Giao trinh bai tap chương 4 tích phân mặt

Nội dung Các hệ khác Hai tiên đề Các hệ Thuyết tương đối Biên soạn: Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com Hai tiên đề – A Einstein (1905) • Các tượng vật lý diễn hệ quy chiếu quán tính • Vận tốc ánh sáng chân không số (c = 3.108 m/s), không phụ thuộc vào hệ quy chiếu phương truyền a Thời gian dãn b Chiều dài co ngắn lại c Tính tương đối đồng thời Phép biến đổi Lorentz a Quan hệ nhân b Sự bất biến khoảng không-thời gian c Phép cộng vận tốc Động lượng lượng Hai tiên đề – • Nguyên lý tương đối Galilei: tượng học diễn hệ quy chiếu quán tính • Tiên đề mở rộng nguyên lý tương đối cho tượng vật lý • Thí nghiệm Michelson-Morley (1887): đo phụ thuộc vận tốc ánh sáng vào trạng thái chuyển động nguồn thất bại • Do xác nhận tiên đề 2a Thời gian dãn – 2a Thời gian dãn – • Trong hqc nhìn thấy đồng hồ chuyển động với vận tốc V : ( c∆t )2 = (V ∆t )2 + ( c∆t )2 • Xét đồng hồ ánh sáng, • Một “tích tắc” lần ánh sáng từ lên phản xạ trở • Trong hệ quy chiếu gắn liền với đồng hồ, • thời gian “tích tắc” là: ∆t = L cΔt/2 cΔt0/2 2L c VΔt/2 2a Thời gian dãn – 2a Thời gian dãn – • Vậy quan sát viên nhìn thấy đồng hồ chuyển động, tích tắc đồng hồ là: • Khi hai biến cố xảy nơi hệ quy chiếu quán tính, • khoảng thời gian chúng, đo hqc ấy, gọi thời gian riêng (Δt0) • Khoảng thời gian hai biến cố đó, đo hệ quy chiếu khác, lớn thời gian riêng: ∆t = ∆t −V c 2 γ≡ 1 −V c 2 >1 ∆t > ∆t • Theo quan sát viên nhìn thấy đồng hồ chuyển động, đồng hồ có nhịp điệu dãn • Mọi đồng hồ khác (Theo tiên đề 1) ∆t = ∆t − v2 c ≡ γ∆t • v vận tốc hai hệ quy chiếu Minh họa 2a Thời gian dãn – 2a Thời gian dãn – • Chuyện Từ Thức thời đại • Từ Thức du hành đến xa với vận tốc V = 0,9996c Sau năm trở • Theo người Trái Đất thời gian chuyến du hành là: ∆t = γ∆t • Hạt muon đứng yên có thời gian sống Δt0 = 2,200 μs • Khi chuyển động với vận tốc V = 0,9994c, thời gian sống muon dài γ =1 − ( 0,9996 ) = 35,36 ∆t = (35,36 )(3n ) = 106,1n β = V c = 0,9994 γ =1 − β = 28,87 ∆t = γ∆t = ( 28,87 )( 2,200 µ s ) = 63,51 µ s • Điều thực nghiệm kiểm chứng • Đã 100 năm trôi qua Trái Đất! 2b Chiều dài co ngắn lại – 2b Chiều dài co ngắn lại – • Chó Milou chạy chơi với vận tốc V thấy khúc xương, muốn đo chiều dài • Milou đo thời gian Δt0 hai lần qua hai đầu khúc xương • Và suy chiều dài khúc xương là: L = VΔt0 • Tuy nhiên, theo Tintin thời gian hai biến cố là: Δt = γΔt0 > Δt0 • Do chiều dài khúc xương là: L0 = VΔt > L • Suy ra: L = L0 − V c • Chiều dài vật chuyển động co ngắn lại VΔt0 2b Chiều dài co ngắn lại – 2c Tính tương đối đồng thời – • Chiều dài vật đo hqc quán tính gắn liền với vật gọi chiều dài riêng (L0) • Chiều dài vật đó, đo hệ quy chiếu khác, nhỏ chiều dài riêng: • Một xung sáng phát từ toa tàu vào ga, truyền hai đầu toa • Theo hành khách toa, hai tia sáng đạt tới hai đầu toa lúc L = L0 − v c ≡ L0 γ • v vận tốc hai hệ quy chiếu 2c Tính tương đối đồng thời – Bài tập áp dụng • Theo người đứng sân ga, tia sáng ngược chiều chuyển động tàu đạt tới vách trước • Vì vận tốc ánh sáng không đổi hai phía, vách tiến lại gặp tia sáng • Hai biến cố xảy đồng thời hqc, lại không đồng thời hqc khác Một hạt không bền vào máy dò để lại vệt dài 1,05 mm trước phân rã Vận tốc hạt máy dò 0,992c Thời gian sống riêng hạt bao nhiêu? Trả lời BT Bài tập áp dụng • Thời gian sống hạt máy dò là: ∆t = d V d chiều dài vệt 1,05 × 10−3 m ∆t = = 3,53 ps 0,992 × × 108 m s Trong đời người, liệu du hành đến thiên hà cách xa Trái Đất 23.000 năm ánh sáng hay không? • Thời gian sống riêng luôn ngắn xác định từ: ∆t = ∆t = ∆t γ γ= 1 − 0,9922 = 7,92 3,53 ps = 0,45 ps 7,92 Trả lời BT – • Gọi V = βc vận tốc phi hành gia • Ánh sáng 23.000 năm để bay đến thiên hà phi hành gia phải 23.000/β năm, theo thời gian Trái Đất • Giả sử tuổi thọ trung bình người 80 năm • Phi hành gia muốn thực chuyến bay 80 năm (thời gian riêng) Do đó: γ = ∆t ∆t = ( 23.000n β ) 80n ⇒ γβ = 23.000 80 = 287,5 Trả lời BT – • • • • • Hay: β − β = 287,5 Giải phương trình ta được: β = 0,998265393 Cũng lập luận sau Phi hành gia phải chuyển động cho ông ta khoảng cách 23.000 nas (chiều dài riêng) co lại 80β nas: γ = L0 L = 23.000nas 80β nas ⇒ γβ = 23.000 80 = 287,5 3a Phép biến đổi Galilei • Hqc K’ chuyển động theo trục x hqc K với vận tốc V • Lúc K ≡ K’ t = t’ = • Một biến cố xảy K’ có tọa độ (x’, y’, z’, t’) • K có tọa độ: 3b Phép biến đổi Lorentz • Để phù hợp với hiệu ứng tương đối, Lorentz đưa phép biến đổi mới: Vt x’ x = x ′ + Vt y = y′ z = z′ t = t′ 4a Quan hệ nhân – • Xét hai biến cố xảy hqc K’, cách khoảng Δx’, lệch khoảng thời gian Δt’ • Từ phép biến đổi Lorentz ta có độ lệch thời gian hai biến cố hqc K: V   ∆t = γ  ∆t ′ + ∆x ′  c   • Nếu Δt’ > Δx’ < 0, V   ∆t = γ  ∆t ′ − ∆x ′  < c   V ∆x ′ > ∆t ′ c2 • Thứ tự hai biến cố bị đảo ngược! x = γ ( x ′ + Vt ′ ) y = y′ z = z′ V   t = γ  t ′ + x′  c   Vt x’ Khi V c2 ( ∆s = c 2∆t − ∆x + ∆y + ∆z ) • Từ phép biến đổi Lorentz, ta chứng minh khoảng Δs không thay đổi chuyển hệ quy chiếu: ∆s = ∆s′2 • Không thể đảo ngược thứ tự hai biến cố có quan hệ nhân 4c Công thức cộng vận tốc Bài tập áp dụng • Xét chất điểm chuyển động hqc K’ với vận tốc: Một nhà thực nghiệm thực mạch điện giúp ông ta bật lúc hai bóng đèn, bóng màu đỏ gốc hệ quy chiếu bóng màu vàng khoảng cách x = 30 km Đối với quan sát viên chuyển động theo trục x dương với vận tốc 0,250c: a) Khoảng thời gian hai biến cố bao nhiêu? b) Bóng bật sáng trước? v′x = dx ′ dt ′ v′y = dy′ dt ′ v′z = dz′ dt ′ • Từ phép biến đổi Lorentz, ta tìm vận tốc chất điểm hqc K: vx = dx v′x + V = dt + v′xV c vy = γ v′y dy = dt + v′xV