Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu xử lý số liệu - chương 5 Thiết kế mạch lọc số
Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 73 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Chương 5 THIẾT KẾ MẠCH LỌC SỐ 1. Cấu trúc của hệ FIR Tổng quát, một hệ thống FIR mô tả bằng phương trình sai phân: y(n) = ()1=0 (5.1) Hệ thống này được biểu diễn bằng hàm hệ thống: H(z) = bkzkM1k=0 (5.2) Hay đáp ứng xung: h(n) = bn0 n M 10 khác (5.3) 1.1. Cấu trúc dạng trực tiếp Dạng trực tiếp có thể xây dựng ngay từ phương trình sai phân không đệ quy (5.1) hay phương trình tương đương: y(n) = ()()1=0 (5.4) Hình 5.1 – Cấu trúc dạng trực tiếp của hệ thống FIR Ta thấy, khi dùng cấu trúc này thì cần M – 1 ô nhớ để lưu M – 1 giá trị ngõ vào trước đó và thực hiện M phép nhân và M – 1 phép cộng số phức để tính một giá trị ngõ ra. 1.2. Cấu trúc dạng liên tầng Từ phương trình (5.2), ta có thể phân tích dưới dạng: H(z) = ()=1 (5.5) Xét cấu trúc một tầng ở dạng bậc 2, nghĩa là: Hk(z) = bk0 + bk1z-1 + bk2z-2 (5.6) x(n) z-1 z-1 z-1 y(n) … h(0) h(1) h(M-1) Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 74 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Khi đó, các điểm không của H(z) sẽ được phân chia thành từng cặp trong đó thông thường các điểm không liên hiệp phức sẽ thuộc một nhóm để phương trình (5.6) có các hệ số thực. Các điểm không thực của H(z) có thể kết hợp với một điểm không bất kỳ còn lại. Hình 5.2 – Cấu trúc liên tầng của hệ thống FIR 1.3. Cấu trúc dạng lấy mẫu tần số Xét đáp ứng xung h(n) của hệ thống LTI có đáp ứng tần số là: H() = ()1=0 (5.7) Ta chỉ định một tập tần số như sau: k = 2( +), = 0, 1, ,12 = 0, 1, ,2 1 = 0 12 (5.8) Khi đó: H(k + ) = H(2( +)) = ()2(+)1=0 (5.9) Tập hợp các giá trị {H(k + )} gọi là các mẫu tần số của H(). Trong trường hợp α = 0, {H(k)} tương ứng với DFT M điểm của {h(n)}. Từ (5.9): h(n) = 1( +)2(+)1=0 (5.10) Khi α = 0, (5.10) chính là IDFT của {H(k)}. Thực hiện biến đổi z (5.10): H(z) = 1( +)2(+)1=01=0 (5.11) Hay có thể viết lại như sau: H1(z) x(n) = x1(n) H2(z) y1(n) = x2(n) y2(n) = x3(n) … HK(z) yK(n) = y(n) H1(z) H1(z) bk1 bk0 bk2 xk(n) yk(n) = xk+1(n) Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 75 GV: Phạm Hùng Kim Khánh H(z) = ( +)12(+)11=01=0 (5.12) = 1 2(+)112(+)1=0 Như vậy, H(z) được xây dựng từ tập mẫu tần số {H(k + α)} thay thế cho tập {h(n)}. Ta biểu diễn mạch lọc ở dạng ghép liên tầng bao gồm 2 tầng: tầng đầu H1(z) chỉ chứa các điểm không và tầng thứ hai H2(z) chứa các mạch lọc đơn cực song song. H1(z) = 1 2 (5.13) H2(z) = (+)112(+)1=0 (5.14) Các điểm không và điểm cực lần lượt là: zk = 2(+) pk = 2(+) Rõ ràng các điểm không và điểm cực giống nhau cùng ở tần số k = 2( +) là các tần số được chỉ định trước tại (5.8). Hình 5.3 – Cấu trúc dạng lấy mẫu tần số 1.4. Cấu trúc dạng mắt lưới Xét mạch lọc FIR với hàm hệ thống: Hm(z) = Am(z) (5.15) Trong đó Am(z) là một đa