Tài liệu xử lý số liệu - chương 4 Biến đổi Fourier rời rạc
Xử lý số tín hiệu Chương 4: Biến đổi Fourier rời rạc Trang 56 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Chương 4 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) 4.1. Định nghĩa và tính chất 4.1.1. Định nghĩa Biến đổi Fourier rời rạc (DTFT) của x(n) mô tả như sau: X(ej) = njne)n(x (4.1) Biến đổi Fourier rời rạc (DFT – Discrete Fourier Transform) N điểm của x(n) mô tả như sau: X(k) = 1N0nN/kn2je)n(x (4.2) Biến đổi Fourier ngược (IDFT – Inverse DFT): x(n) = 1N0kN/kn2je)k(XN1 (4.3) VD: Xét tín hiệu: x(n) = khác0Ln01 Biến đổi Fourier N điểm (N > L) của x(n) là: X(k) = 1N0nN/kn2je)n(x= 1L0nN/kn2je= 1L0nnN/k2je X(k) = N/k2jN/kL2je1e1 Mà: 1 – e-jL = 1 – cosL + jsinL = 2sin2L/2 + j2sinL/2cosL/2 = 2sinL/2(sinL/2 + jcosL/2) = 2jsinL/2(cosL/2 – jsinL/2) = 2jsinL/2e-jL/2 X(k) = NkjNkLjeNkjeNkLj//)/sin(2)/sin(2 = N/)1L(kje)N/ksin()N/kLsin( 4.1.2. Tính chất của DFT N điểm Tuần hoàn: Nếu x(n) và X(k) là một cặp biến đổi DFT N điểm thì: x(n + N) = x(n) n (4.4) X(k + N) = X(k) k (4.5) Tuyến tính: Nếu: Xử lý số tín hiệu Chương 4: Biến đổi Fourier rời rạc Trang 57 GV: Phạm Hùng Kim Khánh x1(n) NDFT X1(k) x2(n) NDFT X2(k) thì: a1x1(n) + a2x2(n) NDFT a1X1(k) + a2X2(k) (4.6) Đối xứng: Xét x(n) = xR(n) + jxI(n) và DFT N điểm X(k) = XR(k) + jXI(k) thì: XR(k) = 1N0nIRNkn2sin)n(xNkn2cos)n(x (4.7) XI(k) = 1N0nIRNkn2cos)n(xNkn2sin)n(x (4.8) Và: xR(n) = 1N0kIRNkn2sin)k(XNkn2cos)k(XN1 (4.9) xI(n) = 1N0kIRNkn2cos)k(XNkn2sin)k(XN1 (4.10) Nếu x(n) chẵn: x(n) = x(-n) thì X(k) = XR(k) = XR(-k) (4.11) Nếu x(n) lẻ: x(n) = -x(-n) thì X(k) = jXI(k) = -jXI(-k) (4.12) Nếu x(n) là tín hiệu thực, xI(n) = 0: XR(k) = XR(-k) XI(k) = - XI(-k) Hay: X(k) = X*(-k) (4.13) Nếu x(n) là tín hiệu ảo, xR(n) = 0: XR(k) = -XR(-k) XI(k) = XI(-k) Hay: X(k) = -X*(-k) (4.14) Tích chập vòng tròn: Nếu: x1(n) NDFT X1(k) x2(n) NDFT X2(k) thì: x1(n) x2(n) NDFT X1(k)X2(k) (4.15) Trong đó: biểu diễn tích chập vòng tròn: 1N0m21Nmod)mn(x)m(x Đảo trên miền thời gian: N N Xử lý số tín hiệu Chương 4: Biến đổi Fourier rời rạc Trang 58 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Nếu: x(n) NDFT X(k) thì: x1(N - n) NDFT X(N – k) (4.16) Dịch chuyển thời gian và dịch chuyển tần số: Nếu: x(n) NDFT X(k) thì: x(n - 1) NDFT X(k)N/kl2je (4.17) và x(n)N/kl2je NDFT X(k-l) (4.18) Liên hiệp phức: Nếu: x(n) NDFT X(k) thì: