Nội dung bài tập lớn

Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Hồ Sỹ Chương hướng dẫn tận tình, giúp hoàn thành tốt tiểu luận thời hạn Tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn đến tất thầy, cô Bộ môn SP Vật Lý truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi cho lúc thực đề tài Cảm ơn gia đình người thân chia sẻ, động viên ủng hộ Tôi cảm ơn bạn lớp Sư Phạm Lý K4, Sư Phạm Toán K4 giúp đỡ động viên nhiều suốt thời gian qua Sự tận tình quý thầy cô động viên gia đình, bạn bè nguồn động lực to lớn để vượt qua nhiều khó khăn cố gắng Một lần nữa, mong người nhận nơi lòng cảm ơn chân thành Mặc dù có nhiều cố gắng tiểu luận tránh khỏi sai sót, mong dẫn thêm thầy, cô góp ý bạn để luận văn hoàn thiện Kính chúc quý thầy cô bạn vui, khỏe! Biên Hòa , Ngày 18 tháng 04 năm 2016 Võ Quang Tiến GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn MỤC LỤC GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật Lý học ngành khoa học tự nhiên nghiên cứu, tìm hiểu cấu trúc quy luật vận động vật tự nhiên Bằng phương pháp toán học, Vật Lý học tìm quy luật chưa tìm thực nghiệm, tiên đoán trước mối quan hệ tượng tự nhiên Vì thế, Toán học trở thành công cụ đắc lực, phương tiện chủ yếu mà Vật Lý học dùng mô tả định lượng tượng vật lý Trong môn học thuộc chuyên ngành Vật Lý, Toán cho Vật Lý môn học đánh dấu mối quan hệ tách rời Vật Lý học Toán học Đây môn học cần thiết cho sinh viên Vật Lý, cung cấp phương pháp, công cụ toán học đại giải phương trình Vật Lý, đặc biệt việc giải phương trình đạo hàm riêng mô tả tượng vật lý Trong trình tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai phương pháp tách biến Fourier hay phép biến đổi Laplace gặp phương trình vi phân thông thường mà nghiệm chúng dạng hàm đặc biệt hàm Legendre, hàm cầu, hàm Bessel…Trong số hàm đặc biệt đó, hàm Bessel- nghiệm phương trình Bessel- đóng vai trò quan trọng việc giải phương trình vật lý toán, phương pháp sử dụng giải toán liên quan đến hình tròn, hình trụ kể hình cầu Nhiều tính chất quan trọng hàm Bessel tìm biết đến với nhiều ứng dụng có tính thực tiễn cao Vật Lý, kỹ thuật, xây dựng… Với nhiều ứng dụng đặc biệt Vật Lý học mà việc nghiên cứu hàm Bessel mang lại, mong muốn tìm hiểu cách sâu sắc, có hệ thống hàm Bessel ứng dụng Đó lý chọn nghiên cứu đề tài “Các hàm Bessel toán dao động màng tròn” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn tìm hiểu cách xây dựng hàm Bessel, tập hợp hệ thống hóa lại khái niệm, tính chất hàm Bessel loại I, loại II Đồng thời ứng dụng hàm Bessel Vật Lý thông qua việc giải số toán cho tọa độ đặc biệt toán dao động tròn để làm sáng tỏ cho phần lý thuyết giúp người đọc hiểu sâu công dụng hàm Bessel Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu khái niệm hàm Bessel loại I, loại II - Trong sâu tìm hiểu chứng minh tính chất quan trọng hàm Bessel loại I, loại II hạng nguyên - Nghiên cứu ứng dụng hàm Bessel loại I, loại II giải toán vật lý liên quan đến phương trình sóng, toán dao động màng tròn tọa độ cầu Phương pháp nghiên cứu GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn - Sử dụng phương pháp tìm tòi nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài, sau hệ thống lại lý thuyết theo cách hiểu riêng - Sử dụng phương pháp chứng minh để làm rõ số vấn đề số tính chất lý thuyết hàm Bessel - Ngoài ra, sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa tài liệu nghiên cứu để đến luận văn hoàn chỉnh Các bước thực đề tài - Nhận đề