thức có dạng: Am(z) = 1 + =1 (5.16) z-M x(n) 2 z-1 H(α) z-1 H(1+α) 2 2(1+) z-1 H(M - 1+α) 2(1+) y(n) Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 76 GV: Phạm Hùng Kim Khánh và A0(z) = 1. Đáp ứng xung đơn vị của mạch lọc thứ m là: hm(0) = 1 và hm(k) = αm(k), k = 1, 2, …, m. Gọi {x(n)} là chuỗi ngõ vào và {y(n)} là chuỗi ngõ ra, ta có: y(n) = x(n) + ()=1 (5.17) Xét mạch lọc bậc 1 (m = 1): y(n) = x(n) + α1(1)x(n – 1) (5.18) Cấu trúc mạch lọc như hình vẽ sau ứng với K1 = α1(1): Hình 5.4 – Cấu trúc mắt lưới đơn tầng Xét trường hợp m = 2: y(n) = x(n) + α2(1)x(n – 1) + α2(2)x(n – 2) (5.19) Thực hiện ghép 2 tầng từ dạng đơn tầng như hình 5.4: f1(n) = f0(n) + K1g0(n – 1) (5.20) g1(n) = K1f0(n) + g0(n – 1) Nên: f2(n) = f1(n) + K2g1(n – 1) (5.21) g2(n) = K2f1(n) + g1(n – 1) Hình 5.5 – Cấu trúc mắt lưới 2 tầng Từ (5.20) và (5.21): f2(n) = f0(n) + K1g0(n – 1) + K2[K1f0(n – 1) + g0(n – 2)] (5.22) Mà f0(n) = g0(n) = x(n): f2(n) = x(n) + K1(1 + K2)x(n – 1) + K2x(n – 2) (5.23) Phương trình của cấu trúc mắt lưới 2 tầng giống với phương trình của hệ FIR (5.19) khi các hệ số bằng nhau, nghĩa là: z-1 x(n) f1(n) g1(n) g0(n) f0(n) K1 K1 z-1 K2 K2 g2(n) z-1 x(n) f1(n) = y(n) g1(n) g0(n) f0(n) K1 K1 f2(n) = y(n) Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 77 GV: Phạm Hùng Kim Khánh α2(1) = K1(1 + K2) và α2(2) = K2 (5.24) Hay: K2 = α2(2) và K1 = 2(1)1+2(2) (5.25) Khi tiếp tục thực hiện quá trình như trên, ta có thể xây dựng được cấu trúc mạch lọc mắt lưới m tầng từ tập hợp các phương trình đệ quy theo thứ tự sau: f0(n) = g0(n) = x(n) (5.26) fm(n) = fm – 1(n) + Kmgm – 1(n – 1) gm(n) = Kmfm – 1(n) + gm – 1(n – 1), m = 1, 2, …, M – 1 trong đó ngõ ra của tầng thứ M – 1 tương ứng với ngõ ra của một mạch lọc bậc M – 1: y(n) = fM – 1(n) (5.27) Hình 5.6 – Cấu trúc mạch lọc dạng mắt lưới M – 1 tầng Theo phương trình của mạch lọc dạng trực tiếp và dạng mắt lưới, ta có: fm(n) = ()=0, αm(0) = 1 (5.28) gm(n) = ()=0, βm(m) = 1 (5.29) trong đó βm(k) = αm(m – k), k = 0, 1, …, m. Thực hiện biến đổi z: Fm(z) = Am(z)X(z) (5.30) Gm(z) = Bm(z)X(z) Từ βm(k) = αm(m – k): Bm(z) = () =0= =0 = z-mAm(z-1)(5.31) Ngoài ra, theo (5.26): F0(z) = G0(z) = X(z) (5.32) Fm(z) = Fm-1(z) + KmGm-1(z)z-1 z-1 fm(n) gm(n) gm-1(n) fm-1(n) Km Km Tầng 1 x(n) Tầng 2 Tầng 2 y(n) f0(n) g0(n) f1(n) g1(n) f2(n) g2(n) … … fM -2(n) gM-2(n) gM-1(n) Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 78 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Gm(z) = KmFm-1(z) + Gm-1(z)z-1 Chia 2 vế của phương trình (5.32) cho X(z) và áp dụng kết quả (5.30): A0(z) = B0(z) = 1 (5.33) Am(z) = Am-1(z) + KmBm-1(z)z-1 Bm(z) = Km(z)Am-1(z) + Bm-1(z)z-1 Hay có thể biểu diễn ở dạng ma trận: ()() =1 11()1()1 (5.34) Khi thực hiện chuyển đổi các hệ số từ dạng trực tiếp sang dạng mắt lưới hay ngược lại, ta cần chú ý các kết quả sau: αm(0) = 1 (5.35) αm(m) = Km 2. Thiết kế bộ lọc FIR 2.1. Bộ lọc FIR đối xứng