x*(n) NDFT X*(N - k) (4.19) Tương quan: Nếu: x(n) NDFT X(k) và y(n) NDFT Y(k) thì: )l(rxy NDFT X(k)Y*(k) (4.20) trong đó: )l(rxy = 1N0mNmod)lm(*y)m(x Nhân: Nếu: x1(n) NDFT X1(k) x2(n) NDFT X2(k) thì: x1(n)x2(n) NDFT N1X1(k) X2(k) (4.21) Định lý Paserval: Nếu: x(n) NDFT X(k) và y(n) NDFT Y(k) thì: 1N0k1N0n)k(*Y)k(XN1)n(*y)n(x (4.22) N Xử lý số tín hiệu Chương 4: Biến đổi Fourier rời rạc Trang 59 GV: Phạm Hùng Kim Khánh 4.2. Biến đổi Fourier nhanh (FFT – Fast Fourier Transform) 4.2.1. Tính tốn DFT trực tiếp Từ cơng thức định nghĩa DFT, ta có: X(k) = 1N0nNkn2sinjNkn2cos)n(x (4.23) Nếu x(n) là tín hiệu thực: XR(k) = 1N0nNkn2cos)n(x (4.24) XI(k) = 1N0nNkn2sin)n(x (4.25) |X(k)| = )k(X)k(X2I2R (4.26) )k(X)k(Xarctg)k(RI (4.27) Nếu x(n) là tín hiệu phức, các thành phần thực và ảo tính tốn theo cơng thức (4.7) và (4.8). Để thực hiện tính tốn theo cơng thức này, đòi hỏi các phép tốn sau: - 2N2 hàm lượng giác - 4N2 phép nhân số thực - 4N(N – 1) phép cộng số thực. 4.2.2. Thuật tốn FFT cơ số 2 4.2.2.1. Trên miền thời gian Xét DFT N điểm, giả sử N = 2v (N là một lũy thừa của 2): X(k) = 1N0nN/kn2je)n(x = 1N0nknNW)n(x trong đó WN = N/2je X(k) = 1NnN/kn2je)n(xchẵn +1NnN/kn2je)n(xlẻ = 12/N0nnk2NW)n2(x+12/N0n)1n2(kNW)1n2(x (4.28) Mà: 2/N)2/N/(2jN/4j2N/2j2NWeeeW (4.28) trở thành: X(k) = 12/N0nnk2/NW)n2(x+12/N0nkn2/NkNW)1n2(xW = F1(k) + kNWF2(k) (4.29) Xử lý số tín hiệu Chương 4: Biến đổi Fourier rời rạc Trang 60 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Trong đó: F1(k) và F2(k) lần lượt là DFT N/2 điểm của f1(n) và f2(n) với f1(n) và f2(n) mô tả như sau: f1(n) = x(2n) (4.30) f2(n) = x(2n+1) Do F1(k) và F2(k) tuần hoàn nên: F1(k) = F1(k + N/2) và F2(k) = F2(k + N/2) Hơn nữa: kNjkN2/NN/2jkN/2j2/NkN/2j2/NkNWeWeeeW Nên: X(k + N/2) = F1(k) kNWF2(k) (4.31) F1(k) là DFT N/2 điểm nên cần N2/4 phép nhân trên số phức. Như vậy, khi dùng DFT trực tiếp, ta phải cần tính toán cho N2 phép nhân trên số phức còn khi sử dụng FFT cơ số 2, ta cần 2(N2/4) + N/2 = N2/2 + N/2 phép nhân trên số phức. Hình 4.1 – Sơ đồ biểu diễn bước thứ nhất trong thuật toán FFT cơ số 2 Xét DFT N/4 điểm xây dựng từ f1(n) và f2(n) như sau: v11(n) = f1(2n) (4.32) v12(n) = f1(2n+1) v21(n) = f2(2n) v22(n) = f2(2n+1) Quan hệ giữa DFT N/2 điểm và DFT N/4 điểm mô tả như sau: F1(k) = V11(k) + k2/NWV12(k) (4.33) F1(k+N/4) = V11(k) - k2/NWV12(k) F2(k) = V21(k) + k2/NWV22(k) Xử lý số tín