Giao trinh bai tap bài tập ôn cuối kì p2 thầy lộc

1 Tìm a, α để VCB sau tương đương axα, x→0 f ( x ) = ( x + 1) sin x − tan x a a = ,α = b a = − ,α = c a = 1,α = d Các câu sai Tìm a, α để VCB sau tương đương axα, x→0 f ( x ) = x + x − ln(1 + x ) a a = ,α = 2 b a = 1,α = c a = ,α = 2 d Các câu sai Tính giới hạn lim x →2 a x − 6x + x3 − 2x + 2x − c −1 d t Cho x(t ) = t + 1, y (t ) = te , tính y ′( x ) x = a b 1 c − d b − Tìm a, α để VCB sau tương đương axα, x→0 f ( x ) = cos x − cosh x a a = ,α = 2 b a = −1,α = 2 c a = − ,α = d Các câu sai π   6 Cho f ( x ) = − cos x , tính f ′  a −1 b 1 c ( ) −1 d Các câu khác sai Tìm a, α để VCB sau tương đương axα, x→0 f ( x ) = tan ( x + 1)sin x  a a = 1,α = b a = 2,α = c a = 1,α = d Các câu sai Tìm a, α để VCB sau tương đương axα, x→0 f ( x ) = − x − − 3x a a = 2,α = b a = ,α = 2 c a = ,α = d Các câu sai Tìm a, α để VCB sau tương đương axα, x→0 f ( x ) = − x − − 3x a a = 1,α = b a = 1,α = c a = −1,α = d Các câu sai 10 Tìm a, α để VCB sau tương đương axα, x→0+ f (x) = x + x3 + x − x a a = 1,α = 1 b a = 1,α = −3 128 c b d Các câu sai d Các câu sai 11 Tìm a, α để VCL sau tương đương axα, x→+∞ 16 Tính đạo hàm cấp f ( x ) = c a = −1,α = f (x) = x + x3 + x − x a a = −1,α = 3 b a = 1,α = c a = 1,α = d Các câu sai 12 Tìm a, α để VCL sau tương đương axα, x→+∞ f ( x ) = x − sin x a a = 1,α = 1 b a = ,α = c a = −1,α = d Các câu sai 13 Tìm a, α để VCL sau tương đương axα, x→+∞ ( ) f ( x ) = ln e x − a Không tìm a α b a = 1,α = x = a Không tồn c 120 b d Các câu khác sai 17 Tính đạo hàm cấp π π  f ( x ) = sin  x +  x = 3  a b c −4 d Các câu sai 3x − x 18 Tính giới hạn lim x →3 x − a 27(ln − ) b Không tồn ghạn c 27ln d Các câu sai 19 Tính x c f ( x ) ∼ e d Các câu sai 14 Đạo hàm cấp ba f ( x ) = cos( x − x ) x = a −6 b c −2 d −12 15 Tìm đạo hàm cấp f ( x ) = + x x = −9 a 64 sin x x n + cos n lim n→∞ n4 +∞ a b c d Không tồn 20 Cho f (x) = 2x.arcsinx Giá trị d f (0) a 4dx b 2dx c 4d 2 d 2d x 21 Khai triển Taylor đến cấp f ( x) = x + x − x + với x = 2 a + 16( x − 1) + 15( x − 1) + o(( x − 1) ) 2 b − x + x + o( x ) c + 16( x − 1) + 15( x − 1) + o ( x ) d − x + x + o(( x − 1) ) 22 Tính lim + 3x − + x x4 x →0 a − ∞ b π ( x = 2) a y ′(2) = −1 b y ′(2) = c y ′(2) = −2 d y ′(2) = 28 Cho f ( x ) = x.arcsin x Giá trị d f (0) c − d − 23 Đạo hàm cấp f ( x) = ( x + 1) cos x π / a − 3π b 12π c − 12π d Các câu khác sai 3 24 Cho x (t ) = t + t , y (t ) = t + 3t + t , đạo hàm cấp y theo x x = a b − c d − 25 Tìm a để hàm số sau liên tục x = −2   x + x , x ≤ −2 f ( x) =  sinh( x + 2) − ax , x > −2 a a = −2 b a = − c a = d Không tồn a 26 Tìm y ′(0) y ( x ) hàm ẩn xác định pt: y ( y + 1) + x ( x + 1) = a b c − d x (t ) = 4cos t − 2cos 2t, y (t ) = 4sin t − 2sin 2t , tính y '( x ) t = 2 27 Cho hàm tham số a 4dx b 2dx 2 c 2d d 4d x n 29 Tính lim 2n + ln n x →∞ a +∞ b c d n + n − − n3 + 3n − 30 Tính lim n →+∞ n a b c d +∞ 31 Khi x → +∞ , VCL sau có bậc cao a x ln x b e x ln x c x ln x d x ln x 32 Khai triển Maclaurin f ( x ) = ( x + 1)ln(1 + x + x ) đến x 3 a x + x − x + o( x ) b x + x − x3 + o( x ) 3 5x3 c x + x − + o( x ) 3 d x + x − x + o( x ) 33 Tính lim + x2 − + 2x2 x4 x →0 c d Các câu khác sai 34 Khai triển Maclaurin f ( x ) = + sin x − cos x đến x3 3 a x + x2 − x + o( x ) 48 1 x + x2 − x + o( x ) b 48 3 c x + x + x + o( x ) 16 3 d x + x + x + o( x ) 16 có 36 Hàm số y = x ln x a Đạt cực tiểu / e b Đạt cực đại / e c Đạt cực tiểu cực trị tạ i / e d Đạt cực tiểu cực đại 1/ e 37 Hệ số góc tiệm cận xiên đường 4 c y = −1 π 39 Xét tiệm cận đứng hàm số 35 Đồ thị hàm số y = xe − x a điểm uốn b điểm uốn c điểm uốn d Không có điểm uốn b y = π π d y = − a − ∞ b − a y = − cong y = x − 3x + a k = b k = c k = -2 d k = ±1 38 Tiệm cận ngang đường cong 1− x y = arctan 1+ x y = ( x − 1)1/ x a Chỉ có x = b x=0, x = -1 c Chỉ có x = d Không có tiệm cận đứng 40 Tìm α để lim an = +∞ , với n →∞ an = 8n + n + − n − 3n + n − nα + α < −6 / α < −1 −6 / < α < −1 V i mọ i α sinh( x + x ), x ≤  41 Cho f ( x ) =  , tìm 2 x − x , x > a b c d f+′ (0), f−′ (0) a f+′ (0) = 1, f−′ (0) = b f+′ (0) = 0, f−′ (0) = c f+′ (0) = 1, f−′ (0) = a f+′ (0) = 2, f−′ (0) = 42 Tìm a để hàm số y = a cos x + cos cực đại x = x đạt π a Không tồn a b a = / c a = ±1 / d a = / 43 Tính lim x →+∞ a b c d ln(1 + x + e x ) x + ex +∞ n4 + 3−n n →∞ a b c d 50 Đạo hàm cấp 2n + (n + 1)cosn 44 Tinh lim +∞ không tồn 2 45 Cho f ( x ) = x.e x −1 Giá trị d f (−1) a −10dx b 2dx c 2e −1dx d −10e −1dx 46 Cho f ( x ) = − x arcsin x Giá trị df (1 / 2) π a − dx π a dx b 3 ln n c π 47 Tính lim sin n n →∞ n a + ∞ b d π n →∞ lim an = −∞ α > n →∞ lim an = α > n →∞ lim an = α > − n →∞ n →∞ − 3x − 2x b e sin x c tan x − sin x x2 lim an = −∞ α > − ( ) 53 Tính lim n n − c d Không tồn 48 Khi x → , VCB sau có bậc thấp a trình x.2 xy + ( x − 1)y − = Tìm y’(1) − 2ln2 a −2ln2 + 2ln2 b 2ln − 2ln2 c 2ln −3 − 2ln2 d 2ln2 52 Cho dãy {an } , 3  an = nα −1  n5 + n − n5 − 2n  , kết luận    π  b  − + 1 dx  3   π  c  − +  dx   d − f ( x ) = ( x + x )cos( x + x ) a -60 b c 60 d 120 51 Cho hàm số y = y(x) xác định từ phương a b c