và phản đối xứng Bộ lọc FIR kích thước M mô tả bằng phương trình sai phân: y(n) = ()1=0 (5.36) trong đó {bk} là các hệ số của mạch lọc. Biểu diễn theo tích chập của đáp ứng xung của hệ thống: y(n) = ()()1=0 (5.37) Như vậy, đáp ứng xung của hệ thống h(k) = bk. Hàm hệ thống: H(z) = ()1=0 (5.38) Mạch lọc FIR có pha tuyến tính khi đáp ứng xung h(n) thỏa mãn điều kiện; h(n) = h(M – 1 – n) (5.39) Phương trình (5.39) gọi là điều kiện đối xứng và phản đối xứng của mạch lọc. Kết hợp với (5.38): H(z) = h(0) + h(1)z-1 + … + h(M – 1)z-(M – 1) (5.40) = (1)/212 +()(12)/2±(12 )/2 (3)/2=0 , = (1)/2()(12)/2±(12)/2 21=0, Thay thế z-1 bằng z trong (5.38), ta có: z-(M – 1)H(z-1) = H(z) (5.41) Từ đó, ta thấy nghiệm của đa thức H(z) tương tự nghiệm của đa thức H(z-1), nghĩa là nếu z1 là nghiệm của H(z) thì 1/z1 cũng là nghiệm. Trong trường hợp h(n) có các hệ số thực, nếu z1 là nghiệm phức thì cũng sẽ có nghiệm z1* và cũng có nghiệm 1/z1*. Nếu h(n) = h(M – 1 – n), H() biểu diễn như sau: Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 79 GV: Phạm Hùng Kim Khánh H() = Hr()e-j(M – 1)/2 (5.42) Trong đó: Hr() = 12 + 212 , (3)/2=0 (5.43) Hr() =212 , 21=0 (5.44) Đặc tính pha của bộ lọc là: =12 > 012 + < 0 (5.45) Nếu h(n) = - h(M – 1 – n): H() = Hr()e-j[(M – 1)/2 + /2] (5.46) Trong đó: Hr() = 212 , (3)/2=0 (5.47) Hr() =212 , 21=0 (5.48) Đặc tính pha của bộ lọc là: =212 > 03212 + < 0 (5.49) 2.2. Bộ lọc FIR pha tuyến tính dùng cửa sổ Xét mạch lọc có đáp ứng xung hd(n) và biến đổi Fourier Hd(): Hd() = ()=0 (5.50) hd(n) = 12() (5.51) Tổng quát, đáp ứng xung hd(n) vô hạn trên miền thời gian nên ta thực hiện cắt hd(n) tại điểm n = M – 1 (để kích thước mạch lọc là M) bằng cách nhân với hàm cửa sổ chữ nhật: h(n) = hd(n)w(n) (5.52) trong đó: w(n) = 1 0 10 á (5.53) Xét trên miền tần số: H() = 12 (5.54) Trong đó: W() = ()1=0 = 1=0 (5.55) = 11= (1)/2sin(2)sin(2) Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 80 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hàm cửa sổ có đáp ứng biên độ và pha: ()=sin(2)sin(2) (5.56) =12 sin2 012 + sin2 < 0 (5.57) Đáp ứng biên độ mô tả như hình 5.7. Độ rộng của búp sóng chính là 4/M nên nếu M càng lớn thì búp sóng chính càng hẹp tuy nhiên biên độ của các búp sóng phụ khá cao và hầu như không ảnh hưởng khi tăng M. Để giảm biên độ của các búp sóng phụ, ta có thể thay đổi hình dạng cửa sổ. Tuy nhiên, độ rộng của búp sóng chính sẽ tăng lên. Một số dạng cửa sổ mô tả như bảng 5.1. Bảng 5.2 mô tả một số đặc tính của các hàm cửa sổ trên miền tần số bao gồm độ rộng của búp sóng chính và đỉnh của búp sóng phụ. Hình 5.7 – Đáp ứng biên độ của hàm cửa sổ chữ nhật với M = 31 và M = 61 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510-310-210-1100101102Normalized frequencyMagnitude [dB] M = 31M = 61 Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 81 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Bảng 5.1 – Các hàm