PHƯƠNG TRÌNH SÓNG cổ điển và PHƯƠNG TRÌNH SÓNG độc lập THỜI

Hình 1-9: Động năng cực đại của một quang điện tử như hàm của tần số ánh sáng tới, trong đó 0ν là tần số tối thiểu để quang điện tử được thoát ra từ kim loại khi không có bất kỳ thế hãm

Chương I: PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CỔ ĐIỂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SÓNG

Trong những chương đầu tiên chúng ta sẽ thảo luận một số vấn đề đơn giản nhưng quan trọng, đó là hệ hạt Điều này sẽ cho phép chúng ta giới thiệu nhiều khái niệm cơ bản và định nghĩa theo quan điểm của vật lý Đó sẽ là nền tảng chuẩn bị mang tính hệ thổng hơn trong chương 6 Trong chương đầu tiên này, chúng ta sẽ củng cố ngắn gọn một số khái niệm về vật lý cổ điển cũng như một số dấu hiệu ban đầu để thấy rằng vật lý cổ điển là không thể giải thích mọi hiện tượng (Những độc giả đã biết vật lý sóng cổ điển và vật lý nguyên tử thì có thể chuyển đến mục 1-7)

1-2 Sóng

1-2.A Sóng lan truyền

Một ví dụ rất đơn giản của sự lan truyền sóng là việc quất một cái roi Một xung năng lượng được truyền đến dây roi bởi một dao động duy nhất của tay cầm Kết quả là một làn sóng được truyền đến cuối dây roi, chuyển giao năng lượng đến popper ở cuối roi Trong hình 1-1, một tưởng của quá trình đã được phát họa Hình dạng của sự nhiễu loạn trong dây roi được gọi là hình ảnh của sóng và được đặc trưng bởi hàm ψ(x) Hình ảnh sóng truyền trong hình 1-1 cho thấy năng lượng thì tồn tại một khoảnh khắc nhất định Nó cũng chứa đựng thông tin cần thiết để nói bao nhiêu năng lượng đang được truyền đi, vì chiều cao và hình dạng của sóng phản ánh sức mạnh mà xử lí được giao động

Hình 1-1: Sự quất roi Theo thời gian, sự nhiễu loạn di chuyển từ trái sang phải dọc theo dây roi

mở rộng Trên mỗi đoạn của roi dao động lên và xuống như nhiễu loạn trôi qua, cuối cùng trở lại vị trí cân bằng.

Nét đặc trưng thường thấy của tất cả sự truyền sóng trong vật lí của điển là năng lượng thay đổi khi truyền qua môi trường Môi trường chính nó truyền qua

1

không dịch chuyển vĩnh viễn, nó chỉ đơn thuần là truyền dao động như sự nhiễu loạn trôi qua

Một trong những điều quan trọng nhất của hàm sóng trong vật lí là hàm sóng điều hòa, với hình ảnh sóng là một hàm sin Hàm sóng điều hòa tại một thời điểm được phát thảo trong hình 1-2 Sự dịch chuyển lớn nhất của sóng từ vị trí dừng gọi là biên độ sóng, và bước sóng λ là khoảng cách cần thiết sóng truyền trong một chu kỳ

để hoàn thành một dao động Mỗi hàm sóng là kết quả của dao động điều hòa ở cuối mỗi dây căng Tương tự, sóng được sinh ra trên mặt hồ yên tĩnh bởi các lắc nhẹ hay trong không khí bởi sự rung động âm thoa

Sự mô tả trong hình 1-2 hình ảnh sóng được mô tả bởi phương trình

ψ(x) = A sin(2π x/λ) (1-1)(ψ = 0 khi x = 0, và các đối số của hàm sin đi từ 0 → 2π, bao gồm một dao động hoàn thành như x đi từ 0 đến λ) Ta giả sử rằng trong hình 1-2 liên quan tại thời điểm t = 0 vận tốc của sự nhiễu loạn trung bình là c Sau đó tại thời điểm t, khoảng cách truyền là ct, hình ảnh sóng chuyển sang đúng bằng

ct và được đặc trưng bởi:

Ψ(x, t ) = A sin[(2π/λ)(x − ct )] (1-2)

Hình 1-2: Hàm giao động điều hòa tại một thời điểm A là biên độ và λ là bước sóng.Hàm Ψ được dùng phân biệt hàm phụ thuộc thời gian (1-2) và độc lập thời gian (1-1)

Tần số ν của hàm sóng là số đơn vị sóng lặp đi lặp lại từng đi qua một điểm trong mỗi đơn vị thời gian Trong hàm sóng điều hòa của chúng ta, tần số là khoảng cách sóng truyền trong một đơn vị thời gian c chia chiều dài của một đơn vị sóng

và hai hàm đó được xem là lệch pha Nếu ε = 2π, 4π …, thì dẫn đến là λ, 2λ, và hai hàm đó được gọi là cùng pha ε được gọi là nhân tố pha của hàm

Ψ ' và Ψ Ngoài ra, chúng ta có thể so sánh hai hàm tại một thời điểm x, trong trường hợp nhân tố pha là nguyên nhân để hai hàm thay đổi trong một thời gian

1-2.B Sóng đứng

Trong các vấn đề mà vật lí quan tâm, môi trường thường chịu những hạn chế Ví dụ, một dây sẽ dừng và chúng có thể bị giữ chặt như dây đàn, vì thế chúng không thể dao động khi sự nhiễu loạn đến Trong những trường hợp như

vậy, xung năng lượng không thể phát triển xa hơn Xung năng lượng không thể được hấp thụ bởi cơ chế buộc chặt nếu nó hoàn toàn cứng nhắc Sóng phản xạ đang đi vào mặt trước của sóng chính và sự chuyển động của dây là đáp ứng yêu cầu đặt trên nó hai sóng đồng thời:

Ψ (x, t ) = Ψ primary (x, t ) + Ψ reflected (x, t ) (1-5)Khi sóng chính và sóng phản xạ có cùng cường độ và biên độ thì ta có thể viết

Ψ (x, t ) = A sin [(2π/λ)(x − ct )] + A sin [(2π/λ)(x + ct )]

= 2A sin(2π x/λ) cos(2π ct /λ) (1-6)

Công thức này mô tả sóng đứng – một loại sóng không xuất và truyền qua môi trường, nhưng xuất hiện và dao động tại chỗ Phần đầu tiên của hàm phụ thuộc vào biến x Khi hàm sin không tồn tại thì hàm Ψ sẽ không tồn tại bất kể giá trị của t Điều này có nghĩa rằng có những nơi hình ảnh sóng không dao động Những chỗ như vậy gọi là nút Giữa các nút hàm sin(2π x/λ) là hữu hạn Qua thời gian hàm sin dao động giữa cộng và trừ là thống nhất Nghĩa là hàm Ψ dao động giữa cộng và trừ giá trị sin(2π x/λ) Chúng ta nói rằng x là phần phụ thuộc của hàm cho bởi khoảng cách lớn nhất của sóng đứng, t là phần độc lập điều chỉnh chuyển động của môi trường qua lại giữa những vị trí Một sóng đứng với một nút trung tâm như hình 1-3

Hình 1-3: Một sóng đứng trên sợi dây buộc chặt tại x = 0 và x = L Bước sóng λ thì bằng L.Biểu thức 1-6 được viết lại

Ψ (x, t ) = ψ(x) cos(ωt ) (1-7)

ω = 2πc/λ (1-8)

ψ(x) được gọi là hàm biên độ và ω là yếu tố tần số

Chúng ta hãy xem xét cách năng lượng được lưu trữ trong các dây rung được

mô tả trong hình 1-3 Trên đoạn dây tại trung tâm nút và điểm bị buộc ở cuối mỗi đoạn dây thì không chuyển động Do đó, động năng bằng không Hơn nữa, năng lượng tại vị trí cân bằng và năng lượng dự trữ giống nhau và bằng không miễn là dây tiếp tục rung Động năng cực đại và năng lượng tiềm ẩn được kết hợp với những đoạn nằm ở đỉnh sóng và thung lũng bởi vì mỗi phần có một giá trị vận tốc trung bình lớn nhất và thay đổi qua vị trí cân bằng Toán học chỉ ra rằng, tổng năng lượng của mỗi đoạn dây thì tỉ lệ thuận với ψ(x)2

như vậy, chúng ta phải xem xét các định luật vật lí mà môi trường tuân theo Một điều kiện mà môi trường phải tuân theo là định luật Newton về chuyển động Ví dụ, mỗi đoạn dây có khối lượng m chịu tác dụng của lwucj F với gia tốc F/m tuân theo định luật 2 Newton Vấn đề này, sự chuyển động của sóng hoàn toàn phù hợp với chuyển động của hạt bình thường Ở điều kiện khác, đặc biệt với sóng thì mỗi đoạn của môi trường thì được gắn với các đoạn bên cạnh, khi nó thay đổi kéo theo các sóng bên cạnh cũng thay đổi Điều này cung cấp cơ chế theo đó các rối loạn được truyền dọc theo môi trường

Hình 1-4 : Đoạn dây dưới tác dụng của lực căng T Các lực lượng ở mỗi đầu của khúc

dây này được phân tách ra thành lực vuông góc và song song với x.

Chúng ta xét một dây dưới tác dụng của lực căng T Khi dây thay đổi qua vị trí cân bằng, lực này gây ra phản lực tác dụng trở lại Ví dụ, quan sát một đoạn dây liên kết với khoảng x đến x + dx ở hình 1-4 Lưu y, lực gây ra ở hai đầu của đoạn dây có thể tách thành thành phần song song và vuông góc với trục x Thành phần song song có tác dụng kéo dài dây, thành phần vuông góc có tác dụng tăng tốc độ dây để hướng dây đi qua vị trí cân bằng Tại điểm cuối bên phải của đoạn dây, thành phần vuông góc F tách bởi thành phần nằm ngang với hệ số góc T Tuy nhiên, những sai lệch nhỏ của dây từ vị trí cân bằng làm cho các thành phần nằm ngang gần như bằng nhau và bằng chiều dài của vecto T Điều này có nghĩa rằng đó là một xấp xỉ tốt nhất để viết:

Hệ số góc vecto T = F/T tại x + dx (1-9)Nhưng hệ số góc cũng được xác định bởi đạo hàm của hàm Ψ vì thế nó có thể viết

Fx+dx = T (∂ /∂ x)x+dx (1-10)Đầu kia của đoạn dây có một lực kéo theo hướng ngược lại vì thế chúng ta có thể viết

Fx = −T (∂ /∂ x)x (1-11)Lực vuông góc trên đoạn dây là hợp của hai lực này

F = T[(∂Ψ /∂ x)x+dx − (∂Ψ /∂ x)x ] (1-12)

Sự khác nhau trong hệ số góc ở hai điểm nhỏ riêng biệt chia bởi dx là do đạo hàm bậc hai của một hàm Do đó