tài, xác định nhiệm vụ cần đạt đề tài - Nghiên cứu tài liệu có liên quan - Lập đề cương chi tiết luận văn, thông qua giáo viên hướng dẫn - Tiến hành viết đề tài trao đổi với giáo viên - Sửa chữa hoàn chỉnh luận văn báo cáo GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BESSEL 1.1 Thiết lập phương trình Bessel dựa vào toán dao động màng tròn Xét dao động màng tròn Giả sử màng chiếm hình tròn D bán kính q mặt phẳng Oxy Chọn tâm màng làm gốc tọa độ, chuyển từ hệ tọa độ ĐêCac sang hệ tọa độ cực phương trình đường tròn biên màng r = q (H.1) y Độ lệch điểm màng hàm r, t : ϕ Điều kiện biên có dạng (1.1) Trong tọa độ cực, toán tử Laplace hai chiều có dạng: r x O Hình 1.1: Hệ tọa độ cực với Do phương trình dao động tự màng tọa độ cực có dạng: hay (1.2) Các điều kiện ban đầu có dạng (1.3) Dùng phương pháp tách biến Fourier, ta tìm nghiệm phương trình (1.2 ) biểu diễn sóng đứng màng tròn dạng : Thay vào phương trình ( 1.2 ), ta có: chia hai vế cho RT ta Ta thấy phương trình có vế trái không phụ thuộc vào vế phải không phụ thuộc vào , hai vế phương trình không phụ thuộc vào , nghĩa : GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn Từ phương trình ta đặt số Trong phương trình ( 1.5) viết dạng Từ ta rút số, có giá trị phụ thuộc vào tuần hoàn hàm Thực vậy, toán có nghiệm không với số giá trị đặt biệt từ phương trình (1.6) Xét phương trình đặc trưng phương trình (1.6) tùy theo dấu ta có trường hợp sau đây: a) Nghiệm tổng quát (1.6) là: (là số tùy ý) Từ điều kiện tuần hoàn, ta có : trường hợp này, phương trình (1.6) có nghiệm không b) Phương trình (1.6) có nghiệm tổng quát là: Từ điều kiện tuần hoàn, ta có : nghiệm phương trình (1.6) nghiệm không c) Nghiệm tổng quát phương trình có dạng : GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn Dạng nghiệm thỏa điều kiện tuần hoàn hàm sin hàm cos hàm tuần hoàn với chu kì Vậy phương trình (1.6) có nghiệm không : số - Do đó, hàm từ phương trình (1.7) ta có: hay Bây ta đưa vào biến số đặt : Tính đạo hàm: Do ta nhận phương trình vi phân sau hàm Phương trình (1.9) gọi phương trình Bessel Nó phương trình vi phân thông thường hạng hai có hệ số thay đổi Nghiệm gọi hàm Bessel Vì đóng vai trò quan trọng việc mô tả trình vật lý xảy miền hình trụ, có tên Hàm Trụ GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn CHƯƠNG II: HÀM BESSEL 2.1 Khái niệm hàm Bessel Phương trình Bessel phương trình có dạng: nghiệm riêng phương trình Bessel xác định hàm, ta gọi hàm Bessel Vì phương trình Bessel tuyến tính nên nghiệm tổng quát viết dạng : , hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính bất kỳ, số tùy ý Như vậy, đề tìm nghiệm tổng quát phương trình Bessel, ta cần tìm hai nghiệm độc lập tuyến tính 2.2 Hàm Bessel loai I hạng nguyên (k) Ta tìm nghiệm riêng phương trình (1.9) dạng chuỗi lũy thừa: Để tìm hệ số chuỗi lũy thừa, ta lấy đạo hàm thay vào phương trình (1.9) sau nhân với ta có: Vậy tất hệ số đứng trước lũy thừa phải không Bây ta viết lại chi tiết số hạng vế trái (2.3) Thay ba số hạng vào (2.3): từ ta rút số nguyên không âm GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn Nếu = 0, số bất kì, cụ thể tổng quát Vậy ta có nghiệm phương trình Bessel với gọi hàm Bessel loại hạng không Nếu , từ (2.4) ta rút , tùy ý tổng quát Thành thử ta có nghiệm phương trình Bessel với gọi hàm Bessel loại hạng Nếu hệ thức (2.4) có tổng quát Thành thử ta có nghiệm phương trình Bessel GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn gọi hàm