Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương Lý thuyết đồ thị Dẫn nhập Trong phần tập này, làm quen với khái niệm định nghĩa lý thuyết đồ thị Sinh viên cần ôn lại lý thuyết chương trước làm tập bên Bài tập mẫu Câu Có cạnh đồ thị vô hướng có đỉnh, đỉnh có bậc 4? Lời giải Vì tổng bậc đồ thị × = 24, nên 2e=24 Do đó, số cạnh đồ thị e=12 Đồ thị vẽ hình bên đây: ✷ A B F C E D Câu Có bậc vào bậc đỉnh đồ thị có hướng G1 đây? A B G F1 C E D Lời giải • deg− (A) = 0, deg− (B) = 2, deg− (C) = 2, deg− (D) = 2, deg− (E) = 2, deg− (F ) = 3, • deg+ (A) = 4, deg+ (B) = 2, deg+ (C) = 1, deg+ (D) = 2, deg+ (E) = 1, deg+ (F ) = ✷ Câu Liệu có tồn đơn đồ thị gồm đỉnh mà có bậc : Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 1/16 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) 1,1,2,2? b) 1,1,2,2,3,3,3? Nếu có vẽ đồ thị Lời giải a) Có tồn đơn đồ thị gồm đỉnh mà có bậc 1, 1, 2, Đồ thị vẽ sau: B C A D b) Không tồn đơn đồ thị gồm đỉnh mà có bậc 1,1,2,2,3,3, tổng số bậc tất đỉnh số lẻ ✷ Bài tập cần giải Câu Có cạnh đồ thị vô hướng có đỉnh, đỉnh có bậc ? Vẽ đồ thị Câu Có bậc vào bậc đỉnh đồ thị có hướng G2 đây? A B H C G D F E Câu Đếm số cạnh đồ thị đặc biệt sau: a) Kn b) Cn c) Km,n d) Wn e) Qn Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 2/16 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Câu Liệu có tồn đơn đồ thị gồm đỉnh mà có bậc : a) 1,2,3,4,5,6? b) 3,3,3,3? c) 1,2,3,4,5,6,7? d) 1, 1,2,3,4,5,6? Nếu có vẽ đồ thị Câu Số cạnh nhiều đơn đồ thị gồm 12 đỉnh bao nhiêu? Còn trường hợp đa đồ thị giả đồ thị nào? Câu Trong đồ thị G có chứa đỉnh bậc lẻ (các đỉnh lại có bậc chẵn) Chứng minh có đường nối đỉnh bậc lẻ với Câu 10 Hãy xác định danh sách kề, ma trận kề ma trận liên thuộc đồ thị G3 sau: F B C A E D G3 Câu 11 Xét đồ thị vô hướng G4 có ma trận kề (adjacency matrix) sau: A B C D E F G H A B C D E F G H 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 • Hãy vẽ đồ thị G4 • Xác định danh sách kề ma trận liên thuộc đồ thị • Hãy cho biết đồ thị có phải đồ thị phân đôi không Nếu có, vẽ lại dạng đồ thị phân đôi Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 3/16 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính • Hãy cho biết đồ thị có phải đồ thị phẳng không (đồ thị phẳng đồ thị vẽ mặt phẳng mà cạnh không cắt chéo lẫn nhau) Nếu có, vẽ lại dạng đồ thị phẳng Câu 12 Đồ thị phân đôi a) Các chu trình C3 ,C4 , C5 có phải đồ thị phân đôi không? b) Mệnh đề sau sai : "Nếu đồ thị có chứa tam giác phân đôi" Chứng minh c) Mệnh đề nghịch đảo "Nếu đồ thị không chứa tam giác phân đôi" hay sai Chứng minh Câu 13 Hãy xác định danh sách kề, ma trận kề ma trận liên thuộc hai đồ thị sau cho biết hai đồ thị có đẳng cấu không A D A B E E F F C G1 B D G2 C Câu 14 Trong giải