Ta nói gia tốc là đạo hàm bậc của vị trí theo thời gian

Phương trình (1-14) là phương trình sóng cho chuyển động trên đoạn dây đồng chất dưới tác dụng của lực T Nó là bằng chứng cho thấy rằng, nguồn gốc của

nó liên quan đến việc không có gì là cơ bản ngoài định luật II Newton và thực tế là hai đầu của khúc dây được liên kết với nhau bằng một lực kéo thông thường Khái quát phương trình sóng trong không gian ba chiều

( 22 22 22 ) ( ) 2 2

( , , , ), , ,

Ở đây β là tổng hợp của một đại lượng vật lí cụ thể trong một hệ thống cụ thể

Quay lại ví dụ dây của chúng ta, phương trình (1-14) phụ thuộc thời gian Giả

sử chúng ta muốn giới hạn xem xét của chúng ta để sóng dừng có thể được tách thành hàm biên độ phụ thuộc thời gian và hàm điều hòa phụ thuộc thời gian Khi đó

Đây là phương trình sóng cổ điển độc lập thời gian cho một đoạn dây

Chúng ta có thể thấy bằng cách kiểm tra các loại hàm ψ(x) phải thõa mãn phương trình (1-18) Ψ là một hàm như vậy, khi hai lần phân biệt được tái bản với hệ

số góc – ω2m/T Một lời giải là

ψ =Asin(ω bm Tx/ ) (1-19)

Điều này cho thấy phương trình (1-18) có giá trị sin khác nhau như những thảo luận mục 1.2 So sánh phương trình (1-19) và (1-1) chỉ ra rằng 2 /π λ ω= m T/ Thay quan hệ này vào (1-18) được

d 2 ψ (x)/d x2 = −(2π/λ)2 ψ(x) (1-20)

Đây là một hình thức hữu ích hơn cho các mục đích của chúng ta

Trong không gian ba chiều, hàm sóng cổ điển độc lập thời gian cho một môi trường đồng nhất và đẳng hướng là

(∂ 2 /∂ x2 + ∂ 2 /∂y2 + ∂ 2 /∂ z2 )ψ (x, y, z) = −(2π/λ)2 ψ (x, y, z) (1-21)nơi λ phụ thuộc tính đàn hồi của môi trường Sự kết hợp đạo hàm riêng ở bên trái của phương trình (1-21) gọi là Laplacian và thường được đưa ra cách viết tắt biểu tượng ∇2 Phương trình ( 1-21) viết lại

5

∇2 ψ (x, y, z) = −(2π/λ)2 ψ (x, y, z) (1-22)

1-4 Sóng đứng trong một dây buộc hai đầu

Bây giờ chúng ta chứng minh phương trình (1-20) có thể dùng dự đoán tính chất của sóng đứng trên một dây Giả sử, dây buộc chặt tại x = 0 và L Điều này có nghĩa dây không dao động tại các điểm đó Toán học này có nghĩa

ψ (0) = ψ (L) = 0 (1-23)

Điều kiện như thế này gọi là điều kiện biên Một câu hỏi đặt ra là "Hàm ψ thõa mãn phương trình (1-20) và cũng có phương trình (1-23)?" Chúng ta bắt đầu tìm phương trình tổng quát nhất của phương trình (1-20) Chúng ta vừa có Asin( 2πx/λ) cũng là một giải pháp.Tổng quát hơn cả

là sự kết hợp tuyến tính

ψ(x) = A sin(2π x/λ) + B cos(2π x/λ) (1-24)

Bằng cách thay đổi A và B ta có thể nhận được các giá trị khác nhau của hàm ψ

Có hai nhận xét được thực hiện vào thời điểm này Trước hết, một

số bạn đọc sẽ thấy rằng các hàm khác nhau tồn tại và thõa mãn phương trình (1-20) Đó là Aexp (2πix/λ) và Aexp(-2πix/λ) tại i = −i Lí do chúng ta không đưa ra các hàm chung (1-24) vì hai hàm mũ là tương đương toán học với hàm lượng giác Quan hệ đó là

exp(±ikx) = cos(kx) ± i sin(kx) (1-25)

Điều này có nghĩa rằng các hàm lượng giác có thể được biểu diễn dưới dạng hàm mũ

và ngược lại Do đó, tập hợp các hàm mũ và hàm lượng giác là không cần thiết và không linh hoạt bổ sung sẽ cho kết quả bằng cách bao gồm hàm mũ trong phương trình (1-24) Hai tổ hợp này là phụ thuộc tuyến tính

Nhận xét thứ hai là cho các giá trị A và B các hàm được mô tả bởi phương trình (1-24) là hàm sin duy nhất với bước sóng λ Bằng cách thay đổi tỷ lệ A và B chúng

ta làm cho hàm số chuyển sang trái hoặc phải liên quan đến bản chất của nó Nếu A

= 0 và B = 1 thì hàm số không có nút nào tại x = 0

Bây giờ chúng ta tiến hành bằng cách cho các điều kiện biên để xác định các hằng số A và B Điều kiện tại x = 0 cho

ψ(0) = A sin(0) + B cos(0) = 0 (1-26)

Tuy nhiên, từ sin(0) = 0, cos (0) = 1 dẫn đến B = 0 (1-27)

Vì vậy, từ điều kiện biên đầu tiên B = 0 dẫn đến

định Vì thế chúng ta có thể tùy thích giới hạn giá trị n dương ( hai bộ này là phụ thuộc tuyến tính) Hằng số A vẫn không được xác định, nó tác động đến biên độ của sóng Để xác định A đòi hỏi phải biết bao nhiêu năng lwuongj được dự trữ trong sóng nghĩa là làm thế nào ngắt dây căng

Hiển nhiên có nhiều giải pháp được chấp nhận, mỗi một số khác nhau tương ứng với sự phù hợp của nửa sóng giữa 0 và L Tuy nhiên, một vấn đề lớn của sóng là loại trừ điều kiện biên, cụ thể tất cả các bước sóng là không chia hết 2L một số nguyên lần Kết quả của việc áp dụng điều kiện biên là hạn chế cac bước sóng cho phép xác định các giá trị rời rạc Như chúng ta thấy, việc này liên quan chặt chẽ đến sự lượng tử hóa của cơ học lượng tử

Hình 1-5: Lời giải cho phương trình sóng độc lập thời gian trong điều kiện một chiều với điều kiện

biên.

Ví dụ, việc tìm ra ở trên là cực kỳ đơn giản Tuy nhiên nó thể hiện như thế nào qua phương trình vi phân và điều kiện biên để xác định các thành phần của hệ Chúng ta có thể đưa đến lời giải cho trường hợp này bằng lập luận vật lí đơn giản nhưng điều không thể áp dụng trong trường hợp phức tạp hơn Phương trình vi phân cung cấp một phương pháp tiếp cận đối tượng để tìm ra lời giải khi các phương pháp vật lí là không đủ

1-5 Ánh sáng như sóng điện từ

Giả sử một hạt tích điện được dao động điều hoà trên trục z Nếu có một khác hạt tích điện cách đó không xa và lúc đầu đứng yên trong mặt phẳng xy, thì hạt thứ hai này cũng sẽ bắt đầu dao động điều hoà Như vậy, năng lượng đang được chuyển

từ hạt thứ nhất sang hạt thứ hai, điều đó chỉ ra rằng có một dao động điện trường phát ra từ hạt thứ nhất Chúng ta có thể vẽ cường độ của điện trường này ở thời điểm

tức thì bởi một loạt các thí nghiệm ảo mà điện tích truyền dọc theo một đường bắt

đầu từ gốc và vuông góc với trục của dao động (Hình 1-6)

Nếu có một số từ tính xung quanh ở vùng lân cận của điện tích dao động, chúng sẽ dao động qua lại để chống lại sự nhiễu loạn Điều đó có nghĩa rằng một từ trường dao động cũng được tạo ra bởi điện tích Thay đổi vị trí của từ tính sẽ cho thấy trường này dao động trong một mặt phẳng vuông góc với trục dao động của hạt mang điện Điện trường và từ trường kết hợp di chuyển dọc theo một trục trong mặt phẳng xy xuất hiện trong Hình 1-7

Sự thay đổi điện và từ trường lan truyền ra ngoài với một vận tốc c, và mô tả

được như sóng lan truyền, gọi là sóng điện từ Tần số v giống như tần số dao động của điện tích dao động, bước sóng là λ = c/ν Ánh sáng nhìn thấy, bức xạ hồng ngoại,

sóng radio, lò vi sóng, bức xạ tia cực tím, tia X, tia γ đều là sóng điện từ, chúng chỉ

7

khác nhau về tần số ν Chúng ta sẽ tiếp tục thảo luận trong bối cảnh của ánh sáng,

hiểu biết rằng nó áp dụng cho tất cả các dạng bức xạ điện từ

Hình 1-6:Một sóng điện trường điều hòa phát ra từ một điện tích dao động Độ lớn của sóng tỷ lệ thuận với lực gây ra bởi những điện tích thử nghiệm Những điện tích chỉ tưởng tượng, nếu chúng thực sự tồn tại, chúng sẽ có khối lượng và gia tốc dưới sẽ hấp thụ năng lượng từ sóng, làm cho chúng yếu đi.

Hình 1-7: Một trường điện từ điều hòa được gây ra bởi một dòng điện dao động Các mũi tên mà không có điện tích chỉ hướng mà cực bắc của nam châm sẽ bị hút Từ trường được định hướng vuông góc với điện trường.

Nếu một chùm ánh sáng được tạo ra sao cho chiều điện trường luôn nằm trong cùng một mặt phẳng, ánh sáng được cho là mặt phẳng (hoặc đường thẳng) phân cực Mặt phẳng phân cực ánh sáng trong hình 1-7 được cho là phân cực z Nếu mặt phẳng định hướng của sóng điện trường quay chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng về trục di chuyển (ví dụ, như sóng điện trường "xoắn ốc" trong không gian), ánh sáng được gọi là phải hoặc trái phân cực tròn Nếu ánh sáng là tổng hợp của sóng có trường định hướng ngẫu nhiên thì không có kết quả định hướng, ánh sáng là không bị phân cực

Thí nghiệm với ánh sáng trong thế kỷ XIX và trước đó đã phù hợp với quan điểm cho rằng ánh sáng có tính chất sóng Một trong những bằng chứng thí nghiệm

rõ nét hơn xác minh điều này là các giao thoa tạo ra khi ánh sáng từ một nguồn được phép đi qua một cặp khe và sau đó cho hình ảnh Các kết quả hình ảnh giao thoa này

có thể hiểu chỉ về mặt cách xây dựng và giao thoa triệt tiêu sóng Phương trình vi phân của Maxwell, trong đó cung cấp mối liên hệ giữa bức xạ điện từ và quy luật cơ bản của vật lý, cũng chỉ ra rằng ánh sáng là một làn sóng

Nhưng có một số vấn đề vẫn còn tồn tại khiến các nhà vật lý bế tắt Một là sự bất lực của lý thuyết vật lý cổ điển để giải thích cường độ và bước sóng ứng với sự bức xạ nhiệt của "vật thể đen" Vấn đề này đã được nghiên cứu bởi Planck, người mà

đã kết luận rằng năng lượng mà dao động tử vi mô phát ra hay hấp thụ gồm những lượng tử năng lượng Chúng ta sẽ không thảo luận về vấn đề này Một bài toán khác

có liên quan với giải thích của hiện tượng khám phá ra vào cuối những năm 1800,

gọi hiệu ứng quang điện.

