Nội dung bài tập lớn

Trong quá trình tìm nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai bằng phương pháp tách biến Fourier hay phép biến đổi Laplace sẽ gặp các phương trình vi phân thông thường

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Hồ Sỹ Chương đã

hướng dẫn tận tình, giúp tôi hoàn thành tốt tiểu luận đúng thời hạn

Tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn đến tất cả thầy, cô trong Bộ môn

SP Vật Lý đã truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo mọi điều kiện

thuận lợi cho tôi trong lúc thực hiện đề tài này

Cảm ơn gia đình và những người thân đã luôn chia sẻ, động viên

và ủng hộ tôi

Tôi cũng cảm ơn các bạn lớp Sư Phạm Lý K4, Sư Phạm Toán K4

đã giúp đỡ và động viên tôi rất nhiều trong suốt thời gian qua

Sự tận tình của quý thầy cô cùng sự động viên của gia đình, bạn

bè là nguồn động lực to lớn để tôi vượt qua nhiều khó khăn và cố gắng

hết mình Một lần nữa, mong mọi người nhận nơi đây lòng cảm ơn chân

thành nhất

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng chắc rằng tiểu luận của tôi không

thể tránh khỏi sai sót, mong được sự chỉ dẫn thêm của thầy, cô và sự góp

ý của các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Kính chúc quý thầy cô và các bạn vui, khỏe!

Biên Hòa , Ngày 18 tháng 04 năm 2016

Võ Quang Tiến

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU

Vật Lý học là ngành khoa học tự nhiên nghiên cứu, tìm hiểu về cấu trúc và quy luật vận động của mọi vật trong tự nhiên Bằng những phương pháp toán học, Vật Lý học còn tìm ra những quy luật mới chưa được tìm ra bằng thực nghiệm, và tiên đoán trước các mối quan hệ của hiện tượng tự nhiên Vì thế, Toán học trở thành công cụ đắc lực, là phương tiện chủ yếu mà Vật Lý học dùng mô tả định lượng hiện tượng vật lý Trong các môn học thuộc chuyên ngành Vật Lý, Toán cho Vật Lý là môn học đánh dấu mối quan

hệ không thể tách rời giữa Vật Lý học và Toán học Đây là môn học rất cần thiết cho sinh viên Vật Lý, cung cấp những phương pháp, công cụ toán học hiện đại giải các phương trình Vật Lý, đặc biệt là việc giải phương trình đạo hàm riêng đã mô tả được các hiện tượng vật lý

Trong quá trình tìm nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai bằng phương pháp tách biến Fourier hay phép biến đổi Laplace sẽ gặp các phương trình

vi phân thông thường mà nghiệm của chúng là các dạng hàm đặc biệt như hàm Legendre, hàm cầu, hàm Bessel…Trong số các hàm đặc biệt đó, hàm Bessel- nghiệm của phương trình Bessel- đóng một vai trò quan trọng trong việc giải các phương trình vật lý toán, là phương pháp chính sử dụng giải các bài toán liên quan đến hình tròn, hình trụ và kể cả hình cầu Nhiều tính chất quan trọng của hàm Bessel đã được tìm ra và biết đến với nhiều ứng dụng có tính thực tiễn cao trong Vật Lý, kỹ thuật, xây dựng…

Với nhiều ứng dụng đặc biệt trong Vật Lý học mà việc nghiên cứu hàm Bessel mang lại, tôi mong muốn tìm hiểu một cách sâu sắc, có hệ thống về hàm Bessel cùng những ứng dụng của nó Đó là lý do tôi chọn nghiên cứu đề tài “Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn”.

Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu các cách xây dựng hàm Bessel, tập hợp và hệ thống hóa lại các khái niệm, các tính chất của các hàm Bessel loại I, loại II Đồng thời ứng dụng hàm Bessel trong Vật Lý thông qua việc giải một số bài toán cho các tọa độ và đặc biệt là các bài toán dao động của màn tròn để làm sáng tỏ cho phần lý thuyết và giúp người đọc hiểu sâu hơn về công dụng của hàm Bessel

- Nghiên cứu các khái niệm hàm Bessel loại I, loại II

- Trong đó đi sâu tìm hiểu và chứng minh các tính chất quan trọng của hàm Bessel loại I, loại II hạng nguyên

- Nghiên cứu ứng dụng của hàm Bessel loại I, loại II giải các bài toán vật lý liên quan đến phương trình sóng, các bài toán dao động của màng tròn trong tọa độ cầu