hiệu Chương 4: Biến đổi Fourier rời rạc Trang 61 GV: Phạm Hùng Kim Khánh F2(k+N/4) = V21(k) - k2/NWV22(k) trong đó Vij là biến đổi DFT N/4 điểm của vij(n). Quá trình biến đổi trên sẽ tiếp tục thực hiện cho đến DFT 2 điểm. Từ đó, ta được bảng so sánh độ phức tạp tính toán khi thực hiện DFT trực tiếp với FFT như sau: N Độ phức tạp của phép nhân trên DFT N2 Độ phức tạp của phép nhân trên FFT (N/2)log2N 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 1048576 4 12 32 80 192 448 1024 2304 5120 Sơ đồ mô tả cho FFT 8 điểm như sau: Hình 4.2 – Sơ đồ thực hiện FFT 8 điểm Xử lý số tín hiệu Chương 4: Biến đổi Fourier rời rạc Trang 62 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hình 4.3 – Thuật toán thực hiện cho FFT 8 điểm Thuật toán thực hiện DFT trên được xây dựng dựa cơ sở theo sơ đồ hình bướm sau: Hình 4.3 – Tính toán cho sơ đồ hình bướm cơ sở của thuật toán FFT 4.2.2.2. Trên miền tần số Xét DFT N điểm: X(k) = 1N0nknNW)n(x = 12/N0nknNW)n(x+1N2/NnknNW)n(x X(k) = 12/N0nknNW)n(x+12/N0nknN2/kNNW)2/Nn(xW (4.34) Trong đó: kjkN2/kN2j2/kNN)1(eeW a b A = a + W'Nb B = a - W'Nb Xử lý số tín hiệu Chương 4: Biến đổi Fourier rời rạc Trang 63 GV: Phạm Hùng Kim Khánh X(k) = 12/N0nknNkW)2/Nn(x)1()n(x (4.35) X(2k) = 12/N0nkn2NW)2/Nn(x)n(x = 12/N0nkn2/NW)2/Nn(x)n(x (4.36) X(2k+1) = 12/N0nnNkn2NWW)2/Nn(x)n(x = 12/N0nkn2/NnNWW)2/Nn(x)n(x (4.37) Ta định nghĩa hai chuỗi N/2 điểm g1(n) và g2(n) như sau: g1(n) = x(n) + x(n + N/2) g2(n) = nNW)2/Nn(x)n(x (4.38) Khi đó: X(2k) = 12/N0nkn2/N1W)n(g X(2k+1) = 12/N0nkn2/N2W)n(g (4.39) Như vậy, việc tính toán DFT N điểm có thể thực hiện thông qua DFT N/2 điểm của 2 chuỗi g1 và g2. Quá trình tính toán mô tả như sau: Hình 4.4 – Bước thứ nhất của thuật toán FFT trên miền tần số Xử lý số tín hiệu Chương 4: Biến đổi Fourier rời rạc Trang 64 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Các sơ đồ thực hiện cho thuật toán FFT trên miền tần số mô tả như sau: Hình 4.5 – Thuật toán FFT 8 điểm trên miền tần số Hình 4.6 - Tính toán cho sơ đồ hình bướm cơ sở của thuật toán FFT trên miền tần số 4.2.3. Thuật toán FFT cơ số 4 4.2.3.1. Trên miền thời gian Xét DFT N điểm có N là lũy thừa của 4 (N = 4v), ta có thể dùng thuật toán FFT cơ số 2 để thực hiện tính toán DFT. Tuy nhiên, quá trình tính toán sẽ hiệu quả hơn nếu sử dụng thuật toán cơ số 4 được mô tả như sau đây. Ta có: X(p,q) = (,)3=04, p = 0, 1, 2, 3 (4.40) trong đó: a b A = a + b B = (a – b)W'Nb Xử lý số tín hiệu Chương 4: Biến đổi Fourier rời rạc Trang 65 GV: Phạm Hùng Kim Khánh F(l,q) = (,)/441=0, = 0, 1, 2, 3 = 0,1, ,4 1 (4.41) và: x(l,m) = x(4m + l) (4.42) X(p,q) = X(4p + q) (4.43) Từ đó, quá trình thực hiện DFT N điểm có thể thông qua thực hiện 4 DFT N/4 điểm. Biểu thức thực hiện mô tả như sau: (0,)(1,)(2,)(3,)=1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 0(0,)(1,)2(2,)3(3,) (4.44) Sơ đồ mô tả quá trình thực hiện: Hình 4.7 - Tính toán cho sơ đồ hình bướm cơ sở của thuật toán FFT cơ số 4 Để giảm lượng phép toán trên số phức, biểu thức (4.44) có thể biểu diễn ở dạng sau: (0,)(1,)(2,)(3,)=1 0 1 00 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 01 0 1 00 1 0 10 1 0 10(0,)(1,)2(2,)3(3,)(4.45) [...]... FFT (N/2)log 2 N 4 8 16 32 64 128 256 512 10 24 16 64 256 10 24 40 96 163 84 65536 262 144 1 048 576 4 12 32 80 192 44 8 10 24 23 04 5120 Sơ đồ mô tả cho FFT 8 điểm như sau: Hình 4. 2 – Sơ đồ thực hiện FFT 8 điểm Xử lý số tín hiệu Chương 4: Biến đổi Fourier rời rạc Trang 71 GV: Phạm Hùng Kim Khánh tính tốn FFT bao gồm: N/2 sơ đồ tại tầng 1, N /4 tại tầng 2, N/8 tại... hiệu quả hơn nếu sử dụng thuật toán cơ số 4 được mơ tả như sau đây. Ta có: X(p,q) = (,) 3 =0 4 , p = 0, 1, 2, 3 (4. 40) trong đó: a b A = a + b B = (a – b)W' N b Xử lý số tín hiệu Chương 4: Biến đổi Fourier rời rạc Trang 72 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hình 4. 13 – Sơ đồ bướm của X(3) với N = 8 Xử lý số tín hiệu Chương 4: Biến đổi Fourier rời rạc Trang 68... 12/N 0n kn N W)n(x + 12/N 0n kn N 2/kN N W)2/Nn(xW (4. 34) Trong đó: kjkN2/kN2j2/kN N )1(eeW a b A = a + W' N b B = a - W' N b Xử lý số tín hiệu Chương 4: Biến đổi Fourier rời rạc Trang 67 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hình 4. 9 - Sơ đồ thực hiện của DFT 16 điểm dùng thuật toán cơ số 4 trên miền tần số 4. 2 .4. Ứng dụng của thuật toán FFT Tính tốn nhân chập vịng trịn... sơ đồ thực hiện cho thuật toán FFT trên miền tần số mơ tả như sau: Hình 4. 5 – Thuật toán FFT 8 điểm trên miền tần số Hình 4. 6 - Tính tốn cho sơ đồ hình bướm cơ sở của thuật tốn FFT trên miền tần số 4. 2.3. Thuật toán FFT cơ số 4 4. 2.3.1. Trên miền thời gian Xét DFT N điểm có N là lũy thừa của 4 (N = 4 v ), ta có thể dùng thuật toán FFT cơ số 2 để thực hiện tính tốn DFT. Tuy nhiên, q trình... = 0, 1, …, N – 1) (4. 