1-6 Hiệu ứng quang điện

Hiện tượng này xảy ra khi vật chất hấp thụ ánh sáng và phát ra các electron Nhiều kim loại thực hiện việc này khá dễ dàng Một thiết bị đơn giản có thể được sử dụng để nghiên cứu hiện tượng này được mô tả trong sơ đồ hình 1-8 Ánh sáng chiếu tới bề mặt kim loại trong môi trường chân không Nếu các electron bị đẩy ra, thì vài trong số đó sẽ đập vào dây tín hiệu, tạo ra sự lệch của điện kế Trong thiết bị này, một hiệu điện thế có thể thay đổi giữa đĩa kim loại và dây tín hiệu, và cũng là cường

độ và tần số của ánh sáng tới

Hình 1-8: Pin quang điện

Giả sử rằng hiệu điện thế được thiết lập ở số không và có dòng điện chạy qua khi có ánh sáng ứng với một cường độ và tần số nhất định đập vào đĩa Điều này có nghĩa rằng các electron được thoát ra từ các đĩa với động năng hữu hạn, cho phép chúng di chuyển đến dây Nếu bây giờ dùng một điện thế hãm, các electron được phát ra với chỉ một động năng nhỏ sẽ không đủ năng lượng để vượt qua những điện

thế chậm và sẽ không đi đến dây Vì thế, dòng bị phát ra sẽ giảm Điện thế hãm có

thể được tăng dần cho đến khi ngay cả những quang điện mạnh nhất không có thể làm cho nó vào dây thu Điều này cho phép tính toán động năng tối đa cho hiện tượng quang điện được gây ra bởi ánh sáng tới trên bề mặt kim loại mà đã đề cập

Từ kết quả nguyên cứu thực nghiệm cho những kết luật sau:

1 Dưới mức tần số giới hạn của ánh sáng tới, không có điện tử nào bật ra, bất kể

cường độ ánh sáng mạnh đến thế nào

2 Số điện tử được giải phóng trong một đơn vị thời gian thì tỉ lệ với cường độ bức xạ.

3 Động năng lượng của điện tử được phóng ra tỉ lệ với tần số bức xạ mà không

phụ thuộc vào cường độ bức xạ

4 Trong trường hợp cường độ bức xạ là rất thấp (nhưng tần số trên giá trị giới hạn)

quang điện tử được phát ra từ các kim loại mà không phụ thuộc vào thời gian

Một số kết quả được tóm tắt đồ thị trong hình 1-9 Rõ ràng, các động năng của quang điện tử được cho bởi:

Động năng = h (ν-ν0) (1-33)

trong đó h là một hằng số Các tần số giới hạn ν0 phụ thuộc vào kim loại đang được

nghiên cứu (và nhiệt độ của nó), nhưng độ dốc h là như nhau cho tất cả các chất Chúng ta cũng có thể viết các động năng như:

Động năng = năng lượng của ánh sáng - năng lượng cần thiết để thoát khỏi bề mặt (1-34)

9

Hình 1-9: Động năng cực đại của một quang điện tử như hàm của tần số ánh sáng tới, trong đó 0

ν là tần số tối thiểu để quang điện tử được thoát ra từ kim loại khi không có bất kỳ thế hãm hay thế tăng tốc nào.

Đại lượng cuối cùng trong phương trình (1-34) thường được gọi là công thoát

W của kim loại Kết hợp phương trình (1-33) với (1-34) cho

Năng lượng của ánh sáng -W = hν - hν0 (1-35)

Thuật ngữ phụ thuộc vào vật liệu W đồng nhất với thuật ngữ phụ thuộc vào vật liệu

hν0, theo đó:

Năng lượng của ánh sáng ≡ E = hν (1-36)

trong đó giá trị của h đã được xác định là 6.626176 × 10-34 J.s (Xem phụ lục 10 cho các đơn vị và các yếu tố chuyển đổi)

Các nhà vật lý đã gặp khó khăn trong việc dung hòa những quan sát với lý thuyết trường điện từ cổ điển của ánh sáng Ví dụ, nếu ánh sáng có một tần số và cường độ nhất định gây ra phát xạ của các electron có động năng tối đa nhất định thì cường độ ánh sáng gia tăng (tương ứng với một biên độ trường điện từ lớn hơn và mật độ năng lượng lớn hơn) sẽ sản xuất quang điện tử có năng lượng động lượng cao hơn Tuy nhiên, nó chỉ tạo ra nhiều quang điện tử và không ảnh hưởng đến năng lượng của chúng Một lần nữa, nếu ánh sáng là một sóng thì năng lượng được phân phối trên toàn bộ sóng và điều này có nghĩa là một cường độ ánh sáng thấp sẽ truyền năng lượng ở mức rất thấp đến diện tích bề mặt của một nguyên tử Người ta có thể tính toán được sẽ mất nhiều năm cho một nguyên tử riêng lẻ để thu thập đủ năng lượng để đẩy một electron trong điều kiện như vậy Người ta không thể quan sát được chu kỳ cảm ứng như vậy

Một lời giải thích cho những kết quả đã được đề xuất vào năm 1905 bởi Einstein, người đề xuất rằng ánh sáng tới được xem như là tập hợp các đơn vị riêng biệt của năng lượng Mỗi đơn vị như vậy, hay photon, sẽ có năng lượng liên kết của

hν, với ν là tần số của bộ phát dao động Tăng cường độ của ánh sáng sẽ tương ứng

với tăng số lượng của các photon, trong khi tăng tần số của ánh sáng sẽ làm tăng năng lượng của các photon Nếu chúng ta hình dung mỗi quang điện tử phát ra là kết quả từ một photon chiếu vào bề mặt kim loại, nó là khá dễ dàng để thấy rằng ý tưởng của Einstein là phù hợp với quan sát Nhưng nó tạo ra một vấn đề mới: Nếu chúng ta hình dung ánh sáng như một dòng photon, làm thế nào chúng ta có thể giải thích tính chất sóng của ánh sáng, chẳng hạn như hình ảnh nhiễu xạ khe đôi? Ý nghĩa vật lý của sóng điện từ là gì?

Về cơ bản, theo quan điểm cổ điển thì vấn đề này, bình phương của sóng điện

từ ở bất kỳ điểm nào trong không gian là thước đo mật độ năng lượng tại điểm đó Bình phương của sóng điện từ là một hàm biến đổi liên tục, và nếu năng lượng liên tục và có thể được chia vô hạn thì không có vấn đề gì đối với lý thuyết này Nhưng nếu năng lượng không thể được chia thành một lượng nhỏ hơn một photon - Nếu nó

có bản chất gián đoạn chứ không phải liên tục thì lý thuyết cổ điển không thể áp dụng, bởi vì nó không thể tạo sự phân phối năng khác nhau từ các hạt năng lượng hơn là tại cấp độ vi mô có thể tạo ra sự phân bố mật độ xuất hiện trong chất khí từ nguyên tử vật chất Einstein cho rằng bình phương của sóng điện từ tại một số điểm (có nghĩa là, tổng các bình phương của cường độ điện trường và từ trường) được xem như mật độ xác suất để tìm thấy một photon trong khoảng không gian xung quanh điểm đó Bình phương của sóng ở một khu vực nào đó càng lớn thì xác suất

để tìm kiếm các photon trong khu vực đó càng lớn Như vậy, quan điểm cổ điển về năng lượng có xác định và phân phối thông suốt biến đổi được thay thế bằng ý tưởng

về mật độ xác suất thuận lợi biến đổi để tìm kiếm một gói nhưng vật nhỏ năng lượng

Chúng ta hãy tìm hiểu sự giải thích xác suất này trong bối cảnh của thí nghiệm giao thoa hai khe Chúng ta biết rằng các mô hình của ánh sáng và bóng tối quan sát trên màn hình hòa hợp với hình ảnh cổ điển của giao thoa của sóng Giả sử chúng ta thực hiện các thí nghiệm theo cách thông thường, ngoại trừ chúng ta sử dụng một

nguồn ánh sáng (tần số ν) quá yếu đến nỗi chỉ có các đơn vị của năng lượng hν mỗi

giây đi qua bộ máy và ghi lại trên màn hình Theo hình ảnh cổ điển, lượng năng lượng nhỏ bé này sẽ ghi lại trên hình ảnh vô cùng mờ nhạt của toàn bộ hình ảnh nhiễu xạ Trong vòng vài giây, mô hình này có thể được tích lũy (trên một tấm ảnh)

và sẽ trở nên mạnh hơn Theo quan điểm của Einstein, thí nghiệm của chúng ta tương ứng với truyền tải một photon mỗi giây và mỗi photon đập vào màn hình tại một điểm lân cận Mỗi photon tấn công một vị trí mới (không tính đến các vị trí trùng nhau) và sau một thời gian dài, chúng tạo ra hình ảnh nhiễu xạ có thế quan sát được Nếu chúng ta muốn biết trạng thái nơi photon tiếp theo sẽ xuất hiện, chúng ta không thể làm như vậy Cách tốt nhất ta có thể làm là các photon kế tiếp có khả năng chiếu vào khu vực này hơn khu vực khác, xác suất tương đối được mô tả định lượng bằng bình phương của sóng điện từ Nếu làn sóng chỉ cho chúng ta biết xác suất tương đối tìm thấy một photon tại một thời điểm này hay điểm khác, chúng ta có thể xem sóng có "thực tại vật lý", hoặc là nó chỉ đơn thuần là một công cụ toán học cho phép chúng ta phân tích phân bố photon, các photon là "thực tại vật lý" Chúng ta sẽ bàn luận về câu hỏi này trong phần nhiễu xạ điện tử

Ví dụ 1-1: Một điện thế hãm có giá trị 2,38 vôn đủ để ngăn chặn một quang điện tử

phát ra từ kali bởi ánh sáng của tần số 1,13 × 1015 s-1 Công thoát W, của kali là bao nhiêu?

Giải: Eánh sáng = hν = W + KEelectron

→W = hν - KEelectron = (4,136 × 10-15 eV.s) (1,13 × 1015s-1) – 2,38eV = 4,67eV – 2,38eV = 2,29eV

[Ghi chú: Để thuận tiện, ta sử dụng đơn vịcủa h là eV.s cho vấn đề này Xem Phụ lục 10 cho dữ liệu]

Ví dụ 1-2: Đơn vị thường diễn tả cho ∆E trong một quá trình chuyển đổi giữa các trạng thái số sóng, ví dụ, m-1, hoặc cm-1, thay vì trong các đơn vị năng lượng như J hoặc eV (Thông thường cm-1 được lựa chọn, vì vậy chúng ta sẽ tiến hành với sự lựa chọn đó)

a Ý nghĩa vật lý của sóng số hạn là gì?

b Mối liên hệ giữa số sóng và năng lượng là gì?

c Số sóng áp dụng đối với một năng lượng của 1.000 J, 1.000 eV là gì?