- Sử dụng phương pháp tìm tòi và nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài, sau đó hệ thống lại lý thuyết theo cách hiểu riêng

- Sử dụng phương pháp chứng minh để làm rõ một số vấn đề cũng như một số tính chất trong lý thuyết về hàm Bessel

- Ngoài ra, còn sử dụng các phương pháp phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các tài liệu đã nghiên cứu để đi đến một bài luận văn hoàn chỉnh

- Nhận đề tài, xác định nhiệm vụ cần đạt được của đề tài

- Nghiên cứu các tài liệu có liên quan

- Lập đề cương chi tiết của luận văn, thông qua giáo viên hướng dẫn

- Tiến hành viết đề tài và trao đổi với giáo viên

- Sửa chữa hoàn chỉnh luận văn và báo cáo

r

O

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BESSEL

1.1 Thiết lập phương trình Bessel dựa vào bài toán dao động màng tròn

Xét dao động của một màng tròn Giả sử màng chiếm một hình tròn D bán kính q trong

mặt phẳng Oxy Chọn tâm của màng làm gốc tọa độ, chuyển từ hệ tọa độ ĐêCac sang hệ tọa

độ cực thì phương trình của đường tròn biên của màng sẽ là r = q (H.1).

Độ lệch của một điểm của màng là hàm của r, và t :

.

Điều kiện biên bây giờ có dạng

(1.1) Trong tọa độ cực, toán tử Laplace hai chiều có dạng:

với

Do đó phương trình dao động tự do của màng trong tọa độ cực có dạng:

hay

(1.2)

Các điều kiện ban đầu có dạng

(1.3)

Dùng phương pháp tách biến Fourier, ta sẽ tìm nghiệm phương trình (1.2 ) biểu diễn sóng đứng trên màng tròn dưới dạng :

Thay vào phương trình ( 1.2 ), ta có:

chia hai vế cho RT ta được

Ta thấy phương trình có vế trái không phụ thuộc vào còn vế phải không phụ thuộc vào ,

do đó hai vế phương trình này không phụ thuộc vào và , nghĩa là :

Hình 1.1: Hệ tọa độ cực

Từ phương trình này ta có thể đặt

và

trong đó là hằng số

Trong phương trình ( 1.5) có thể được viết dưới dạng

Từ đó ta rút ra

và

trong đó là hằng số, có giá trị phụ thuộc vào sự tuần hoàn của hàm

Thực vậy, bài toán chỉ có nghiệm không thuần nhất với một số giá trị đặt biệt từ phương trình (1.6)

Xét phương trình đặc trưng của phương trình (1.6)

tùy theo dấu của ta sẽ có các trường hợp sau đây:

a)

Nghiệm tổng quát của (1.6) là:

(là những hằng số tùy ý)

Từ điều kiện tuần hoàn, ta có :

trong trường hợp này, phương trình (1.6) chỉ có nghiệm thuần nhất bằng không

b)

Phương trình (1.6) có nghiệm tổng quát là:

Từ điều kiện tuần hoàn, ta có :

vậy nghiệm của phương trình (1.6) là nghiệm thuần nhất bằng không

c)

Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng :

Dạng nghiệm này thỏa điều kiện tuần hoàn vì hàm sin và hàm cos là các hàm tuần hoàn với chu kì 2

Vậy phương trình (1.6) chỉ có nghiệm không thuần nhất là :

trong đó là các hằng số bất kì và -

Do đó, đối với hàm từ phương trình (1.7) ta có:

hay

Bây giờ ta đưa vào biến số mới và đặt :

Tính các đạo hàm:

Do đó ta nhận được phương trình vi phân sau đối với hàm

Phương trình (1.9) được gọi là phương trình Bessel Nó là một phương trình vi phân thông thường hạng hai có hệ số thay đổi Nghiệm của nó được gọi là hàm Bessel Vì nó đóng

vai trò quan trọng trong việc mô tả các quá trình vật lý xảy ra trong các miền hình trụ, vì vậy

nó còn có tên là Hàm Trụ.