Bessel loái hang k Nếu , ta lại có công thức (2.5) (2.6) Vậy (2.7) xác định hàm Bessel loại có tất hạng Ta dễ dàng thấy chuỗi (2.7) hội tụ thỏa mãn phuong trình Bessel (1.9) Hệ thức (2.7) hàm Bessel loại hạng k biểu diễn qua hàm Gamma Trong hàm Gamma xác định với giá trị k dương có dạng: hệ thức (2.7) với k không nguyên Với k nguyên, sử dụng tính chất hàm Gamma: Vậy hệ thức (2.7) hàm Bessel loại hạng k biểu diễn qua hàm Gamma là: Chuỗi (2.8) xác dịnh hàm Bessel loại tất hang (k số nguyên) Dễ dàng thấy chuỗi hội tụ với x thỏa mãn phương trình (2.1) Vì phương trình (2.1) không đổi ta thay k -k Do đó, với -k ta nhận nghiệm riêng thứ hai phương trình Bessel suy từ dạng nghiệm (2.8) suy : gọi hàm Bessel loại I hạng nguyên Hàm Bessel có nhiều ứng dụng toán vật lí kĩ thuật nên nghiên cứu nhiều có bảng chi tiết giá trị chúng ( xem bảng giá trị hàm bảng phụ lục) Đối với giá trị x lớn, hàm gần với hay xác Đặc tính hàm Bessel loại I hạng nguyên với số k = 0, 1, Đồ thị hàm Bessel loại I hạng nguyên với số ( theo bảng giá trị hàm phụ lục 1) GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương 10 Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn Hình 2.1: Đồ thị giá trị hàm Bessel loai I GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương 11 Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn 2.3 Hàm Bessel loai II hạng nguyên (k) Khi k số nguyên, hai nghiệm độc lập tuyến tính phương trình Bessel , Tuy nhiên, chúng không độc lập k số nguyên Do đó, để tìm nghiệm tổng quát phương trình Bessel với k số nguyên dương, ta cần tìm nghiệm khác độc lập tuyến tính với Nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính với , giá trị x lớn gần kí hiệu qua gọi hàm Bessel loại II hạng nguyên ( hay hàm Nơman (Neumann) hạng k) nghĩa Đồ thị hàm Bessel loại II hạng nguyên với số ( theo bảng giá trị hàm phụ lục 1) Đặc tính hàm Nơman Hình 2.2: Đồ thị giá trị hàm Beessel loại II GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương 12 Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG 3.1 Giải toán màng tròn Ta trở lại toán dao động màng tròn gắn chặt mép Dao dộng tuân theo phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.3) điều kiện biên (1.2) Nghiệm có dạng sóng đứng có mà phải thỏa mãn phương trình Bessel nên Trong dó hàm Bessel loại Từ ta có: Nhưng với đặc tính hàm Nỏman: mà tâm màng, phải hữu hạn số phải không, Mặt khác theo điều kiện biên (1.2), Điều có nghĩa phải nghiệm hàm số xuất tách biến tùy ý mà phải có giá trị Hàm có dạng hàm T(t) thỏa mãn phương trình vi phân bậc hai GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương 13 Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn có dạng Nhân ba hàm với nhau: Các đường nút sóng đứng này, thứ nhá k đường kính, chia màng thành 2k hình quạt ( dọc theo bán kính ) thứ hai vòng tròn đồng tâm ( dọc theo vòng tròn này) nghĩa , , ., Hình 3.1: Đường nút dao động màng tròn Hình bên cho ta đường nút k = n = 3.2 Áp dụng giải toán khác Bài 1: Chứng minh ( vi phân số hạng chuỗi lũy thừa ) Dựng đồ thị Với công thức truy hồi hàm Bessel loại 1: ta có: Vậy với ta có: Đồ thị ta vẽ hình 2.1( trang 13) GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương 14 Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn Bài 2: Chứng minh rằng: Chứng minh công thức theo tính chất truy hồi hàm Bessel ta có suy Mà suy điều phải chứng minh Chứng minh công thức theo tính chất truy hồi hàm Bessel ta có: đặt suy nên Ta có GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương 15 Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn cuối ta thu điều ta phải chứng minh GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương 16 Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn PHẦN KẾT LUẬN Trong đề tài này, trình bày sở lý luận toán học cách ngắn gọn, đầy đủ hàm Bessel làm tiền đề quan trọng phục vụ cho việc giải toán Vật Lý Phương trình Bessel xây dựng thông qua việc giải toán dao động màng tròn việc giải phương trình Laplace tọa độ trụ Từ việc tìm nghiệm riêng phương trình Bessel dạng chuỗi dẫn đến sở xây dựng hàm Bessel loại I loại II hạng nguyên Tôi trình bày số toán có sử dụng hàm Bessel để tìm nghiệm toán biên Chẳng hạn, ứng dụng hàm Bessel giải toán dao động màng Lý thuyết hàm Bessel lĩnh vực phong phú với nhiều loại hàm Bessel như: hàm Bessel loại I, hàm Bessel loại II, hàm Bessel trường số phức Hơn nữa, hàm Bessel ứng dụng đề cập đến nhiều sách lý thuyết, nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu ứng dụng lĩnh vực khác như: Toán học, Vật Lý học, kỹ thuật Là sinh viên Vật Lý hạn chế kiến thức lĩnh vực nên sâu tìm hiểu tính chất ứng dụng quan trọng hàm Bessel loại I để giải toán Vật Lý điển hình thuộc phần cơ, nhiệt, điện học lượng tử Vẫn thiếu sót nhiều việc tìm hiểu thêm công thức truy toán, tính chất trực giao, cách xác định hệ số khai triển hàm thành chuỗi hàm Bessel số kiến thức khác liên quan đến hàm Bessel Đây đề tài mẻ bổ ích bạn sinh viên Để hiểu sâu sắc lý thuyết ứng dụng hàm Bessel, cần có đầu tư thời gian thích đáng có niềm say mê việc nghiên cứu loại hàm đặc biệt Tôi mong đề tài bổ sung thêm công cụ toán học giúp bạn nghiên cứu môn học thuộc chuyên ngành Vật Lý hi vọng bạn người phát vấn đề mẻ, đặc sắc thú vị để đề tài trở nên toàn diện hữu ích GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương 17 Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn PHỤ LỤC Phụ lục 1: Bảng giá trị hàm ,,, x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 J (x) 1.0000 0.9975 0.9900 0.9776 0.9604 0.9385 0.9120 0.8812 0.8463 0.8075 0.7652 0.7196 0.6711 0.6201 0.5669 0.5118 0.4554 0.3980 0.3400 0.2818 0.2239 0.1666 0.1104 0.0555 0.0025 -0.0484 -0.0968 -0.1424 -0.1850 -0.2243 J (x ) 0.0000 0.0499 0.0995 0.1483 0.1960 0.2423 0.2867 0.3290 0.3688 0.4059 0.4401 0.4709 0.4983 0.5220 0.5419 0.5579 0.5699 0.5778 0.5815 0.5812 0.5767 0.5683 0.5560 0.5399 0.5202 0.4971 0.4708 0.4416 0.4097 0.3754 x Y0 (x) −∞ -1.5342 -1.0811 -0.8073 -0.6060 -0.4445 Y1 (x) −∞ -6.4590 -3.3238 -2.2931 -1.7809 -1.4715 x 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương J (x) -0.2601 -0.2921 -0.3202 -0.3443 -0.3643 -0.3801 -0.3918 -0.3992 -0.4026 -0.4018 -0.3971 -0.3887 -0.3766 -0.3610 -0.3423 -0.3205 -0.2961 -0.2693 -0.2404 -0.2097 -0.1776 -0.1443 -0.1103 -0.0758 -0.0412 -0.0068 0.0270 0.0599 0.0917 0.l220 J (x ) 0.3991 0.3009 0.2613 0.2207 0.1792 0.1374 0.0955 0.0538 0.0128 -0.0272 -0.0660 -0.1033 -0.1386 -0.1719 -0.2028 -0.2311 -0.2566 -0.2791 -0.2985 -0.3147 -0.3276 -0.3371 -0.3432 -0.3460 -0.3435 -0.3414 -0.3343 -0.3241 -0.3110 -0.2851 x Y0 (x) 0.3769 0.3431 0.3071 0.2691 0.2296 0.1890 Y1 (x) 0.3247 0.3496 0.3707 0.3879 0.4010 0.4102 x 18 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 J (x) 0.1506 0.1773 0.2017 0.2238 0.2433 0.2601 0.2740 0.2851 0.2931 0.2981 0.3001 0.2991 0.2951 0.2882 0.2786 0.2663 0.2516 0.2346 0.2154 0.1944 0.1717 0.1475 0.1222 0.0960 0.0692 0.0419 