d ln ∞ Các câu khác sai 54 Tính lim x →+∞ x d e − e 49 Khi x → , VCB sau có bậc thấp a b c d x sinh x − ( x − 1) cos x x2 + x + +∞ Không tồn −∞ a e x sin2 x b (cos x )tan x − c x + x2 + x x d x + arctan2 x − cos x 55 Tính lim x x →0 2 a b c d π , tính y ′( x ) x = a e b −1 y′ ( ) = c d Các câu khác sai (10 ) (0) với f ( x ) = ( x + 1)ln(1 + x ) 15 b 15 a c − 15 d Các câu khác sai 58 Cho f ( x ) = a b c −1 Không tồn Đáp số khác 61 Cho dãy số {an } thỏa an +1 = + an Biết dãy cho hội tụ, tính giới hạn dãy a b c 2+ d + + + 62 Tìm khai triển Maclaurin cấp hàm số x − 3x f (x) = 10 f ( ) ( ) = − × 10 ! 15 (1 − x )2 , tính f 9! 29 210 9! 210 9! d − 210 x − arcsin x 59 Tính lim x → sin x − tan x a b (8) −1 ( ) −1 x x →0 0 y = x , x = y = ln x, x = 1 y = arcsin e− x , x = x = y − ln y, y = e Bài 3: Tính vật thể cho miền phẳng giới hạn đường sau quanh trục toạ độ tương ứng: x3 y = ( ≤ x ≤ a ) , ox y = sin x,0 ≤ x ≤ π , ox, oy 2 y = x 4 y = x sin x,0 ≤ x ≤ π , ox, oy 2 x + y − = Bài 5: Tính diện tích mặt tròn xoay quay quanh đường sau quanh trục tương ứng: x3 y = ( ≤ x ≤ a ) , ox y = x sin x,0 ≤ x ≤ π , ox, oy ( ) - 11 - HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1.xyy ′ = y + x y 2.xy ′ = xe 1+ x 3.e x +y e2 x tgydx = dy x −1 4.y ′ = x−y 5.( x + y − 4)dy + ( x + y − 2)dx = 6.y ′ cos x + y = 1− sin x 7.y ′( x + y ) = y 8.4 xy ′ + y = −e x x y 9.y ln3 y + y ′ x + = 10.y ′ = e x +y + e x −y 11.( x + x y + y )dx + xy ( x + y )dy = 12.(2 x + y + 1)dx + ( x + 2y − 1)dy = 0, 13.y ′ + xy = arcsin x + x 1− x 14.y = xy ′ + y ′ ln y 15.ydx + ( x + x y )dy = 16.y ′ = 1− xy - 12 - 17.( x ln y − x )y ′ = y 18.y ′x sin y + 2y = xy ′ 19.y ′ = 20 y2 xy + y ′ 2x y arctgx − = y 1+ x 1+ x - 13 - x = − ( y + 2y ).x −1 2 dy dx cos y − sin y − 22.y ′ = → = cos x − sin x + cos y − sin y − cos x − sin x − y y sin(3 ) x x 23.3 y sin(3 y )dx + ( y − xs in(3 y )dy = → y ′ = x x y y sin(3 ) − x x y 1+ x+y x 24.y ′ = → y′ = y x−y 1− x 21.( y + 2y + x )y ′ + x = → x ′ + 25.2 xdx = ( x + y − 2y )dy → 2( xdx + ydy ) = ( x + y )dy → 2d ( x + y ) = ( x + y )dy , dat : u = x + y y y2 26.y ′ − = x −1 x −1 27.y ′ + y = e 28.y ′ − x y ( pt − Bernoulli , α = y = x ln x x ln x 29.(e x sin y + x )dx + (e x cos y + y )dy = 30.2( x + y )y ′ = ( x + y )2 + 1, dat : u = x + y 31.y ′ − y = 3e x y ( pt − Bernoulli , α = 2) 2 32.(1 + x )y ′ + xy = (1+ x ) → y ′ + y 2x 1+ x = (1+ x )3 1+ 2x - 14 - 33.xy ′ = y cosln y y y → y ′ = cosln x x x 34.