cửa sổ khi thiết kế mạch lọc FIR Cửa sổ h(n) 0 ≤ n ≤ M – 1 Bartlett (tam giác) 12 12 1 Blackman 0.42 0.52 1+ 0.084 1 Hamming 0.54 0.462 1 Hanning 1212 1 Kaiser 0 122 1220 12 Lanczos 2 12 /( 1)2 12 /( 12), > 0 Tukey 1 12 < 12, 0 < < 1121 +1 +( 1)/21( 1)/2 12 12 12 I0: hàm Bessel sửa đổi bậc 0 In(x) = 1cos0 Bảng 5.2 – Đặc tính tần số của một số cửa sổ Cửa sổ Độ rộng búp sóng chính Đỉnh búp sóng phụ [dB] Chữ nhật 4/M -13 Bartlett 8/M -27 Hanning 8/M -32 Hamming 8/M -43 Blackman 12/M -58 Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 82 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hình 5.8 – Dạng cửa sổ và đáp ứng tần số của cửa sổ Bartlett với N = 31 Hình 5.9 – Dạng cửa sổ và đáp ứng tần số của cửa sổ Blackman với N = 31 5 10 15 20 25 3000.20.40.60.81SamplesAmplitudeTime domain0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-120-100-80-60-40-2002040Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)Frequency domain5 10 15 20 25 3000.10.20.30.40.50.60.70.80.91SamplesAmplitudeTime domain0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-140-120-100-80-60-40-2002040Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)Frequency domain [...]... Hình 5. 17 – Mạch lọc thơng thấp FIR dùng cửa sổ Hanning (M = 101) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 .5 0.6 0.7 0.8 0.9 -6 0 -5 0 -4 0 -3 0 -2 0 -1 0 0 Normalized Frequency ( rad/sample) Magnitude (dB) Frequency domain 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 .5 0.6 0.7 0.8 0.9 -1 80 -1 60 -1 40 -1 20 -1 00 -8 0 -6 0 -4 0 -2 0 0 20 Normalized Frequency ( rad/sample) Magnitude (dB) Frequency domain Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số. .. hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 83 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hình 5. 10 – Dạng cửa sổ và đáp ứng tần số của cửa sổ Hanning với N = 31 Hình 5. 11 – Dạng cửa sổ và đáp ứng tần số của cửa sổ Hamming với N = 31 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Samples Amplitude Time domain 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 .5 0.6 0.7 0.8 0.9 -3 50 -3 00 -2 50 -2 00 -1 50 -1 00 -5 0 0 50 Normalized Frequency ( rad/sample) Magnitude... Bảng 5. 2 – Đặc tính tần số của một số cửa sổ Cửa sổ Độ rộng búp sóng chính Đỉnh búp sóng phụ [dB] Chữ nhật 4/M -1 3 Bartlett 8/M -2 7 Hanning 8/M -3 2 Hamming 8/M -4 3 Blackman 12/M -5 8 Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 78 GV: Phạm Hùng Kim Khánh G m (z) = K m F m-1 (z) + G m-1 (z)z -1 Chia 2 vế của phương trình (5. 32) cho X(z) và áp dụng kết quả (5. 30):... có thể phân tích dưới dạng: H(z) = () =1 (5. 5) Xét cấu trúc một tầng ở dạng bậc 2, nghĩa là: H k (z) = b k0 + b k1 z -1 + b k2 z -2 (5. 6) x(n) z -1 z -1 z -1 y(n) … h(0) h(1) h(M-1) Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 93 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Xét hệ số { }: 0 = 1 2 (1) (5. 