Giải:

11

a Số sóng là con số của sóng phù hợp với một đơn vị khoảng cách (thường là một

cm) Đôi khi nó là biểu diễn v% v% = 1/λ, trong đó λ là bước sóng trong cm.

b Số sóng đặc trưng cho ánh sáng có các photon năng lượng được xác định E = hν

Hãy tưởng tượng một hạt có khối lượng nghỉ hữu hạn bằng cách nào có thể được thực hiện nhẹ hơn và nhẹ hơn, gần bằng không trong một cách liên tục

Nó có vẻ hợp lý rằng sự tồn tại của một làn sóng kết hợp với chuyển động của các hạt sẽ trở nên ngày càng nhiều rõ rệt, chứ không phải là sóng đi vào sự tồn tại đột ngột khi m = 0 De Broglie đề xuất rằng tất cả các hạt vật chất đều tương ứng với một sóng, mà ông gọi là "sóng vật chất", nhưng sự tồn tại của các sóng này có thể sẽ quan sát được trong các hành vi của các hạt cực nhẹ Mối quan hệ của de Broglie có thể đạt được như sau Mối quan hệ của Einstein đối với các photon là

mv = p = h/λ (1-41)

hoặc

λ = h/p (1-42)

Ở đây, m dùng để chỉ khối lượng nghỉ của hạt có sự sai lệch tương đối, nhưng

sự sai lệch đó thường không đáng kể so với ban đầu

Mối quan hệ này, được đề xuất bởi de Broglie vào năm 1922, đã được nhanh chóng chứng minh là chính xác Sau đó khi Davisson và Germer làm thí nghiệm về

sự nhiễu xạ electron khi phóng chùm electron qua tinh thể Ni, đã kiểm chứng giả thiết của Broglie và cho rằng giả thiết này là phù hợp với thực nghiệm Những "sóng

điện tử" đã được quan sát có bước sóng liên quan đến động lượng electron chỉ là cách đề xuất của de Broglie

Phương trình (1-42) liên hệ giữa bước sóng de Broglie λ của một sóng vật chất với động lượng p của hạt Một động lượng cao hơn tương ứng với bước sóng ngắn hơn Từ:

Quan sát thấy rằng nếu E ≥ V, λ được cho bởi phương trình (1 – 45) là số thực Tuy nhiên, nếu E < V, λ trở thành số ảo Điều này không bao giờ gặp trong vật lý cổ điển, nhưng chúng ta sẽ thấy nó là cần thiết để xem xét khả năng này trong cơ học lượng tử

Ví dụ 1-3: Một ion He2+ được gia tốc nghỉ thông qua một giảm điện áp của 1.000 kilovolt Bước sóng de Broglie cuối cùng của nó là gì? Sẽ làn sóng như tính chất rất

rõ rệt?

Giải: Khi một thay đổi hai đơn vị điện tử đã làm sụt giảm điện áp 1,000 × 103 volt,

động năng cuối cùng của ion là 2,000 × 103 eV Để tính λ, đầu tiên chúng ta đổi từ

1-8 Thí nghiệm nhiễu xạ với electron

Để hiểu rõ hơn về ý nghĩa của sóng vật chất, bây giờ chúng ta xem xét một tập hợp các thí nghiệm đơn giản Giả sử chúng ta có nguồn electron đơn năng và cặp khe

hở, như sơ đồ trong hình 1-10 Bất kỳ electron nào đến màn hình lân quang đều tạo

ra một tia sáng, cũng giống như trong ti vi Lúc này chúng ta bỏ qua những nguồn sáng ở gần khe hở (giả định rằng nó bị tắt) và tìm hiểu về bản chất của ảnh trên màn hình lân quang khi chùm tia electron chiếu vào khe hở Kết quả thu được phù hợp với các giả thiết của Davisson và Germer đã đề cập, là có sự xen kẽ giữa các dải sáng và tối, điều đó chỉ ra rằng các tia electron bị nhiễu xạ bởi các khe hở Hơn nữa, khoảng cách giữa các băng tần phù hợp với bước sóng de Broglie tương ứng với

13

năng lượng của electron Sự thay đổi về cường độ ánh sáng thể hiện trên màn hình được mô tả trong hình 1 - 11a.

Rõ ràng, các electron trong thí nghiệm này thể hiện bản chất sóng Có phải điều này có nghĩa rằng các electron được truyền đi như sóng khi chúng được phát hiện ở màn hình? Chúng ta sẽ kiểm tra điều này bằng cách giảm cường độ chùm tia tới để cho mỗi giây chỉ có một electron đi qua thiết bị và thấy rằng mỗi electron đánh dấu một vệt sáng nhỏ, toàn bộ hình ảnh nhiễu xạ xây dựng bởi tập của nhiều điểm

Do đó, bình phương sóng vật chất của de Broglie có cùng một ý nghĩa thống kê mà Einstein đề xuất đối với các sóng electron và photon, và electron thật sự là hạt có vị trí xác định, ít nhất là chúng ta có thể thấy chúng trên màn hình

Tuy nhiên, nếu chúng là hạt thực sự, rất khó để xem cách chúng bị nhiễu xạ Xem xét thấy, khi khe b được đóng lại thì tất cả các electron đật vào bức màn hình rồi đi qua khe a Kết quả là có một khu vực ánh sáng duy nhất trên màn hình (hình 1- 11b) Đóng khe a và mở khe b sẽ cho kết quả tương tự (nhưng có sự đảo lại) như thể hiện trong hình 1- 11c

Hình 1-10: Nguồn điện tử tạo ra chùm điện tử, một trong số đó đi qua khe hở a và/hoặc b để được phát hiện như ánh chớp của ánh sáng trên màn lân quang.

Hình 1-11: Cường độ ánh sáng ở màn lân quang dưới điều kiện khác nhau: (a) a và b mở, ngắt ánh sáng; (b) mở, b kín, ngắt ánh sáng; (c) kín, b mở, ngắt ánh sáng; (d) a và b mở, ánh sáng trên, λ ngắt mạch; (e) a và b mở, ánh sáng trên, λ dài.

Những mô hình này đúng với những gì chúng ta dự đoán đối với các hạt Bây giờ, với cả hai khe đều mở, liệu có một nửa số hạt đi qua khe a và một nửa còn lại đi qua khe b, kết quả là tổng của các kết quả trên Điều đó dẫn đến là chúng ta có được những hình ảnh nhiễu xạ (Hình 1- 11a) Vậy điều này có thể xảy ra? Có vẻ như là, bằng cách nào đó, một electron đi qua thiết bị có thể cảm nhận dù một hoặc cả hai khe mở, mặc dù là một hạt có thể khám phá chỉ khe này mở hay khe khác mở Người

ta có thể giả sử rằng chúng ta đang nhìn thấy kết quả của hai electron di chuyển đồng thời đến hai khe, con đường của mỗi electron bị ảnh hưởng bởi sự hiện diện của một electron trong khe kia Điều này sẽ giải thích làm thế nào một electron đi qua khe a

sẽ "biết" cho dù khe b là mở hoặc đóng Nhưng thực tế là mô hình hình thành ngay

cả khi các electron di chuyển qua với tốc độ trong 1 giây cho thấy lập luận này là

không có cơ cở Vậy một electron có thể đi qua cả hai khe cùng một lúc đươc không?

Để kiểm tra câu hỏi này, chúng ta cần phải có thông tin chi tiết về vị trí của các electron khi chúng đi qua các khe hở Chúng tôi có thể nhận được dữ liệu đó bằng cách bật nguồn ánh sáng và đặt một kính hiển vi tại các khe hở Sau đó các photon sẽ bật ra khỏi mỗi electron như nó vượt qua các khe và sẽ được quan sát qua kính hiển

vi Như vậy người quan sát có thể nói rằng mỗi electron đã đi qua, và cũng ghi lại vị trí cuối cùng của nó trên màn hình lân quang Trong thí nghiệm này, cần thiết phải

sử dụng ánh sáng có bước sóng ngắn hơn so với khoảng cách giữa hai khe, nếu không thì kính hiển vi không thể xử lý đèn flash đủ tốt để phát hiện khe nào là gần nhất Khi thí nghiệm này được thực hiện, chúng tôi thực sự phát hiện mỗi electron khi chúng đi qua khe này hay khe khác, hay không qua khe nào, nhưng chúng ta cũng thấy rằng hình ảnh nhiễu xạ trên màn hình đã bị mất và chúng ta có sự phân bố rộng khắp và không đặc trưng như hình 1- 11d, mà về cơ bản là tổng của các thí nghiệm đơn khe Những gì đã xảy ra là các photon từ nguồn sáng của chúng ta, chiếu vào các electron khi chúng xuất hiện từ các khe, đã ảnh hưởng đến xung của các electron và thay đổi đường đi của chúng trong trường hợp không có ánh sáng Chúng

ta có thể cố gắng để chống lại điều này bằng cách sử dụng các photon với động lượng thấp hơn, nhưng điều này có nghĩa là sử dụng các photon của E thấp hơn, thì λ dài hơn Kết quả là, những hình ảnh của các electron trong kính hiển vi được rộng hơn, và nó càng trở nên mờ hơn khi mà một electron cho trước đã đi qua khe nào hoặc là nó thực sự đi qua chỉ một khe Khi chúng ta ngày càng trở nên không chắc chắn về con đường của mỗi electron hơn khi nó di chuyển qua các khe hở thì hình ảnh nhiễu xạ tích lũy ngày càng trở nên rõ rệt hơn (Hình 1- 11e) (Bởi vì đây là một

"thí nghiệm tưởng tượng" chúng ta có thể bỏ qua yếu tố bất tiện, đó là nguồn "ánh sáng" của chúng ta phải sản xuất tia X hoặc tia γ để có bước sóng ngắn hơn so với khoảng cách giữa hai khe thích hợp)

Thí nghiệm có tính khái niệm này minh họa một tính năng cơ bản của hệ thống

vi mô - chúng ta không thể đo lường hết các đặc tính của hệ thống mà không tác động đến sự phát triển trong tương lai của hệ thống một cách đáng kể Hệ thống với ánh sáng tắt là khác nhau đáng kể từ hệ thống với ánh sáng bật (với λ ngắn), và do

đó các electron đến màn hình với phân phối khác nhau Không có vấn đề như thế nào khéo léo nghĩ ra một thí nghiệm, có một số xáo trộn cần thiết tối thiểu tham gia vào bất kỳ đo lường Trong ví dụ này với ánh sáng ra, vấn đề là chúng ta biết động lực của mỗi electron khá chính xác (vì chùm tia là đơn năng và trực chuẩn), nhưng chúng tôi không biết bất cứ điều gì về cách thức các electron đi qua khe Với ánh sáng, chúng ta có được thông tin về vị trí electron chỉ vượt ra ngoài khe nhưng chúng

ta thay đổi động lực của mỗi electron trong một cách không rõ Việc đo vị trí hạt dẫn đến giảm hiểu biết về động lượng của hạt Đây là một ví dụ của nguyên lý bất định của Heisenberg, người cho rằng sản phẩm của sự không chắc chắn đồng thời trong