CHƯƠNG II: HÀM BESSEL

2.1 Khái niệm hàm Bessel

Phương trình Bessel là phương trình có dạng:

nghiệm riêng của phương trình Bessel xác định một hàm, ta gọi đó là hàm Bessel

Vì phương trình Bessel là tuyến tính nên nghiệm tổng quát của nó có thể viết dưới dạng : , trong đó là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính bất kỳ, còn là các hằng số tùy ý

Như vậy, đề tìm nghiệm tổng quát của phương trình Bessel, ta chỉ cần tìm hai nghiệm độc lập tuyến tính bất kỳ của nó

2.2 Hàm Bessel loai I hạng nguyên (k)

Ta sẽ tìm nghiệm riêng của phương trình (1.9) dưới dạng chuỗi lũy thừa:

Để tìm các hệ số chuỗi lũy thừa, ta lấy các đạo hàm

và

thay vào phương trình (1.9) sau khi nhân với ta có:

đối với mọi Vậy tất cả các hệ số đứng trước mỗi lũy thừa của phải bằng không Bây giờ ta viết lại chi tiết từng số hạng của vế trái (2.3)

Thay cả ba số hạng trên vào (2.3):

từ đó ta rút ra

ở đây là một số nguyên không âm

Nếu = 0, thì là một số bất kì, còn

cụ thể là

tổng quát

Vậy ta có nghiệm của phương trình Bessel với

trong đó

được gọi là hàm Bessel loại một hạng không.

Nếu , thì từ (2.4) ta rút ra , là tùy ý và

tổng quát

Thành thử ta có nghiệm của phương trình Bessel với

trong đó

được gọi là hàm Bessel loại 1 hạng 1.

Nếu thì hệ thức (2.4) có

tổng quát

Thành thử ta có nghiệm của phương trình Bessel khi

trong đó

được gọi là hàm Bessel loái hang k.

Nếu , ta lại có các công thức (2.5) và (2.6) Vậy (2.7) xác định hàm Bessel loại 1 có tất

cả các hạng Ta dễ dàng thấy rằng chuỗi (2.7) là hội tụ và thỏa mãn phuong trình Bessel (1.9)

Hệ thức (2.7) của hàm Bessel loại 1 hạng k có thể biểu diễn qua hàm Gamma Trong đó

là hàm Gamma xác định với mọi giá trị k dương có dạng:

khi đó hệ thức (2.7) đúng với cả k không nguyên.

Với k nguyên, sử dụng các tính chất của hàm Gamma:

Vậy hệ thức (2.7) của hàm Bessel loại 1 hạng k biểu diễn qua hàm Gamma là:

Chuỗi (2.8) xác dịnh hàm Bessel loại 1 tất cả các hang (k là số nguyên) Dễ dàng thấy được chuỗi hội tụ với mọi x và thỏa mãn phương trình (2.1).

Vì phương trình (2.1) không đổi khi ta thay k bởi -k Do đó, với -k ta nhận được nghiệm

riêng thứ hai của phương trình Bessel và nó được suy ra từ dạng nghiệm (2.8)

suy ra : và được gọi là các hàm Bessel loại I hạng nguyên.

Hàm Bessel có nhiều ứng dụng trong các bài toán vật lí và kĩ thuật nên đã được nghiên cứu nhiều và có những bảng chi tiết về các giá trị của chúng ( xem bảng giá trị hàm ở bảng phụ lục)

Đối với các giá trị x lớn, hàm gần với

hay chính xác hơn

trong đó khi

Đặc tính cơ bản của hàm Bessel loại I hạng nguyên với các chỉ số k = 0, 1, 2

Đồ thị hàm Bessel loại I hạng nguyên với các chỉ số ( theo bảng các giá trị các hàm phụ lục 1)

Hình 2.1: Đồ thị các giá trị của hàm Bessel loai I.

2.3 Hàm Bessel loai II hạng nguyên (k)

Khi k không phải số nguyên, hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình Bessel

là , Tuy nhiên, chúng không là độc lập khi k là một số nguyên Do đó, để tìm nghiệm tổng quát của phương trình Bessel với k là số nguyên dương, ta cần tìm một nghiệm khác nữa độc

lập tuyến tính với

Nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính với , đối với các giá trị x lớn gần bằng

được kí hiệu qua và được gọi là hàm Bessel loại II hạng nguyên ( hay hàm Nơman

(Neumann) hạng k) nghĩa là

trong đó khi

Đồ thị hàm Bessel loại II hạng nguyên với chỉ số ( theo bảng các giá trị các hàm phụ lục 1)

Đặc tính cơ bản của các hàm Nơman là

Hình 2.2: Đồ thị các giá trị của hàm Beessel loại II.

CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG 3.1 Giải bài toán màng tròn

Ta trở lại bài toán dao động của màng tròn gắn chặt ở mép Dao dộng của nó tuân theo phương trình (1.2)

thỏa mãn các điều kiện ban đầu (1.3)

và điều kiện biên (1.2)

Nghiệm của nó có dạng sóng đứng

có

mà phải thỏa mãn phương trình Bessel nên

Trong dó và là các hàm Bessel loại 1 và 2 Từ đó ta có:

Nhưng với đặc tính cơ bản của hàm Nỏman:

mà ở tâm của màng, vẫn phải hữu hạn cho nên hằng số phải bằng không, vậy

Mặt khác theo điều kiện biên (1.2),

nếu thì và Điều đó có nghĩa phải là một trong các nghiệm của hàm

vậy hằng số xuất hiện khi tách biến không phải là tùy ý mà phải có một trong các giá trị

do đó

Hàm có dạng

còn hàm T(t) thỏa mãn phương trình vi phân bậc hai

và có dạng

Nhân ba hàm với nhau:

Các đường nút của sóng đứng này, thứ nhá là k đường kính, chia màng thành 2k hình quạt như nhau ( dọc theo các bán kính ) và thứ hai là vòng tròn đồng tâm ( dọc theo các vòng tròn này)

nghĩa là ,

, ,

Hình bên cho ta các đường nút khi k = 1 và n = 3

3.2 Áp dụng giải các bài toán khác

Bài 1: Chứng minh rằng ( vi phân từng số hạng của chuỗi lũy thừa đối với ) Dựng đồ

thị của

Với các công thức truy hồi đối với hàm Bessel loại 1:

ta có:

Vậy với ta có:

Đồ thị ta đã vẽ ờ hình 2.1( trang 13)

Hình 3.1: Đường nút dao động của màng tròn

Bài 2: Chứng minh rằng:

Chứng minh công thức 1

theo tính chất truy hồi của hàm Bessel ta có

suy ra

do đó

Mà

suy ra

đây là điều phải chứng minh

Chứng minh công thức 2

theo tính chất truy hồi của hàm Bessel ta có:

đặt

suy ra

vì

nên

Ta có

cuối cùng ta thu được

điều ta phải chứng minh

PHẦN KẾT LUẬN

Trong đề tài này, tôi đã trình bày cơ sở lý luận toán học một cách ngắn gọn, nhưng khá đầy đủ về hàm Bessel làm tiền đề quan trọng phục vụ cho việc giải các bài toán Vật Lý Phương trình Bessel được xây dựng thông qua việc giải bài toán dao động màng tròn hoặc việc giải phương trình Laplace trong tọa độ trụ Từ việc tìm nghiệm riêng của phương trình Bessel dưới dạng chuỗi đã dẫn đến cơ sở xây dựng hàm Bessel loại I và loại II hạng nguyên Tôi đã trình bày một số bài toán có sử dụng hàm Bessel để tìm nghiệm bài toán biên Chẳng hạn, ứng dụng hàm Bessel giải các bài toán về dao động của màng

Lý thuyết hàm Bessel là một lĩnh vực phong phú với nhiều loại hàm Bessel như: hàm Bessel loại I, hàm Bessel loại II, hàm Bessel trên trường số phức Hơn nữa, hàm Bessel và những ứng dụng của nó được đề cập đến rất nhiều ở các sách lý thuyết, và được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như: Toán học, Vật Lý học, kỹ thuật Là sinh viên Vật Lý còn hạn chế về kiến thức trong các lĩnh vực đó nên tôi chỉ đi sâu tìm hiểu các tính chất và những ứng dụng quan trọng của hàm Bessel loại I để giải các bài toán Vật Lý điển hình thuộc phần cơ, nhiệt, điện và cơ học lượng tử Vẫn còn thiếu sót nhiều trong việc tìm hiểu thêm về các công thức truy toán, các tính chất trực giao, cách xác định hệ số trong khai triển của một hàm thành chuỗi các hàm Bessel và một số kiến thức khác liên quan đến hàm Bessel

Đây có thể là một đề tài còn mới mẻ nhưng rất bổ ích đối với các bạn sinh viên Để hiểu sâu sắc về lý thuyết và ứng dụng của hàm Bessel, chúng ta cần có sự đầu tư thời gian thích đáng

và có niềm say mê trong việc nghiên cứu loại hàm đặc biệt này Tôi mong rằng đề tài này sẽ bổ sung thêm những công cụ toán học giúp các bạn nghiên cứu các môn học thuộc chuyên ngành Vật Lý và hi vọng rằng các bạn chính là người phát hiện ra những vấn đề mới mẻ, đặc sắc và thú vị để đề tài này trở nên toàn diện và hữu ích hơn

