Tìm nguyên hàm

TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ Các bạn xem định nghĩa, các tính chất của nguyên hàm và bảng các nguyên hàm cơ bản trong SGK. Ở đây chỉ tổng kết các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số. 1. Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản Nếu 1 f (x) , 2 f (x) , ., n f (x) là các hàm có nguyên hàm cơ bản thì 1 1 2 2 n n f (x) f (x) f (x) . f (x)= α + α + + α có nguyên hàm tìm được nhờ tính chất : 1 1 2 2 n n f (x)dx f (x)dx f (x)dx . f (x)dx.= α + α + + α ∫ ∫ ∫ ∫ Khi sử dụng tính chất này cần lưu ý cách viết : 1 a a −α α = ; 1 k k a a= Thí dụ 1 : Tìm các nguyên hàm 1. 2 x 1 dx x + ∫ ; 2. 2 3 x(x 1) dx+ ∫ Giải : 1. 3 1 5 1 2 2 2 2 2 x 1 2 dx x x dx x 2x C 5 x −   +   = + = +   ∫ ∫ 2. 1 7 4 1 10 7 4 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 3 x(x 1) x (x 2x 1)dx x 2x x dx x x x C 10 7 4     + = + + = + + = + + +   ∫ ∫ ∫ 2.Sử dụng vi phân để tìm nguyên hàm Bảng nguyên hàm cơ bản vẫn đúng nếu thay ký hiệu đối số x, bởi bất cứ ký hiệu nào khác. Kết hợp với phép tính vi phân, các bạn có thể tìm được nguyên hàm của các lớp hàm phong phú hơn. Thí dụ 2 : Tìm nguyên hàm : 2 2 x dx x 1− ∫ . Giải : 2 2 2 x dx 1 1 1 1 1 x 1 1 dx 1 dx x ln C 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1   −     = + = + − = + +  ÷  ÷   − + +   − −     ∫ ∫ ∫ Chú ý : 1 1 1 1 1 1 1 dx d(x 1) d(x 1) 2 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1     − = − − +  ÷   − + − +     ∫ ∫ ∫ 1 1 1 x 1 ln x 1 ln x 1 ln C 2 2 2 x 1 − = − − + = + + 1 Thí dụ 3 : Tìm nguyên hàm : 1. 2 6 x dx x 1− ∫ ; 2. 10 x(x 2) dx+ ∫ Giải : 1. 2 3 3 3 6 3 2 3 3 3 x dx 1 d(x ) 1 1 1 1 1 x 1 d(x ) ln C 3 3 2 6 x 1 (x ) 1 x 1 x 1 x 1 −   = = − = +  ÷ − − − + +   ∫ ∫ ∫ 2. 10 10 x(x 2) dx [(x 2) 2](x 2) .d(x 2)+ = + − + + ∫ ∫ = 11 10 12 11 1 2 [(x 2) 2(x 2) ]d(x 2) (x 2) (x 2) C 12 11 = + − + + = + − + + ∫ Thí dụ 4 : Tìm nguyên hàm 1. 2 sin 2xdx 1 cos x+ ∫ ; 2. dx sin 2x ∫ Giải : 1. 2 2 2 2 sin 2xdx d(1 cos x) ln(1 cos x) C 1 cos x 1 cos x + = − = − + + + + ∫ ∫ 2. 2 dx 1 dx 1 dx 1 d(tgx) 1 ln | tgx | C sin 2x 2 sin x.cos x 2 2 tgx 2 tgx.cos x = = = = + ∫ ∫ ∫ ∫ Thí dụ 5 : Tìm nguyên hàm 2 4 (x 1)dx x 1 − + ∫ . Giải : 2 2 4 2 2 1 1 dx (x 1)dx x . 1 x 1 x x   −   −   = + + ∫ ∫ Đặt 1 u x x = + ⇒ du = 2 1 1 dx x   −     và 2 2 2 1 x u 2. x + = − Do đó : 2 4 2 (x 1)dx du 1 1 1 1 u 2 du ln C 2 2 u 2 u 2 2 2 u 2 x 1 u 2 − −   = = − = +   − + +   + − ∫ ∫ ∫ 2 2 1 x 2 1 1 x 2x 1 x ln C ln C 1 2 2 2 x 2x 1 x 2 x + − − + = + = + + + + + 2 3. Phương pháp nguyên hàm từng phần Các bạn sử dụng công thức udv uv vdu.= − ∫ ∫ Như vậy để tìm f (x)dx ∫ thì phải nhìn f(x)dx là udv. Giả sử f(x)dx = 1 2 f (x).f (x)dx với 1 f (x) là đa thức thì việc lựa chọn u, dv, hoàn toàn phụ thuộc vào 2 f (x) . Nếu 2 f (x) là các hàm lượng giác ngược, hàm logarit, hàm vô tỉ thì đặt 2 u f (x)= . Nếu 2 f (x) là các hàm lượng giác, hàm mũ thì đặt u = 1 f (x) . Tuy nhiên, đó chỉ là gợi ý chính, trong từng bài cụ thể và những tình huống phức tạp hơn các bạn phải thử vận dụng theo nhiều cách để chọn cách thích hợp. Thí dụ 6 : Tìm nguyên hàm : 1. 2 x 1dx− ∫ 2. 2 x(ln x) dx ∫ Giải : 1. Đặt 2 u x 1= − ⇒ 2 xdx du x 1 = − ; dv = dx ⇐ v = x (chú ý chiều mũi tên này, hiện nay đang bị viết ngược rất nhiều !). Ta có : I = 2 2 2 2 2 2 2 x dx dx x 1dx x x 1 x x 1 x 1dx x 1 x 1 − = − − = − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ Lưu ý : ( ) 2 2 x d x 1 x 1 dx x 1     − + = +   −   ⇒ 2 2 2 dx d( x 1 x) x 1 x 1 x − + = − − + , ta có 2 2 2 2 2 1 1 d( x 1 x) 1 1 I x x 1 x x 1 ln x 1 x C 2 2 2 2 x 1 x − + = − − = − − − + + − + ∫ 2. Đặt 2 u (ln x)= ⇒ 2ln xdx du x = ; dv = xdx ⇐ 2 1 v x 2 = . Khi đó : 2 2 1 I x(ln x) dx (x ln x) x ln xdx. 2 = = − ∫ ∫ Lại đặt u = lnx ⇒ dx du x = ; dv = xdx ⇐ 2 1 v x 2 = , ta có : 2 2 2 1 1 1 1 x ln xdx x ln x xdx x ln x x C 2 2 2 4 = − = − + ∫ ∫ Vậy 2 2 2 1 1 1 I (x ln x) x ln x x C 2 2 4 = − + − . Bài tập tương tự 3 Tìm các nguyên hàm của các hàm số : 1. 5 6 x f (x) x 1 = + ; 2. 2 4 3 2 x 1 f (x) x 2x x 2x 1 + = − − + + ; 3. 2 2 sin x cos x f (x) a sin x bcos x = − 4. f(x) = sin( x ) ; 5. 3 2 x f (x) x 4x 3 = − + . 6. 1999 2000 1000 x f (x) x 2x 3 = − − ; 7. 4 1 f (x) cos x = . 4 . các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số. 1. Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản Nếu 1 f (x) , 2 f (x) , ., n f (x) là các hàm có nguyên hàm cơ bản thì. TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ Các bạn xem định nghĩa, các tính chất của nguyên hàm và bảng các nguyên hàm cơ bản trong SGK. Ở đây