"biến liên hợp", a và b, không bao giờ được nhỏ hơn giá trị của hằng số Planck h của chia 4π:

15

quan trọng khác năng lượng - thời gian và momen động lượng-momen vị trí) trong

ví dụ với ánh sáng tắt, sự bất định trong động lượng nhỏ và bất định vị là rất lớn, vì chúng ta không thể xác định được mỗi electron đi qua khe nào Với ánh sáng mở, chúng ta sẽ giảm sự bất định trong vị đến một kích thước chấp nhận được, nhưng theo sau vị trí của mỗi electron được quan sát, chúng tôi có tính bất định lớn hơn nhiều trong động lượng

Vì vậy, chúng ta thấy rằng vẻ bề ngoài của một electron (hoặc một photon) như một hạt hoặc một làn sóng phụ thuộc vào thí nghiệm của chúng ta Bởi vì bất kỳ quan sát nào trên hạt quá nhỏ như vậy liên quan đến sự nhiễu loạn đáng kể trạng thái của

nó, cho nên phù hợp với ý nghĩ của các electron cộng với thiết bị như một hệ thống duy nhất Câu hỏi đặt ra, "electron là hạt hay một làn sóng?" chỉ có ý nghĩa khi thiết

bị này được xác định trên kế hoạch đo lường của chúng ta Trong một số thí nghiệm, thiết bị và electron tương tác với nhau theo cách thức đề nghị electron là một làn sóng, và ở vị dụ khác là một hạt Câu hỏi, "Electron là gì khi mà không nhìn thấy chúng?", câu này không thể trả lời được bằng thí nghiệm, vì một thí nghiệm là cái

"nhìn" vào electron Trong những năm gần đây thí nghiệm loại này đã được thực hiện bằng cách sử dụng các đơn nguyên tử

Ví dụ 1-4: Thời gian tồn tại một trạng thái kích thích của một phân tử là 2 × 10-9s Hãy tính độ bất định về năng lượng theo J? Theo cm-1? Bằng cách nào sẽ kiểm chứng điều này bằng thực nghiệm

Giải: Theo nguyên lý bất định Heisenberg, độ bất định tối thiểu:

1-9 Phương trình sóng độc lập thời gian của Schrodinger

Trước đây chúng ta thấy rằng cần một phương trình sóng để giải quyết sóng dừng liên quan đến hệ cổ điển đặc biệt và các điều kiện biên của nó Thật sự cũng cần tồn tại một phương trình sóng để giải quyết sóng vật chất Schrodinger thu được một phương trình như vậy bằng khai thác phương trình sóng độc lập thời gian cổ điển và thay thế hệ thức de Broglie cho λ Do đó, nếu

2

2

2( π)

2 2

Phương trình (1-49) là phương trình hàm sóng độc lập thời gian của

Schrodinger cho một hạt duy nhất có khối lượng m chuyển động trong trường thế ba

chiều V

Trong cơ học cổ điển chúng ta có phương trình riêng biệt cho sự chuyển động của sóng và hạt, trong khi đó trong cơ học lượng tử, sự khác biệt giữa các hạt và sóng là không rõ ràng, chúng ta chỉ có một phương trình – phương trình Schrodinger Chúng ta thấy rằng sự liên kết giữa phương trình Schrodinger và phương trình sóng cổ điển là hệ thức de Broglie Bây giờ chúng ta so sánh phương trình Schrodinger với phương trình cổ điển cho chuyển động hạt

Theo cơ học cổ điển, năng lượng của một hạt chuyển động trong không gian

ba chiều bằng tổng động năng và thế năng:

Ở đây p là động lượng theo trục x, … Chúng ta đã thấy rằng tương tự phương trình x

Schrodinger được [viết ra phương trình (1-49)]

2

x

h p

và tương tự cho p và y p Mối quan hệ (1-52) sẽ được nhìn thấy sau này trong một z

định đề quan trọng của cơ học lượng tử

Phía bên trái của phương trình (1-50) được gọi là hamiltonian của hệ Vì lý do

này toán tử trong dấu ngoặc vuông trên LHS của phương trình (1-51) được gọi là

toán tử hamiltonian H Đối với một hệ thống nhất định, chúng ta sẽ thấy rằng việc

xây dựng H không phải là khó khăn Nhưng khó khăn đi kèm là việc giải quyết phương trình Schrodinger của, thường được viết như

Hψ =Eψ (1 – 53)

Các phương trình sóng cổ điển và cơ học lượng tử mà chúng ta đã thảo luận là

trường hợp đặc biệt của phương trình gọi là phương trình hàm riêng trị riêng Những

phương trình như vậy có định dạng tổng quát:

Opf =cf (1 – 54)

Ở đây Op là một toán tử, f là một hàm, và c là một hằng số (trị riêng) Như vậy, phương trình hàm riêng trị riêng có tính chất rằng sự tác động vào hàm thì hàm này

sẽ chuyển thành một hằng số nhân với chính nó Hàm f thỏa mãn phương trình

(1-54) được gọi là hàm riêng của toán tử Hằng số C được gọi là trị riêng liên quan đến hàm riêng f Thông thường, một toán tử sẽ có nhiều hàm riêng và trị riêng có liên

quan với nó, và do đó, cần thiết có một chỉ số để phân loại giữa chúng, tức

Opf i =c f i i (1 – 55)

Chúng ta đã thấy một ví dụ về loại này phương trình này, phương trình (1-19)

là một hàm riêng cho phương trình (1-18), với giá trị riêng 2m

T

ω

17

Lời giải ψ cho Schrodinger phương trình của (1-53), được gọi là hàm riêng, hàm số sóng, hoặc hàm trạng thái.

1-10 Điều kiện hàm sóng

Chúng tôi đã chỉ ra bình phương của sóng điện từ được diễn giải là hàm mật độ xác suất để tìm photon ở chỗ khác nhau trong không gian Bây giờ chúng ta áp đặt ý nghĩa đó ψ2 cho sóng vật chất Do đó, trong bài toán một chiều (ví dụ, một hạt dao động cưỡng bức trên một đoạn thẳng), xác suất hạt sẽ được tìm thấy trong khoảng dx quanh điểm x1 được xác định bởi ψ2 (x1).dx Nếu ψ là hàm số phức, thì bình phương môđun, |ψ|2 ≡ ψ*ψ được dùng thay cho ψ2 Về mặt toán học, không thể phân bố khối lượng bình quân thành giá trị âm tại bất kỳ khu vực nào

Nếu hàm riêng ψ đã tìm thấy cho phương trình (1-53), thật dễ dàng thấy là cψ cũng sẽ được hàm riêng, cho bất kỳ hằng số c Điều này cho thấy rằng hằng số nhân giao hoán với toán tử H, vì

H c(ψ)=cHψ =cEψ =E c(ψ) (1 – 56)

Dựa vào vế đầu và vế cuối của phương trình cho thấy rằng cψ là hàm riêng của

H Câu hỏi đặt ra là hằng số nào được để sử dụng cho hàm sóng để làm sáng tỏ xác suất của |ψ|2 Đối với một hạt chuyển động trên trục x, xác suất mà hạt ở giữa x = - ∞

và x = + ∞ bằng 1, đó là điều chắc chắn Theo lí thuyết xác suất, tổng những xác suất của mọi trị khả dĩ của các tạo độ của hệ bằng 1, tức tích phân lấy trong toàn bộ không gian phải bằng 1:

c c* +∞ψ*( ) ( ) x 1xψ x d

−∞

=

∫ (1 – 57)Nếu chọn hằng số c cần nhân sao cho phương trình (1-57) là thoả mãn, hàm sóng

được gọi là chuẩn hoá Cho hàm ba chiều, yêu cầu chuẩn hóa là

ψ phải liên tục từng đoạn và bản thân ψ được liên tục như trong hình 1 d (Chúng ta

sẽ sem ví dụ này ngay)

Hình 1-12: (a) ψ có bộ ba giá trị tại x o (b) ψ là không liên tục tại x o (c) ψ mọc không có giới hạn khi x đến gần + ∞ (nghĩa là, ψ "đồng biến" hoặc "tăng lên") (d) ψ là liên tục và có" đỉnh" tại x o Vì thế, đạo hàm bậc nhất của ψ là không liên tục tại x o và chỉ là liên tục từng đoạn Điều này không ngăn cản ψ khả vi.

Một hàm đơn trị, liên tục, hữu hạn, và có đạo hàm thứ nhất liên tục từng đoạn

được gọi là hàm khả vi Ý nghĩa của khái niệm này được minh hoạ bằng một vài hàm

mẫu trong hình 1-12

Trong hầu hết các trường hợp, có thêm một thừa số tổng quát đặt vào ψ, khi đó

nó là hàm chuẩn hóa Điều này có nghĩa tích phân của |ψ|2 trên toàn bộ không gian phải không bằng 0 hay là vô cùng Hàm thoả mãn điều kiện này được cho là được

bình phương - khả tích.

1-11 Một số bản chất về phương trình Schrodinger

Có một cách khá đơn giản để thấy được ý nghĩa vật lý của phương trình Schrodinger (1-49) Thực chất trạng thái năng lượng E trong Hψ = Eψ tùy theo hai thứ, V và đạo hàm bậc hai của ψ Vì V là thế năng nên đạo hàm bậc hai của ψ phải liên quan đến động năng Bây giờ đạo hàm bậc hai của ψ đối với một hướng nhất định là thước đo của độ biến thiên hệ số góc (tức là, độ cong, hoặc"ít dao động") của

ψ theo hướng đó Vì thế, chúng ta thấy rằng hàm sóng dao động mạnh về phía trước, thông qua phương trình Schrodinger, dẫn đến độ động năng cao hơn Điều này phù hợp với hệ thức của de Broglie, vì một hàm có bước sóng ngắn thì dao động nhiều hơn Nhưng phương trình Schrodinger có tính ứng dụng rộng rãi hơn vì chúng ta có thể tính được dâọ hàm cấp hai của các hàm khả vi, trong khi bước sóng chỉ được xác định đối với những hàm tuần hoàn Vì E là hằng số, lời giải của phương trình Schrodinger được dao động mạnh hơn ở những vùng V thấp và ít dao động ở những nơi V cao Thí dụ cho một số hộp một chiều được trình bày trong hình 1-13

19

Hình 1-13: (a) Khi V = 0, E = T Dẫn đến T tăng, ψ dao động nhiều, có nghĩa là λ ngắn lại (Từ chu

kỳ của ψ của hạt tự do, có thể xác định được λ) (b) Khi V tăng từ trái qua phải, ψ trở nên ít dao động (c) - (d) ψ dao dộng nhiều ở nơi V thấp và T lớn.