c tương tự cho vz Trả lời BT – • Theo qsv K’ K chuyển động với vận tốc V = 0,250c theo chiều âm trục x, • Biến đổi Lorentz cho ta:  V  t′ = γ  t − x   c  Trả lời BT – • Hay: V K’ β 1− β c ∆x β = 0,250 • Ta có: ∆x = x vang − x = 30 km Δx K ′ − t ′ = −2,58 × 10−5 s • Do đó: ∆t ′ = t vang • Thời gian hai biến cố là: V   ∆t ′ = γ  ∆t − ∆x  c   ∆t ′ = − ∆t ′ = −γ • Theo K’ đèn vàng bật sáng trước khoảng thời gian 25,8 μs V ∆x c2 Bài tập áp dụng Trả lời BT – Hai thiên hà A B xa khỏi hai phía đối diện với vận tốc 0,55c Tìm vận tốc thiên hà B thiên hà A • Đối với thiên hà A có vận tốc –V, thiên hà B có vận tốc cho bởi: v′x = vx − V − v xV c • Vận tốc thiên hà B chúng ta: vx = –V V V V A B K K’ v’ A B K K’ Trả lời BT – • Suy ra: v′x = −V − V × 0,55c =− = −0,84c 2 1+V c + 0,552 • Khác với kết theo học cổ điển (1,10c) • Công thức cộng vận tốc thuyết tương đối đảm bảo vận tốc tổng hợp nhỏ c 5b Động lượng tương đối tính • Động lượng chất điểm thuyết tương đối là: p = mv = γ m0v • Phương trình động lực học: dp d ( γ m0v ) = =F dt dt 5a Khối lượng tương đối tính • Khối lượng chất điểm: • đo hệ quy chiếu gắn liền với chất điểm đó, khối lượng nghỉ m0 • đo hệ quy chiếu khác, chất điểm chuyển động với vận tốc v, lớn khối lượng nghỉ: m= m0 − v2 c ≡ γ m0 5c Năng lượng tương đối tính • Năng lượng chất điểm chuyển động: • Năng lượng nghỉ: E = mc E0 = m0c • Động năng: K = ( m − m0 ) c • Hệ thức động lượng lượng: E = ( pc ) + m0c 2 ( pc ) ( ) = K + 2Km0c Bài tập 5.1 Trả lời BT 5.1 – Một hạt pion (mπ = 273me) đứng yên phân rã thành muon (mμ = 207me) phản neutrino (mῡ ≈ 0) theo phản ứng: π − → µ − +υ • Năng lượng bảo toàn phản ứng: mπ c = K µ + mµ c + Kυ + mυ c (m π − mµ ) c = K µ + K υ Độ hụt khối Δm phản ứng Tìm (bằng eV): (a)Động muon (b) Động phản neutrino K µ + Kυ = ∆mc Trả lời BT 5.1 – ⇒ ( pµ c ) = ( pυ c ) Trả lời BT 5.1 – • Biểu diễn qua động năng: • Δm = (273−207)me = 66me ( 2) 662 me2c 4356 Kµ = = mec 273me 273 • Thay Kῡ từ (1): ( ) = ( ∆mc ) − 2K ∆mc ( ∆m + m )c = ( ∆mc ) K µ2 + 2K µ mµ c = ∆mc − K µ ⇒ 2K µ ∆m2c Kµ = mπ µ (1 ) • Động lượng bảo toàn: = pµ + pυ K µ2 + 2K µ mµ c = K υ2 µ 2 ≈0 + K µ2 • mec2 = 0,511 MeV • Kμ = 4,07 MeV • Kῡ = 29,6 MeV ... 2,200 μs • Khi chuyển động với vận tốc V = 0,9994c, thời gian sống muon dài γ =1 − ( 0,9996 ) = 35,36 ∆t = (35,36 )(3n ) = 106,1n β = V c = 0,99 94 γ =1 − β = 28,87 ∆t = γ∆t = ( 28,87 )( 2,200... vào vỏ trứng !? • Thật ra, đảo ngược thứ tự biến cố đây, • chúng có quan hệ nhân với 4a Quan hệ nhân – 4b Sự bất biến khoảng không-thời gian • Phải có thông tin truyền từ nguyên nhân đến kết... không? • Thời gian sống riêng luôn ngắn xác định từ: ∆t = ∆t = ∆t γ γ= 1 − 0,9922 = 7,92 3,53 ps = 0 ,45 ps 7,92 Trả lời BT – • Gọi V = βc vận tốc phi hành gia • Ánh sáng 23.000 năm để bay đến thiên