55) Y(k + N) = X 1 (k) - W 2N k X 2 (k) (k = 0, 1, …, N – 1) Xử lý số tín hiệu Chương 4: Biến đổi Fourier rời rạc Trang 58 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Nếu: x(n) NDFT X(k) thì: x 1 (N - n) NDFT X(N – k) (4. 16) Dịch chuyển thời gian và dịch chuyển tần số: Nếu: x(n) NDFT X(k) thì: x(n - 1) NDFT X(k) N/kl2j e (4. 17) và x(n) N/kl2j e ... x 1 (n)x 2 (n) NDFT N 1 X 1 (k) X 2 (k) (4. 21) Định lý Paserval: Nếu: x(n) NDFT X(k) và y(n) NDFT Y(k) thì: 1N 0k 1N 0n )k(*Y)k(X N 1 )n(*y)n(x (4. 22) N Xử lý số tín hiệu Chương 4: Biến đổi Fourier rời rạc Trang 61 GV: Phạm Hùng Kim Khánh F 2 (k+N /4) = V 21 (k) - k 2/N W V 22 (k) trong đó V ij là biến đổi DFT N /4 điểm của v ij (n). Quá trình biến đổi.. .Xử lý số tín hiệu Chương 4: Biến đổi Fourier rời rạc Trang 62 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hình 4. 3 – Thuật tốn thực hiện cho FFT 8 điểm Thuật toán thực hiện DFT trên được xây dựng dựa cơ sở theo sơ đồ hình bướm sau: Hình 4. 3 – Tính tốn cho sơ đồ hình bướm cơ sở của thuật tốn FFT 4. 2.2.2. Trên miền tần số Xét DFT N điểm: X(k) = 1N 0n kn N W)n(x ... hình như sau: Hình 4. 10 VD: Tính nhân chập vòng tròn N điểm của x 1 (n) = x 2 (n) = khác0 1Nn01 X 1 (k) = X 2 (k) = 1N 0n kn N W.1 = N/)1N(kj e )N/ksin( )N/kNsin( = kjN/kj ee )N/ksin( )ksin( FFT FFT IDFT x(n) y(n) Y(k) X(k) V(k) = X(k)Y(k) v(n) Xử lý số tín hiệu Chương 4: Biến đổi Fourier rời rạc Trang 64 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Các... jx 2 (n) (0 ≤ n < N) (4. 49) Biểu diễn x 1 (n) và x 2 (n) theo x(n) như sau: x 1 (n) = +() 2 (4. 50) x 2 (n) = () 2 Do tính chất tuyến tính của DFT: X(k) = X 1 (k) + jX 2 (k) (4. 51) X 1 (k) = +[ ] 2 X 2 (k) = [ ] 2 Mà DFT[X*(n)] = X*(N – k) nên: X 1 (k) = [X(k) + X*(N – k)]/2 (4. 52) X 2 (k) = [X(k)... thì: x(n - 1) NDFT X(k) N/kl2j e (4. 17) và x(n) N/kl2j e NDFT X(k-l) (4. 18) Liên hiệp phức: Nếu: x(n) NDFT X(k) thì: x*(n) NDFT X*(N - k) (4. 19) Tương quan: Nếu: x(n) NDFT X(k) và y(n) NDFT Y(k) thì: )l(r xy NDFT X(k)Y*(k) (4. 20) trong đó: )l(r xy = 1N 0m Nmod)lm(*y)m(x Nhân: Nếu: x 1 (n) . nhân trên FFT (N/2)log2N 4 8 16 32 64 128 256 512 10 24 16 64 256 10 24 4096 163 84 65536 262 144 1 048 576 4 12 32 80 192 44 8 10 24 23 04 5120 Sơ đồ mô tả cho. XR(-k) XI(k) = - XI(-k) Hay: X(k) = X*(-k) (4. 13) Nếu x(n) là tín hiệu ảo, xR(n) = 0: XR(k) = -XR(-k) XI(k) = XI(-k) Hay: X(k) = -X*(-k) (4. 14)