Trong chương tiếp theo chúng ta sử dụng một số ví dụ đơn khá để minh hoạ ý tưởng, cái mà chúng ta đã đưa vào và để mang ra một số điểm bổ sung

2 Hàm sóng có ý nghĩa vật lý sau đây; bình phương trường tuyệt đối của nó tỉ lệ

thuận với hàm mật độ xác suất để tìm hạt Nếu hàm sóng được chuẩn hoá thì bình phương của nó tương đương với hàm mật độ xác suất

3 Phương trình hàm sóng ψ độc lập thời gian là hàm riêng của phương trình hàm

riêng Schrodinger, có thể được xây dựng từ phương trình sóng cổ điển, hoặc từ phương trình hạt cổ điển bằng cách thay thế p với k , , ,

4 Hàm sóng ψ chấp nhận được nếu nó đơn trị, liên tục, hữu hạn, với đạo hàm cấp

một liên tục Cho hầu hết tình huống, chúng tôi cũng đòi hỏi ψ để được bình phương khả tích

5 Hàm sóng đối với hạt trong thế năng thay đổi sẽ dao động nhanh nhất nơi V là

thấp, nên T cao trong khu vực này V thấp cộng với T cao bằng E Ở vùng khác, nơi

V là cao, hàm sóng dao động chậm hơn, cho T thấp, với V cao, tương đồng cùng e với trong vùng đầu tiên

CHƯƠNG 2 CƠ HỌC LƯỢNG TỬ CỦA MỘT SỐ HỆ

ĐƠN GIẢN

2-1 Hạt trong hộp thế 1 chiều

Tưởng tượng một hạt có khối lượng m chuyển động tự do trên trục x trong khoảng x = 0 và x = L, với thế năng không đổi (tức là V = 0 trong khoảng 0 <

x < L) Tại x = 0, x = L và tất cả các điểm nằm ngoài giới hạn đó thì hạt gặp

phải hàng rào thế năng vô cùng lớn (V = ∞ trong khoảng x ≤ 0, x ≥ L) Những

vị trí đó được minh họa trong hình 2.1 Bởi vì khung thế năng có hình dạng đó nên thường được gọi là hạt trong giếng thế hay hạt trong hộp thế Điều này

21

cần ghi nhớ, tuy nhiên, vị trí thật sự của hạt giống như một hạt bị giới hạn về sự chuyển động trên một dây dài hữu hạn.

Hình 2-1 Một hạt ở trong thế năng như một hàm số đối với trục x

Như trường hợp này, khi thế năng gián đoạn, ta dễ dàng viết được phương trình sóng cho mỗi vùng Đối với 2 vùng ngoài thành hộp

Hình 2-2 Các hàm f x( ) xắp xỉ không trơn, δ gần bằng không (bề ngang

của một điểm) và n dần đến vô cùng

Điều này nói lên rằng E phải có những giá trị như nhau cho cả hai phương

trình Trị riêng E liên quan đến hạt và nó không bị ảnh hưởng bởi những phép

biến đổi tính toán

Trước tiên ta xét phương trình (2-1) Giả thiết rằng ở các điểm bên trong

hàng rào thế năng x = L+dx, ψ hữu hạn Thì phần số hạng thứ hai bên trái của

phương trình (2-1) sẽ không xác định Nếu số hạng thứ nhất bên trái là hữu

hạn hoặc 0, thì E không xác định tại điểm x = L+dx (và ở khắp mọi nơi trong

23

hệ) Có thể có lời giải rằng E là hữu hạn không? Một khả năng là ψ = 0 ở tất cả mọi điểm nơi có V = ∞ Một khả năng khác là số hạng thứ nhất phía bên

trái của phương trình (2-1) có thể làm mất đi số hạng thứ hai Điều này có thể xảy ra nếu đạo hàm cấp hai của hàm sóng không xác định tại tất cả mọi điểm

có V = ∞ và ψ ≠ 0 Để đạo hàm cấp hai không xác định thì đạo hàm cấp một

phải gián đoạn, do đó ψ phải không liên tục (nghĩa là nó phải có góc nhọn,

như hình 2-2) Do đó chúng ta có thể tìm được giá trị hữu hạn cho cả E và ψ tại x=L+dx, với điều kiện rằng ψ không liên tục tại đó Nhưng có những điểm sau, x = L+2dx, và tất cả các điểm khác ở bên ngoài hộp không? Nếu chúng ta thử làm tương tự với yêu cầu kết thúc là ψ không liên tục tại mọi điểm nơi có

V = ∞ Hàm đó là liên tục nhưng đạo hàm cấp một có những điểm không liên

tục mà đối ngược từng phần (nghĩa là một hàm liên tục f không phải gấp khúc 100% mà nó phải có một vài điểm gấp khúc Chúng ta nói đạo hàm cấp một

của ψ phải liên tục từng đoạn) Do đó, nếu V = ∞ tại những điểm đơn lẻ, ta sẽ giải ra hàm ψ hữu hạn tại điểm đó, với năng lượng xác định Nếu V = ∞ trên toàn bộ dãy nối các điểm đó, tuy nhiên E lại là không xác định cho toàn bộ hệ, và ψ hữu hạn trên vùng đó hoặc E xác định và ψ là bằng không trên toàn bộ

vùng đó

Chúng ta không cần lo ngại với hạt có năng lượng không xác định, và ta sẽ

thấy đó là lời giải của phương trình (2-1) khi ψ = 0.

Bây giờ ta trở lại với phương trình (2-2) yêu cầu lời giải cho ψ tồn tại ở

trong hộp có dựa vào trị riêng E là xác định và dương Bất kì hàm số nào, khi

lấy hai lần vi phân kết quả thu được là chính hàm số đó nhưng có dấu ngược

lại, những hàm này có thể thay thế cho ψ Đó là những hàm sin(kx), cos(kx) và

kx

e± = kx ± kx (2-3)

Do đó chúng ta có thể biểu diễn ψ thông qua e±kx hoặc khác là cả sin(kx) và

cos(kx) Chúng ta chọn trường hợp sau bởi vì chúng quen thuộc hơn, mặc dù

câu trả lời cuối cùng là hàm được chọn phải độc lập

Biểu thức chung của lời giải là

ψ( )x =Asin(kx) Bcos(kx)+ (2-4)

ở đây A, B và k cần phải xác định Như chúng ta đã trình bày, ψ = 0 tại x ≤

0, x ≥ L và do đó ta có được điều kiện biên

phương (cho ψ = 0, điều này có nghĩa là không có hạt trên trục x, mâu thuẫn

với giả thiết ban đầu của chúng ta Người ta cũng có thể loại bỏ lời giải đó cho trường hợp cổ điển vì không có năng lượng trên dây, điều này cũng có thể mâu thuẫn với giả thiết ban đầu phụ thuộc vào vấn đề diễn đạt.)

Chúng ta hãy kiểm tra lại có chắc chắn rằng hàm số đó thỏa mãn phương trình Schrodinger:

sin( / )(x)

8

h H

πψ

Điều đó cho thấy hàm số (2-7) đúng là hàm riêng của H Ta cần chú ý rằng

hàm số đó đã được chấp nhận trong chương 1

Tham số duy nhất còn lại là hằng số A Chúng ta thiết lập nó dựa vào xác

suất tìm thấy của hạt là bằng đơn vị:

và trị riêng tương ứng, từ phương trình (2-8),

E n =n h2 2/ 8mL2, n = 1,2,3,… (2-12)

Các giá trị khác nhau của n tương ứng với trạng thái khác nhau của hệ đó.

2-2 Khảo sát chi tiết lời giải của hạt ở trong hộp thế

Chúng ta đã giải phương trình Schrodinger’s cho một hạt ở trong một giếng thế có thành cao vô hạn, bây giờ chúng ta xem xét kết quả một cách chi tiết

2-2.A Năng lượng

Tính chất rõ ràng nhất của năng lượng đó là đã thông qua các trạng thái cho

phép (n=1, 2, 3, …), E nhảy vọt từ một giá trị rời rạc, được tách ra những giá trị khác nhau (1, 4, 9, … với đơn vị là h2/ 8mL2) Do đó, hạt chỉ có những mức năng lượng rời rạc - năng lượng được lượng tử hóa Những vị trí đó thì được phát họa thành những mức năng lượng như những đường thẳng nằm ngang trong giản đồ thế năng, như hình 2-3a Sự thực là những mức năng lượng đó

là những đường nằm ngang nhấn mạnh rằng E là hằng số bất kể tọa độ x của hạt Đó là lí do E được gọi là hằng số của chuyển động Sự phụ thuộc của E vào n 2 thể hiện sự tăng khoảng cách giữa hai mức năng lượng với sự tăng n

trong hình 2-3a Số n được gọi là số lượng tử chính.

Chúng ta cũng chú ý rằng E tỉ lệ với L -2 Điều đó có nghĩa rằng hạt được giới hạn chặt chẽ hơn, lớn hơn không gian cho phép giữa hai mức năng lượng

Do đó, hộp như được mở rộng ra, sự tách năng lượng giảm xuống và giới hạn không xác định của hạt biến mất hoàn toàn Do đó chúng ta liên kết các lượng tử năng lượng với không gian giới hạn

Đối với một vài hệ, mức độ bị giới hạn của hạt phụ thuộc vào năng lượng tổng của hạt đó Chẳng hạn như, con lắc chuyển động trên quỹ đạo dài hơn

2

V = kx

như trong hình 2-3b Nếu giải phương trình Schrodinger cho hệ này (sẽ thấy

trong chương 3), thì tìm được năng lượng tỉ lệ với n hơn là với n 2 Chúng ta có thể hợp lí hóa điều này bởi có thể coi rằng hạt đang chiếm một hộp lớn hơn

lượng tìm được với chiều rộng hộp là hằng số Đối với thế năng V = −1/ x

(điều này tương tự như nguyên tử hidro trong hộp thế một chiều) E thay đổi

theo 1/n2 (hình 2-3c), và điều đó cũng phù hợp với ảnh hưởng của sự tăng L đối với sự tăng E.

