Giao trinh bai tap mophong

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK - BGĐT – TỐN BÀI 7: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH – XÁC ĐỊNH – SUY RỘNG TS NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) NỘI DUNG 1- NGUN HÀM TÍCH PHÂN B T ĐỊNH 2- TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ 3- TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ 4- TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 5- T PHÂ ĐỊNH Đ M T PHÂN THEO CẬN TRÊN 6- TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI & LOẠI 7- TIÊU CHUẨN SO SÁNH 1, HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI NGUN HÀM - Tích phân b t nh: ∫ f ( x) dx = F ( x) + C ⇔ F ' ( x) = f ( x) B ng ngun hàm : B sung hàm l Hàm số ng giác ng c Cơ Tổng qt ng giác ng c dx ∫ x + = arctgx + C dx ∫ − x = arcsin x + C dx x ∫ x + a = a arctg a + C dx x ∫ a − x = arcsin a + C Hyperbolic ∫ sinh xdx = cosh x + C ∫ cosh xdx = sinh x + C dx ∫ cosh x = x + C dx ∫ sinh x = − coth x + C3 L KỸ N NG CƠ B N - Ph ng pháp : Biến Kỹ : i t ng i biến – Kỹ : Đổi biến – ∫ f (u ( x)u ' ( x)dx = ∫ f (u )du Đổi biến 2: Phát x(t) ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x(t )) x' (t )dt Tích phân t ng ph n: v = Phần khó tìm ngun hàm Tích phân hàm hữu tỷ  A1 P( x) B1 B2 Cx + D  +K +  ∫ Q( x) dx = ∫  x − α + K + ( x − β ) + x + px + q  ( x − β1 ) 1  Tích phân hàm vơ tỷ (c n th c) + L ng giác PHÂN THỨC HỮU TỶ BẬC TỬ ≥ BẬC MẪU Phân thức hữu tỷ: P(x)/Q(x), P Q: đa thức Phân thức hữu tỷ thực sự: Bậc P(x) < Bậc Q(x) Bậc P(x) Bậc Q(x): Chia P(x) cho Q(x) số h(x), đa thức dư r(x) P h( x )Q( x ) + r ( x ) dx = ∫Q = ∫ Q( x ) đa thức thương P(x) = h(x)Q(x) + r(x) r(x) ∫ h( x )dx + ∫ Q( x ) dx , bậc r < bậc Q VD: Tính tích phân x3 ∫ x + dx =  x − x + −  dx = x x − + x − ln x + + C ∫   x + 1 PHÂN THỨC HỮU TỶ NGUN TẮC TỔNG QT Phân tích a thức mẫu số Q thành tích (bậc bậc 2) 2/ Phân tích P/Q tổng (thêm bớt, hệ số bất định) dx + x4 − x4 VD: Tính a / ∫ dx = = ∫ x +x x (1 + x ) ( x − 1) b/ I = ∫ dx = ( x + x + 1)( x − 3x + 1) 1− x2 x ∫ x3 dx + ∫ + x dx  Ax + B + Cx + D  dx ∫  x + x + x − 3x + 1  2x + x −   u ' v'  x − 3x + = ∫ − + = ∫ − +  = ln +C   x + x + x − 3x + 1  u v  x + x + Đại số: Mọi đa thức hệ số thực bậc n ln phân tích thành tích nhị thức bậc tam thức bậc có