(2 x y ln y − x )y ′ = y ( pt − Bernoulli − x = x ( y )) 35.y cos xdx + sin xdy = cos xdx (PTVPTP ) 2y 36.e y dx + ( xe y − 2y )dy = → x ′ + x = ey arcsin x = 37.y ′ + x + y = acr sin x → y ′ + y 1+ x 1+ x2 38.y ′ − 2ytgx + y sin2 x = 0( pt − Bernoulli ) y y 39.x y ′ − y − xy = x → y ′ = + + ( )2 x x - 15 - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1.y ′′ − y ′ + y = x cos x, y r = ax + b )cos x + (cx + d )sin x 2.y ′′ − y ′ + y = ( x + 1)sin x, y r = (ax + bx + c )cos x + (dx + ex + f )sin x 3.y ′′ − y ′ + y = xe x , y r = xe x (ax + b ) 4.y ′′ − y ′ + y = 2e2 x , y r = x 2e2 x a 5.y ′′ + y = cos x + x sin2 x, y r = (ax + b )cos x + (cx + d ) sin 2x 6.y ′′ − y ′ + y = xe3 x + cos x, y r = (ax + b )e3 x , y r = a cos x + b sin x 7.y ′′ + y = tgx,giai bang pp bien thien hang so 8.y ′′ + y = 2sin x sin x(= cosx - cos3x), y r = a cos x + b sin x, y r = x (a cos3 x + b sin3 x ) 9.y ′′ + y ′ + y = 1+ e 2x ,giai bang pp bien thien hang so 10.x y ′′ + xy ′ + y = sin(2ln x ), pt − Euler 11.x y ′′ + xy ′ + y = , pt − Euler x x3 ′′ ′ 12.x y − xy + y = , pt − Euler 13.(4 x − 1)2 y ′′ − 2(4 x − 1)y ′ + y = 0, dat : x − = et 14.x y ′′ − xy ′ + y = cosln x, pt − Euler - 16 - HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAU BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỬ  dx  = x + y  dt 1. , x ′′ − x ′ + x =  dy  = x + 2y  dt  dx  = x + y  dt 2. , x ′′ − 22 x ′ + 20 x = 6t  dy  = x + y + t  dt  dx  = x + et  dt 3. ,  dy  = y + t  dt  dx x  = −2 + t  dt 4. , t x ′′ + 2tx ′ − x = 0,  dy 2x −1  = x + y + t  dt  dx dy  + = x + y − cos t dt dt 5. , x ′′ − x ′ = 2cos t + sin t  dy  = x + y + sin t  dt - 17 -  dx  = 12 x − y dt 6. ,  dy  = x + 12y  dt  dx  = −5 x − y + et  dt 7.  dy 2t  = x + y + e  dt  dx t + y =  ′′ tx + x ′ + y ′ = 0(1) dt  8. ⇔  , thay − y ′ − tu − pt (1) − vao − pt (2)  dy t y ′ + x = 0(2) +x=0 t  dt ta − duoc − pt − Euler : t x ′′ + tx ′ − x =  dx  = −x + cos t  dt 9.  dy  = −x + sin t  dt  dx  = x + y − 12t dt 10.  dy = x + 6y + t  dt ... 15.ydx + ( x + x y )dy = 16.y ′ = 1− xy - 12 - 17.( x ln y − x )y ′ = y 18.y ′x sin y + 2y = xy ′ 19.y ′ = 20 y2 xy + y ′ 2x y arctgx − = y 1+ x 1+ x - 13 - x = − ( y + 2y ).x −1 2 dy dx cos y... số y = xe − x a điểm uốn b điểm uốn c điểm uốn d Không có điểm uốn b y = π π d y = − a − ∞ b − a y = − cong y = x − 3x + a k = b k = c k = -2 d k = ±1 38 Tiệm cận ngang đường cong 1− x y = arctan... Tiệm cận ngang đường cong 1− x y = arctan 1+ x y = ( x − 1)1/ x a Chỉ có x = b x=0, x = -1 c Chỉ có x = d Không có tiệm cận đứng 40 Tìm α để lim an = +∞ , với n →∞ an = 8n + n + − n − 3n + n − nα