80) = 2 1 , = 1,2,... h(n) = h d (n)w(n) (5. 52) trong đó: w(n) = 1 0 1 0 á (5. 53) Xét trên miền tần số: H() = 1 2 (5. 54) Trong đó: W() = () 1 =0 = 1 =0 (5. 55) = 1 1 = (1)/2 sin( 2 ) sin( 2 ) Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 87 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hình 5. 16 – Mạch lọc thơng... 5. 15 – Mạch lọc thơng thấp FIR dùng cửa sổ chữ nhật (M = 101) Hình 5. 15 – Mạch lọc thơng thấp FIR dùng cửa sổ Hamming (M = 101) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 .5 0.6 0.7 0.8 0.9 -1 00 -8 0 -6 0 -4 0 -2 0 0 20 Normalized Frequency ( rad/sample) Magnitude (dB) Frequency domain 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 .5 0.6 0.7 0.8 0.9 -1 40 -1 20 -1 00 -8 0 -6 0 -4 0 -2 0 0 20 Normalized Frequency ( rad/sample) Magnitude (dB) Frequency... 0.9 -3 50 -3 00 -2 50 -2 00 -1 50 -1 00 -5 0 0 50 Normalized Frequency ( rad/sample) Magnitude (dB) Frequency domain 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Samples Amplitude Time domain 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 .5 0.6 0.7 0.8 0.9 -8 0 -6 0 -4 0 -2 0 0 20 40 Normalized Frequency ( rad/sample) Magnitude (dB) Frequency domain Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 74 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Khi đó, các điểm khơng của H(z) sẽ được... α(k): thơng số của mạch lọc, có quan hệ tuyến tính với h(n) Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 85 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Tổng qt, h d (n) là tín hiệu khơng nhân quả và vô hạn theo thời gian. Nhân h d (n) với cửa sổ chữ nhật như (5. 53): h(n) = 1 2 1 2 0 1 0 á (5. 60) Đáp ứng tần số của (5. 60) được mô tả như hình 5. 14 với M = 61... (3)/2 =0 (5. 86) Đáp ứng xung phản đối xứng và M chẵn H r () =2 1 2 2 1 =0 (5. 87) Đặt k = M/2 – n và định nghĩa: d(k) = 2h(M/2 – k) (5. 88) Từ (5. 87) và (5. 88): H r (ω) = ( 1 2 ) 2 =1 (5. 89) Xét hệ số { }: 2 1 = 2( 2 ) (5. 90) 1 = 2 , = 2, , 2 1 Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết... ω s (5. 73) Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 73 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Chương 5 THIẾT KẾ MẠCH LỌC SỐ 1. Cấu trúc của hệ FIR Tổng quát, một hệ thống FIR mơ tả bằng phương trình sai phân: y(n) = () 1 =0 (5. 1) Hệ thống này được biểu diễn bằng hàm hệ thống: H(z) = b k z k M1 k=0 (5. 2) Hay đáp ứng xung: h(n) = b n 0 n M 1 0 khác (5. 3) . tần số của cửa sổ Hamming với N = 31 5 10 15 20 25 3000.20.40.60.81SamplesAmplitudeTime domain0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 .5 0.6 0.7 0.8 0. 9-3 5 0-3 0 0-2 5 0-2 0 0-1 5 0-1 0 0 -5 0 050 Normalized. 0. 9-1 8 0-1 6 0-1 4 0-1 2 0-1 0 0-8 0-6 0-4 0-2 0020Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)Frequency domain0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 .5 0.6 0.7 0.8 0. 9-1 0 0-8 0-6 0-4 0-2 0020Normalized