Hình 2-3 Thế năng cho phép của hạt trong các hố thế 1 chiều

khác nhau (a) hộp với thành cao vô hạn (b) thế năng tuân theo

2

2

năng lượng cao hơn ở (b) và (c) không phân ra như ở (a) là do ảnh

hưởng lớn bởi kích thước hộp đối với năng lượng cao hơn ở (b)

Chú ý rằng năng lượng thấp nhất có thể của một hệ xảy ra khi n = 1 là E =

2/ 8 2

h mL Kết quả đáng chú ý đó là một hạt bị hạn chế (tức là L hữu hạn) có

thể không bao giờ có năng lượng bằng không Rõ ràng hạt chuyển động liên

tục trong vùng từ 0 đến L, thậm chí tại nhiệt độ tuyệt đối bằng không Đó là lí

/ 8

h mL được gọi là năng lượng điểm không của hệ đó Nhìn chung, viêc xác định năng lượng điểm không cho mọi hệ bị hạn chế cho chuyển động trên mọi tọa độ (Chú ý rằng hữu hạn ở đây không bằng không)

Có thể thấy rằng, khi L ≠ 0, hạt ở trong hộp sẽ không tuân theo nguyên lí

bất định Heisenberg đó là năng lượng bằng không Giả thiết năng lượng đúng bằng không Thì động lượng phải đúng bằng không (Trong hệ đó, năng lượng

27

toàn phần của hạt là động năng với V = 0 ở trong hộp.) Tuy nhiên, nếu động

lượng px cũng đúng bằng 0, không thể chắc chắn rằng giá trị của động lượng

∆p x cũng bằng 0, Nếu ∆p x bằng 0, nguyên lý bất định [phương trình 2-46] yêu cầu rằng không chắc chắn ∆p x là không xác định Nhưng ta biết rằng hạt ở

giữa x = 0 và x = L Do đó, sự không chắc chắn này đặt trên L, hữu hạn, và nguyên lý bất định không thỏa mãn Tuy nhiên, khi L = ∞ ( hạt không bị hạn chế), nguyên lý bất định có thể được thỏa mãn đồng thời với E = 0, và sự thỏa

mãn này phù hợp với sự thật rằng E = h2 / 8mL2dần đến 0 khi L dần đến vô

cùng

Cuối cùng, chúng ta chú ý rằng sự tách các giá trị n dẫn đến năng lượng

khác nhau Do đó, không có hai trạng thái nào có năng lượng như nhau, và trạng thái đó gọi là không suy biến về mặt năng lượng

Ví dụ 2-1 Xét một electron ở trong hố thế một chiều dài 258 pm.

a) Tính năng lượng điểm không của hệ (ZPE) ? Tính cho một mol là bao

1, 41 109,11 10

Hình 2-4 Đồ thị các hàm riêng tương ứng với n = 1,2,3 và với các

mức năng lượng Đơn vị năng lượng trên trục tung không ảnh hưởng đến hàm sóng ψ Mỗi hàm sóng này có giá trị 0 tại bất kì nơi nào giao nhau

với đường mức năng lượng, và giá trị cực đại là 2 / L

Điều rõ ràng từ hình 2-4 là hàm sóng của hệ có thể được chỉ ra liên quan đến khoảng cách số lần nửa đường sóng hình sin trong dãy từ 0 - L Kết quả là

bước sóng có thể là kết quả của năng lượng thông qua việc ứng dụng giả thiết

de Broglie’s (1-42) Do đó, từ hình 2-4, độ dài sóng là λ= 2 /L n,

động năng toàn phần.)

Bây giời chúng ta hãy xem xét ý nghĩa vật lí của hàm riêng ψ Theo chúng

ta đã nghiên cứu trước đó, ψ 2 xác định vị trí của hạt Giả thiết rằng chúng ta có hệ một hạt ở trong hộp thế, hệ này bằng cách nào đó được chuẩn bị năng

29

lượng sao cho chúng ta biết hạt đang ở trạng thái n = 1 Chúng ta có thể tưởng

tượng một số loại thí nghiệm, chẳng hạn như chiếu xạ tia γ và nhận ảnh tức thời, việc này cho chúng ta biết hạt tức thì ở đâu Bây giờ, giả sử chúng ta muốn xác định lại vị trí của hạt Chúng ta muốn xác định lần thứ hai cũng ở

trạng thái n=1, nhưng chúng ta không thể dùng chính hệ đó bởi vì chúng ta có

thể làm hư nó bởi lần đo thứ nhất Bắn phá hạt với một hay nhiều photon tia γ đã làm cho hệ chuyển sang trạng thái khác, và chúng ta thậm chí không biết được nó Do đó chúng ta phải sửa chữa lại hệ, hoặc dùng một hệ khác thay thế mà hệ đó phải được lắp đặt như hệ đầu tiên Nhìn chung chúng ta sẽ giả định rằng chúng ta làm cho hệ liên tục giống hệt như ta đã chuẩn bị trước Do đó, chúng ta lấy bức ảnh thứ hai (của hệ thứ hai) dùng làm kính ảnh Sau đó ta có ảnh của hệ lần thứ ba, thứ tư,…, cho đến khi chúng ta tích lũy một số lớn những bức ảnh ảnh của hạt trên phim Sự phân bố trên những bức ảnh đó được cho bởi biểu thức 2

hộp được dự đoán là ở trạng thái n = 1 lớn hơn nhiều so với n = 2.

Xác suất tìm thấy hạt ở những điểm giữa của chiều rộng hộp trong trạng

thái n = 2 xấp xỉ bằng 0 trong giới hạn của phép đo đủ chính xác, rõ ràng cho

một điểm đơn lẻ Điều rắc rối là nhiều sinh viên lần đầu gặp trường hợp này

và lo lắng rằng làm thế nào hạt có thể nhận được từ một phía của hộp ở trạng

thái n = 2 Thật vậy, câu hỏi này có thể đưa ra cho bất kì trạng thái nào mà

hàm sóng có bất kì điểm nút nào Tuy nhiên, chúng ta đã thảo luận trong đoạn trước cho thấy câu hỏi này giống như câu hỏi “có phải electron là một hạt hoặc một sóng khi chúng ta không nhìn thấy được?” không có câu trả lời thỏa đáng bởi vì không có thí nghiệm nào có thể chứng minh câu trả lời đó Để kiểm tra xem có hay không có hạt di chuyển từ một phía của hạt sang nơi

khác, chúng ta sẽ chuẩn bị một hệ ở trạng thái n = 2 và đo vị trí của hạt đủ số

lần để chúng ta cũng (a) luôn luôn tìm thấy hạt ở cùng phía (yêu cầu nhiều phép đo đủ tin cậy) hoặc (b) tìm thấy hạt ở phía khác (yêu cầu ít nhất hai lần đo)

Nhưng câu hỏi của chúng được trả lời, hệ phải ở trạng thái n = 2 thông qua những thí nghiệm, và chúng ta có thể thấy được quá trình đo vị trí của hạt đó (Nếu chúng ta thấy hạt lần đầu tiên ở bên trái và lần sau ở bên phải, chúng ta không thể chắc chắn rằng hạt không di chuyển băng qua điểm giữa trong khi hệ bị xao động bởi phép đo lần đầu.)

Do đó, sự phát họa trong hình 2-5 được coi là cẩn thận nhất như đã

tóm tắt kết quả của sự đo lường trên toàn thể của hệ

Hình 2-5 ψ2 và sự phân bố của hạt ứng với ba trạng thái năng

lượng thấp nhất và một trạng thái năng lượng cao của hạt ở trong hộp

thế một chiều

Theo cơ học cổ điển, vì năng lượng của hạt là hằng số, do đó tốc độ cũng là hằng số, chúng ta có thể mong đợi hạt sẽ dành thời gian như nhau trên từng

đoạn dx giữa 0 và L, nhưng hình 2-5 cho thấy rằng trong hệ lượng tử với n =

1 đã dự đoán trước rằng hạt sẽ dành nhiều thời gian hơn trên đoạn ở gần giữa

Nó là đặc trưng của trạng thái năng lượng thấp hơn của hệ cơ học lượng tử thể hiện sự phân bố “anti-classical” (ngược cổ điển) Với số lượng tử lớn hơn, sự phân bố trở nên khó phân biệt được khi sự phân bố được dự đoán bởi vật lí cổ

31

điển (cho thấy trên hình 2-5) Một ví dụ khác đó là xu hướng dự đoán của cơ

học lượng tử xấp xỉ dự đoán cổ điển khi hệ gần đi đến hệ vĩ mô (ở đây n lớn và do đó E lớn).

Ví dụ 2-2 Cho một hạt ở trạng thái n = 2 ở trong hộp thế một chiều có

chiều rộng L,

a) Ước đoán xác suất ρ tìm thấy hạt ở giữa x = 0 và x = 0,20L.

b) Tính xác suất đã đánh giá ở câu a

c) Dự đoán xác suất tìm thấy hạt ở giữa x = 0 và x = 0,2L theo vật lí cổ

điển là bao nhiêu ?

Bài giải:

a) Phát họa của ψ 2 trong hình 2-5 cho thấy rõ ràng rằng xác suất tìm thấy

hạt trong khoảng 0 ≤ x ≤ L/4 là 0,25 ( bằng diện tích dưới đường cong ) Trong khoảng 0 ≤ x ≤ 0,20L thì ngắn hơn 20%, và thiếu đi 20% trong

khoảng liên kết với một xác suất lớn gần gấp đôi mức trung bình của cả dãy

Điều đó có nghĩa rằng thếu hụt mất gần 40% xác suất, do đó còn lại hơn 60%

60% của 0,25 là 0,15, cho nên xác suất ρ trong khoảng 0 - 0,2L là hơi lớn hơn 0,15.

c) Hạt cổ điển chuyển động với tốc độ là hằng số, do đó hàm xác suất cũng

là hằng số Do đó, xác suất tìm thấy hạt trong 20% của hộp là 0,20.

2-2.C Tính đối xứng của hàm sóng

Khảo sát hình 2-5 cho thấy rằng hạt có xác suất như nhau ở hai nửa bên trái và bên phải của hộp, bất kể ở trạng thái nào Điều đó hợp lí bởi vì không có

yếu tố vật lí đặc biệt giữa hai nửa Bây giờ chúng ta sẽ thấy rằng toán tử Haminton là không đổi qua phép phản chiếu qua trung tâm hộp, và điều này là cần thiết để nói lên rằng ψ có tính đối xứng.

Thứ nhất, chúng ta thấy H là không thay đổi Phép phản chiếu qua trung

tâm hộp thực hiện bởi sự thay thế x bằng –x + L Chúng ta có thể thiết lập

toán tử phản chiếu R như là

Rf x = − +f x L ; nghĩa là bất kì hàm số nào thông qua mặt phẳng pháp

tuyến tại x = L/2 ( như hình 2-6).

Hình 2-6 Hàm f(x) và hình ảnh phản chiếu của nó tại x = L/2.

Phần động năng của toán tử Hamilton T không thay đổi bởi R:

Thực tế rằng ở đây L là hằng số và d d x/ (− = −) d dx/ Vậy phần động năng

của H không bị thay đổi bởi phép phản chiếu qua điểm L/2 là dễ dàng thấy được; hàng rào vô hạn cũng trao đổi giống hệt nhau Do đó, RT =T, RV = V

Hai bên của phương trình (2-17) sẽ vẫn bằng nhau nếu chúng ta phản chiếu qua hệ trục tọa độ của phương trình (Nếu hai hàm này xác định trên một hệ trục tọa độ, thì phía bên phải của phương trình xác định trên bất kì hệ tọa độ nào.) Do đó,

ψ và Rψ đều có cùng giá trị E Do đó, chúng ta đi đến kết luận rằng ψ và

Rψ phụ thuộc tuyến tính với nhau, đó là,

Rψ =cψ (2-20)

Ở đây c là hằng số, lúc này Rψ vẫn còn được chuẩn hóa (vì phép phản

chiếu không làm thay đổi diện tích hay diện tích bình phương), và nó cũng vẫn còn là hàm thực (vì phép phản chiếu một hàm thực không thể tạo ra một hàm ảo) Do đó,

0L(Rψ) dx= =1 0L(cψ) dx c= 0Lψ dx c=

Ở đây chúng ta đã chuẩn hóa ψ Nếu c2 =1, thì c= ±1 và khi đó Rψ = +ψ ,

như trong các trường hợp đối với ψ1 và ψ3(hình 2-4), ψ được nói là đối xứng

hoặc chẵn đối với phép phản chiếu Nếu Rψ = −ψ , như đối với ψ2, ψ được

nói là phản đối xứng, hoặc lẻ (Một hàm số mà nó không phải đối xứng hoặc phản đối xứng thì được gọi là không đối xứng Cẩn thận tránh nhầm lẫn giữa

“phản đối xứng” và “không đối xứng”.)