0.0146 -0.0125 -0.0392 -0.0653 J (x ) -0.2767 -0.2559 -0.2329 -0.2081 -0.1816 -0.1538 -0.1250 -0.0953 -0.0652 -0.0349 -0.0047 0.0252 0.0543 0.0826 0.1096 0.1352 0.1592 0.1813 0.2014 0.2192 0.2346 0.2476 0.2580 0.2657 0.2708 0.2731 0.2728 0.2697 0.2641 0.2559 Y0 (x) -0.2882 -0.2694 -0.2483 -0.2251 -0.1999 -0.1732 Y1 (x) -0.1750 -0.1988 -0.2223 -0.2422 -0.2596 -0.2741 Võ Quang Tiến 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 -0.3085 -0.1907 -0.0868 0.0056 0.0883 0.1622 0.2281 0.2865 0.3379 0.3824 0.4204 0.4520 0.4770 0.4968 0.5104 0.5183 0.5208 0.5181 0.5104 0.4981 0.4813 0.4605 0.4359 0.4079 -1.2604 -1.1032 -0.9781 -0.8731 -0.7812 -0.6981 -0.6211 -0.5485 -0.4791 -0.4123 -0.3476 -0.2847 -0.2237 -0.1644 -0.1070 -0.0517 0.0015 0.0523 0.1005 0.1459 0.1884 0.2276 0.2635 0.2959 Các hàm Bessel toán dao động màng tròn 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 0.1477 0.1061 0.0645 0.0234 -0.0169 -0.0561 -0.0938 -0.1296 -0.1633 -0.1947 -0.2235 -0.2494 -0.2723 -0.2921 -0.3085 -0.3216 -0.3313 -0.3374 -0.3402 -0.3395 -0.3354 -0.3282 -0.3177 -0.3044 0.4154 0.4167 0.4141 0.4073 0.3979 0.3846 0.3680 0.3484 0.3260 0.3010 0.2737 0.2445 0.2136 0.1712 0.1479 0.1137 0.0792 0.0445 0.0101 -0.0238 -0.0568 -0.0887 -0.1192 -0.1481 6.6 6.7 6.8 6.9 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 -0.1452 -0.1162 -0.0864 -0.0563 -0.0259 0.0042 0.0339 0.0628 0.0907 0.1173 0.1424 0.1658 0.1872 0.2065 0.2235 0.2381 0.2501 0.2595 0.2662 0.2702 0.2715 0.2700 0.2659 0.2592 Phụ lục 2: Các tính chất truy hồi hàm Bessel , , GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương 19 -0.2857 -0.2945 -0.3002 0.3029 -0.3027 -0.2995 -0.2934 -0.2846 -0.2731 -0.2591 -0.2428 -0.2243 -0.2039 -0.1817 -0.1581 -0.1331 -0.1072 -0.0806 -0.0535 -0.0262 0.0011 0.0280 0.0544 0.0799 Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Đình Thanh (1996) : Phương pháp toán lý, NXB Giáo dục Hà Nội [2] Nguyễn Chính Cương (2013): Bài tập Phương pháp toán lý, NXB Đại học sư phạm [3] Phan Huy Thiện (2006) : Phương trình toán lý, NXB Giáo dục Việt Nam [4] G.P Tôlxtôv (1997) : Chuỗi Fourier ứng dụng, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương 20 [...]... Quang Tiến Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Đình Thanh (1996) : Phương pháp toán lý, NXB Giáo dục Hà Nội [2] Nguyễn Chính Cương (2013): Bài tập Phương pháp toán lý, NXB Đại học sư phạm [3] Phan Huy Thiện (2006) : Phương trình toán lý, NXB Giáo dục Việt Nam [4] G.P Tôlxtôv (1997) : Chuỗi Fourier và ứng dụng, NXB Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương... Chương 14 Võ Quang Tiến Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn Bài 2: Chứng minh rằng: Chứng minh công thức 1 theo tính chất truy hồi của hàm Bessel ta có suy ra do đó Mà suy ra đây là điều phải chứng minh Chứng minh công thức 2 theo tính chất truy hồi của hàm Bessel ta có: đặt suy ra vì nên Ta có GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương 15 Võ Quang Tiến Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn vậy cuối... minh GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương 16 Võ Quang Tiến Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn PHẦN KẾT LUẬN Trong đề tài này, tôi đã trình bày cơ sở lý luận toán học một cách ngắn gọn, nhưng khá đầy đủ về hàm Bessel làm tiền đề quan trọng phục vụ cho việc giải các bài toán Vật Lý Phương trình Bessel được xây dựng thông qua việc giải bài toán dao động màng tròn hoặc việc giải