao điểm ellipse... lấy theo chiều KĐH Tại giao điểm với đt y = x: 3/ Tính: với C gt mặt cầu x2 + y2 + z2 = 6z mp z = - x lấy ngược chiều KĐH nhìn từ phía dương trục Oz 2x2 + y2 = t : 0→ 2 CÔNG THỨC GREEN Định... Tính: C nửa đt x2 + y2 = 2x, ngược chiều KĐH • Nếu tham số hóa để tính I ⇒ khó C1 -1 • C không kín nên áp dụng ct Green Gọi C1 đoạn thẳng y = 0, x: → D nửa hình tròn x2 + y2 ≤ 2x C1 D -1 Khi C ∪ C1