PHỤ LỤC

Phụ lục 1: Bảng các giá trị của các hàm

, , ,

0 (x) J1 (x) x J

0 (x) J1 (x) x J

0 (x) J1 (x) 0.0 1.0000 0.0000 3.0 -0.2601 0.3991 6.0 0.1506 -0.2767

0.1 0.9975 0.0499 3.1 -0.2921 0.3009 6.1 0.1773 -0.2559

0.2 0.9900 0.0995 3.2 -0.3202 0.2613 6.2 0.2017 -0.2329

0.3 0.9776 0.1483 3.3 -0.3443 0.2207 6.3 0.2238 -0.2081

0.4 0.9604 0.1960 3.4 -0.3643 0.1792 6.4 0.2433 -0.1816

0.5 0.9385 0.2423 3.5 -0.3801 0.1374 6.5 0.2601 -0.1538

0.6 0.9120 0.2867 3.6 -0.3918 0.0955 6.6 0.2740 -0.1250

0.7 0.8812 0.3290 3.7 -0.3992 0.0538 6.7 0.2851 -0.0953

0.8 0.8463 0.3688 3.8 -0.4026 0.0128 6.8 0.2931 -0.0652

0.9 0.8075 0.4059 3.9 -0.4018 -0.0272 6.9 0.2981 -0.0349

1.0 0.7652 0.4401 4.0 -0.3971 -0.0660 7.0 0.3001 -0.0047

1.1 0.7196 0.4709 4.1 -0.3887 -0.1033 7.1 0.2991 0.0252

1.2 0.6711 0.4983 4.2 -0.3766 -0.1386 7.2 0.2951 0.0543

1.3 0.6201 0.5220 4.3 -0.3610 -0.1719 7.3 0.2882 0.0826

1.4 0.5669 0.5419 4.4 -0.3423 -0.2028 7.4 0.2786 0.1096

1.5 0.5118 0.5579 4.5 -0.3205 -0.2311 7.5 0.2663 0.1352

1.6 0.4554 0.5699 4.6 -0.2961 -0.2566 7.6 0.2516 0.1592

1.7 0.3980 0.5778 4.7 -0.2693 -0.2791 7.7 0.2346 0.1813

1.8 0.3400 0.5815 4.8 -0.2404 -0.2985 7.8 0.2154 0.2014

1.9 0.2818 0.5812 4.9 -0.2097 -0.3147 7.9 0.1944 0.2192

2.0 0.2239 0.5767 5.0 -0.1776 -0.3276 8.0 0.1717 0.2346

2.1 0.1666 0.5683 5.1 -0.1443 -0.3371 8.1 0.1475 0.2476

2.2 0.1104 0.5560 5.2 -0.1103 -0.3432 8.2 0.1222 0.2580

2.3 0.0555 0.5399 5.3 -0.0758 -0.3460 8.3 0.0960 0.2657

2.4 0.0025 0.5202 5.4 -0.0412 -0.3435 8.4 0.0692 0.2708

2.5 -0.0484 0.4971 5.5 -0.0068 -0.3414 8.5 0.0419 0.2731

2.6 -0.0968 0.4708 5.6 0.0270 -0.3343 8.6 0.0146 0.2728

2.7 -0.1424 0.4416 5.7 0.0599 -0.3241 8.7 -0.0125 0.2697

2.8 -0.1850 0.4097 5.8 0.0917 -0.3110 8.8 -0.0392 0.2641

2.9 -0.2243 0.3754 5.9 0.l220 -0.2851 8.9 -0.0653 0.2559

0 (x) Y1 (x) x Y

0 (x) Y1 (x) x Y

0 (x) Y1 (x) 0.0 − ∞ − ∞ 3.0 0.3769 0.3247 6.0 -0.2882 -0.1750

0.1 -1.5342 -6.4590 3.1 0.3431 0.3496 6.1 -0.2694 -0.1988

0.2 -1.0811 -3.3238 3.2 0.3071 0.3707 6.2 -0.2483 -0.2223

0.3 -0.8073 -2.2931 3.3 0.2691 0.3879 6.3 -0.2251 -0.2422

0.4 -0.6060 -1.7809 3.4 0.2296 0.4010 6.4 -0.1999 -0.2596