thi đấu thể thao có n đội tham dự có n+1 trận đấu tiến hành Chứng minh có đội thi đấu trận Bài tập nâng cao Câu 15 Hãy vẽ đồ thị sau: a) K8 b) K1,7 c) K4,4 d) W8 e) Q4 Câu 16 Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 4/16 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính B A C D F E • Hãy xác định danh sách kề, ma trận kề ma trận liên thuộc đồ thị sau: • Hãy cho biết đồ thị có phải đồ thị phân đôi không Nếu có, vẽ lại dạng đồ thị phân đôi • Hãy cho biết đồ thị có phải đồ thị phẳng không Nếu có, vẽ lại dạng đồ thị phẳng Câu 17 Hãy xác định danh sách kề, ma trận kề ma trận liên thuộc hai đồ thị sau cho biết hai đồ thị có đẳng cấu không A B A B C F C D F G1 E E G2 D Câu 18 Hãy vẽ đồ thị sau: a) Hãy vẽ đồ thị gồm đỉnh biểu diễn số từ đến 10, đỉnh nối với số tương ứng chia hết cho số lại b) Hãy vẽ đồ thị gồm đỉnh biểu diễn số từ đến 10, đỉnh nối với số tương ứng có ước số chung lớn c) Tìm số cạnh, số bậc đỉnh đồ thị Câu 19 Một họp có hai đại biểu đến dự Mỗi người quen đại biểu khác Chứng minh lượng người có số lẻ người quen số chẵn Câu 20 Hãy chứng minh đơn đồ thị, tồn hai đỉnh có bậc Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 5/16 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Câu 21 Các đồ thị đặc biệt sau có phải đồ thị phân đôi không, giải thích: a) Kn b) Cn c) Wn d) Qn Câu 22 Hãy chứng minh đồ thị vô hướng G, a) số đỉnh số chẵn, tồn đỉnh G có số bậc lẻ b) số đỉnh số lẻ, tồn đỉnh G có số bậc chẵn c) số đỉnh số chẵn, số đỉnh bậc chẵn G phải số chẵn d) số đỉnh số lẻ, số đỉnh bậc chẵn G phải số lẻ e) số đỉnh số chẵn, số đỉnh bậc lẻ G phải chẵn f) số đỉnh số lẻ, số đỉnh bậc chẵn G phải lẻ Câu 23 Một buổi thảo luận có 101 khách mời; chứng minh tồn người khách mời tranh luận với số chẵn người khách mời khác Câu 24 Do khói, bụi nước bốc lên từ miệng núi lửa bên mặt sông băng Eyjafjallajokull Iceland vào ngày thứ tư (14/04/2010), 90.000 chuyến bay châu Âu bị hủy Đây minh chứng bất ổn thiên nhiên gây tổn hại tới công việc kinh doanh toàn cầu Để giảm thiểu thiệt hại kinh tế, quan quản lý tối ưu hóa lập lịch đường bay EuroControl cố gắng tiếp tục trì số đường bay đến Việt Nam, liên quan đến thành phố lớn như: Hồ Chí Minh (A), Paris (B), Berlin (C), London (D) Tuy nhiên, ảnh hưởng môi trường thiên nhiên nói trên, có vài chuyến bay hoạt động: từ A hướng đến B D, từ B hướng đến C, từ C hướng đến A D, từ D hướng đến B a) Hãy vẽ đồ thị có hướng tương ứng b) Viết ma trận kề M cho đồ thị có hướng c) Hãy tính M + M + M cho biết ý nghĩa ma trận Tổng kết Thông qua tập phần này, làm quen với định nghĩa, tính chất, định lý lý thuyết đồ thị (tham khảo chi tiết chương 4) Ngoài ra, tập giúp phần hiểu thêm ứng dụng thực tiễn đồ thị Giáo trình Cấu Trúc Rời Rạc Trang 6/16