phương trình Laplace... việc tìm nghiệm riêng của phương trình Bessel dưới dạng chuỗi đã dẫn đến cơ sở xây dựng hàm Bessel loại I và loại II hạng nguyên Tôi đã trình bày một số bài toán có sử dụng hàm Bessel để tìm nghiệm bài toán biên Chẳng hạn, ứng dụng hàm Bessel giải các bài toán về dao động của màng Lý thuyết hàm Bessel là một lĩnh vực phong phú với nhiều loại hàm Bessel như: hàm Bessel loại I, hàm Bessel loại II, hàm... Bessel và bài toán dao động của màng tròn và có dạng Nhân ba hàm với nhau: Các đường nút của sóng đứng này, thứ nhá là k đường kính, chia màng thành 2k hình quạt như nhau ( dọc theo các bán kính ) và thứ hai là vòng tròn đồng tâm ( dọc theo các vòng tròn này) nghĩa là , , ., Hình 3.1: Đường nút dao động của màng tròn Hình bên cho ta các đường nút khi k = 1 và n = 3 3.2 Áp dụng giải các bài toán khác Bài. .. hàm Nơman là 0 Hình 2.2: Đồ thị các giá trị của hàm Beessel loại II GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương 12 Võ Quang Tiến Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG 3.1 Giải bài toán màng tròn Ta trở lại bài toán dao động của màng tròn gắn chặt ở mép Dao dộng của nó tuân theo phương trình (1.2) thỏa mãn các điều kiện ban đầu (1.3) và điều kiện biên (1.2) Nghiệm của nó có dạng sóng đứng có...Võ Quang Tiến Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn Hình 2.1: Đồ thị các giá trị của hàm Bessel loai I GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương 11 Võ Quang Tiến Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn 2.3 Hàm Bessel loai II hạng nguyên (k) Khi k không phải số nguyên, hai nghiệm độc lập tuyến tính của... các giá trị x lớn gần bằng được kí hiệu qua và được gọi là hàm Bessel loại II hạng nguyên ( hay hàm Nơman (Neumann) hạng k) nghĩa là trong đó khi Đồ thị hàm Bessel loại II hạng nguyên với chỉ số ( theo bảng các giá trị các hàm phụ lục 1) Đặc tính cơ bản của các hàm Nơman là 0 Hình 2.2: Đồ thị các giá trị của hàm Beessel loại II GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương 12 Võ Quang Tiến Các hàm Bessel và bài toán dao... Lý và hi vọng rằng các bạn chính là người phát hiện ra những vấn đề mới mẻ, đặc sắc và thú vị để đề tài này trở nên toàn diện và hữu ích hơn GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương 17 Võ Quang Tiến Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn PHỤ LỤC Phụ lục 1: Bảng các giá trị của các hàm ,,, x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8... -1.2604 -1.1032 -0.9781 -0.8731 -0.7812 -0.6981 -0.6211 -0.5485 -0.4791 -0.4123 -0.3476 -0.2847 -0.2237 -0.1644 -0.1070 -0.0517 0.0015 0.0523 0.1005 0.1459 0.1884 0.2276 0.2635 0.2959 Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 0.1477 0.1061 0.0645 0.0234 -0.0169 -0.0561 -0.0938 -0.1296 -0.1633 -0.1947 ... LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Đình Thanh (1996) : Phương pháp toán lý, NXB Giáo dục Hà Nội [2] Nguyễn Chính Cương (2013): Bài tập Phương pháp toán lý, NXB Đại học sư phạm [3] Phan Huy Thiện (2006) : Phương... văn báo cáo GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương Võ Quang Tiến Các hàm Bessel toán dao động màng tròn PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BESSEL 1.1 Thiết lập phương trình Bessel dựa vào toán dao động màng... cứu nhiều có bảng chi tiết giá trị chúng ( xem bảng giá trị hàm bảng phụ lục) Đối với giá trị x lớn, hàm gần với hay xác Đặc tính hàm Bessel loại I hạng nguyên với số k = 0, 1, Đồ thị hàm Bessel