Chúng ta có thể chứng minh rằng đây là một tính chất rất quan trọng của

hàm sóng Nói chung, nếu ψ là hàm sóng đối với trạng thái không suy biến,

nó phải là hàm đối xứng hoặc phản đối xứng dưới mọi sự chuyển đổi mà không làm H thay đổi.

2-2.D Trực giao của hàm sóng

Có thể thấy được rằng sự liên quan giữa hai tích phân của hai hàm riêng khác nhau của hạt ở trong hộp, ψn và ψm , phải nhận giá trị 0 như kết quả:

∫0Lψ ψn m dx=0, n ≠ m (2-23)

Khi hàm sóng có tính chất đó - tức là tích phân bằng 0 khi lấy trên toàn bộ phạm vi của trục tọa độ - hàm sóng đó được nói là có trực giao (Vì trong

“hộp” hàm riêng triệt tiêu trong khoảng x≤0 và x L≥ , chỉ lấy tích phân trong

khoảng từ 0 đến L.)

Chúng ta có thể dùng lập luận này để chứng minh tính trực giao của một số cặp hàm riêng của “hộp”, chẳng hạn như ψ1 và ψ2 Hình 2-7 cho thấy rằng, 1

ψ là hàm đối xứng, ψ2 phản đối xứng đối với phép phản chiếu, tích của

chúng tạo ra một hàm phản đối xứng (Thật vậy, không khó để thấy rằng tích của hai hàm đối xứng hoặc phản đối xứng là đối xứng, hàm phản đối xứng và hàm đối xứng cho tích là hàm phản đối xứng Hình 2-7.) Tích phân trên toàn bộ hàm phản đối xứng phải bằng 0, vì hàm phản đối xứng có hai vùng âm và dương ở hai phía bằng nhau Do đó, ψ1 và ψ2 là trực giao bởi “tính đối xứng”, thật như vậy với tất cả các cặp hàm sóng đối xứng-phản đối xứng Vì tất cả các hàm ψ có số lượng tử lẻ là đối xứng, tất cả hàm ψ có số lượng tử n chẵn

là phản đối xứng, chúng ta có thể chứng minh ψn và ψm là trực giao đối với n chẵn và m lẻ Để thấy tính trực giao đối với cả n và m đều lẻ hoặc chẵn yêu

cầu cần lấy tích phân một cách rõ ràng (ở hình 2-9)

Hàm riêng (2-11) là trực giao với mỗi hàm khác, và bản thân đã chuẩn hóa,

chúng ta gọi nó là hàm trực chuẩn Theo toán học, kết quả được tóm tắt lại

Số hạng δn,m được gọi là hàm Kronecker delta, và đây là cách rút gọn đơn

giản, thuận tiện của hai ý trên

Ví dụ 2-3 ψ1 và ψ3 là hai hàm đều đối xứng Do đó tích phân ψ2 là đối xứng Có thể làm cho tích phân bị triệt tiêu không?

Bài giải: Phát họa tích phân của hàm đó cho thấy là đối xứng, với giá trị

âm ở giữa và giá trị dương ở hai bên Vì ψ1 và ψ3 đã biết là trực giao, vùng

35

âm phải chính xác triệt tiêu tổng của hai vùng dương (mặc dù chúng ta không chắc chắn từ giản đồ) Điều đó cho thấy, tích phân trên toàn bộ cùng phản đối

xứng bằng 0, trên toàn bộ vùng đối xứng (hoặc không đối xứng) có thể bằng 0 hoặc không bằng 0.

Hình 2-7 ψ1 là đối xứng, ψ2 là phản đối xứng và ψ1ψ2 là phản đối

xứng Tổng diện tích hai bên của hàm lẻ bằng 0 vì phần âm và dương

hoàng toàn triệt tiêu nhau

2-3 Hạt trong hộp thế 1 chiều với 1 thành cao hữu hạn

Bây giờ chúng ta thay đổi hệ thống vừa thảo luận bằng cách hạ thấp thế năng trên 1 cạnh của hộp thế tới giá trị hữu hạn U Kết quả của thế năng được

hạn tại x = 0 và lực đẩy hữu hạn cho x ≥ L Như trước, lực đẩy thuận lợi cho

phải bằng 0 với lý do giống như trước (Mục 2-1)

Hình 2-8 Thế năng cho hộp thế 1 chiều với 1 thành cao vô hạn tại x ≤ 0 và

lượng thông qua biểu thức

λI =h/ 2 (m E V− I) (2-27)

Và bởi vì VI = 0 (trong vùng I),

λI =h/ 2mE (2-28)

Bây giờ chúng ta chuyển sang vùng II Bởi vì V cũng là hằng số, Ψ vẫn sẽ

là sóng điều hòa Như trước, chúng ta chọn 2 dạng của hàm sóng:

ΨII = AIIsin(2πx/λII) + BIIcos(2πx/λII) (2-29)

Hay (xem phương trình (2-3))

ΨII = CIIexp(+2πix/λII) + DIIexp(-2πx/λII) (2-30)

37

Có 2 khả năng cho năng lượng của hạt: E ≤ U và E > U Đầu tiên tương ứng với vị trí ban đầu nơi mà hạt không đủ năng lượng để thoát ra khỏi hộp thế và vào trong vùng II Bây giờ chúng ta xem xét vùng II theo quan điểm của cơ học lượng tử.

λII=h/ 2 (m E U− ) (2-31)

hưởng tới kết quả)

Bây giờ chúng ta kiểm tra những thuộc tính của 2 hàm mũ trong 2-30 Hàm

mũ đầu tiên là số thực (vì i có thể bỏ qua) và dương (giả định trên) Khi x tăng thì hàm mũ tăng nhanh chóng, tiến tới vô cùng Vì hàm được chọn không thể

2 là âm, số thực, vì thế nó có xu hướng giảm tới 0 khi x tiến tới vô cùng Đây

là kết quả có thể chấp nhận được và chúng ta có

ΨII = DIIexp(-2πxi/λII) (2-32)

Bây giờ chúng ta đã có những công thức mô tả những đoạn của hàm sóng cho 2 vùng Tất cả những gì còn lại là tập hợp cùng nhau tại x = L sao cho kết quả của hàm sóng là liên tục tại x = L và có đạo hàm cấp 1 liên tục tại đó (Nhớ lại từ phần 2-1 rằng theo thực tế thì kết quả thứ hai là thế năng hữu hạn tại x = L Do đó, Ψ phải trơn tại x = L.)

Ta có: AIsin(2πL/λI) = DIIexp(-2πxi/λII) (2-33)

buộc hàm trơn) được:

(2π/λI )cos(2πL/λI) = (-2πi/λII)DIIexp(-2πxi/λII) (2-34)

Phần hàm mũ chung cho hai phương trình (2-33) và (2-34) tạo ra cơ sở cho phương trình khác:

AIsin(2πL/λI) = (-AIλII/i λI)cos(2πL/λI) (2-35)

hay tan(2πL/λI) = i λII/ λI (2-36)

Thay thế các giá trị ΨI, ΨII từ phương trình (2-28) và (2-29) ta được:

tan(2πL 2mE h/ )= − E/ U E− (2-37)

Chỉ có năng lượng toàn phần E là chưa biết trong (2-37) Cho những giá trị của L, m, U và chỉ chắc chắn giá trị E < U thỏa mãn (2-37) Do đó hạt có thể chỉ chắc chắn có năng lượng khi hạt bị giữ trong hộp thế Năng lượng cho phép có thể được tìm thấy bởi đồ thị của những đường bên phải và bên trái của (2-37) khi xem chúng là những hàm của E Những điểm giao nhau trên đồ thị là giá trị của E thỏa mãn (2-37) Hình 2-9 minh họa cho đồ thị của (2-37) với những giá trị riêng của L, m, U.

Khi 1 giá trị E được chọn, chúng ta biết λII, λI ( từ phương trình 28, 31) và chỉ còn tìm AI và DII Tỷ lệ AI/DII có lẽ tìm thấy từ phương trình (2-33)

chuẩn hóa Lời giải được thiết lập trong hình 2-10

Trước khi giải quyết trường hợp tại nơi E > U, chúng ta hãy thảo luận chi tiết kết quả vừa tìm được

Hình 2-9 Lời giải đồ thị của phương trình

thế hay hộp thế sâu vô hạn, các mức năng lượng tăng với bình phương của sơ

rào trở nên ít hiệu quả để hạn chế hạt với năng lượng cao hơn (xem dưới đây)

sin là cần thiết trong khoảng cách của hộp thế Do đó, độ dài sóng trong trường hợp này hơi dài hơn so với giếng thế sâu vô hạn khi cùng chiều rộng

Vì thế, theo hệ thức de Broglie’s, năng lượng sẽ giảm một ít Chú ý rằng , ảnh hưởng của việc giảm năng lượng của 1 thành cao là mức nhỏ nhất trong trường hợp này

Lời giải được phác họa trong hình 2-10 rằng có một xác suất hữu hạn cho việc tìm thấy hạt trong vùng x > L mặc dù nó phải có động năng âm tại đó Do

đó cơ học lượng tử cho phép hạt đi qua khu vực đó trong khi cơ học cổ điển thì hạt không thể đi qua Chú ý rằng xuyên qua trở nên đáng kể hơn khi năng lượng của hạt tiệm cận của hàng rào Đây là kết quả từ thực tế rằng E – U xác

kết quả trong giếng thế vô hạn ở mục 2-1

Nếu hàng rào trong hình 2-8 có độ dày hữu hạn (V quay lại 0 tại x = 2L),

do đó có xác suất hữu hạn rằng một hạt trong giếng thế sẽ thâm nhập qua

đường hầm, và đây là 1 cách ví dụ có anpha hạt thoát khỏi từ một hạt nhân mặc dù ban đầu nó không đủ năng lượng vượt qua lực hút hạt nhân Chúng ta nhấn mạnh rằng đường hầm được đề cập trong ví dụ này thực sự không phải

là 1 trạng thái cho hiện tượng ổn định Chúng ta có một điều kiện ban đầu (hạt trong giếng thế) và yêu cầu nửa sự tồn tại cho sự thoát khỏi của hạt – một vấn

đề phụ thuộc vào thời gian

Chúng ta đã thấy rằng năng lượng lượng tử hóa cho hạt trong giếng thế sâu

vô hạn có thể được xem như kết quả từ số tích phân thích hợp của nửa sóng sin trong một chiều rộng cố định Hầu hết sóng sin không phù hợp một cách hoàn hảo và vì thế hầu hết năng lượng không được chấp nhận Trong trường hợp này sóng được cho phép lọt qua 1 trong các thành nhưng chúng ta vẫn có thể xem tại sao chỉ những năng lượng nhất định được cho phép Giả sử rằng chúng ta có thể chọn một số năng lượng E tùy ý cho hạt Chúng ta biết Ψ phải